七年级下册数学 三角形和不等式的复习 知识点讲解【精编】

七年级下册数学三角形知识点归纳（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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七年级l下册数学不等式知识点七年级下册数学不等式知识点在初中数学中，不等式是一个重要的数学概念，也是数学竞赛和数学考试的重要内容之一。

在七年级下册数学课程中，学生们将开始学习不等式的基本概念、性质及应用。

本文将针对七年级下册数学不等式知识点进行详细讲解。

不等式的定义不等式是一种数学关系，它表示两个数的大小关系不同于相等。

以数学符号来表示，我们可以用“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等符号。

例如，对于两个实数a和b，如果a小于b，则我们可以用a<b表示。

同理，如果a小于等于b，则我们可以用a≤b表示。

不等式的基本性质不等式有许多基本性质，其中最基本的是不等式的传递性。

也就是说，如果a<b且b<c，则a<c。

这可以通过图像进行理解，如下图所示：除了传递性外，还有许多其他的不等式性质，比如以下几点：1. 两个不等式的加法或减法可以得到一个新的不等式。

例如，如果a<b且c<d，则a+c<b+d。

2. 两个不等式的乘法可以得到一个新的不等式，但要注意乘法时需要将不等式的符号进行变化。

例如，如果a<b且c>d，则a·c<b·d，且a·d<b·c。

3. 不等式的两侧都可以加上或减去同一个数，而不改变不等式的符号。

例如，如果a<b，则a+c<b+c。

4. 不等式的两侧都可以乘以或除以同一个正数，而不改变不等式的符号。

例如，如果a<b，则a·c<b·c，且a/c<b/c。

不等式的应用场景在实际生活和数学问题中，不等式得到广泛的应用。

以下是几个简单的例子：1. 购物打折：假设一件衣服原价100元，现在打7折，那么衣服的价格就是70元以下。

2. 不等式的求解：如果给你一个不等式a+b>5，你需要根据这个不等式找到a和b的取值范围。

七下第三章三角形（知识点）一、知识要点：1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素8．两个三角形全等的条件（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理9、判定三角形全等方法的选择：10、一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

七年级下册不等式知识点在七年级下学期，数学课程涉及了很多关于不等式的知识点。

以下是关于这个主题的一些重要内容。

一、符号当我们谈论不等式时，我们经常使用以下符号：1. 大于号（>）这个符号表示左边的值大于右边的值。

例如：5 > 3这个不等式确定了5比3大。

我们可以在数轴上用箭头表示这个不等式。

2. 小于号（<）这个符号表示左边的值小于右边的值。

例如：3 < 5这个不等式确定了3比5小。

我们可以在数轴上用箭头表示这个不等式。

3. 大于等于号（≥）这个符号表示左边的值大于或等于右边的值。

例如：5 ≥ 5这个不等式确定了5大于或等于5。

我们可以在数轴上用箭头表示这个不等式。

4. 小于等于号（≤）这个符号表示左边的值小于或等于右边的值。

例如：3 ≤ 5这个不等式确定了3小于或等于5。

我们可以在数轴上用箭头表示这个不等式。

二、算法1. 加减法如果我们在不等式的两边都加上一个相同的数字，这个不等式仍然成立。

例如：如果a>4，那么a+2>6我们可以将4+2写成6，并将结果放到不等式的右边。

2. 乘除法如果我们使用相同的数字（除了0）乘或除不等式的两边，这个不等式仍然成立。

例如：如果a>4，那么2a>8如果b<6，那么3b<18我们可以使用相同的数字2来乘上a，使用相同的数字3来乘上b。

需要记住，如果我们使用一个负数乘或除一个不等式的两边，那么这个不等式的符号将会改变。

例如：如果a>4，那么-2a<-8如果b<6，那么-3b>-18我们可以使用负数-2来乘上a，使用负数-3来乘上b。

这会导致符号发生变化。

三、绘制数轴在学习不等式时，我们可以使用数轴。

数轴是一条线，它可以帮助我们可视化不等式。

数轴的一边代表较小的数，另一边代表较大的数。

例如，考虑这个不等式：x > 3。

我们可以绘制一个以3为起点的数轴，并将符号在数轴上表示出来。

初一数学下册不等式知识点归纳初一数学下册的知识点有很多，其中相交线与平行线、二元一次方程组是重点。

相交线对顶角成正比。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

相连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最长（直观看成：垂线段最长）。

平行线经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

1、直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所封盖，如果内错角成正比，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

