乐杰数理化教师辅导讲义
基础知识：
1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
2. 如果x2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”
（a 称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525==. 10.平方表：（自行完成）
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）a 取任何数）。
5、区分2=a （a ≥0），与
2a =a
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】
1.下列语句中，正确的是（ D ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ C ） A ．-2是（-2）2的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3
3. 已知实数x ，y 满足2
=0，则x-y 等于
4.求下列各式的值
（1）81±；（2）16-；（3）
25
9；（4）2
)4(- 解答：（1）因为8192
=，所以±81=±9.
（2）因为1642
=，所以－416-=.
（3）因为2
53⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=5
3
.
（4）因为2
2
)4(4-=，所以4)4(2
=-.
5. 已知实数x ，y 满足2
=0，则x-y 等于 ．
6. 计算
（1）64的立方根是 4
（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832
±=±。其中正确
的有 （ B ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 7.易混淆的三个数（自行分析它们） （1）2
a （2）2)(a （3）3
3
a
经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：
0.23 ，
1.010010001…，，3π，
，，其中，无理数
的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、
=±1 D、是5
的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1
B、 1.4
C、
D、
【变式3】
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）
___________，
___________，
___________.
【变式2】求下列各式中的
（1）（2）
（3）
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为
，点B在数轴上表示的数为
，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点
B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A．－1 B．1－
C．2－D．－2
[变式2]已知实数、
、在数轴上的位置如图所示：
化简
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) |-1.4|
(2) |π-3.142|
(3) |-|
(4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
【变式1】化简：
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm
的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；（2）
的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，（4）
是分数
类型八．引申提高
8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
人教版初中数学七年级下册6.3 实数教案
思考：实数还可以怎样分类？ 典例精析 例1.将下列各数分别填入下列相应的括号内： , 93 ,7,π 16,-,5-, 83 -4,9 ,0,250.3232232223⋅⋅⋅14 ， 无理数：{ } 有理数：{ } 正实数：{ } 负实数：{ } 方法总结:对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同. 探究点2：实数与数轴上的点 问题8：如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A 点，则数轴上表示点A 的数是多少？ 问题9：你能在数轴上表示出2和 - 2吗？ 方法总结:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 【教学提示】通过例题充分理解实数的分类。 【教学提示】引导学生观察OA 的长与园的关系，从而得到A 点所表示的数。 【教学提示】通过边长为1的小正方形的对角线的长为2，引导学生自 己归纳在数轴上画出 2和 - 2。 【教学提示】通过例题，让学生体会数轴上的点与实数 A 0 -- 1 3 2 4 ● ●
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. ★实数和数轴上的点是一一对应的. 例2：如图所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别为 和5.1，则A ，B 两点之间表示整数的点共有( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 探究点3：实数的大小比较 知识要点：实数的大小比较与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 问题10：不用计算器，5与2比较哪个大？与3比较呢？ 5，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方 形，它的边长也较大，因此25> 例3 试在数轴上标出π,35-，的大致位置,并借助数轴比较它们的大小. 例4 比较下列各组数的大小： () ；与31-121 () 3.-10-2与 探究点4：实数的性质 知识要点：在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例5：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值． .11 (3) ; 225 (2) ; 64 )1(3- 课堂小结 基础训练 1.判断快枪手——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） 一一对应。 【教学提示】提醒学生把未知的要转化为已知，从而用来解决问题。 【教学提示】体会 比较大小的不同的 方法 【教学提示】通过例题让学生体会在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝 对值、倒数的意义 完全一样。 让学生根据框架回忆本节课所学的内容 【教学提示】通过当堂检测来消化理
