导数与微分(教案)

微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。

解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。

1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。

通过示例解释罗尔定理的应用。

1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。

通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。

第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。

解释导数与函数单调性的关系。

通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。

2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。

解释导数与函数极值的关系。

通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。

2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。

解释导数与函数凹凸性的关系。

通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。

第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。

通过示例解释洛必达法则的应用。

3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。

通过示例解释泰勒公式的应用。

3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。

第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。

解释如何利用导数进行边际分析。

通过示例说明导数在边际分析中的应用。

4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。

解释如何利用导数解决优化问题。

通过示例说明导数在优化问题中的应用。

第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。

解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。

5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。

指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。

5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。

进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。

第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。

展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。

通过实例演示导数与切线的关系。

第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。

微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。

本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。

§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。

一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。

如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。

这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。

斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。

如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。

显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。

当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。

数学导数与微分的应用教案主题：数学导数与微分的应用引言：数学的导数与微分是非常重要的概念，在实际生活中存在着广泛的应用。

本教案将通过几个充满趣味的实例，介绍导数与微分在生活中的应用，并通过一些练习题，帮助学生更好地掌握这些概念。

1. 缓解交通拥堵的方案（800字）在城市中，交通拥堵是一个普遍存在的问题。

那么，如何通过数学的导数和微分概念来缓解交通拥堵呢？让我们通过具体的例子来展开讨论。

2. 金融投资中的应用（600字）在金融投资中，通过导数和微分的概念，我们可以更好地理解收益率和风险之间的关系，并做出更明智的投资决策。

让我们通过实际案例来解释这个概念。

3. 生态系统中的物种数量变化（600字）在生态学中，研究生态系统的物种数量变化是非常重要的。

通过导数和微分的概念，我们可以建立物种数量与时间的数学模型，了解物种数量的波动规律，并提出保护生物多样性的措施。

4. 电子设备中的电池寿命（600字）在现代生活中，电子设备已经成为我们生活中的重要组成部分。

如何延长电池的寿命是一个需要解决的问题。

通过导数和微分的知识，我们可以建立电池寿命与使用时间之间的数学模型，以提供更好的电池管理策略。

5. 彩票中的概率计算（600字）彩票是许多人都参与的游戏。

我们可以通过导数和微分的概念，来计算不同类型彩票中获奖的概率，并分析不同投注方式的胜率，以帮助人们制定更有效的投注策略。

6. 最佳路径规划（600字）在日常生活中，我们经常需要选择最佳路径来节省旅行时间。

通过导数和微分的概念，我们可以根据道路的变化率计算不同路径的最佳选择，并为人们提供最佳的导航方案。

结论：通过本教案的学习，我们了解了导数与微分的应用在现实生活中的重要性。

无论是在交通、金融、生态学、电子设备还是彩票等领域，导数与微分都起着关键的作用。

通过运用导数与微分的知识，我们可以更好地理解和解决各种问题。

因此，学习导数与微分不仅是学习数学的基础，也是培养学生综合应用知识解决实际问题能力的重要一环。

高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。

它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。

本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。

二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。

对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。

偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。

具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。

2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。

考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。

对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。

大学数学分析方法教案大学数学分析方法教学内容：第一部分：函数与极限1.函数的概念及性质定义函数，函数的分类，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

2.数列极限数列的概念，数列极限的定义，极限存在判定定理。

3.函数极限函数极限的定义，函数极限的性质，极限存在判定定理。

4.连续性函数的连续性概念，连续函数性质，间断点。

第二部分：导数与微分1.导数概念导数的定义，导数的性质，导数的几何意义。

2.微分学基本公式微分的概念，微分学基本公式，微分中值定理。

3.导数的应用导数的物理意义，最大值与最小值，曲率与余曲率，泰勒公式。

第三部分：积分与反演定理1.定积分定积分的定义，定积分的性质，定积分计算。

2.不定积分不定积分的定义，常见函数的不定积分，积分表。

3.反演定理反演定理的概念，拉普拉斯反演定理，傅里叶反演定理。

第四部分：多元函数微积分1.多元函数的导数多元函数的偏导数，多元函数的全导数，多元函数的导数和微分。

2.重积分二重积分的定义，性质，计算方法；三重积分的定义，性质，计算方法。

3.曲线积分和曲面积分第一类曲线积分的定义，计算方法；第二类曲线积分的定义，计算方法；曲面积分的定义，计算方法。

教学方法：本课程的授课方式采用理论与实践相结合的教学法，注重讲明概念、定理与公式，并通过数学应用实例深入阐述其具体的计算方法，以便学生真正理解学习到的知识。

在课程的教学中，特别注重实战操作，为学生提供大量实验、计算及解题实例，增强学习者的实践能力，使学生能够更好地理解抽象的数学原理与方法，并能将其灵活应用于实际中去。

