第３５卷第１１期 ２０１６年１１月 绵阳师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｉａｎｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ
ＴＣ—Ｂ样条曲线与 一 样条曲线的光滑拼接
张丹丹．吴欢欢
（安徽广播电视大学安庆分校，安徽安庆２４６００１）
摘要：在ＣＡＧＤ中，Ａ－４ｆｌ对曲线曲面的拼接做了大量的研究与分析．本文研究了三次 一Ｂ样条曲线与带 参数Ａ的三次Ｂ样条曲线的光滑拼接问题，并讨论了三次ＴＣ—Ｂ样条曲线与Ａ—Ｂ样条曲线的Ｇ０、Ｇ 和Ｇ２光滑
拼接问题． 关键词：ＴＣ—Ｂ样条曲线；Ａ—Ｂ样条曲线；形状参数；拼接条件 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－６１２ｘ（２０１６）１１－００７５－０４
０ 引言
近些年来，人们开始对Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面、Ｂ样条曲线曲面…的拼接问题进行了大量的研究，例如：Ｂ６ｚｉｅｒ
曲线的拼接 Ｊ、三次均匀有理Ｂ样条曲线的拼接 Ｊ、ｃ— 样条曲线与 —Ｂ样条曲线的拼接－４ Ｊ、三次 —
样条曲线与三次均匀有理Ｂ样条曲线的拼接 ｊ．文献［６］在扩展的三次均匀 样条曲线的基础上提出了三
次Ａ一曰样条，它具有三次Ｂ样条的几何性质．文献［７］［８］讨论了 一Ｂ样条曲线的性质及光滑拼接问
题．本文在文献［６］［７］的基础上研究了三次 一Ｂ样条曲线与带一个形状参数Ａ的Ｂ样条曲线，并讨论 了两条曲线间的ＧＯ、Ｇ 和Ｇ 光滑拼接问题．
１ ＴＣ—Ｂ样条曲线的定义
定义１设给定控制顶点Ｐ。、Ｐ 、Ｐ 、Ｐ ，则三次ＴＣ—Ｂ样条曲线
３ Ｐ（ ）＝∑Ｐ （ ），０ ０ｆ，０＜Ｏｌ＜仃 ｉ＝０ 令ｋ＝１一ＣＯＳＯ￣，ＪＢ：１一ＣＯＳ（ —Ｍ）， ＝１一（２０８／￣．其中，基函数 （ ）（ｉ＝０，１，２，３）定义如下：
÷（
： （詈）。一（ ） ＋ ，
＝ （譬） 一（ ） ＋ ，
，（Ｍ）＝ １ ３５＿） ．
三次ＴＣ—Ｂ样条曲线的端点及导矢的几何性质如下：
Ｐ（０）＝８（Ｐ。＋６Ｐ１＋Ｐ２），Ｐ（ ）＝ｌ（Ｐ１＋６Ｐ２＋Ｐ３）；
第３２卷第１１期２０１３年１１月 数学教学研究 ６３
二次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼接
赵菲，张贵仓，葸海英
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 ７３００７０）
摘要：利用Ｂ样条曲线的Ｂ￣ｚｉｅｒ构造方法，把二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼接转 化为二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次１３￣ｚｉｅｒ曲线之间的拼接问题，并分别给出了二次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线与三次非均 匀Ｂ样条曲线的拼接的 ，Ｇ１，Ｇ２光滑拼接条件． 关键词：Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线，Ｂ样条曲线；Ｂｏ，ｉｅｒ构造方法；光滑拼接； 中图分类号：ＴＰ３９１
１引言 在ＣＡＤ／ＣＡＭ中，设计复杂的自由曲线
曲面时，人们引人了曲线曲面拼接问题，并开
始研究各种曲线曲面造型方法的拼接及实际
应用．Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线和Ｂ样条曲线是现在计算 机辅助几何设计中主要的两种曲线构造方
法［１］，其优越的几何性质和逼近性质给曲线
曲面设计人员带来了很大的方便．Ｂ￣ｚｉｅｒ曲
线和Ｂ样条曲线的广泛使用使其拼接问题也 得到了深入研究Ｌ２．４］．其中杨林英，张贵仓［ｓ］
研究了三次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与二次均匀Ｂ样条曲
线的光滑拼接．耿紫星［６］研究了三次Ｉ３￣ｚｉｅｒ
曲线与二次Ｂ样条曲线的光滑拼接．此后， ＮＵＲＢＳ方法［７］的引人大大增加了ｃＡＤ／
Ｃ 系统的曲面造型功能，因而得到了广大
的应用．
文章讨论了二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次非均
匀Ｂ样条曲线的拼接．主要利用非均匀Ｂ样
条曲线与Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线相互转换的方法，把二
次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼
接转化为二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线与三次Ｐ￣ｚｉｅｒ曲线
之间的拼接问题，并分别给出了二次Ｂ￣ｚｉｅｒ
曲线与三次非均匀Ｂ样条曲线的拼接的 ，
Ｇｌ，Ｇ２光滑拼接条件．
２三次非均匀Ｂ样条曲线与三次Ｂ翰ｅｒ曲 线的转化
收稿日期：２ｏ１３一ｌＯ—ｏ６ 引理１Ｅ。 设Ｂ （“）是定义在节点向量
实验四 Hermite Bezier Ｂ样条三种曲线的绘制
一、实验目的
➢ 了解和学习Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线算法
➢ 掌握基于 Win32、Visual C++环境MFC绘制图形配置过程制过程
➢ 编程实现Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线的绘制
二、实验原理
三次参数曲线
1. 曲线段可以用端点、切向量和曲线段之间的连续性等约束条件来定义
2. 两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲线；
3. 两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义的Bezier曲线；
4. 由四个控制顶点定义的样条曲线。
三、实验关键代码
void CDrawYTQXView::Hermite() //绘制Hermite三次插值样条
{
int a[4][4] ={{2,-2,1,1},{-3,3,-2,-1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}};//Mh矩阵系数
int b[4][2];//边界点
for(int i=0;i<4;i++)
{
b[0][0]=p1[i][0];b[0][1]=p1[i][1];//起点的坐标
b[1][0]=p1[i+1][0];b[1][1]=p1[i+1][1];//终点的坐标
b[2][0]=p2[i][0];b[2][1]=p2[i][1];//起点的导数
b[3][0]=p2[i+1][0];b[3][1]=p2[i+1][1];//终点的导数
Caculate(a,b);
CClientDC dc(this);
CPen MyPen,*pOldPen;
MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));
pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);
dc.MoveTo(p1[i][0],p1[i][1]);
for(double t=0.0;t<=1;t+=1.0/400)
§4.3 贝塞尔曲线和B样条曲线
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。
一、 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式
n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：
)()(0,tBptpninii 10t
),...,2,1,0(nipi为各顶点的位置向量，)(,tBni为伯恩斯坦基函数
ininittnintB)1()!1(!!)(,
2.二次贝塞尔曲线
需要3个顶点，即210,,ppp，将其代入曲线表达式：
2,222,112,00)(BpBpBptp
220202,021)1()1()!02(!0!2tttttB 21212,122)1(2)1()!12(!1!2ttttttB
22222,2)1()!22(!2!2tttB
221202)22()21()(ptpttptttp
21020010221211ppptt 10t
2102)21(2)1(2)(tpptpttp
)(222)0(0110ppppp 0)0(pp