第二章实数 1．数怎么又不够用了 第一课时 数怎么又不够用了（1） 教学目标 1．通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习它的必要性。 2．进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 重点：对无理数的感识 难点：对无理数的认识 教学过程 一、复习 1．什么叫有理数，举出例子。 2．勾股定理的内容？若Rt △ABC 的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。 二、创设问题情境，引导学生思考，引入课题 出示投影（一）P25页首图文1 教师指出：随着人类的认识不断发展，人们发现，现实生活中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习元理数、实数、平方根、立方根的概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题。 出示课题：数怎么不够用了. 三、师生共同参与教学活动，获得生活中大量存在的不是有理数的认识 1．拼图活动 （1）让学生把准备好的两块边长相同的正方形，通过剪一剪、拼一拼，拼成一个大的正方形。 （2）鼓励学生充分思考，交流并给予引导。（3）教师把学生的几种做法在全班展示。 2．对拼图的结果作进一步分析 （1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a 可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。 （4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 教师鼓励学生充分进行思考、交流，给予适时引导。 学生的回答可能是。“l 2 ＝1，22 ＝4，32 ＝9……越来越大，所以a 不可能是整数。”“（ 2 1）2 ＝ 4 1，（ 3 2） 2 ＝9 4……结果都是分数，所以a 不可能是分数。”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a 不可
乐杰数理化教师辅导讲义 基础知识： 1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 2. 如果x2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525==. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）a 取任何数）。 5、区分2=a （a ≥0），与 2a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ D ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ C ） A ．-2是（-2）2的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3 3. 已知实数x ，y 满足2 =0，则x-y 等于 4.求下列各式的值 （1）81±；（2）16-；（3） 25 9；（4）2 )4(- 解答：（1）因为8192 =，所以±81=±9. （2）因为1642 =，所以－416-=. （3）因为2 53⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=5 3 . （4）因为2 2 )4(4-=，所以4)4(2 =-. 5. 已知实数x ，y 满足2 =0，则x-y 等于 ． 6. 计算
第二单元实数 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类： 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、按性质符号分类：正有理数 正实数 实数0 正无理数 负有理数 负实数负无理数注：0既不是正数也不是负数. 练习：1、判断下列说法是否正确： 1.实数不是有理数就是无理数。（） 2.无限小数都是无理数。（） 3.无理数都是无限小数。（） 4.带根号的数都是无理数。（） 5.两个无理数之和一定是无理数。（） 6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（） 7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（） 8、把下列各数中，有理数为；
无理数为 3737737773.085094320225233、、、、、、、、、---π(相邻两个3之间的7逐渐加1个) 1.相反数: 互为相反数的两个数之和等于0。若a 、b 互为相反数，则 a+b=0。 2.绝对值 : |a|≥0。 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0。 3. 算术平方根: a(a≥0)的算术平方根记作 , 0的算术平方根是0。。 4.平方根: 如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．a(a≥0)的平方根记作。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根． 5.立方根 33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．a 的立方根记作3a 。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零． a a ±
第二章实数 一、认识无理数 1、现实生活中存在不是有理数的数 求面积为5的正方形的边长。设边长为x ，则x 2=5。这里x 既不是整数也不是分数，也就是说，没有一个有理数的平方是5。现实生活中存在着大量的不是有理数的数。 2、估计数值的大小采用“夹逼法”就是用两个平方数左右来靠近这个数。 用x 表示正方形的边长，若x 2=2，则x 既不是整数也不是分数，我们可以用夹逼的方法估计x 的值，从而求出x 的近似值。 方法：找出最接近这个数的两个平方数，因为12＜2＜22，所以1＜x ＜2。即x 的整数位是 1.因为 1.42=1.96,1.52= 2.25.，所以 1.4＜x ＜1.5。继续确定：因为 1.412=1.9881， 1.422= 2.0146，所以1.41＜x ＜1.42根据四舍五入法，所以得到，x 的十分位上的数字是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数。 采用夹逼法，首先确定整数位，确定方法是根据给定数，找出这个数前后的平方数。再确定十分位，注意确定十分位要计算到百分位，四舍五入，确定十分位。以此类推。 3、无理数 无理数：无限不循环小数叫无理数 圆周率π=3.14159265…是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 有限小数------ 有理数 小数的分类： 无限循环小数--- 有理数 无限不循环小数--无理数 注意：-π/7 不是分数，是一个无理数 目前学习的无理数的表现形式：主要包含下列几种： （1）特殊意义的数，如：圆周率π；以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0） （3）还有下节学习到的开方开不尽的数，如:39,5,2 应当注意的是：带根号的数不一定是无理数，如9等；无理数也不一定带根号，如π 4、有理数、无理数的联系与区别 1）把下列数写成小数的形式。3，-53，11 9。可以写成：3.0，-0.6，??18.0 可以看出，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 小数形式的有理数包括有限小数和无线循环小数两类。 有理数就是可表示为有限小数或无限小数的数。 2）容易混淆的几种判断 带根号的数不一定是无理数；开不尽方的数是无理数 有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数 实数不是有理数就是无理数；无理数都是无限不循环小数 无理数都是不循环小数（但是，反过来说：不循环小数都是无理数，就不正确了） 两个无理数之积不一定是无理数；两个无理数之和不一定是无理数 二、平方根
