不等式及三角形练习

三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。

三角形、不等式、数列练习题一、选择题 1、若110ab<<，则下列结论不正确的是（ ）22.A a b< 2.B a b b < .2ab C ba +>.|||||D a b a b+>+ 2、在A B C ∆中，11,20,130a b A ︒===，则此三角形（ ）.A 两解.B 只有一解 .C 无解D解得个数不确定3、{}n a 为等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（ ）1.2A .2B - .4C .5D4、不等式1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩表示区域内的整点个数为（ ）.0A.2B .4C .5D5、不等式241270x x -->与20x px q ++>的解相同，则:p q =（ ）.12:7A .7:12B .12:7C - .3:4D - 6、在A B C ∆中，()()2a c a c b bc +-=+，则A =（ ）.30A ︒.60B ︒.120C ︒ .150D ︒7、变量,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值为（ ）.2A.3B .4C .5D8、数列{}n a 的前n 项和为n s 满足221n s n n =+-则（ ）.21,n A a n n N +=+∈ ()()21.212,n n B a n n n N +⎧=⎪=⎨+≥∈⎪⎩.21,n C a n n N +=-∈ ()()21.212,n n D a n n n N +⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩9、等比数列{}n a 中，256,15a a ==，若2n n b a =，则数列{}n b 的前52项和为（ ）.30A .45B .90C .186D10、某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）lg 20.3010=.5A.10B .14C .15D二、填空题11、{}n a 为等差，且1390,,,d a a a ≠成等比，则1392410a a a a a a ++=++_______。

专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析 设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析 求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析 由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析 如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析 设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析 令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析 由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析 由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 方法一 由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二 同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。

不等式(组)及三角形练习一．选择题1.在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是 （ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－122.方程组43283x m x y m +=⎧⎨-=⎩的解x 、y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是 （ ）A.910m >B. 109m >C. 1910m >D. 1019m > 3．若不等式组有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ． 4．关于x 的不等式的整数解共有4个，则m 的取值范围是 ( )A ．6＜m ＜7B ．6≤m ＜7C ．6≤m ≤7D ．6＜m ≤75．某班有学生48人，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有 （ ）A ．20人B ．19人C ．11人或13人D ．20人或19人 若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足2210<<m ，则这样的三角形有 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个6．如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2 等于 （ ） A 、90° B 、135° C 、270° D 、315°第6题 第7题 第8题7.如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=50°，则 ∠BPC 等于 （ ） A 、90° B 、130° C 、270° D 、315°8.如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于 （ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩53m ≤53m <53m >53m ≥0721x m x -<⎧⎨-≤⎩_9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有 （ ） A.4对 B.5对 C.6对 D.7对10．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 11．如图四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是 （ ）二．填空题 12．若不等式组2,x x m <⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是____ __． 13．若不等式组2,20x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是－1<x<1，则（a+b ）2006=__ ___．14.当X_______ ___时,代数式251x -的值不小于代数式4323+-x的值. 15.若不等式组⎩⎨⎧><b x ax 的解集是空集，则a 、b 的大小关系是_______________.16．若不等式组1,21x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围17．如果(1)5,24a x a x -<+⎧⎨<⎩的解集是x<2，则a 的取值范围是___ __；18.若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 ．19.不等式组2x x a >⎧⎨>⎩的解集为x ＞2，则a 的取值范围是______ _______. ABEA B C D (D)E C A (C)E C B A (B)E C B A (A)E A20.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为－1＜x ＜1，那么（a ＋1）（b －1）的值等于__ ______.21.若不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，则a 的取值范围是___________ ____.22.已知，且，则k 的取值范围是___ _____．23． 某种药品的说明书上，贴有如右所示的标签，一次服用这种药品的剂量设为x ，则x 范围是 .24.若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是 。

不等式解三角形数列高考试题精选一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞05．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．30．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．31．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．32．设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和．33．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．34．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3．（1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n } 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列的前n 项和T n ．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．不等式解三角形数列高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：613．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n+1S n，+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=75°．【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sinB==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos （2A ﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC ，利用正弦定理化简得：b=c ，代入a ﹣c=b ，得：a ﹣c=c ，即a=2c ，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A 为三角形内角， ∴sinA==，∴cos2A=2cos 2A ﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos （2A ﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．30．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +ccosB=2b ，则= 2 ．【解答】解：将bcosC +ccosB=2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinCcosB=2sinB ， 即sin （B +C ）=2sinB ， ∵sin （B +C ）=sinA ， ∴sinA=2sinB ，利用正弦定理化简得：a=2b ， 则=2． 故答案为：231．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ， 则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n===﹣（2+（﹣2）n+1），则S n+1=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2S n，即S n+1+S n+2=2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．32．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．33．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣1【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．34．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；=b n b n+1，求数列（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1的前n项和T n．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n}为各项非零的等差数列，所以S2n=（2n+1）b n+1，+1=b n b n+1，又因为S2n+1所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1两式相减得a n﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，即a n+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．。

解三角形，数列，不等式练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（ ）（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 482、ABC ∆中，已知o A c a 30,10,25===则C=（ ）（A ）o 45 （B ）o 60 （C ）o 135 （D ）o 13545或o3．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-4．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=( )A ．090B ．060C ．0135D ．01506．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1927．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．88.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ． – 4B ．－6C ．－8D ．－109．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b10．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －14二、填空题1.已知数列{}n a 的前n 项和为12+=n S n 则数列的通项公式=n a _____2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

