人教A版高中数学必修1方程的根与函数的零点-1(教案)

《方程的根与函数的零点》的教学设计教学内容：《人教课标A版数学必修I》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。

教学目标：知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。

教材分析：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。

因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。

本节课要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。

它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，是对本章函数知识的加深与总结，同时也是对函数知识的总深拓展。

把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。

教学重点难点：1.重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

2.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。

教学流程：一、创设情境、引出问题：1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

3.1.1 方程的根与函数的零点（第一课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，会将求方程的实数根问题转化为求相应函数零点的问题，在学习过程中，从具体函数抽象出函数零点定义培养学生直观想象、数学抽象素养，在将求方程的根转化为函数零问题过程中培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.（二）学习目标1.能够结合一元二次方程的根与一元二次函数图像之间的联系，说明方程的根、相应函数与x轴交点的横坐标之间的关系，理解函数零点的定义．将它们之间的关系推广到一般情形，理解三者之间等价的含义.2.对求解方程的根的问题能够进行方法选择，能利用函数图像和性质判断某些函数的零点个数.3.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数.（三）学习重点1．探究方程的根与函数的零点、函数图像与x轴交点横坐标之间的关系．2．对方程的根与函数的零点、函数图像与x轴交点横坐标之间等价关系的理解和应用．3．对求方程的根方法的选择，能利用函数图像和性质判断某些函数的零点个数．将求方程的根转化为函数零点问题的意识和能力．（四）学习难点1．方程的根与函数零点的关系；2．利用函数图像和性质判断某些函数的零点个数.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第86页至88页（例1之前）．（2）想一想：函数的零点是如何定义的？与相应方程的根有什么关系？与函数图像有什么关系？（3）写一写：求方程x2-x-6=0的根，并画出函数y= x2-x-6的图像，观察这两者之间有什么关系．2．预习自测（1）利用函数图像判断方程2x2－5x＋3＝0有没有根，有几个根.【知识点】函数的零点与方程根的关系.【数学思想】数形结合.【解题过程】画出函数2=-+的图像，图像与x轴交点的个数即方程的根的个数.253y x x【思路点拨】将方程根的问题转化成函数零点问题.【答案】有两个根.（2）函数y=x2+6x+8的零点是（）A．2,4 B．-2，-4 C．1,2 D．不存在【知识点】函数零点.【数学思想】函数与方程思想.【解题过程】y=x2+6x+8=0解得x=-2或x=-4.【思路点拨】将零点问题转化为方程求解.【答案】B．（3）函数f(x)= x2+4x+4在区间[-4,-1]上（）A．没有零点B．有无数个零点C．有两个零点D．至多一个零点【知识点】函数的零点.【数学思想】数形结合、方程与函数.【解题过程】x2+4x+4=0得x错误！未找到引用源。

模块必修一第三单元第3.1.1节方程的根与函数零点教学案 课时：第一课时 课型：新授 编者： 日期： 年 月 日 三维目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.自主性学习1、旧知识铺垫 复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关2、新知识学习探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？总结：零点的定义反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？探究任务二：零点存在性定理问题：① 画出二次函数()223f x x x =--的图像,观察函数在区间[-2,1]上有无零点,计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现他们的乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也有这种特点呢？通过函数的图象和计算发现：()()21f f -⋅__0，()223f x x x =--在（－2，1）有零点_______，它是2230x x --=的根。

课题：方程的根与函数的零点教材：人民教育出版社A版必修1教学目标：1.知识与技术(1) 结合二次函数的图像，把握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 明白得方程的根和函数零点的关系。

(3) 明白得函数零点存在的判定条件。

2.进程与方式(1)观看熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点概念。

和观看函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2)从具体的例子中归纳一样的，共性的性质定理。

3.情感态度与价值观(1)培育学生用联系的观点看待问题(2)感悟由具体到抽象、由特殊到一样地研究方式，形成严谨的科学态度教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，把握零点存在的判定条件。