第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就 叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的 平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三
人教版七年级数学下册第六章第三节 《实数》教学设计(第1课时） 一、教学目标 知识技能 1．了解无理数及实数的概念，并会对实数进行分类． 2．会对实数按照一定标准进行分类，培养分类能力． 3．知道实数和数轴上的点一一对应． 数学思考 1．经历从有理数逐步扩充到实数，了解到人类对数的认识是不断发展的． 2．经历对实数进行分类，发展学生的分类意识． 解决问题 1．通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数． 2在交流中学会与人合作，并能与他人交流自己思维的过程和结果．情感态度 1．通过无理数的引入，激发学生的求知欲，使学生感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，获取成功的体验． 2．通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用． 3．敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题． 二、教学重点和难点
教学重点：使学生了解无理数和实数的意义,熟练掌握实数的分类 教学难点：无理数意义的理解． 三、教学方法 讲练结合启发教学学生为主 四、教学手段 多媒体 五、课时安排 一课时 六、教学设计 （一）．数学故事——无理数的发现： 通过俗语“有理走遍天下，无理寸步难行”引入数学故事，古希腊著名的数学家，哲学家毕达哥拉斯有一句名言“万物皆为数。”他认为宇宙间的一切事物都归为整数或整数的比。 问：整数的比是什么数？ 答：分数。 问：整数和分数统称为什么数？ 答：有理数。 〖设计说明〗让学生了解无理数是怎么发现的，经历从有理数逐步扩充到实数，了解到人类对数的认识是不断发展的，从而对数学充满兴趣 （二）、回顾旧知，检查预习： 1．有理数怎样分类？
知识点1：实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1) 整数和分数统称为有理数； 2) 圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． 如2、π、0.101001000100001 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数； 只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数． 3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类： 实数、数的开方 知识结构 模块一 实数的概念和分类 知识精讲
⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭ ⎪ →⎩整数有理数有限小数或无限循环小数 实数分数无理数无限不循环小数 （2）按性质符号分类： 0⎧⎧⎪⎨ ⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 【例1】 写出下列各数中的无理数： 3.1415926，2 π，16，.0.5，0，2 3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3）， 0.2121121112． 【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示． （1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （ ） 【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 例题精练
【例4】 若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之， 亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【例5】 3为什么是无理数?请说明理由． 一、开平方： 1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方． 2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数． 如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明： 1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 模块二：数的开方 知识精讲
课题：实数 第3课时：实数的性质及运算 教学目标： （一）知识与技能：理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，了解在有理数范围内的运算及运算法则，运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练的进行实数运算. （二）过程与方法：在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行运算. （三）情感态度与价值观：在知识的学习过程中，感受事物之间的联系. 教学重点：实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，实数的运算律. 教学难点：实数的混合运算. 教学方法：研讨点拨法 教具准备：多媒体课件 教学时数：1课时 教学过程： 一、复习引入，初步认识 同学们，我们一起回忆下有理数中的几个重要概念：相反数，绝对值，倒数。同学们你们还记得么？ 只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数. 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示. 如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？
