一元二次方程解决几何问题

1 用一元二次方程解决几何图形问题

基础题

知识点1 一般图形的问题

1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)

A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900

C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900

2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B)

A．100 m2 B．64 m2

C．121 m2 D．144 m2

3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm．

4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m.

5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米．

(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？

(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．

解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有

x(28－x)＝180.

解得x1＝10(舍去)，x2＝18. 2 则28－x＝28－18＝10.

答：长为18厘米，宽为10厘米．

(2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有

y(28－y)＝200.

化简，得y2－28y＋200＝0.

∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.

∴原方程无实数根．

故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．

知识点2 边框与甬道问题

6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C)

Fpg

Fpg 实际问题与一元二次方程题型归纳总结

一、列一元二次方程解应用题の一般步骤：

与列一元一次方程解应用题の步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题の一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；

（2）找：找出等量关系；

（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（4）列：列出一元二次方程；

（5）解：求出所列方程の解；

（6）验：检验方程の解是否正确，是否符合题意；

（7）答：作答。

二、典型题型

1.数字问题

例1、有两个连续整数，它们の平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它の个位上の数字与十位上の数字の和是6，如果把它の个位上の数字 与十位上の数字调换位置，所得の两位数乘以原来の两位数所得の积就等于1008，求调换位置后得到の两位数。

练习：1、两个连续の整数の积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字の平方，个位上の数字比十位上の数字大3，则这个两位数为 （ ）

A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36

2.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数

例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样の传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

Fpg

Fpg 3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题

循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1).

例4、（1）参加一次足球联赛の每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

（2）参加一次足球联赛の每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

天才教育 无锡一对一辅导最好的学校

- 1 -

实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：

1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.

2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是1x和2x，那么acxxabxx=•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.

点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤

应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.

(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).

(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.

(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.

用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题

基础题

知识点1：一般图形的问题

1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.

2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题

6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.

7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.

10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.

11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.