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线性代数第一章

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第1章线性代数

第1章线性代数

第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222

a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1

D1 D
，


x2

D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式

线性代数第一章

线性代数第一章

线性变换 (3)可看成是先作线性变换 ( 2)再作线性变换 (1) 的结果 .称线性变换 (3)为线性变换 (1) 与 ( 2)的乘积 , 相应把 (3) 所对应的矩阵定义为 (1) 与 ( 2) 所对应的矩阵的乘积 , 即
return PLAY
a11 a12 a 21 a22
b11 b12 a13 b21 b22 a23 b31 b32
由此得矩阵A与B相等是指A和B的对应元素都相等.
PLAY BACK
二、 数与矩阵的乘法
定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λ A或 Aλ , 规定为
数乘矩阵满足以下运算规律(设A, B为同类型m × n矩阵, λ , µ为数)
λ a11 λ a12 L λ a1n λa 21 λ a22 L λ a2 n λ A = Aλ = M M M λa λ am 2 L λ amn m×n m1
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 注意 : 第一个矩阵为 2 × 3而第二个矩阵为 3 × 2, 即 前面矩阵的列数与后面 矩阵的行数相等 .
θ + ϕ .因此, 这是把向量op (依逆 时针方向)旋转ϕ角(即把点p以 原点为中心逆时针旋转ϕ角)的
旋转变换.
PLAY
2. 矩阵与矩阵相乘
引例 设有线性变换 y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 y = a x + a x + a x 21 1 22 2 23 3 2 (1)

线性代数第一章行的列变换

线性代数第一章行的列变换
假设矩阵为$A$，要乘以标量$k$ 得到新的矩阵$B$，则$B = kA$。
列倍乘
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍乘
1&2&3 4&5&6 7&8&9
列倍乘
01
end{bmatrix}$
02
乘以2得到
$begin{bmatrix}
03
列倍乘
2&4&6 14 & 16 & 18
THANKS
先求出原矩阵的行列式，然后求出 原矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩 阵的行列式除以原矩阵的行列式得 到逆矩阵。
初等行变换法
通过一系列初等行变换将原矩阵变 为单位矩阵，同时记录下每一步的 变换，最后得到逆矩阵。
06
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵按照某一 行展开，得到一个更 简单的方程组。
回代求解，得到方程 组的解。
8 & 10 & 12 end{bmatrix}$
列倍加
定义
将矩阵中的某一列加上另一个列。
公式
假设矩阵为$A$，要加上第$j$列得到新的矩阵$B$，则$B = A + A_{ j}$，其中$A_{ j}$表示第$j$列。
列倍加
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍加
1&2&3
1
4&5&6
行交换不改变矩阵的行列式值和秩。
行交换是可逆的，即交换任意两行后，可以通过再次交换这两行来恢复原始矩阵。
行倍乘
行倍乘是指将矩阵中的某一行 乘以一个非零常数。
行倍乘不改变矩阵的行列式值， 但会改变矩阵的秩。

线性代数 第一章、矩阵

线性代数 第一章、矩阵

张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,

线性代数第一章 矩阵

线性代数第一章 矩阵

16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

第一章线性代数

第一章线性代数

2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)

线性代数第一章矩阵的转置

线性代数第一章矩阵的转置
矩阵转置的性质
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。

线性代数第一章行列式

线性代数第一章行列式

04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。

线性代数-第一章总结

线性代数-第一章总结

第一章 行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。

行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。

本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。

理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。

本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。

§ 1 二阶、三阶行列式一、内容提要 1．二阶行列式的定义2112221122211211a a a a a a a a -= 其中ij a 称为行列式的元素，ij a 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。

二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：2111 a a -+2212a a =21122211a a a a -其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。

2．三阶行列式的定义333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：+- 333231232221131211a a a a a a a a a其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。