+-+二、自主学习 思考：（1） 2的相反数是 -π的相反数是 0的相反数是 （2）2= π-= 0= 有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用 三、合作探究 1.归纳实数的相反数，绝对值，倒数 (1).a 是一个实数，实数a 的相反数为-a. (2).①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 例1：（1）分别写出6- ，π的相反数； （2）指出5-，1-33分别是什么数的相反数； （3）求364-的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是3，求这个数. 师生共同探究，教师板式解题过程. 2、实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.实数的运算顺序： 例2 计算下列各式的值： ,0,,a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩ 000.a a a 当时；当时；当时>=<
《实数》教学设计 安达二中张贵良 教学目标 1.①知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；②学会比较两个实数的大小；③了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算； 2.在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3.通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”的数学思想。 教学重点与难点 重点：实数与数轴上的点一一对应关系。 难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。 教学准备教师：直径为1cm的硬纸板的圆。 教学过程 一、试一试 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是
否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？ ①课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会。 ②你能在数轴上画出坐标是2的点吗？画一画，说说你的方法。教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。 练习：学生自己完成课本第178页练习第1题。 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的。即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义。 ③深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？除了课件演示外再让学生动手实践操作的目的是让学生直观认识到可以用数轴上的点来表示无理数，而每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，即无理数与数轴上的点之间的对应关系。通过练习，让学生对于实数可以用数轴上的点表示，数轴上的一个点表示一个实数有了直观的认识，体会实数与数轴上的点之间的一一对应关系。将数与图形联系起来，体会数形结合的思想。 比一比
七年级下册数学实数知识点 一、实数的概念及分类 1、实数的分类、正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数 负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 包括正整数、零和负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： (1)开方开不尽的数，如7,2等; π(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;3 (3)有特定结构的数，如0、…等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， |a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于 零，一个正数大于所有负数，两个负数，较大的绝对值较小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等 于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 初中数学线段的性质 (1)线段公理:连接两点的所有直线中，线段最短。也可以简单的说两点之间的线段最短。 (2)连接两点的线段的长度称为这两点之间的距离。 (3)线段中点到两端的距离相等。 (4)线段的大小与其长度的关系是一致的。
实数的概念 一、设计思路： 本节课中为了突出重点，突破难点，将教学分层次进行，先从从一个探究活动开始，通过这样的提问既复习了以前的知识，也能引出本节课的新知。无限不循环小数的概念在前面已经出现，通过举例及例题来强调无限不循环小数与有限小数和无限循环小数的区别，以使学生更好地理解有理数和无理数是两类不同的数.帮助学生建立知识结构，形成新体系，以逐步探究的思路实现对问题的深层次理解，增强思维的深刻性。 二、教材分析： 1.课程标准对本节课的内容与要求 引进无理数，从而把有理数拓展到实数的范围。在学习过程中，体会数的扩充是客观世界的现实需要和数学发展的内在需要，知道扩充新数是经历过很多考验的。 2.教材地位和作用 本节是在学生已知道有理数及无限不循环小数的基础上引进无理数的概念，将数从有理数的范围扩充到实数范围.从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义.在中学阶段，很多数学问题是在实数范围内研究.例如，函数的自变量和因变量是在实数范围内讨论，平面几何、立体几何中的几何量（长度、角度、面积、体积等）都是用实数表示等.实数的知识贯穿于中学数学学习的始终，学生对于实数的运算，以后还要通过学习二次根式的 运算，一元二次方程来加深认识，因此本节的作用十分重要。 三、学情分析： 在学实数的概念之前，学生已经学习了有理数的分类，对有理数的分类不一定很深刻，所以在教学过程中要适当复习，以达到温故知新的效果。 无理数的产生，理解上会有一定的困难，所以采用“操作——猜想——分析——归纳——验证”的过程，充分发挥学生的动手、动脑能力，鼓励学生积极发言，提出质疑，让学生体验数学是个充满疑问、思考的过程。 四、重点难点： 重点：了解无理数和实数的概念，以及实数分类的应用。 难点：无理数概念的建立。 五、教学目标： 知识与技能： （1）了解无理数及实数的概念，并会对实数进行分类. （2）让学生体会数形结合的思想；在实数的分类过程中，渗透分类讨论的思想. 过程与方法： （1）通过对比分析，知道无理数是无限不循环小数，培养学生分析问题的能力。
七年级下册知识点实数 实数是数学中非常重要的一个概念，它是数轴上所有的有理数 和无理数的统称。在七年级下册数学中，实数是一个重要的知识点，本文将从实数的定义、实数的分类、实数的性质以及实数运 算四个方面进行详细介绍。 一、实数的定义 实数就是数轴上所有的有理数和无理数的集合。在数轴上，实 数可以表示成有限或无限的小数或不可约分的分数。 有理数是可以表示成两个整数之比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。无理数指不能表示成有理数的数，例如根号2、根号3、pi等等。 二、实数的分类 按照实数的大小，可以将实数分为三类，分别为正数、零和负数。其中正数指大于零的实数，零为0，负数指小于零的实数。