总结：通过本课程学习，学生将掌握数学分析基本概念、优化方法及其计算应用等全面而深入的知识体系，加深对数学的理解，并提升数学分析能力，为其今后的求学、研究及实践积累了更深入的理论基础和实践技能。

《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。

=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。

dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。

通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。

d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。

dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。

解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。

解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。

《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。

《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。

三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。

2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。

3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。

五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。

在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。

同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。

希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。

但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。

高中数学备课教案三角函数的导数与微分链式法则高中数学备课教案：三角函数的导数与微分链式法则导入部分：在高中数学教学中，三角函数是一个重要的内容。

掌握三角函数的导数与微分链式法则是进一步理解和应用三角函数的基础。

本节课将从导数的定义出发，介绍三角函数的导数与微分链式法则的概念和计算方法，通过具体的例题让学生熟练掌握这一知识点。

一、导数的定义回顾导数描述了函数在某一点上的变化率。

回顾导数的定义，对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]二、三角函数的导数1. 正弦函数的导数令y = sin(x)，根据导数的定义，我们可以计算出正弦函数的导数：f'(x) = lim(h→0) [(sin(x+h) - sin(x))/h]2. 余弦函数的导数令y = cos(x)，类似地，我们可以计算出余弦函数的导数：f'(x) = lim(h→0) [(cos(x+h) - cos(x))/h]3. 常见三角函数导数的公式总结根据以上的计算，我们可以总结出常见三角函数的导数公式：- 正弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)- 余弦函数的导数：d(cos(x))/dx = -sin(x)- 正切函数的导数：d(tan(x))/dx = sec^2(x)- 针对其他三角函数的导数的计算方法，可以利用这些公式和导数的运算法则进行推导。

三、微分链式法则对于复合函数的导数计算，我们需要使用微分链式法则。

设有函数y=f(u)，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)四、三角函数的微分链式法则应用通过微分链式法则，我们可以计算一些特定形式的三角函数的导数，例如：1. 导数为正弦函数的复合函数：设y = sin(3x)，则dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (d(sin(u))/du) *(d(3x)/dx) = 3cos(3x)2. 导数为余弦函数的复合函数：设y = cos(2x)，则dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (d(cos(u))/du) *(d(2x)/dx) = -2sin(2x)五、综合应用通过以上的内容介绍和计算，我们可以应用导数和微分链式法则解决一些数学问题。

