新北师大初一数学下册第一章整式的乘除运算公式

北师大版七年级数学下册目录第一章整式的乘除
1同底数幂的乘法
2幂的乘方与积的乘方
3同底数幂的除法
4整式的乘法
5平法差公式
6完全平方公式
7整式的除法
回顾与思考
复习题
第二章相交线与平行线
1两条直线的位置关系
2探索直线平行的位置关系
3平行线的性质
4用尺规做图
回顾与思考
复习题
第三章变量之间的关系
1用表格表示变量间的关系
2用关系式表示变量间的关系
3用图像表示变量间的关系
回顾与思考
复习题
第四章三角形
1认识三角形
2图形的全等
3探索三角形全等的条件4用尺规做三角形
5利用三角形全等测距离回顾与思考
复习题
第五章生活中的轴对称1轴对称现象
2探索轴对称的性质
3简单的轴对称图形
4利用轴对称进行设计回顾与思考
复习题
第六章概率初步
1感受可能性
2频率的稳定性
3等可能事件的概率
回顾与思考
复习题
综合与实践
⊙设计自己的运算程序综合与实践
⊙七巧板
总复习。

⑶积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的嘉相乘。

用式子表示为：（ah）n=a n h n（ti是正整数）⑷同底数幕相除同底数冨相除，底数不变，指数相减。

用式子表示为：a m ^a n =a m n（a^0, m, M都是正整数）⑸规定。

° = 1（«丰0）注意：⑴负数的奇数次幕与偶数次幕结果完全不同，运算中要格外注意⑵运算性质中，字母ab可表示一个数一个单项式或一个多项式⑶蒂的运算法则的逆运算，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确的运用⑷零指数计算中底数不能为零i(rx整式的乘除初步（一）舄的运算法则⑴同底数慕相乘同底数嘉相乘，底数不变，指数相加。

用式子表示为：a m a n=a m+n（rn,〃都是正整数）⑵幕的乘方嘉的乘方，底数不变，指数相乘。

用式子表示为：（a'"）" 〃都是正整数）【例1】⑴下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：（2）23X24=（2X2X2）X（2X2X2X2）=27②53X55=5（）®a3-a4==a（）⑵根据上面的规律，请以慕的形式直接写出下列各题的结果：102xl04=104 x 105="= 1【例2】计算(1)(x+j)3・ (x+j)4(2)—x2• (―x)。

(3)(a-ft)3(h-a)5【例3] (1)8X4=2X,则x=⑵3X27X9 =y,则Y=I【例4】⑴已知a m=2, a n=3,求5。

"*"的值。

(2)胪.b m~2+ b • b m X- b3• b m S b2(3)已知35*-1= 81,求(4x-5尸的值。

(4)已知W=3, «w=4,求a””的值。

【例5】计算(1) (54)3 ⑶J)。

⑵ 一(。

2)3(4) [(。

+硏4【例7】⑴已知〃为正整数，且『=4。

求(3・2”)2 — 1332严的值。

整式的加减、乘除【知识点一】代数式的概念：①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如6×b 常写作6·b 或6b ；②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b 一般不写作b6；③除法运算写成分数形式，如1÷a 通常写作()01≠a a④系数1或-1，通常省略1，如1a 写作a ，-1a 写作-a.⑤211a 通常写作23a. 例1、下列代数式中，书写正确的是（ ） A. ab ·2 B. a ÷4 C. -4×a ×b D. xy 213E. mn 35 F. -3× 【知识点二】单项式的概念：由 与 的 构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

例2、bc a 22-的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。

【知识点三】多项式：几个单项式的 叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

例3、122++-x ab a ，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各项次数分别为 ，系数分别为 ，这个多项式叫 式。

【知识点四】整式：单项式和多项式统称整式。

【注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

】【知识点五】 升幂排列与降幂排列 例4、多项式121322233-+-+-a a b b a ab b a 按字母a 升幂排列为：【知识点六】 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，另外所有的常数项都是同类项。

【注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。

】例5、下列各题中的两个项是不是同类项？(1)3x 2y 与-3x 2y (2)0.2a 2b 与0.2ab 2 (3)11abc 与9bc (4)3m 2n 3与-n 3m 2 (5)4xy 2z 与4x 2yz (6)62与x 2【知识点七】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

新版北师大七年级数学下册第一章整式的乘除运算知识点总结及习题第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

??，次数是注意：0. 是数字，而不是字母，它的系数是二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：mnm?n(m,na?a?a都是正整数)1、同底数幂的乘法：mnmn(m,n 都是正整数（a）?a)、幂2的乘方：nnn)都是正整数(abn(ab)?、积的乘方： 3nm?mn(m,n都是正整数?aa?a,a?0)、同底数幂的除法：4 六、零指数幂和负整数指数幂：0);a?10a?(1、零指数幂：1p?(a?a0,?p是正整数) 2、负整数指数幂：p a七、整式的乘除法：、单项式乘以单项式：1法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式相乘，先用一个多项式多项式与的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：22b?)?aa?b)(a?b( 1、平方差公式：222222b??2ab2?a?ab?b(a?b)?a(a?b) 2、完全平方公式：七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

（新北师大七下）第一单元整式的乘除基础知识+练习 姓名 一.〈知识点〉回顾1、幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：n m a a ∙= （m 、n 为正整数）=⋅⋅32a a a __ ； 108a a ∙= ；421010⋅=____ ；25()()()x x x ---= （2）幂的乘方：()nm a = （m 、n 为正整数） 22(10)= 22()a = ___)(32=a 25()x ⎡⎤-⎣⎦= 52()x ⎡⎤-⎣⎦=（3）积的乘方：()nab = （n 为正整数）_____)(3=xy ； 32)2(mn -=________ ； 23)102(⨯=_________（4）同底数幂相除：mn aa ÷= （m 、n 为正整数，a ≠0）87a a ÷= ； 22b b ÷= ； 73a b a b ÷（－）（－）＝ （5）零指数0a = （a ≠ ） 负指数=-pa（a ≠ ）（-2）0= （-1）-2= 2)21(-= 5-2=科学记数法：0.00000058= 2．整式的乘除① 单项式×单项式：_____5=⋅x x ； 2a ·2a= ； ______=⋅ab ab ； －4xy • 3x 2y= _______5343=⋅x x ； _______)2)((=--x x ；_________)2(32=-∙a b a ② 单项式×多项式： ()m a b c ++=a （2a 2－4a ＋3）= ； －2a 2（3a 2＋4a －2）= 。

③多项式×多项式相乘：=++))((b a n m __________________ （x －2）（x －6）= = （2x －1）（3x ＋2）= = ________________)75)(4(=-+y x y x = ④单项式÷单项式27x 3x ÷= 12mn 4mn ÷=－ ⑤多项式÷单项式（4x 3y ＋6x 2y 2－xy 3）÷２xy= （6a 4－4a 3－2a 2）÷（－2a 2）= 3.乘法公式平方差公式：___________________))((=-+b a b a 完全平方和公式:______________________)(2=+b a完全平方差公式:______________________)(2=-b a (1)（x ＋2）（x －2） （2）（x －8y ）（x ＋8y ） (3)(2x －3)(－2x －3) 解：原式= 解：原式= 解：原式=（4）2(3)a b -= （5）21(4)2x + (6)2(2)a b -+=解：原式= 解：原式= 解：原式=综合练习：1．x m =3，x n =5，则x m+n = ，x 3m+2n = ， x m-n = ， x 3m-2n= 。

北师版七年级数学下册第一章整式的乘除基础知识复习总结一、整式的乘法公式：1、同底数幂的乘法，底数，指数。

即：nm nmaaa（m ,n 都是正整数）。

填空：（1）6533（2）12m mbb 2、幂的乘方，底数，指数。

即：mnnm aa（m ,n 都是正整数）。

填空：（1）232＝（2）55b（3）312n x3、积的乘方等于。

即：nn nb a ab（n 是正整数）填空：（1）23x（2）32b（3）421xy＝4、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

如：xyzxy 3122。

)4()2(232xy y x ＝（2）单项式与多项式相乘，b a ab ab 22324＝（3）多项式与多项式相乘，yx y x 22方程)4)(1()3(2xx x x ）（的解为（4）平方差公式：22b a b a b a 。

计算：xx 8585（2x －5）（2x +5）－2x （2x －3）＝用平方差公式进行计算：（1）103×97 ；（2）118×122（5）完全平方公式：2222b ab aba ，2222b ab aba 。

计算：（1）242x（2）22amn（3）利用完全平方公式计算：(1) 1022; (2) 1972变形应用：22()()a b a b ；22()()a b a b ；222()a b a b =2()a b 。

已知:a+b =5,ab =-6,求下列各式的值(1)(a+b )2(2)a 2+b2（3）若条件换成a-b =5,ab =-6,你能求出a 2+b 2的值吗?二、整式的除法公式：1、同底数幂相除，底数，指数。

即：nm nmaaa （n m n m a ＞都是正整数，且,,0），0a，pa（是正整数p a ,0）填空：（1）47aa（2）36xx2、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕= (2x+5)2-(y-z)2= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕= (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17．逆用乘法公式解题1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b23 立方和（差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用．1．逆用平方差公式解原式故选(D)解对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=19931992×19931990+19931994×19931992 =19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)] =2×199319922例3 计算19902-19892+19882-19872+…+22-1解原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=19810452．逆用完全平方公式例4计算1.23452+0.76552+2.469×0.7655解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4例5已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-b c-c a 的值是_______．解逆用完全平方公式得3．逆用立方和（差）公式例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=______解原式=a3+b3+6ab=(a+b)(a2-ab+b2)+6ab=2(a2-ab+b2)+6ab=2a2+4ab+b2=2(a+b)2=2×22=8解设a=11111，则4．逆用多个公式例8若a=19952+19952·19962+19962求证：a是一个完全平方数．证明a=19952+19952×19962+19962=19952×19962+19952-1+19962+1=19952×19962+1996×1994+19962+1=19952×19962+1996(1994+1996)+1=(1995×1996)2+2·1995·1996+1=(1995×1996+1)2∴a是一个完全平方数例9已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是[ ] A．41,48 B．45,47C．43,48 D．41,47解724-1=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)×8×43×6×57=(712+1)(76+1)×43×48×57故应选(C)活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．一、先结合后用公式例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．解：原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2．二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．三、先逆用法则后用公式例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2．分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2b2c2，再利用平方差公式计算较简捷．解：原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2=(x4 -y4 )2=x8-2x4x4 +y8．四、先拆项后用公式例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15．五、先增添因式后用公式例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1．六、先换元后用公式例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．七、先变换所求式后用公式例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2，然后运用公式计算．解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．。