此外，实数还可以根据有理数和无理数的情况进行分类。有理 数包括正有理数、负有理数和0，无理数包括正无理数和负无理数。 三、实数的性质 实数具有很多重要的性质，下面将分别进行介绍： 1. 实数满足封闭性。即实数之间进行加、减、乘、除、幂次运 算后仍然是实数。 2. 实数具有唯一性。对于一个确定的实数，其唯一，不存在另 一个实数与之相等。 3. 实数具有传递性。对于实数a、b、c，若a>b，b>c，则a>c。 4. 实数满足乘法交换律、结合律和分配律。 5. 实数具有对称性。例如对于正数a，-a为负数，而对于负数a，-a为正数。
四、实数运算 实数的运算包括加、减、乘、除和幂次运算。 1. 加法运算。两个实数相加得到的结果仍然是实数，即 a+b=b+a。 2. 减法运算。两个实数相减得到的结果仍然是实数，即a-b=- （b-a）。 3. 乘法运算。两个实数相乘得到的结果仍然是实数，即ab=ba。 4. 除法运算。一个实数除以另一个非零实数得到的结果仍然是 实数，即a/b=a×（1/b）。 5. 幂次运算。对于实数a和自然数n，a的n次方表示为a的n 次方，即a^n。 以上就是关于七年级下册知识点实数的详细介绍。实数是数学 中非常重要的一个概念，它的重要性不亚于其他数学知识点，对
七下数学——实数 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【巩固提升】 一、填空题 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ，11-的绝对值是 。 6、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,122 3π---∙- 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 7．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、下列说法中正确的是（ ） A 、 的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数 9．下列各式中正确的是（ ） A ． B. C. D. 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a 0 a - )0(=a )0(< a
10．如图，在数轴上1 A 、 B ， A 是线段B C 的中点，则点C 所表示的数是 ( ) A ．2 B 2 C 1 D ．1二、计算题 11、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 12、化简： （1）233221-+-+- （2 13、已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 14、一个正方形的表面积为24002 cm ，求这个正方形的体积。 x
6.3.2 实数(第二课时) 教学目标： 一、知识与技能： 1.掌握实数的相反数和绝对值； 2.掌握实数的运算律和运算性质. 二、过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。 三、情感态度与价值观： 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，充分感受数的不断发展。 学习目标： 会求实数的相反数和绝对值； 会进行实数的加减法运算； 会进行实数的近似计算。 学习重点： 知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算. 教学过程： 一、温故知新 1.实数包括（）和（）。 2.无理数是指（）。 3.无理数的特征有： 4.实数与数轴上的点的关系（）。 5.a是一个实数，它的相反数（）绝对值为（）。 .
6.如果a ≠ 0，那么它的倒数（ ）。 二、探究新知 你能解答下列问题吗? 课本54页 （1） 2的相反数是 ， π-的相反数是 ， 0的相反数是 ； （2）2＝ ，π－＝ ,0＝ . 三、探究讨论 结合有理数相反数和绝对值的意义，你能实数关于相反数和绝对值的意义吗? 1.实数的相反数：数a 的相反数是a -。 2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 当a ≥0时，a a =，当a ≤0时，a a -=。 四、运用新知 例1 （1）分别写出 π 3.14-，的相反数； （2）指出 1-是什么数的相反数； （3）（1）求364-的绝对值和相反数； （4）已知一个数的绝对值是3，求这个数。 解： （1）6-的相反数是 6； π 3.14-的相反数是 3.14π- ． （2）5-的相反数是 5； 331-的相反数是133-． （3）因为4643-=-， 所以44643=-=--， 4)4(643=--=-- （4）因为33,33=-=， 所以绝对值为3的数是3或3-。
6.3 实数 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义. 2.知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算. 3.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题. 【过程与方法】 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 【情感态度与价值观】 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时共2课时 四、教学重难点 【教学重点】
1. 会求实数的相反数和绝对值； 2.会进行实数的加减法运算. 【教学难点】 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师问：什么是相反数？ 学生答：只有符号不同的两个数,其中一个数是另一个数的相反数. 教师问：什么是绝对值，怎么表示呢？ 学生答：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 用︱a︱表示. 教师问：什么是倒数呢？ 学生答：如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 教师问：请大家讨论一下，无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ （二）探索新知 1.出示课件4-5，探究实数的性质
教师出示问题：你能解答下列问题吗？ （1）√2的相反数是______ ，-π的相反数是______，0 的相反数是______； （2）|√2|＝________，|−π|＝_______，|0|＝_______． 教师依次展示学生答案： 学生1答：（1）√2的相反数是_-√2___ ，-π的相反数是_π__，0 的相反数是__0____； 学生2答：（2）|√2|＝___√2__，|−π|＝__π _，|0|＝__0__．教师问：结合有理数相反数和绝对值的意义，你能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？ 学生答：数 a 的相反数是-a . 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． |a|={a，当a>0时；0，当a=0时；−a,当a＜0时. 考点1：实数性质的应用 （1）分别写出−√6，π-3.14的相反数； （2）指出−√5，1-√3 3分别是什么数的相反数； （3）求√−64 3的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是√3，求这个数．（出示课件6）师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生答案：
1对3辅导讲义 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 时 间 主 题 第2讲-实数的表示与开方 学习目标 1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算； 4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。 教学内容 1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 3 4 2. 若，则___________. 1± 3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4± 4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。 0、1、-1 知识点一、立方根与开立方 问题：什么是立方根？什么是开立方运算？ x 2 1=x 3 =
回顾：立方根和开立方的性质有哪些？ 1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零； 2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根； 可以用具体的例子引导学生总结 3. () 3 3a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比） 4. 3 3a a -=-. 例1. 下面说法正确的是（ ） A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D ．一个数的立方根与被开方数同号 例2. 33 (2)-的值是 . 例3. 立方根等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1； 试一试： 1.64的平方根是 ，64的立方根是 . 2. 16的平方根是 ，64的立方根是 . 3.已知()3 8210x -+=，则x = . 答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 3 2 ； 【例题精讲】 例4.填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 3 a 教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。 参考答案：0.01 0.1 1 10 100
《实数》 教学目标： 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； 了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算； 重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律 难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算 教学过程： 探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65- =- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，5 0.59 = 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 观察：通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数 结论：有理数和无理数统称为实数 试一试：把实数分类 ⎧⎧⎫ ⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪ →⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。 π 是正无理数， ，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 0⎧⎧⎨⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表
示呢？ 探究：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？ 总结： 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？ 总结：数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 应用迁移，巩固提高 例1：把下列各数分别填入相应的集合里： 3 8，3，－3.141， 3 π，722，87－，32－，0.1010010001…，1.414，－0.020202… 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 备选例题：下列实数中是无理数的为（ ） A.0 B. 3.5-总结反思，拓展升华 小结： 1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？
第二章 实数 2．1 认识无理数 基础题 知识点1 无理数的认识及其概念 1．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长是( ) A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 2．(呼和浩特中考)下列各数是无理数的是( ) A ．－1 B ．0 C ．π D.1 3 3．下列说法中正确的是( ) A ．有理数是有限小数 B ．有理数是无限小数 C ．无理数是无限循环小数 D ．无限不循环小数是无理数 4．把两个长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积是2，其边长 有理数． 知识点2 用“夹逼法”估算无理数 5．(教材P25习题T2变式)设面积为5π的圆的半径为a. (1)a 是有理数吗？说说你的理由； (2)估计a 的值(结果精确到0.1，)，并利用计算器验证你的估计； (3)如果结果精确到0.01呢？ 中档题 6．若方程x 2＝m 的解是有理数，则m 不能取下列四个数中的( ) A ．1 B ．4 C.14 D.1 2 7．将下列各数填在相应的括号内． －2，(π－7)0，0.2，3.73··，π4，5，3.141 592 6，22 7，－1.2，20%，3.14－π，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0 的个数逐次加1)． (1)有理数{ …}； (2)无理数{ …}． 8．小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱尺寸为50×40×30(单位：cm)，现在小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，这两个正方体纸箱的棱长至少有多长？(结果精确到1 cm) 综合题 9．在下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．