人教版初一上册第四章 几何图形初步：角的概念和角的比较复习讲义

角知识点一、角的概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。

这两条射线叫做角的边，这个公共端点叫做角的顶点。

例1、写出下列角的名称（）（）（）（）（）角的符号时“∠”，有三种表示方法：①用角的两边和角的顶点的字母来表示，如∠AOB、∠O②用数字书写在角的内部来表示，如∠1、∠2③用希腊字母来表示，如∠α、∠β注意：∠AOB的顶点必须是点O若∠O的顶点有2个或以上的角，则不能用一个字母的方法∠O表示它例3、下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）例4、如图，下列说法错误的是（）A、∠DAE也可以表示为∠AB、∠1也可以表示为∠ABCC、∠BCE也可以表示为∠CD、∠ABD是一个平角知识点二、余角和补角总结：1、直角为90°，平角为180°，周角为360°2、若两个角相加等于90°，那么它们互为余角，简称“互余”3、若两个角相加等于180°，那么它们互为补角，简称“互补”例1、∠1和∠2互余，∠1=30°，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=90°，则∠2=______ 例2、∠1和∠2互余，∠1=x，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=x，则∠2=______，则这个角的度数是____________例3、一个角的余角是这个角的补角的13例4、一个角的补角比这个角的余角的3倍少16°，求这个角的度数1、∠α的余角等于30°，那么∠α的补角=_____；∠α的补角等于140°，那么∠α的余角=_____2、已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1=63°，则∠3=_____3、互补的两个角中，一个角的2倍比另一个角的3倍少10°，则这两个角分别是_________4、∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α=_____5、一个角是它的余角的2倍，那么这个角是它补角的_____倍6、∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，则∠α=_____，∠β=_____7、如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A=_____8、一个锐角的补角比它的余角大____________9、如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是________________10、两个角的大小之比是7：3，他们的差是72°，则这两个角的关系是_____________11、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EG。

人教版初一上册第四章几何初步复习讲义几何初步复习讲义1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．知识梳理二、知识梳理+经典例题要点一、几何图形1．几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.2．几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.【例】一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是( )A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥跟踪练习1.如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是( )2.小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个(如图)正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )3.李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为( )A.37B.33C.24D.217.5个棱长为1的正方体组成如图的几何体.(1)该几何体的体积是_______(立方单位)，表面积是_____(平方单位).(2)画出该几何体从正面和左面看到的平面图形.要点二、直线、射线、线段1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。

第四章几何图形初步---角一、学习目标1．在现实情景中，理解角的概念，掌握角的表示方法。

2．认识角的度量单位：度、分、秒，学会进行简单的换算和角度的计算。

3．会比较两个角的大小，能分析图中角的和差关系。

4．理解角平分线的概念，会画角平分线。

5.认识一个角的余角和补角，理解互余、互补的概念，会求一个角的余角和补角；在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等．并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。

6.理解方位角的意义，掌握方位角的判别与应用。

二、知识精讲知识点1：角的概念和表示方法⑴概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这了条射线是角的两条边。

⑵表示方法：①“∠”加三个大写字母表示但表示顶点的字母写在中间如：∠AOB 或∠BOA②用“∠”加顶点大写字母表示【注意：只适合以某一点为顶点的角只有一个角时】如：∠O③用“∠”加阿拉伯数字1、2.、3表示如：∠1④用“∠”加希腊字母α、β、γ表示如：∠α【例1】下列四个图形中, 能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）【题组训练】：1．下列两条射线能正确表示一个角的是（）2．正确表示下列的角。

__________ ___________ _____________ ____________3．下列说法中不正确的是（）A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO，射线AO分别是∠AOB的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角4．如图，下列表示角的方法错误的是（）A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC5．下列说法中，正确的是。