2、平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所封盖，内错角成正比。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

二元一次方程组方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起，就共同组成了一个二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个方程的公共求解，叫作二元一次方程组的求解。

消元将未知数的个数由多化少、逐一化解的'见解，叫作消元思想。

不等式用小于号或大于号则表示大小关系的式子，叫作不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能够并使不等式设立的x的值域范围，叫作不等式的求解的子集，缩写边值问题。

不等式的性质不等式两边提(或减至)同一个数(或式子)，不等号的方向维持不变。

不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式两边乘坐(或除以)同一个负数，不等号的方向发生改变。

不等式七年级下册知识点七年级下册数学课程重点知识点之一是不等式。

本文将介绍不等式的基本概念、性质和解不等式的方法。

一、基本概念1. 不等式的定义不等式是用于表示两个数之间大小关系的数学式子。

例如：a > b，a < b，a ≥ b，a ≤ b等均为不等式。

2. 不等式的符号不等式中常见的符号有“<” (小于)，“>” (大于)，“≤” (小于等于)，“≥” (大于等于)。

例如：a < b，表示 a 小于 b；a > b 表示 a 大于 b；a ≤b 表示 a 小于或等于 b；a ≥ b 表示 a 大于或等于 b。

3. 不等式的解解不等式指确定不等式中未知数的取值范围，使不等式成立。

解不等式时需要注意不等式符号的反向变换。

二、基本性质1. 等价性质如果在一个不等式的两边同时加（减）同一个数，不等式的方向不变。

例如：若 a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c。

2. 反比例性质如果在一个不等式的两边同时乘（除）同一个正数（负数），不等式的方向不变。

例如：若 a > b，则 ac > bc 当 c > 0，ac < bc 当 c < 0。

3. 基本不等式a²≥0。

三、解不等式的方法1. 用加减法解不等式例如：3x + 5 > 8，把不等式两边同时减 5，得到 3x > 3。

再把不等式两边同时除以 3，得到 x > 1。

2. 用乘法解不等式例如：-2x + 5 < 11，把不等式两边同时减 5，得到 -2x < 6。

再把不等式两边同时乘以 -1，且要注意不等式方向变化，得到 2x > -6。

再将方程两边同时除以 2，得到 x > -3。

3. 用不等式的性质解不等式例如：-2x + 5 < 11，把不等式两边同时减 5，得到 -2x < 6。

七年级下册三角形知识点三角形是平面几何中研究的重点和核心概念之一。

在初中阶段，学生也会对三角形进行详细学习，并涉及到一些重要的知识点。

下面，本文将介绍七年级下册的三角形知识点，并做详细阐述。

一、基础知识点1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段都能够连接起来，形成一个角。

2. 分类：按照内角和边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

3. 性质：三角形有许多特殊的性质，如角内平分线相交于一点、三角形内部角度的和等于180度、等边三角形的三角角度都为60度等重要性质，这些性质是我们学习和理解三角形的基础。

二、三角形的周长和面积1. 周长：三角形的周长是三边长度之和，即C=a+b+c。

2. 面积：三角形的面积大小可以用海龙公式（即：S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))，其中p=(a+b+c)/2）进行求解，也可以用底边高公式（即：S=1/2*b*h）进行求解。

三、等腰三角形和直角三角形1. 等腰三角形：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，它的第三边被称为底边，底边上的高线被称为高。