教学难点：探讨发觉函数零点的存在性。

教学方式与手腕：启发—探讨—讨论教学进程:一.创设情境，引出课题观看下表，求出表中一元二次方程的实数根，依照相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标.并找出一元二次方程的实数根与相应的函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.函 数 图 象 （简图）方程的实数根函数的图象与轴的交点结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图像与x 轴交点的横坐标相等. 二．总结归纳，形成概念一、函数的零点：关于函数)x (f ，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数)x (f y =的零点．辨析练习：函数223y x x =--的零点为( )A 、（-1，0）、（3、0）B 、（-3，0）、(1,0)C 、－１和3 ( 设计用意: 利用辨析练习，来加深学生对概念的明白得．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.)二、三个等价关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．(设计用意:引导学生得出三个重要的等价关系，表现了“转化”和“数形结合”的数学思想)题型一：求函数的零点1.求函数12)(-=x x f 的零点；2.求函数x lg )(=x f 的零点．(设计用意:巩固函数零点的求法，渗透二次函数之外的函数零点情形．进一步体会方程与函数的关系． )小结：1．求函数零点的方式：代数法、几何法2．代数法求函数零点的步骤：三.探讨:零点存在性问题: 什么条件下函数)x (f 在在区间(a, b)存在零点? （1）观看二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____（＜或＞）．（2）观看下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上_____(有/无)零 点； )(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上_____(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上_____(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．(3)观看以下图象(设计用意:引导学生归纳总结函数零点存在定理,分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮忙学生明白得,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生明白得定理的本质． )结论：零点的存在性定理若是函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是持续不断的一条曲线,而且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c ∈(a, b),使f(c)=0, 那个c 也确实是方程f(x) = 0的根．定理辨析：关于函数f(x)，假设f(-2)f(4)<0，那么以下判定中正确的选项是（ ） A.方程f(x)=0在区间（－２，４）上必然有实根 B.方程f(x)=0在区间（－２，４）上必然无实根 C.方程f(x)=0在区间（－２，４）上必然有两个实根 D.方程f(x)=0在区间（－２，４）上可能无实根试探：函数何时只有一个零点？ 函数零点存在且唯一的判定方式： 函数y=f(x)在区间[a,b]上 ①图象持续； ②f(a)•f(b)<0；③假设函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数， 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点且唯一.题型二：判定函数零点所在的区间二、方程 在以下哪个区间有实数根（ ） A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)题型三：求函数零点的个数(设计用意:通过题型分析，使学生能依照零点存在性定理，利用多种方式确信零点所在的区间，而且结合函数性质，判定零点个数)．四.课堂小结： 1．函数的零点：2．一个关系：函数零点与方程根的关系: 3．两种思想：函数方程思想；数形结合思想．4．三种题型：求函数零点、确信零点个数、求零点所在区间．1、函数 的零点所在的大致区间是（ ）x x x f 3log )(2-=A 、(1,2) B 、(2,3) C 、(3,4) D 、(e,+∞)xx f 2)(.2=62x lnx )(.3-+=x f 01x x 3=-+x x y 2.12-=五.课后作业：1.函数1x x )x (f 3-+=在以下哪个区间有零点（ ） A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3)2.函数64x x y 2-=的零点的个数是 ( ) .1 C3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为 ( )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)4．假设函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点是２和３，那么函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点是 ．5.假设函数6)4()(2+--=x k x x f 无零点,那么k 的最小整数值是 6．已知函数1x ax )x (f 2--=（1）若是函数的一个零点为２，求a 的值．（2）假设函数在R 上恰有一个零点，求实数a 的取值范围.（3）假设函数在区间（0，1）上恰有一个零点，求实数a 的取值范围.六．板书设计:《方程的根与函数的零点》教案说明新课程中第三章“函数的应用”的重点是“通过二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处置问题的意识。

方程的根与函数的零点一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。

学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。

作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。

（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。

三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。

2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。

四、教学重点、难点与关键（1）重点：零点存在定理的发现。

（2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。

（3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。

五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的探究模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：让学生在自主探究中，学会发现问题并解决问题，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。

、函数零点的定义：对于函数()y f x =，把使0=的实数x 叫做函数(y f x =_x_ - 1_0 _ - 1 _ - 2_3 _2 _1_4_3_2_1设计理念:本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同辨析研讨——形成概念结论——应用举例巩固提高”的探究模式，教师真正担当学习情境的创设者，学生探究中的引导者，学生学习中的合作者；而学生则成为新知识的探索者、发现者、建构者，使学生在获得知识的同时，能够掌握学习数学的思维方法、提升进一步学习新知识的能力。

3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)教学目标：知识与技能：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.过程与方法：零点存在性的判定.情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定.一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系?先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型.方程x22x30与函数y 2 x2x3;方程 2x2x10与函数y 2 x2x1；方程 2x2x30与函数y 2 x2x3;交点的横坐标.二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数y f (x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f (x)的零点(zero point ).显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.一兀二次方程ax bx c0(a0)有两不同根就是相应的—次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)无实数根就是相应的二次函数y 2 ax bx c0的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2bx c0(a 0)的根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴的再请同学们解方程, 并分别画出三个函数的草图.方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x 轴有交点 函数y f(x)有零点.2、函数零点的判定:第I 组能说明他的行程中一定曾渡过河 ，而第n 组中他的行程就不一定曾渡过河。