（）A．平角是一条直线。

B.一条直线是一个周角C．两边成一条直线的角是平角。

D.直线是平角6．下列说法中不正确的是（）A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO，射线AO分别是∠AOB 的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角7．如图(1)，下列表示角的方法错误的是（）A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC8．如图(2)，用两种方法表示同一个角的是（）A.∠1和∠CB.∠2和∠CC.∠3和∠AD.∠4和∠B9..如图，∠DOB 是直角，∠COA 也是直角，则（）(∠1+∠2 )C．∠1 =∠3 D．∠3 A．∠1 =∠2 B．∠3=12=∠210..在∠AOB的内部任取一点C作射线OC，则一定成立的是（）A．∠AOB>∠AOCB．∠AOC>∠BOCC．∠AOC=∠BOC D．∠AOC<∠BOC11.利用一副三角板，能作出大于0°而小于90°的角共有（）A．13个B．11个C．5个D．4个12．已知如图（3)，（1）试用三个大写字母表示:∠1就是，∠2就是，∠3就是，∠4就是。

角的计算一：角的基本认识1、角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

2第一种：∠AOB(其中0点是角的顶点，也就是两条射线的公共端点)第二种：∠1（用阿拉伯数学表示）第三种：希腊字母∠α3、角的度量单位：度；分；秒10=60'；1'=60"（1度等于60分，1分等于60秒）其中周角为3600，平角1800，直角9004、角的比较方法一:度量法方法二：叠合法（将两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小）5、角的平分线:一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相如图所示：OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=∠AOC类似的，还有角的三等分线，四等分线等6、余角和补角余角：如果两个角的和为900，则这两个角互为余角补角：如果两个角的和为1800，则这两个角互为补角7、余角，补角的性质等（同）角的补角相等，等（同）角的余角相等8、物体的位置关系用一个物体作为定点，另一个物体与这个物体之间的方位关系以及距离可以表示出另一个物体的位置。

二：角的相关题目训练(一)选择题1.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形②角的边越长,角越大③在角一边延长线上取一点D ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列说法中正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形3、若∠1=75°24',∠2=75.3°,∠3=75.12°,则()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.以上都不对4、已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°5、如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6、钟表在5点半时，它的时针和分针所成的锐角是()．A．15°B．70°C．75°D．90°7、已知一个角的余角的补角是这个角补角的，则这个角的余角度数是()．A．90°B．60°C．30°D．10°8、轮船从A地出发向北偏东70°方向行驶了4海里到达B地，又从B地出发向南偏西20°方向行驶了5海里到达C地，则∠ABC等于()．A．90°B．50°C．110°D．70°（2）解答题1、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．（直接求角的度数）2、如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．（方程思想）3、图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD=15°，求∠AOB的度数．（方程思想）4、如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．（方程思想）5、如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（整体思想）（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？6、∠AOB=600，∠BOC=400，求∠AOC的度数（分类讨论思想）7、观察下图,回答下列问题.(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有个不同的角;(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有个不同的角;(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有个不同的角;(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成个不同的角(5)在∠AOB内部任意画n条射线OC,OD,…,则共形成个不同的角。