等腰三角形有许多重要的性质，如：等腰三角形的高线、中线和角平分线重合、等腰三角形的底角和顶角相等等。

2. 直角三角形：直角三角形是指一个角为90度的三角形。

它的斜边被称为斜边，两条直角边被称为直角边。

直角三角形中，直角边上的高被称为垂线，可以用勾股定理（即：a²+b²=c²）进行计算斜边长度，还可以用正弦定理、余弦定理进行计算。

四、相似三角形1. 定义：相似三角形是指具有相同形状（角度相等）、但是大小不同的三角形。

2. 判定：判断两个三角形是否相似，可以根据它们的角度相等或者它们的对应边成比例判断（即：A1/A2=B1/B2=C1/C2）。

3. 性质：相似三角形也有一些重要性质，如对应角相等、对应线段成比例等。

七年级数学三角形的知识点数学是一门重要的学科，而三角形则是数学中比较基础的图形之一。

在七年级数学学习中，要熟悉掌握三角形的相关知识点。

下面，将从三角形的定义、分类、性质、判定以及常用公式等方面介绍七年级数学三角形的知识点。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。

三个角的顶点称为三角形的顶点，由三角形的三个顶点所组成的角称为三角形的角。

二、三角形的分类1.按角度分类①锐角三角形：三个角的大小均小于90度②直角三角形：一个角的大小为90度③钝角三角形：一个角的大小大于90度2.按边分类①等边三角形：三条边的长度均相等②等腰三角形：两条边的长度相等③普通三角形：边长和角度均不相等三、三角形的性质1.三角形内角和定理。

三角形内部的所有角的度数之和为180度。

2.三角形外角定理。

以三角形的一个角为顶点，作它的一条边的反向延长线，使其与另一条边相交，被延长线所夹的角叫做三角形的外角。

三角形的每个外角的度数等于没有这个角的三角形的两个内角的度数之和。

3.三角形的边长关系。

在任意三角形中，最长的那一边对应的角度最大；反之，最短的那一边对应的角度最小；如果两边长相等，那么对应的角度也相等。

四、三角形的判定1.三边判定法。

三角形的三边长度已知，可以利用三边关系来确定是否能够构成三角形。

2.两边及夹角判定法。

如果两条边及夹角的大小已知，那么可以利用正弦定理、余弦定理等公式来确定是否能够构成三角形。

3.两角及夹边判定法。

如果两个角度及夹边的大小已知，那么可以利用正弦定理、余弦定理等公式来确定是否能够构成三角形。

五、三角形的常用公式1.海伦公式。

海伦公式是计算三角形面积的一种公式，它的形式为：S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中a、b、c分别为三角形的三边长，p=（a+b+c）/2。

2.正弦定理。

对于任意三角形ABC，它的三边长度为a、b和c，且对应的角分别为A、B和C，则下式成立：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆半径）。

第九章 不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点 (一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号(“＜”“＞"“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式,用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括: ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解:使不等式左右两边成立的未知数的值,叫做不等式的解。

3、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）.4、解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式.5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画,小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

(二、）不等式的基本性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321不等式性质1:不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果b a >,那么c b c a ±>±;如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为: 如果0,>>c b a ,那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <（或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 负数 ,的方向 改变 .用字母表示为： 如果0,<>c b a ,那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >（或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式.(注：①传递性：若a ＞b ，b ＞c ,则a ＞c 。

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

专题03 三角形知识网络重难突破知识点一三角形的有关概念及分类1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．边组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a，b，c或BC，CA，AB．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形的记法三角形用符号“V”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作ABCV，读作“三角形ABC”．2、三角形的分类（1）按角分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．（2）按边分类注意：①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.典例1（2019春•东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为3:4:11，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为3x︒，4x︒，11x︒，则3411180++=，x x x解得：10x=，∴这个三角形三个内角度数依次为30︒，40︒，110︒，则这个三角形是钝角三角形，故选：D ． 典例2（2019春•徐州期中）ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解答】解：Q 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．知识点二 三角形的三边关系（1）对于任意的ABC V ，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设B 、C 为定点），由“两点之间，线段最短”可得：b c a +>．同理可得：a b c +>，a c b +>．即：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边． 理论依据：两点之间，线段最短. （2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围； ②判断三条线段能否组成三角形.注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.典例1（2019春•泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cmD ．13cm ，12cm ，20cm【解答】解：A 、348+<，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B 、8715+=，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C 、5511+<，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D 、121320+>，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D ．典例2（2019春•新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm 、3cm 、4cm ；2cm 、4cm 、5cm ；3cm 、4cm 、5cm 共3个．故选：C ．典例3（2019春•常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，x ，则x 不可能是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：5454x -<<+，即19x <<，则x 的不可能的值是9，故选D ．知识点三三角形的高、中线与角平分线名称图形定义几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为AD是ABCV的高（已知），所以AD BC⊥于点D （或90ADC ADB∠∠︒==）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为AD是ABCV的角平分线（已知），所以1122BAC∠∠∠==三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为AD为ABCV的中线（已知），所以12BD DC BC==（或22BC BD DC==）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．（2019春•相城区期中）在ABC∆中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，BE为AC边上的高．故选：D．典例2（2019春•盐城市东台市期中）下列说法中错误的是()A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180︒C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角【解答】解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．（2019春•徐州期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠． （1）若70C ∠=︒，30B ∠=︒求DAE ∠的度数； （2）若20C B ∠-∠=︒，则DAE ∠= ︒．【解答】解：（1）如图，Q 在ABC ∆中70C ∠=︒，30B ∠=︒，180180703080BAC C B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE Q 平分BAC ∠，11804022CAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒；AD BC ⊥Q ，70C ∠=︒，90907020CAD C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，40CAE ∠=︒Q ，402020DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图，AE Q 平分BAC ∠，1(180)2CAE C B ∴∠=︒-∠-∠，AD BC ⊥Q ，90CAD C ∴∠=︒-∠，11(90)(180)()1022DAE CAD CAE C C B C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠=∠-∠=︒．故答案为：10．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( ) A ．4cm 、7cm 、3cm B ．7cm 、3cm 、8cmC ．5cm 、6cm 、7cmD ．2cm 、4cm 、5cm【解答】解：A 、437+=，不能组成三角形，故本选项正确；B 、738+>，能组成三角形，故本选项错误；C 、567+>，能组成三角形，故本选项错误；D 、425+>，能组成三角形，故本选项错误．故选：A ．2．图中三角形的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：图中是三角形的有：ABC ∆、ADE ∆、BDF ∆、DEF ∆、CEF ∆共5个． 故选：A ．3．（2019春•邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，1a -，4，那么a 的取值范围是( ) A ．15a <<B ．26a <<C ．37a <<D ．46a <<【解答】解：依题意得：42142a -<-<+， 即：216a <-<， 37a ∴<<．故选：C ． 4．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误． ②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确． ③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误． ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确， 故选：B ．5．如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =，则(AD = )A ．5B ．6C ．8D ．4【解答】解：Q 如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =， 152AD BD AB ∴===． 故选：A ．6．如图所示，ABC ∆中AC 边上的高线是( )A ．线段DAB ．线段BAC ．线段BCD ．线段BD【解答】解：由图可得，ABC ∆中AC 边上的高线是BD ， 故选：D ．7．（2019春•东台市校级月考）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点O 在AD 上，且OE BC ⊥于点E ，60BAC ∠=︒，80C ∠=︒，则EOD ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．10︒D ．15︒【解答】解：60BAC ∠=︒Q ，80C ∠=︒， 40B ∴∠=︒．又AD Q 是BAC ∠的角平分线， 1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，70ADE ∴∠=︒，又OE BC ⊥Q ， 20EOD ∴∠=︒．故选：A ．8．如图，ABC ∆中，12∠=∠，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ⊥于H ，下列判断，其中正确的个数是( ) ①BG 是ABD ∆中边AD 上的中线；②AD 既是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，也是ABE ∆中BAE ∠的角平分线； ③CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD ∆边AD 上的中线，故正确；②因为12∠=∠，所以AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，AG 是ABE ∆中BAE ∠的角平分线，故错误； ③因为CF AD ⊥于H ，所以CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线，故正确． 故选：C ．二、填空题（共3小题）9．（2019春•东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，Q，771415+=<∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，能组成三角形，周长7151537=++=，综上所述，它的周长是37．故答案为：37．10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是1cm和3cm，则第三条边长_____cm．【解答】解：Q两条边长分别是1cm和3cm，<，∴第三边的取值范围是2<第三边4Q三边均为整数，∴第三边的长为3cm，故答案为：3．11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为．【解答】解：设第三边长为a，则3131-<<+，a即24<<，aQ是整数，a∴=．a3故答案为：3．三、解答题（共3小题）12．（2019春•大丰区期中）如图，在ABC∆中，点D在BC上，且BAD CAD∠=∠，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【解答】解：AD是ABC∆的角平分线；∆的角平分线，AF是ABEBE是ABC∆的中线，DE是ADC∆的中线．13．（2018秋•丹阳市期中）如图，ABC∆中，90∆的高、中线、角ACB∠=︒，CD、CE、CF分别是ABC平分线．求证：12∠=∠．【解答】证明：CFQ是ACB∠的平分线，∴∠=∠．ACF BCF∠=︒，CD ABACBQ，90⊥∴∠=∠（同角的余角相等）．ACD BCEQ是AB边上的中线，∴=，BE CE∴∠=∠（等边对等角），BCE B1ACF ACD ACF B∴∠=∠-∠=∠-∠，∠=∠-∠=∠-∠，2BCF BCE ACF B∴∠=∠．1214．如图，ABC∆中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB AC BP CP+>+．【解答】证明：在ABD+>，∆中，AB AD BD 在PDC+>，∆中，CD PD PCAB AD CD PD BD PC∴+++>+∴+>+．AB AC BP CP。

七年级数学下不等式知识点不等式是一个数值或者代数表达式和一个不等关系符号组成的式子。

在数学中，不等式同等重要于等式。

在七年级学习的数学中，不等式是一个重要的知识点。

本文将会详细介绍七年级下学期数学中的不等式知识点。

一、不等式的意义不等式是数与数之间的大小关系的一种表示方式。

例如，a > b 表达了a比b大的关系，a < b表达了a比b小的关系，a ≥ b表达了a大于等于b的关系，a ≤ b表达了a小于等于b的关系。

二、不等式的基本性质1. 对于任何实数a、b和c，都有以下基本的不等式性质：（1）加减性质：如果a > b，则a + c > b + c (c为任意实数)；如果a < b，则a + c < b + c （c为任意实数）。

（2）乘除性质：如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；如果a > b 且c < 0，则ac < bc。

（3）绝对值的性质：如果a > b，则|a| > |b|。

2. 简单的破折号法则。

例如：（1）1 < x < 2，表示x在1到2之间。

（2）x > 3 或 x < -2，表示x大于3或x小于-2。

三、不等式的解不等式问题的解决很大程度上依赖于不等式的基本性质。

解不等式的方法有以下几种：1. 图像法：把不等式表示成一个数轴上的图像，确定图像的范围，根据图像找出不等式的解。

2. 试数法：在不等式两边插入相同数量的数进行比较，根据比较结果调整不等式的范围，直到找出不等式的解为止。

3. 分类讨论法：由前面的性质可知，不等式具有很好的可加性和可减性，这时可以根据“大于”或“小于”进行分类，找到不等式的解。

四、常见的不等式1. 一元一次不等式一元一次不等式的形式是ax + b > c（或ax + b < c），x ∈ R。

例如：2x + 1 > 5，需要求解x的取值范围，使得不等式成立。

七年级下学期不等式知识点在数学中，不等式是指两个数之间的大小关系，通常表示为一个小于号“<”，一个大于号“>”或者一个小于等于号“≤”，一个大于等于号“≥”。

在七年级下学期的数学课程中，我们开始学习不等式的知识点，下面就为大家详细介绍一下。

一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种重要的表达方式，我们要理解不等式的三个基本要素：关系符、不等式左侧和右侧的内容。

1. 关系符：小于号“<”表示小于关系；大于号“>”表示大于关系；小于等于号“≤”表示小于等于关系；大于等于号“≥”表示大于等于关系。

2. 左侧和右侧的内容：不等式中左侧和右侧的内容可以是变量、常数或者数学表达式，一般用字母表示未知数。

3. 不等式的解集：不等式所表示的是不等量之间的大小关系，解集就是符合不等式中所表示大小关系的数值的集合。

二、不等式的基本性质不同的不等式可以具有不同的性质，下面就为大家介绍一下常见的不等式性质。

1. 加减性：不等式两侧都加上（或减去）同一个数，不等式的大小关系不变。

2. 乘除性：不等式两侧都乘以（或除以）同一个正数，不等式的大小关系不变；不等式两侧都乘以（或除以）同一个负数，不等式的大小关系会发生变化。

3. 转化性：小于号“<”可以通过除以一个正数或乘以一个负数转变成大于号“>”；大于号“>”可以通过除以一个正数或乘以一个负数转变成小于号“<”。

三、线性不等式线性不等式是指变量的最高次数为1的不等式，常见形式为ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0。

我们可以采用逆向思维，将不等式中的未知数x当作变形系数，将不等式转化为等式。

解线性不等式的时候，需要将不等式转化为等式，求出等号两侧x的解，再按照不等式的大小关系，得出最终的解集。

四、一元二次不等式一元二次不等式是指变量的最高次数为2的不等式，常见形式为ax²+bx+c>0、ax²+bx+c<0、ax²+bx+c≥0、ax²+bx+c≤0。

初一下三角形知识点总结嘿，同学们！咱们一起来瞅瞅初一下三角形的那些事儿。

三角形，这可是个有趣的家伙！它就像咱们生活中的稳定结构，比如那坚固的三脚架，不管怎么摆弄，都稳稳当当。

先说三角形的定义吧，简单说，就是由三条线段首尾顺次相接组成的图形。

这多直观呀！就像三个好朋友手拉手，谁也不松开。

三角形的边可有讲究啦！两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

这就好比你去跑步，跑的路程长的那两段加起来，肯定得比短的那段长，不然怎么能跑过去呢？要是两边之和还没第三边长，那能围成三角形吗？这不是闹笑话嘛！再说说三角形的内角。

三角形内角和是 180 度，这可是个铁律！不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，内角和都不变。

这就好像一个家庭，不管成员性格咋样，家庭成员的总数可不会变。

直角三角形中，还有个特别重要的东西，那就是勾股定理。

a² + b²= c²，这就像一个神秘的密码，能帮咱们算出直角三角形的边长。

你想想，要是没有这个定理，咱们得多头疼啊！三角形的外角也不能忽视。

外角等于不相邻的两个内角之和。

这就好像你在外面玩，遇到的新朋友的特点，可能就是家里两个小伙伴特点的组合。

三角形的分类也挺有意思。

按角分，有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

按边分，有等腰三角形和等边三角形。

这就像水果分类，有苹果、香蕉、橙子，还能分成果皮薄的、果肉多的。

学习三角形的知识，就像在搭建一座知识的大厦。

每一个知识点都是一块坚固的砖头，只有把它们都掌握好了，这座大厦才能稳稳当当。

所以呀，同学们，可别小看三角形的这些知识，它们在数学的世界里可重要着呢！咱们得把它们牢牢掌握，让自己的数学大厦越来越坚固，越来越高大！。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

三角不等式的数学知识点关于三角不等式的数学知识点数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是店铺收集整理的关于三角不等式的数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

三角不等式要领：在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。

三角不等式三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD 小于AB+CD。

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式。

加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的'三角不等式(其中a，b分别为向量a和向量b)将三角函数的性质融入不等式.如:当X在(0,90*)时,有sinx等式成立的条件：|a|-|b| = |a+b| = |a|+|b|左边等式成立的条件：ab≤0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≥0|a|-|b| = |a-b| = |a|+|b|左边等式成立的条件：ab≥0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≤0和差化积sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]知识总结：三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。

【关于三角不等式的数学知识点】。

七年级下册三角形知识点归纳总结在七年级下册的学习中，我们学习了关于三角形的知识。

三角形是几何学中最基本的图形之一，掌握其性质和特点对于我们理解几何知识和解题非常重要。

在本文中，我将对七年级下册三角形的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地掌握这些知识。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。

根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将其分为以下几类：1. 根据边长分类：(1) 等边三角形：三条边的长度都相等。

(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。

(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2. 根据角度分类：(1) 钝角三角形：一个内角大于90度。

(2) 直角三角形：一个内角等于90度。

(3) 锐角三角形：所有内角都小于90度。

二、三角形的性质1. 内角和性质：三角形的内角和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 外角性质：三角形的外角等于其对应内角的补角。

即∠D = 180° - ∠A。

3. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都是60度。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两个角度相等，其余两边相等。

5. 直角三角形的性质：直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边上其他两条线段的平方和。

三、三角形的重要定理1. 三角形的三条中线相交于一个点，并且这个点距离三角形的顶点等于中线长的2/3。

2. 三角形的三个角平分线相交于一个点，这个点到三角形的顶点距离等于角平分线长的比例。

3. 三角形的三条高相交于一个点，这个点到三角形三个顶点的距离分别等于高的比例。

四、三角形的计算问题1. 三角形的周长：三角形的周长等于三条边长之和。

2. 三角形的面积：(1) 根据底边和高计算：三角形的面积等于底边乘以高再除以2。

(2) 根据两边和夹角计算：三角形的面积等于两边的乘积再乘以夹角的正弦值的一半。

3. 判断三角形是否相似：(1) AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，则它们相似。

七年级数学下册第五章《三⾓形》知识点总结七年级数学下册第五章《三⾓形》知识点总结考点⼀、三⾓形１、三⾓形的三边关系定理及推论（1)三⾓形三边关系定理：三⾓形的两边之和⼤于第三边。

推论：三⾓形的两边之差⼩于第三边。

2、三⾓形的内⾓和定理及推论三⾓形的内⾓和定理:三⾓形三个内⾓和等于180°。

推论：①直⾓三⾓形的两个锐⾓互余。

②三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的来两个内⾓的和。

③三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓。

注:在同⼀个三⾓形中:等⾓对等边；等边对等⾓；⼤⾓对⼤边；⼤边对⼤⾓。

4、三⾓形的⾯积三⾓形的⾯积＝21×底×⾼考点⼆、全等三⾓形１、全等三⾓形的概念能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形。

2、三⾓形全等的判定三⾓形全等的判定定理：(1）边⾓边定理:有两边和它们的夹⾓对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“边⾓边”或“ＳＡS ”)(２）⾓边⾓定理:有两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等(可简写成“⾓边⾓”或“A ＳA ”)(3）边边边定理：有三边对应相等的两个三⾓形全等(可简写成“边边边”或“ＳＳＳ”）。

(４）⾓⾓边定理：有两⾓和⼀边对应相等的两个三⾓形全等(可简写成“⾓⾓边”或“AAS ”）。

直⾓三⾓形全等的判定：对于特殊的直⾓三⾓形，判定它们全等时,还有ＨL 定理（斜边、直⾓边定理）:有斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等（可简写成“斜边、直⾓边”或“HL”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状⼤⼩的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括⼀下三种:（1）平移变换:把图形沿某条直线平⾏移动的变换叫做平移变换。

(２)对称变换:将图形沿某直线翻折1８0°,这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换:将图形绕某点旋转⼀定的⾓度到另⼀个位置,这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三⾓形1、等腰三⾓形的性质(1)等腰三⾓形的性质定理及推论：定理:等腰三⾓形的两个底⾓相等（简称:等边对等⾓）推论1：等腰三⾓形顶⾓平分线平分底边并且垂直于底边。