二、例题分析例1 求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+342232121x x x x解： 由于系数行列式 4123=D 0101243≠=⨯-⨯= 2324243221=⨯-⨯==D ， 7123331232=⨯-⨯==D 所以方程组有唯一解为： 2.011==D Dx ， 7.022==DD x 。

线性代数第一章课件

线性代数第一章课件

（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第


j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1

线性代数 第一章(知识点汇总)

线性代数 第一章(知识点汇总)

第一章 行列式1.2排列及其逆序数定义1.1 由n 个不同的数1，2，··· ，n 排成的一个有序数组，称为一个n 级全排列，简称n 级排列。

定义1.2 在一个n 级排列n i i i 21中，如果有某个较大的数t i 排在较小的数s i 的前面，即)(t s i i s t >>时，就称t i 与s i 构成了一个逆序。

一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。

记为)(21n i i i t 。

定义1.3 逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。

规定逆序数为零的排列为偶排列。

定义1.4 在一个排列n t s i i i i 1中，如果互换两个数s i 和t i 的位置，其他的数位置不变，由此得到一个新的排列n s t i i i i 1。

这种变换称为一个对换，记为对换),t s i i （。

定理1.1 任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性发生改变。

定理1.2 在全体)1(>n n 级排列中，奇排列与偶排列各占一半。

1.3 n 阶行列式的定义定义1.5 由2n 个元素ij a 组成的符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式。

n 阶行列式的值定义为所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积项nj n j j a a a 2121的代数和，即∑-==nn n j j j nj j j j j j t nnn n nn a a a a a a a a a a a a D 21212121)(212222111211)1(其中)(21n j j j t 为排列n j j j 21的逆序数，和式是对自然数1，2，··· ，n 的所有可能的n 级排列n j j j 21所对应的乘积项求代数和。

在n 阶行列式D 中，横排为行，纵排为列。

),,2,1(n i a ij =称为行列式第i 行，第j 列的元素。

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，


k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k





0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2

线性代数第一章

线性代数第一章

a1n aM2n , amn
称为m行n 列矩阵, 简称m n 矩阵. 其中aij称为矩阵
的第i行第 j 列元素, 也称为矩阵的(i, j)元.
矩阵常用大写英文字母表示，如 A, B,C,L . 有时记作 [aij ], Amn，或[aij ]mn .
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
65 3 2
6 0
r2 2r1
r3 r1 r3 4r1
0 0
1 1
2 2
0 0
3 3
2 2
4 7 6 14 5 12
0 1 2 2 1 4
1 2 1 3 1 2
1 2 1 0 5 7
r3 r2
r3 r2
0
1
2 0 3 2 12r3 0 1
20
3
2
r3 r4 0 0 0 2 4 6 r13r3 0 0 0 1 2 3
L
am1 am2 L
a1n aM2n aij amn
当P = R时 , 矩阵A称为实矩阵； 当P = C时 , 矩阵A称为复矩阵.
特殊矩阵
(1)零矩阵：元素全为零的矩阵，记作 Osn , 或O .
(2)行向量(矩阵)：只有一行的矩阵. (3)列向量(矩阵)：只有一列的矩阵.
同型矩阵：行数、列数均相等的两个矩 阵.
转置矩阵
定义1.2.3 将一个m n矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2
n
M
amn
的行依次变列(或列依次变行)所得到的n m 矩阵
a11 a21 L
a12

线性代数_第一章

线性代数_第一章
n( n 1) -I=5*4/2-6=4 2
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16

实用线性代数课件第一章

实用线性代数课件第一章
线性代数
第一章 矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一， 矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者 之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可 以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数； 同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B


2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵

a11 a21
a12 a22
b1 b2

，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵

a11 a21
a12 a22

，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩 阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A

B


2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有： （1） 加法结合律 (A B) C A (B C) （2） 加法交换律 A B B A （3） 数乘结合律 k(lA) (kl) A （4） 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA

线性代数第一章

线性代数第一章

其中a11 a22 − a12 a21 = 0. 为了给出方程组解的表示规律, 我们先给出二阶行列式的定义. 1. 二阶行列式 对于给定的四个数: a11 , a12 , a21 , a22 , 按照下述方式排成队二行二列的数表 a11 a21 a12 a22 ,
规定表达式a11 a22 − a12 a21 为上述数表的二阶行列式, 记为 a11 a21 a12 = a11 a22 − a12 a21 , a22 其中aij 的第一个下标i为行标, 表示元素aij 所在的行; aij 的第二个下标j 为列标, 表示元素aij 所在的 列; aij 称为行列式的(i, j )元. 另外, 我们称连接数表左上角与右下角元素的线为主对角线; 连接右上角与左下角元素的线为副对角 线. 上述二阶行列式可以看成是其主对角线上元素的积减去副对角线上元素的积(对角线法则). 根据二阶行列式的定义, 上述二阶线性方程组的解可以表示成 b1 a22 − a12 b2 = a11 a22 − a12 a21 b1 a12 b2 a22 a11 a12 a21 a22 a11 b2 − b1 a21 = a11 a22 − a12 a21 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
徐明华
线性代数
3
问: (1)当λ为何何值时, D = 0; (2)当λ为何何值时, D = 0. 解: (1) D = λ2 − 3λ, 当λ = 0或λ = 3时, D = 0; (2) 当λ = 0且λ = 3时, D = 0. 例3. 见教材pp. 2, 例1. 二 三阶行列式 1. 定义: 设有9个数排成如下3行3列数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
常州大学教案

线性代数课件第一章

线性代数课件第一章
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到 大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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4
主要内容
向量 矩阵
二次型



矩阵的特征 值、向量
线性方程组

行 列 式
5
第1讲 低阶行列式 一、一个新的数学符号
， ， ， ， 等 功能（性质）符合 ，
b
运算符号
， ， ， , lim, 等
a x
介绍一个新的运算符号 a11 a12 a1n -------行列式
19
x 0 ex、计算行列式D 0 y
y x 0 0
0 y x 0
0 0 y x
20
21
第2讲 n 阶行列式
a11 a 21 Dn a n1
a12 a 22
a1n a2n
n n
?
a n 2 a nn
行列式=不同行不同列元 素乘积的“代数和”
22


j1 j2 jn
7
x 2 ex2, 0的充要条件是。 2 x
a11 (2), a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a33
a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
1 2 4 1 2 4
2 5 1 2 8 10 3 1 2 8 9 3 27 3 1 9
11
3，交换两行，其值变号；
2 3 1 ex、计算D1 D2 , 其中D1 4 1 0 2 1 3 2 1 3 D2 4 0 1 2 3 1
12
可以推出：
1，两行相等 2, 两行成比例
行列式 n!个因子的代数和， 1 （其中正、负项各为 n!个。） 2
25
二、行列式的计算
a11 a21 Dn an1

a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
nn
j1 j2 jn
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
a12 a 22 a32
a 23 aij Aij (i 1,2,3) j 1 a33
a13
3
且有a11 Aj1 a12 Aj 2 a13 Aj 3 0, ( j 2,3)
D i j 即：ai1 A j1 ai 2 A j 2 ai 3 A j 3 0 i j
1
线性代数与解析几何
教材：《线性代数与空间解析几何》
赵礼峰 李雷 张爱华 王晓平 万彩云 编
2
学科特点
1.概念多，且概念之间联系紧密； 2. 内容比较抽象； 3.运算多且许多运算与数的运算有很大差别； 4.计算与证明有时不一定分得清楚； 5.教学任务重，部分同学有考研任务。
3
约法三章： 1、不影响我上课的情绪 2、根据上课进度自己从小册子 上选择作业( 每1周交一次） 3、保证保质保量地完成教学任务
D aij
nn
, D T D a ji
2 3
nn
1 验证D1 0 3
1 0
3
1 0 D2 2 2 2 3
1 2 0 2
以下仅考虑有关行的性质
10
2，某一行有公因子，可以提到行列式外
2 4 8 1 2 4 ex、D 5 10 40 2 5 10 40 9 3 27 9 3 27