第12讲角的概念与大小比较知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.知识梳理讲解用时：15分钟角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．角的理解(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．2.角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.角度的换算(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同； (2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′， 1′＝60″；①由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160′，1′⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160°，用除法．注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．1.角的比较： （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． （2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小． 技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．2.角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，①AOB与①BOC的和是①AOC，表示为①AOB＋①BOC＝①AOC；①AOC与①BOC的差为①AOB，表示为①AOC－①BOC＝①AOB.①代数意义：如已知①A＝23°17′，①B＝40°50′，①A＋①B就可以像代数加减法一样计算，即①A＋①B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，①B－①A＝40°50′－23°17′＝17°33′.3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是①AOB的平分线，则有①1＝①2＝12①AOB或①AOB＝2①1＝2①2.角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．课堂精讲精练【例题1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；【答案】（1）3；（2）6；（3）10．【解析】解：（1）在①AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在①AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在①AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．讲解用时：5分钟解题思路：根据角的概念，结合图形，即可数出角的个数．教学建议：考查了角的有关概念的应用难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习1.1】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示【答案】D．【解析】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．教学建议：本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题2】(1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．【答案】（1）70°13′48″；(2)26.81°.【解析】解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝')601(×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝︒⎪⎭⎫ ⎝⎛601×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.讲解用时：6分钟解题思路：：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用')601(乘以36. 教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无【练习2.1】若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（ ）A ．∠A ＞∠B ＞∠C B ．∠B ＞∠A ＞∠CC ．∠A ＞∠C ＞∠BD ．∠C ＞∠A ＞∠B【答案】A ．【解析】解：∵∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°=20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．讲解用时：5分钟解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．教学建议：两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习2.2】3.76°=度分秒；22°32′24″=度．【答案】3、45、36、22.54．【解析】解：3.76°=3度45分36秒；22°32′24″=22.54度．故填3、45、36、22.54．讲解用时：5分钟解题思路：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．教学建议：进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4【答案】78°42′47′′【解析】解：原式=90°65′﹣48°88′52′′÷4=90°65′﹣12°22′13′′=78°42′47′′讲解用时：6分钟解题思路：根据度分秒的除法，从大的单位算起，余数乘以进率化成小的单位再除，可得答案．教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.1】计算：77°53′26″+33.3°=．【答案】111°11′26″．【解析】解：77°53′26″+33.3°=77°53′26″+33°18′=110°71′26″=111°11′26″．故答案为：111°11′26″．讲解用时：5分钟解题思路：先将33.3°转化为33°18′，然后度与度、分与分、秒和秒对应相加，秒的结果满60转化为分，分的结果满60转化为度．教学建议：度分秒的换算，注意以60为进制难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？【答案】28个；一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．【解析】解：7+6+5+4+3+2+1==28，一般地如果MOG小于180，且图中一共有n条射线，则小于180°的角一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．讲解用时：5分钟解题思路：先根据题意算出以O为顶点且小于180°的角一共有7+6+5+4+3+2+1=28个，然后根据第一问的解法得出一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．教学建议：考查角的大小比较，结合图找出符合条件的角，从而推出解这类问题的一般方法．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图所示，其中最大的角是，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是．【答案】∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【解析】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．讲解用时：5分钟解题思路：根据图形，结合角的概念与大小比较的方法：度量法和覆盖法，即可得出结论．教学建议：熟悉角的大小比较的两种方法：度量法和覆盖法．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题5】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【答案】C．【解析】解：A、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．故本选项叙述错误；B、∵OD是∠AOC的角平分线，∴∠AOD=∠AOC．又∵OC是∠AOB内部任意一条射线，∴∠AOC=∠EOC不一定成立．故本选项叙述错误；C、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠BOE+∠AOD=∠EOC+∠DOC=∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．故本选项叙述正确；D、∵OC是∠AOB内部任意一条射线，∴∠BOE=∠AOC不一定成立，∴∠BOE=2∠COD不一定成立．故本选项叙述错误；故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．教学建议：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是①．∠AOC=∠BOC②．∠AOB=2∠AOC③．∠AOC+∠BOC=∠AOB④．【答案】①②④．【解析】解：①、∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB，正确；②、∠AOB=2∠AOC能确定OC平分∠AOB，正确；③、∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB，错误；④、∠BOC=∠AOB，能确定OC平分∠AOB，错误．故正确答案为：①②④．讲解用时：8分钟解题思路：直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．教学建议: 正确把握角平分线的定义是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题6】已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，求∠MON 的大小【答案】20°或40°．【解析】解：∠BOC在∠AOB内部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；∠BOC在∠AOB外部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．讲解用时：10分钟解题思路：根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习6.1】已知∠AOB=70°，∠BOC=20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF=．【答案】25°或45°．【解析】解：（1）当点C在∠AOB的内部时，∠EOF=∠AOB﹣∠BOC=35°﹣10°=25°；（2）当点C在∠AOB的外部时，∠EOF=∠AOB+∠BOC=35°+10°=45°．故答案为25°或45°．讲解用时：5分钟解题思路：此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．教学建议：查角平分线的定义，重点是分类讨论．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．【答案】28°．【解析】解：设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．又OD平分∠AOC，∴∠AOD=x．∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=x﹣x=14°∴x=28°即∠AOB=28°．讲解用时：5分钟解题思路：此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．教学建议：考查角平分线的定义．此类题设恰当的未知数，根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是度．【答案】80【解析】解：如图，∵∠1=20°，∠1+∠BOC=180°，∴∠BOC=160°．又∵OD平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=80°；故填：80．讲解用时：6分钟解题思路：首先根据平角角的定义得到∠BOC=160°；然后由角平分线的定义求得∠2=∠BOC．教学建议：注意此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC=180°．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．【答案】∠AOD=120°，∠MOC=30°．【解析】解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，∴∠AOD=12x，∵OM平分∠AOD，∴∠AOM=∠AOD=6x，由题意得，6x﹣4x=20°，解得，x=10°，∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．讲解用时：8分钟解题思路：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，得到∠AOD=12x，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOD=6x，根据题意列出方程，解方程即可．教学建议：掌握设未知数求解角度的方法，可类比应用题的求解方式.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？【答案】50度【解析】解：设∠COD的度数为x，∵OD是∠COE的平分线，∴∠EOC=2∠COD=2x，∵∠BOC比∠COD的2倍还多10°，∴∠BOC=2x+10°，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，∵∠AOE=140°，∴2x+4x+20°=140°，解得x=20°，∴∠BOC=2x+10°=50°∴∠AOB是50度．讲解用时：8分钟解题思路：设∠COD的度数为x，则∠BOC=2x+10°，利用角平分线定义得到∠EOC=2∠COD=2x，∠BOC=2x+10°，再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，所以2x+4x+20°=140°，解得x=20°，然后计算2x+10°即可．教学建议:理解角平分线的定义：灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小．（1）∠AOB∠BOD；（2）∠AOE∠AOB；（3）∠BOD∠FOB；（4）∠AOB∠FOB；（5）∠DOE∠BOD．【答案】（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）=；（5）＞．【解析】解：（1）∠AOB＞∠BOD；（2）∠AOE＞∠AOB；（3）∠BOD＜∠FOB；（4）∠AOB=∠FOB；（5）∠DOE＞∠BOD．讲解用时：2分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无A BC D O 【作业2】如图，已知AOB DOC ∠=∠，56AOC ∠=︒，DOB ∠=______．【答案】56°．【解析】解：由题可知：56DOB DOC COB AOB COB AOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=． 讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无【作业3】如图所示，已知点O 在直线AB 上，∠AOE ：∠EOD=1：3，OC 是∠BOD 的平分线，∠EOC=115°，求∠AOE 和∠BOC ．【答案】①AOE=25°，①BOC=40°．【解析】解：∵∠AOE：∠EOD=1：3，∴设∠AOE=x，则∠EOD=3x，又∵∠EOC=115°，∴∠COD=115°﹣3x，∵OC是∠BOD的平分线，∴∠COB=∠COD=115°﹣3x，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，∴x+3x+2（115﹣3x）=180°，解得，x=25°，∴∠AOE=25°，∴∠BOC=115°﹣3×25°=40°．讲解用时：8分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无。

