第２４卷第４期 Ｖ０１．２４ 四川教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＩＣＨＵＡＮ ＣＯＵＪＥＧＥ ＯＦ ＥＤＵＣＡ￣ＯＮ ２００８年４月 Ａｐｒ．２００８
两个关联向量组的极大无关组及其余向量的线性表示
游顺利
（广安中学，四川广安６３８０００）’
摘要：给出了两个向量组为关联向量组的定义，讨论了其简单性质及判定，极大无关组的求法及其余向量
的线性表示。
关键词：关联向量组；极大无关组；线性表示
ＭａｘｉｍａｌＬｉｎｅａｒｌｙＩｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔＳｕｂｓｅｔ ｏｆＴｗｏＩｎｃｉｄｅｎｔＶｅｃｔｏｒＧｒｏｕｐｓＡｎｄｔｈｅＬｉｎｅａｒＥｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｏｔｈｅｒＶｅｃｔｏｒｓ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｇｉｖｅ ＵＳ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｗｏ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｇｒｏｕｐｓ．Ｔｈｅｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｓｏｍｅ ｓｉｍｐｌｅ ｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆｉｔ，ｈｏｗｔｏｗｏｒｋ ｏｕｔｔｈｅｍａｘｉｍａｌｌｉｎｅａｒｌｙｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆｉｔ，ａｎｄ ｈｏｗｔｏｌｉｎｅａｒｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｖｅｃｔｏｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｇｒｏｕｐｓ；ｍａｘｉｍａｌ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｕｂｓｅｔ；ｌｉｎｅａｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１０００—５７５７（２００８）０４－００９５－０３
利用初等变换求一个向量组的极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示，这个问题在［１］一［４］中都有较全面 的论述，主要有如下两种方法．
方法一：用列向量形式构成矩阵，并施行初等行变换，将矩阵化成最简形矩阵，从而直接写出原向量组的极大无关组及
其余向量用极大无关组的线性表示．
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组是互联网领域的一个重要概念。它是由一组线性方程组的无关组构成的，这组线性方程组可以表示为 ax=b，其中a 是一个矩阵，b 是一个向量，x 是该方程组的解向量组。
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组有多种可能，它们最常见的使用情况是来求解特定的问题。例如，如果要求出一组解向量组，使得线性方程组的解最大，可以通过极大无关组来达到这一目的。此外，在优化问题中，也有时需要使用极大无关组来最大化或最小化特定问题的计算结果。
在互联网行业中，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也是一项很重要的技术。它可以用于多个实际应用，其中包括复杂物联网网络的优化、移动互联网访问速度的增加、搜索引擎的优化等等。
同时，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也在很多其他领域得到了应用，例如数值计算、机器学习以及动画制作等等。总的来说，通过极大无关组可以更高效地求解线性方程组解向量组，使得求解问题的负担大大减轻。
关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法
向量组的极大无关组是一种常见的线性代数问题，在现实应用中，经常用初等变换来求解。这里我们就介绍一下用初等变换求向量组的极大无关组的方法。
假设我们要计算极大无关组，求解过程采用分治思想，即向量组中元素成组，每组采用初等变换求解极大无关组。
首先介绍初等变换的基本步骤。要将向量组T中的一个n元组A=(a1,a2,a3,…,an)变换为（b1,b2,b3,…,bn），只需执行以下操作：
（1）将a1乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b1。
（2）将a2乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b2。
（3）将a3乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b3。
以此类推，直到将an乘以某正数个数，加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为bn。
其次，介绍如何使用初等变换求解向量组的极大无关组。
如果要对向量组T中的n元组求解极大无关组，采用“每组采用初等变换求解极大无关组”进行分治处理： （1）将n元组拆分为m个m元组，分别求解m个m元组的极大无关组。
（2）将分别求解出来的m个极大无关组合并在一起，即构成最终的极大无关组。
（3）由m个m元组的极大无关组构及的n元组的极大无关组（即新的n元组）也不能线性表示原n元组，所以应当重复执行以上步骤，直到所得到的n元组可以线性表示原n元组停止步骤，此时的n元组就是该向量组的极大无关组。
最后，经过上述步骤，就可以用初等变换解决向量组的极大无关组问题，将大问题拆解成小问题，再分别求解小问题，从而得到大问题的答案，大大提高了求解的效率。
怎么求极大线性无关组
怎么求极大线性无关组：以将向量组转化为矩阵,将向量看作矩阵的列向量,然后对矩阵进行初等行变换可以得到矩阵的阶梯形式,得到矩阵的秩,即为向量组的极大线性无关组的向量的个数。观察矩阵可以看出互相线性无关的列向量,他们对应的向量组中的向量即为一个极大线性无关组。
1极大线性无关组
一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分, 对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩, 讨论线性方程组的基础解系等。
极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。
它们所含的向量个数(基数)相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数(基数)，称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。