《方程的根与函数的零点》教案教材：人教A版教材必修1一、教材分析（一）内容《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2.通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．3.在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教法、学法与教学手段在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点（教案）【课 型】新授课 【教学目标】（一）知识与技能：1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。

2．培养学生自主发现、探究实践的能力。

（二）过程与方法：通过研究具体二次函数，探究函数存在零点条件和存在零点的判定方法。

从具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。

（三）情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

鼓励学生通过观察类比提高发现、分析、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。

【教学难点】 1、引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理。

2、函数零点个数的确定。

【教学过程】设置情景 提出问题【动手】求解下列一元二次方程①2230x x --= ②2210x x -+= ③2230x x -+= 【动手】画出下列函数的图象，①223y x x =-- ②221y x x =-+ ③223y x x =-+【设问】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠形式和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的解析式有什么关系？2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？3.方程()0f x = 与函数()y f x = 之间存在哪些关系？分析问题 寻找规律【观察】1。

当①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 值等于零时，分别得的什么？【结论】当二次函数①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 等于0 时，即可得到一元二次方程①2230x x --=、②2210x x -+=、 ③2230x x -+=。

3.1.1 方程的根与函数的零点（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.2．过程与方法由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.3．情感、态度与价值观在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.（二）教学重点与难点重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.（三）教学方法在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入观察下列三组方程与函数方程函数x2–2x–3 =y=x2–2x–3x2–2x+1 = 0 y=x2–2x+1x2–2x+3 = 0 y=x2–2x+3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系师生合作师：方程x2– 2x–3 = 0的根为–1，3函数y = x2– 2x– 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)生：x2– 2x + 1 = 0有相等根为1.函数y= x2– 2x + 1与x轴有唯一交点 (1，0).x2– 2x + 3 = 0没有实根函数y = x2– 2x + 3与x轴无交点以旧引新，导入课题概念形成1.零点的概念对于函数y=f (x),称使y=f(x)= 0的实数x为函数y=f (x)的零点2.函数的零点与方程根的关系方程f (x) = 0有实数根⇔函数y = f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y = f (x)的零点3.二次函数零点的判定对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2– 4ac师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义师：考察函数①y = lg x②y = lg2(x + 1) ③y = 2x④y = 2x– 2的零点生：①y = lg x的零点是x = 1②y = lg2(x + 1)的零点是x=0③y = 2x没有零点④y = 2x– 2的零点是x = 1归纳总结感知概念分析特征形成概念判别式方程ax2 +bx + c = 0的根函数y = ax2+ bx + c的零点△＞0 两不相等实根两个零点△=0 两相等实根一个零点△＜没有实根0个零点概念深化引导学生回答下列问题①如何求函数的零点？②零点与图象的关系怎样？师生合作，学生口答，老师点评，阐述生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根②零点即函数图象与x轴交点的横坐标③求零点可转化为求方程的根以问题讨论代替老师的讲援应用举例练习1.求函数y= –x2–2x+3的零点，并指出y＞0，y = 0的x的取值范围练习2.求函数y =x3– 2x2–x+ 2的零点，并画出它的图象练习 3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）–x2+3x+5 = 0；（2）2x (x–2)= –3；（3）x2 = 4x– 4；（4）5x2+2x=3x2+5.学生自主尝试练习完成练习1、2、3生：练习1解析：零点–3，1x∈(–3，1)时y＞0(,3)(1,)x∈-∞+∞U时y＜0练习2解析：因为x3–2x2–x+2 = x2(x –2) –(x– 2) = (x–2) (x2–1) = (x– 2) (x–1) (x + 1)，所以已知函数的零点为–1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：(,1]-∞-，[–1，1]，[1，2]，[2,)+∞在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：x…–1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …y…–4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示练习3解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.（2）2x (x– 2) = –3可化为2x2–4x+3=0令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x(x–2) = –3让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力无实数根（3）x2 = 4x– 4可化为x2– 4x + 4 = 0,令f (x) = x2– 4x + 4，作出函数f (x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 = 4x– 4有两个相等的实数根（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x– 5 = 0，令f (x) = 2x2 + 2x–5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根师：点评板述练习的解答过程归纳总结（1）知识方面零点的概念、求法、判定（2）数学思想方面函数与方程的相互转化，即转化思想借助图象探寻规律，即数形结合思想学生归纳，老师补充、点评、完善回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力课后作业3.1 第一课时习案学生独立完成固化知识，提升能力备选例题例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2– 6x + 8| = a的实数解的个数.【解析】令f (x) = |x2– 6x + 8|，g (x) = a，在同一坐标系中画出f (x)与g (x)的图象，如图所示，f (x) = | (x– 3)2– 1|，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a＜0时，原方程无实数解；当a = 0时，原方程实数解的个数为3；当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；当a＞1或a = 0时，原方程实数解的个数为2.。