七上数学第四章知识点总结人教版摘要：一、前言二、人教版七上数学第四章的知识点概述1.几何图形初步2.点、线、面的关系3.直线、射线、线段4.角的概念及分类5.角的度量6.三角形的性质和分类7.三角形的内角和定理8.四边形的性质和分类9.平行四边形的性质10.梯形的性质11.面积的计算三、重要公式和定理四、实际应用与例题解析五、总结与展望正文：一、前言人教版七上数学第四章主要涉及几何图形的初步知识，这对于培养学生空间观念和几何直观能力具有重要意义。

本章内容较为基础，但也为后续的几何学习打下良好基础。

二、人教版七上数学第四章的知识点概述1.几何图形初步：本章从最基本的点、线、面开始，让学生了解它们之间的关系，为后续的几何学习打下基础。

2.点、线、面的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

学生需要理解并掌握这一基本关系。

3.直线、射线、线段：直线是无限延伸的，射线有一个起点，线段有两个端点。

理解它们的定义和性质有助于更好地理解几何图形。

4.角的概念及分类：角是由两条射线共同确定的图形，有锐角、直角、钝角等分类。

学生需要学会识别和分类各种角。

5.角的度量：角的大小可以用度数或弧度表示，学生需要熟练掌握角的度量方法。

6.三角形的性质和分类：三角形由三条边和三个顶点组成，根据边长和角度的不同，可以分为不等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