三角形不等式综合班别：姓名：成绩：一、填空题(每空4分，共36分)1．已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．(第1题图) (第5题图) (第6题图) 2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为．3．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为．4．“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是．5．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝.6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.7．在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .8．正三角形的边长为a，则它的面积为．9．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件是，结论是．二、选择题(每空4分，共28分)10．至少有两边相等的三角形是( ) A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形11.以下命题中，正确的是( )A．一腰相等的两个等腰三角形全等. B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高.C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等. D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条.12．一架2.5 m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯足将滑( ) A．0.9 m B．1.5 m C．0.5 m D．0.8 m13．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形14．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm15．下列定理中，没有逆定理的是( )A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形两腰上的高相等C．全等三角形的周长相等D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似16．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定三、解答题(每小题9分，共36分)17．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB.18．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．19．只给你一根卷尺，请设计出合理的方案，检测一墙壁是否与地面垂直．20．如图，CA=CB，DA＝DB，EA＝EB．(1)C、D、E三点在一条直线上吗?为什么?(2)如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少?21、有一群猴子,一天结伴去偷桃子.分桃子时,如果每只猴子分3个,那么还剩下59个;如果每只猴子分5个,就都分得到桃子,但有一个猴子分得的桃子不足4个.请问有几只猴子,几个桃子?1、某企业有员工300人，生产A 产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。

2013-2014学年度第二学期解三角形和不等式的大题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）（1，求)(x f 的取值范围；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．【答案】2．已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x =，1()2f x m n =⋅-. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =,1()22Af =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.【答案】（1）()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2） 3．已知函数f(x)＝22x x a x＋＋，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）6（2）()3,-+∞ 4．(1)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值； (2)已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）y max ＝1.（2）最小值为165．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐，6．设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－－，＋，，求z 的最大值和最小值．【答案】12 37．在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)求c 的值． 【答案】（1）32）5. 8．在△ABC 中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若2=b ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）4π=B ；（Ⅱ）12+.9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且cosA=31. （1）求2sin 2C B ++cos2A 的值;（2）若a=3,求bc 的最大值. 【答案】（1）－91（2）49. 10．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53． （1）求AC ； （2）求∠A ． 【答案】（1）5 （2） 120-=∠A11．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且21s in s in c o s c o s =-C B C B 。

1、如图（1），在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则D E D F += ．2、阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式(1)(2)x x --的值与0的大小 当1x <时，10x -<，20x -<，(1)(2)0x x ∴--> 当12x <<时，10x ->，20x -<，(1)(2)0x x ∴--< 当2x >时，10x ->，20x ->，(1)(2)0x x ∴--> 综上：当12x <<时，(1)(2)0x x --<当1x <或2x >时，(1)(2)0x x --> 满足 时，（3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(7)(8)(9)0x x x -+-<． 3、．已知Rt ABC △的周长是4+2，则ABC S =△ ． 4、如图，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.5、 有两个分数A=4444333，B=555554444，问：A 与B 哪个大？6、|2a －24|＋（3a －b －k ）2＝0，那么k 取什么值时，b 为负数． 7、一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？8、是否存在整数m ，使关于x 的不等式m x 31+＞m m x 9+与1+x ＞32mx +-是同解不等式？若存在，求出整数m 9、如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的图象相交于A(3，2)，则不等式(k 2－k 1)x ＋b 2－b 1＞0的解集为10、如果x ，y 满足不等式组3050x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，那么你能画出点(x ，y)所在的平面区域吗?11、如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点 P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解 集是_______________．图（1）ax －3 11题12、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？13、若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．14、学校举办“和徽章前，了解到如下信息：（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？15、如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交CD •于F ，FG ∥AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB 的数量关系，并说明理由16、把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE1（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点，与D 1E 1相交于点F ． （1）求的度数；（2）求线段AD 1的长；（3）若把三角形D 1CE 1绕着点顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．。

小题专练·作业(十四)一、选择题1．(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析 根据平面向量基本定理理解．由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．2．(2014·合肥质检)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形答案 B解析 由2a cos B ＝c ，得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c .所以a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C2＋12，所以2sin A ·sin B ·(2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C ＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0.因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12.因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选B.3．(2014·广州综合检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 D解析 依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.4．(2014·安徽示范性高中测试)已知D 是△ABC 中BC 边上的点，AB ＝22，AC ＝4，∠C ＝30°，∠BAC >∠B ，则满足AD ＝5的点D 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析 方法一 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠B ＝AC ·sin ∠C AB ＝4×sin30°22＝22，所以∠B ＝45°或∠B ＝135°.又∠BAC >∠B ，所以∠B ＝45°.若AD ＝5，则在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos ∠B ，即5＝8＋BD 2－2·22BD ·cos45°，解得BD ＝1或BD ＝3，所以满足条件的点D 的个数为2.方法二 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠B ＝AC ·sin ∠CAB ＝4×sin30°22＝22，所以∠B ＝45°或∠B ＝135°.又∠BAC >∠B ，所以∠B ＝45°.过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △ACE 中，因为AC ＝4，∠C ＝30°，所以AE ＝2.又AD ＝5，则AB >AD >AE ，所以满足条件的点D 的个数为2.5．(2014·潍坊期末考试)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12答案 C解析 易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.6．(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 先求出向量的模，再通过函数最值求解． |b ＋t a |2＝b 2＋2a·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a|·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a|2·|b |2－4|a|2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ.即θ确定，|b |唯一确定．7．(2014·皖南八校联考)设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点(其中a ，b ∈R )，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则实数a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝12答案 A解析 因为OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，所以|OA →|cos 〈OA →，OC →〉＝|OB →|cos 〈OB →，OC →〉，所以OA →·OC →＝OB →·OC →.因为A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)，所以(a,1)·(4,5)＝(2，b )·(4,5)，化简得4a －5b ＝3.8．(2014·武汉模拟)已知△ABC 的内角A ，C 满足sin Csin A ＝cos(A ