人教版整式的乘除及公式法(精品)

整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x 2-z 2的值。

初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。

第1讲 整式乘法本讲知识点归纳1．同底数幂的乘法：nm nma a a +=⋅2．幂的乘方：()mn nma a =3．积的乘方：()n n nb a ab =4．单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式5．乘法公式(1)平方差公式：()()2222b a b a b a -=-++(2)完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±(3)立方和（差）公式：()()3322b abab a b a ±=+±基础回顾例1 运用乘法公式计算(1)()()y x y x --+-22 (2) ()()()()b a a b a b b a 43342332+--+- (3) ()()()4222--+x x x (4) ()()222323n m n m +--解：分析：运用平方差公式、完全平方公式，理解两公式中的a ，b ，特别注意符号，在平方差公式中，两括号中完全相同的项相当于公式中的“a ”，只有符号不同的项相当于平方差公式中的“b ”；在完全平方公式中，展开后有三项，两平方项及两个数积的2倍。

平方差公式，完全平方公式可以逆用，有时可使计算变得简捷． 例2小明家的住房结构如图所示，小明的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少2m 的地砖？如果每21m 她砖的价格是a 元钱，则购买地砖至少需要多少钱？ 解：分析：把图中每个长方形的长与宽观察出来或表示出来，再用长方形的面积公式及图形的积差关系表示。

1．计算：（1）()42x x x -⋅⋅ （2）()()()6334233a a a -⋅（3）32233243⎪⎭⎫⎝⎛-⋅y x y x （4）()()y x y x 22-+2．利用平方差公式计算(1)()()y x y x 33+- （2）()()n m n m 3322+-（3）()()32323434z xyzxy -+ （4）()()bc a bc a +---223．利用完全平方公式计算(1)()()z y x z y x +--+ （2）()212++n n y x （3）()()22y x y x -⋅+练习4．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )。

可编辑修改精选全文完整版15．4．2公式法一、教材分析：（一）教材的地位与作用《15．4．2公式法》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上）第十五章《整式的乘除与因式分解》的第四节的第二课时内容。

用平方差公式分解因式与整式乘法的平方差公式是相反方向的变形，分解因式的变形不仅体现了一种“化归”思想，也为学习分式四则运算、利用因式分解法解一元二次方程奠定基础，起到了承上启下的作用。

把整式乘法的平方差公式与它的逆变形安排在同一章，不仅使学生认识、体会、理解分解因式的意义，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

（二）、目标分析：依据新数学课程标准,这节课要求:目标1.使学生理解平方差公式(逆向)的意义并掌握其特点.目标2.能熟练运用公式将多项式进行因式分解.根据”布卢姆教育目标分类学”,平方差公式属概念性知识,运用平方差公式进行因式分解属程序性知识,故可将本节课目标分析如下:（三）教学重难点、关键：1、重点：运用平方差公式进行分解因式。

2、难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式。

3、关键：弄清公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

二、学生和学法分析：本节课是利用公式法——平方差公式进行因式分解，之前学生已经学习过整式乘法的平方差公式及利用提取公因式法进行因式分解，所以学生已经具备了学习本节内容的知识基础。

另外，作为八年级学生，他们已经积累了一些学习经验、方法，且具备了一定的探究能力。

根据学生原有的知识作为新知识的生长点，就能引导学生从原有的知识中生长新的知识。

这一思想与维果斯基的“最近发展区”的思想相一致。

学习方法分两种：一是接受式学习，二是发现式学习。

发现式学习的特点是重视知识发生过程的教学，有利于培养和提高学生的智力，特别是有利于发展学生的创造性思维能力。

同时，学生在学习过程中看到自己有所发现，可以大大激发学习兴趣，产生强烈的求知欲。

苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模需要，这就是希望感到自己是一个发现者，研究者。

第一章：整式的乘除知识要求：1、理解、掌握整式的有关概念2、牢固地掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；3、加强运算能力，以及分析问题、解决问题的能力知识重点：整式的乘法及乘法公式，幂的相关运算性质。

知识难点：熟练掌握整式的有关计算及相关运用：幂的运算，整式乘法，整式除法。

知识点：一、整式的有关概念整式：可以看成是分母不含有字母的代数式，注意：一是分母不含有字母但可以是数字，二要是代数式不能含有等号或表示数量关系的符号。

单项式与多项式统称为整式。

(1)定义：表示数与字母的积的代数式。

单独的一个数是单项式。

1、 单独字母也是单项式。

单 (2)系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

项 注意系数包括前面的符号，式 系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单独字母的系数是1。

a=1×a单独数字的系数是本身。

3=3×a 0(3)次数：单项式的次数是指所有字母的指数的和。

单独字母的次数是1.单独一个非零数字的次数是0.2、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式）（2）每一个单项式叫做多项式的项， 注意项包括前面的符号。

（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，（4）不含字母的项叫做常数项。

2、多项式二、整式的加减：实质是合并同类项①先去括号； （注意括号前有数字因数）②再合并同类项。

（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

m n m n a a a +=• ⇔ m n a a •=+m n a （m,n 都是正整数）2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

nm m n a a =)( ⇔ m n a )(a nm =（m,n 都是正整数）3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

n n n b a ab =)( ⇔ n ab)（=n n b a （n 为正整数）4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。