7.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180 度。

8.四边形的性质和分类：四边形由四条边和四个顶点组成，根据边长和角度的不同，可以分为矩形、平行四边形、菱形、梯形等。

9.平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。

10.梯形的性质：梯形有一对平行的边，另一对不平行的边。

11.面积的计算：本章介绍了三角形、平行四边形、梯形等图形的面积计算公式。

三、重要公式和定理1.三角形的面积公式：S = 1/2 * a * h，其中a 为底边长，h 为高。

2.平行四边形的面积公式：S = a * h，其中a 为底边长，h 为高。

人教版七年级数学上册第4章第3节角（1）角的概念和角的比较第三节角（一）角的概念和角的比较一. 教学内容：角的概念和角的比较二. 重点：角的表示方法﹨角的和差倍分。

三. 难点：几何语言的理解，角平分线的几何意义和书写证明过程。

四. 本讲技能要求：1. 会比较角的大小，理解角的和差概念，掌握角平分线的概念。

2. 会用直尺﹨圆规﹨刻度尺﹨三角板﹨量角器等工具画角，角的和差及角的平分线。

3.逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语句，能由这些语句准确，整洁地画出图形。

认识学过的图。

五. 知识点讲解1. 角的两种定义：一种是静态的，一种是动态的。

2. 角的表示方法：用“∠”的符号，用三个大写字母﹨以某一个角的顶点表示﹨用数字或希腊字母表示。

角的分类：角平分线：反之：【典型例题】例1. 如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来，以D为顶点的角有几个？把它们表示出来。

解：以B为顶点的角有3个，分别是∠ABD﹨∠CBD﹨∠ABC。

以D为顶点的角有4个，分别是∠ADE﹨∠EDC﹨∠CDB﹨∠BDA。

注意：（1）也可以在靠近顶点处加上弧线，标明数字或希腊字母，然后用数字或希腊字母表示。

（2）以D为顶点的角在图形中只有4个，因为除非特别注明，所说的角都是指小于平角的角，所以以D为顶点的4个平角不能算数，即不能说以D为顶点的角有8个。

例2. 已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。

其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。

数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。

公式为：2)1(nn。

同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101条，构成的角的个数为5050个。

例3. 直线AB﹨CD交于点O，且∠BOC =80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线，求：1）∠2和∠3的度数。

角的认识一、考点、热点回顾1、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

2、平角、周角和直角：平角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角．周角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时，所成的角叫做周角．直角：平角的一半叫做直角．3、角的表示A. 角的内部和外部角的内部：射线旋转时经过的平面部分是角的内部．角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部．注：角将平面分为三部分．即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点．B.角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

4、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’，1’=60”5、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。