优质资料---欢迎下载§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教具准备】多媒体课件【教学过程】一、创设情境，引入新课1、方程解法史话（1）花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

（2）阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。

2、问题1：(1)画出函数y=x-2的图象；(2)求出方程x-2=0的解。

问题2：函数图象与x轴的交点坐标与方程的根有什么关系？结论：函数图象与x轴交点的横坐标就是方程x-2=0的根。

3、问题3：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0引申：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系？结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

4、问题4：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？结论: 函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。

对于函数的这一特征，在数学上我们称为函数的零点，这也就是我们今天所要学习的内容———方程的根和函数的零点二、 讲解新课1、函数的零点定义：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

必修一 3.1.1 方程的根与函数的零点
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
（2）了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系；
（3）了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间.
2.过程与方法：
（1）体验二次函数的图象与轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；
（2）经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；
（3）在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来研究问题.
3.情感态度价值观：
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
【重点难点】
1.教学重点：理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识．
2.教学难点：函数零点存在的条件．
【教学策略与方法】
1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
有零点方程有实数根0(a c +
结论：如果函数y f =图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，加强定理的结论:若在区间],[b a 上连续函
解：用计算器或计算机作出x ，(x)f 的对由表和图可知，则(2)(3)0f f < ，这说明函数(2,3)内有零点.由于函数(0,)+∞内是增函数，所以它仅有一个零点。

3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点单位：青铜峡市高级中学王惠一．教学内容分析本节内容是高中数学人教版必修一第三章函数的应用第一节函数与方程第一课时方程的根与函数的零点；课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。

本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想、“转化”、“函数与方程”、“特殊到一般”的思想。

本节充分体现了函数图象和性质的应用。

因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法。

二、教学目标1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3、能利用函数图象判断某些函数的零点个数及所在区间；4.经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力，体会从特殊到一般的转化的数学思想。

三、学情分析通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。

其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样就使得方程与函数联系的过渡使学生容易理解掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点。

四、教学策略选择与设计本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程。

课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。

“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

这些内容是求方程近似解的基础。

本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。

为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。

【教学目标】1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。

【学情分析】1.学生具备的知识与能力(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。

(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2. 学生欠缺的知识与能力(1)超越函数的相关计算及其图象性质.(2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出来.【重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系，掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2．过程与方法通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。

二、教学重点与难点重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，零点存在的判断。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

三、教学过程（一）发现问题，引出课题问题 1 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x 叫做函数y=f（x）的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0y=f（x）的图象与x轴有交点函数y=f（x）有零点（零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的）。

例1、求下列函数的零点求零点方法总结：代数法：令f （x ）=0；解方程f(x)=0；写出零点. 几何法：找出函数图象与x 轴交点的横坐标. 3、观察下面函数)(x f y =的图象判断()()()()()()f a f o f b f c f d f e 、、、、、的值得符号。

判断()()f a f b 、()()f b f c 、()()f a f e 、()()f o f b 、()()f c f d 、()()f b f e 的值得符号。

高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案 新人教A 版必修1四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。

板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。

板书（方程的根与函数零点的等价关系）。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。

如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。

方程的根与函数的零点教案教师教学过程设计一． 复习引入：考察下列一元二次方程与对应的二次函数：（1）方程 x2-2x-3=0 与函数y= x2-2x-3；（2）方程 x2-2x+1=0 与函数y= x2-2x+1；（3）方程 x2-2x+3=0 与函数y= x2-2x+3.求出方程的根，作出函数的图像，并标出图像与X 轴交点坐标。

二． 新授：知识探究（一）：函数零点的定义问题1：根据以上结论，一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a ＞0)的实根与对应的二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点有什么关系？问题2：一般地，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述关系适应吗？定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点问题3：那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么数？函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法？函数y=f(x)有零点方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与x 轴有公共点.注：函数的零点不是点，而是函数所对应的方程的根，或是函数图像与X 轴交点的横坐标。

它具有数与形的双重意义。

练习：求下列函数的零点28x y =- 知识探究（二）：函数零点存在性定理问题4: 二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？观察函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点，计算f(-2)与f(1)乘积，并将之与0比较大小.在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？问题5： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b ）内一定有零点吗？函数零点存在性定理：如果①函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且②有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈(a ，b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.xlog 2y 3+=思考1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述定理适应吗？思考2：反过来，函数y=f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？思考3:满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗? 还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点?练习：1。