i1i2 in
(i1i2 in ) ( 1 ) ai11ai2 2 ainn
26
1 0 ex1、D1 0
0 2 0

0 0 n
0 0 D3 n 0 2 0 1 0 0
27
1 2 n 0 2 n D2 0 0 n
17
ex, D
1 0 3 1
0 1 4 2
Байду номын сангаас
3 2 0 2
7 0 3 1
,求
1, A12 , A23； 2，A11 2 A12 2 A13 A14； 3，A11 A21 2 A31 2 A41。
18
t1 A11 t 2 A21 t 3 A31 t 4 A41 1 0 3 1 0 1 4 2 3 t1 2 0 2 t2 t3 t4
1、排列、全排列
1，2，3，4； 1，3，2，4； 2，4，3，1；
2、逆序，逆序数 3、奇（偶）排列 4、对换，对奇（偶）排列的影响
2， 1， 4， 5， 3 1， 2， 4， 5， 3 5， 1， 4， 2， 3
24
由n个数组成的排列中：
1、共有n!个排列； 1 2、奇、偶排列各有 n!个。 2
7
7
28
1 2 2 1 3 x ex3、方程； 3 4 3 4
3 4 3 4 0，的根为 。 1 2 1 6 x2
29
三
n阶行列式的计算
a b b b a b ex1, D , ( a b) b b a
30
1 x1 ex2, D 1 1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
i1i2 in
(1)
(i1i2 in )
ai11ai2 2 ainn
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
(1)
i, j
(i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
23
一、一些基本概念、结论
1

1 1 , ( x j 0)
1 x2 1
1 xn
31
a1 x ex3, D x x
x a2 x x
x

x x x , (a j 0)
x a3 x
an
32
33
1 27 0 0
1 1 1
1
1
1 1 0
1 3 27 1
3 27 0 4 0
14
5，一个行列式可以以某行为基础拆
成两个行列式之和。
a
b
c
验证D D1 D2 其中D 2a a b a c 1 2 3 a b c a b c D1 a b c , D2 a a a 1 2 3 1 2 3
a21 an1 a22 a2 n an 2 ann
nn
6
?
规定：
(1),
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
x D2 y y x
1 2 ex1, D1 3 4
sin D3 cos cos sin
a b a b D4 a b a b
其值为零。
ex, 验证：D1 D2 0, 其中 1 D1 1 x 1 1 y 1 z 2 a 1 1 b c
13
1 , D2 10 5 5
4，某一行元素同乘一常数后加入另一行， 其值不变。！！
102 103 105 ex : 计算行列式D 75 76 78 10 11 14 27 27 27 1 1 1 75 76 78 27 75 76 78 10 11 14 10 11 14
15
三、行列式的展开
1，行列式的子式、余子式；元素的余子式 代数余子式
ex,已知：D x 2 1 6
2
0 1 1 y
2x 2y y 2
xy x 1 0
，求
(1), 第一、三行，二、四列 的子式，余子式； (2), 元素x , y的余子式，代数余子式 .
16
2
2，展开定理
a11 D a 21 a31
行列式=不同行不同列元素 乘积的“代数和”
8
x 2 0 ex3, f ( x) 2 x 0 , 求： 1，方程f ( x) 0的根， 2 2 x 2, 解不等式f ( x) 0, 3，求f ( x).
1 ex4, 计算行列式 2 3
0 1 0
3 2 的值。 2
9
二、行列式的性质 1、转置行列式其值不变
x 3 x ex2、f ( x) x4 4
x2 x 0 3
1 2 x 4
0 1 , 则： 2 x
1，f ( x)的次数为 ； 2，其系数为 。
a12 a21a33 a44 1x ,
7
a12 a23 a 31 a44 2 x 3 x