6、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

二、经典例题例1 (1)34.37°=_____度_____分_____秒. (2)36°17′42″=_____度.(3)62.125°=_____度_____分_____秒. (4)41°18′36″=_____度.过手训练 1、(1)57.32°=_____度_____分_____秒. (2)27°14′24″=_____度.2、45°=_____直角=_____平角=____周角.3、∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.例2 如图，用字母A、B、C表示∠α、∠β.则∠α_______，∠β=_________（例3） （过手训练）过手训练 1、图中，以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来.以D 为顶点的角有几个？把它们表示出来.2、 请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：例3 小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，问小亮出发时和到家时时 针和分针的夹角分别为____________度.过手训练 时钟的时针三小时旋转的角度是_______，分针三分钟旋转的角度是_______.例4 两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？过手训练 四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的32，求这四个角.例5 如图,A 、B 两地隔着湖水,从C 地测得CA=50m,CB=60m,∠ACB=145°,用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB 的长(精确到1毫米), 再换算出A 、B 间的实际距离.过手训练 如图,∠AOB 是平角,OD 、OC 、OE 是三条射线,OD 是∠AOC 的平分线, 请你补充一个条件,使∠CAB∠ABE∠1∠2∠3DOE=90°,并说明你的理由.三、随堂训练1、如图1,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠B OC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC______∠BOC.2、如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=______-______= _____-______.3、把一根小棒OC 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为____，∠AOD 为____，∠AOE 为____，木棒转到OB 时形成的角为____.(回答钝角、锐角、直角、平角)4、 时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，由2点到7点半，时针转过的角度为______. 5、 如图4,∠1=∠2，则∠1+∠3=______.6、 已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心与两个 相邻顶点的连线，构成的角度为______. 7、 如图5,AOB 为一直线，OC 、OD 、OE 是射线，则图中大于0°小于180°的角有__________个. 8、 如果一个角的度数为n ，则它的补角为______，余角为______ 图5 9、 ∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则α、β的大小关系为α___β. 10、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ）A.30°B.60°C.45°D.150°11、如图3,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD 与∠BOC 的关系是( )A.∠AOD>∠BOCB.∠AOD<∠BOC;C.∠AOD=∠BOCD.无法确定 12、如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是( ) A.∠3>∠4 B.∠3=∠4; C.∠3<∠4 D.不确定 13、下列各角中是钝角的为（ ）A.41周角B.65平角 C.32直角D.31直角OD CAE BOC(1)AB O DC(2)AB123图414、如果角α和角β互为余角,角α与角γ互为补角,角β和角γ的和等于周角的31，那么此三个角分别为（ ）A.75°,15°,105°B.60°,30°, 120°C.50°, 30°,130°D.70°, 20°, 110° 15、如图15，图形表示的是（ ） 图15A.直线B.射线C.平角D.周角16、船的航向从正北按顺时针方向转到东南方向，它转了（ ）A.135°B.225°C.180°D.90°17 有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（ ）A.互为余角B.互为补角C.相等D.以上答案都不对19、如图19，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.图19图2020、如图20，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.四、家庭作业1、 如图1所示，能用一个字母表示的角有_______个，以A 为顶点的角有_____个，图中所有角有_____个.2、 如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分____，OC 平分______，32∠AOB =______=______.（1） （2）3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则_________=2∠AOC.4、下列说法错误的是( )ODC (3)A B 12ACDBA.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；B.角的大小与它们的度数大小是一致的；C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。

§4.3.2 角的比较与运算说课稿一、说教材一）说课内容：我说课的内容是初中数学课本七年级上册第四单元《几何图形初步》第三节。

二）教材分析《角的比较与运算》第一课时是初中数学课本七年级上册第四单元《几何图形初步》第三节，角的比较、角的和与差、角的平分线，这三个内容是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的基础。

比较两角的大小是本节知识的起点，角的和与差是问题的延伸，等分问题又是角的和与差的特殊化，这三个知识点相互之间是紧密联系的，而且与生活息息相关。

三）学情分析在前面已经学过线段的大小比较、线段的和与差，线段的中点，本节课可以采用类比的学习方法，便于理解与掌握。

这是学生的有利条件。

然而学生处于几何的启蒙阶段，如何正确的用图形语言、文字语言、符号语言综合描述所研究的对象将是他们的难处。

四）教学目标根据学生的年龄特点，认知规律及对教材的剖析与学生的分析，我确立了本课教学目标及重难点。

1、会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义，掌握角平分线的概念，培养学生归纳、分析能力。

2、学生经历“观察——对比——归纳”的学习过程，培养用数学语言描述图形的能力及类比的数学思想方法。

3、培养学生爱思考的习惯，通过对角大小的比较，使学生体会数学的形象直观美，向学生渗透团结协作的合作精神，培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识。

五）教学重难点重点：角的大小的比较方法，角平分线的定义难点：角的加减运算，角的平分线的运用六）教学具为了突出重点，突破难点，加大课堂练习密度，我采用了多媒体教学与教具。

二、说教学法教法：学生在前面学习过线段的大小比较，线段的和与差，线段的中点基础上，教师采用启发式教学，引导学生自主探索，合作交流，体会类比的数学思想。

学法：初一学生仍以形象思维能力为主，因此要充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展.三、教学流程（一）情景导入：以登山的情景导入新课，学生在选择登山路径的过程中，若考虑路径的长短，则是对线段的大小比较，若是考虑坡度的陡与缓，则是对角的大小比较。