微分中值定理与导数的应用教案一、微分中值定理的教学目标1.了解微分中值定理的概念和基本原理。

2.理解微分中值定理的几何意义。

3.掌握应用微分中值定理求导数、判定函数增减性质、研究函数的极值等具体问题。

二、教学重点1.微分中值定理的概念和基本原理。

2.应用微分中值定理解决具体问题。

三、教学难点1.掌握微分中值定理的应用技巧。

2.理解微分中值定理的几何意义。

四、教学过程步骤内容时间分配1导入与导入过程（5分钟）航行导师进入核心概念与重新提醒学生已经具备的数学相关知识，必要的时候通过问题引入概念。

2概念讲解（10分钟）导师介绍微分中值定理的概念和基本原理，并举例说明定理的几何意义。

3教学实例分析（10分钟）导师通过一些典型的例子，引导学生掌握应用微分中值定理求导数、判定函数增减性质、研究函数的极值的方法。

4学生练习（15分钟）学生独立完成一些练习题，巩固和运用所学知识。

6总结与归纳（5分钟）导师总结本节课所学内容和方法，并展望下一节课的内容。

7课后作业（5分钟）导师布置相应的课后习题，要求学生学以致用。

8课堂反馈（5分钟）学生对本节课的知识掌握情况与导师互动，导师对学生的问题进行回答与点评。

五、教学资源1.教科书。

2.笔记本电脑或投影仪。

3.白板和彩色笔。

六、教学评价方式1.课堂练习。

2.课后作业。

七、教学前准备1.备好教学课件及活动设计，确保教案连贯。

2.熟悉微分中值定理的相关知识，准备相应的练习题。

3.提前准备好课件所需的教学资源，并检查电脑和投影仪的工作状态。

八、教学延伸微分中值定理是微分学中一个非常重要的定理，可以用来解决许多实际问题。

在教学中，可以通过举一些和实际生活相关的例子来引导学生理解微分中值定理的几何意义和应用方法。

为了加深学生对微分中值定理的理解和应用能力，可以设计一些探究性的问题，让学生自己发现和解决问题。

同时，还可以引导学生运用微分中值定理解决一些更复杂的问题，如函数的极值、函数图像的性质等。

§5 微 分[教学目的] （1）准确掌握微分的概念，明确其几何意义,能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。

（2)弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算.（3）能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题.［教学要求］(1）清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。

（2)明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数.会应用微分的实际意义解决某些计算问题。

［教学重点］ 微分的定义、计算、可导与可微的关系[教学难点] 运用微分的意义解决实际问题一、微分的概念1．引言先考察一个具体的问题，推得一般情形。

2．微分的定义定义1 函数y=f(x)定义在点0x 的某邻域0()u x 内。

当给0x 一个增量x ∆，00()x x U x +∆∈时，相应地得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-。

如果存在常数A ，使得y ∆能有()y A x o x ∆=∆+∆ (1)则称函数f 在点0x 可微，并称(1）中右端第一项A x ∆为f 在点0x 的微分，记作：0x x dy A x ==∆ or 0()x x df x A x ==∆定义2 若y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作()dy A x x =∆ x I ∈注 （1)dy 依赖于x 和x ∆，但x 与x ∆无关；（2）可微与可导的关系见下面的定理。

定理1 函数f 在点0x 可微⇔f 在点0x 可导，而且0()A f x '=.（3）当函数为y=x ，一方面dy dx =,另一方面dy A x x =∆=∆，因此我们可得微分dy A x =∆,以后记作：dy Adx =;（4）对可导函数y ＝f(x),其微分为()dy A x Adx f x dx '=∆==.例：()()x x x d e e dx e dx '==；22()()2d x x dx xdx '==；(sin )(sin )cos d x x dx xdx '==（5）对可导函数y=f(x)，有()dy f x dx '=，从而有()dy f x dx'=，即函数的导数是函数微分与自变量微分的商（导数即微商）。

第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。

教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

微分中值定理与导数的应用教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。

2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。

3. 掌握导数的基本性质和运算方法。

4. 能够运用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题。

二、教学内容1. 微分中值定理：洛必达定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

2. 导数的应用：函数的单调性、极值和最值问题。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念和运用方法。

2. 利用案例分析法，分析实际问题中的导数应用。

3. 借助图形演示法，直观展示函数的单调性、极值和最值等问题。

四、教学准备1. 教案、PPT课件。

2. 相关案例资料。

3. 图形演示软件。

五、教学过程1. 导入：回顾导数的基本概念，引导学生思考导数在实际问题中的应用。

2. 微分中值定理讲解：a. 介绍洛必达定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和条件。

b. 通过例题讲解定理的应用方法和步骤。

3. 导数的应用讲解：a. 介绍函数的单调性及其判断方法。

b. 讲解如何利用导数求函数的极值和最值。

c. 通过案例分析，让学生掌握导数在实际问题中的应用。

4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调微分中值定理和导数在实际问题中的应用。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学案例分析1. 案例一：物体运动的速度与时间的关系分析：物体在某段时间内的平均速度等于这段时间内的瞬时速度。

解答：利用微分中值定理，求出物体在某一瞬间的瞬时速度，进而分析物体的运动状态。

2. 案例二：商品价格的变动与需求量的关系分析：商品价格的变动会影响需求量，需求量与价格之间存在某种关系。

解答：利用导数研究商品价格的单调性，从而分析需求量的变化趋势。

七、课堂互动与讨论1. 问题一：如何理解微分中值定理的意义？解答：微分中值定理揭示了函数在某一点的导数与函数在该点的值之间的关系，为我们研究函数的性质提供了重要依据。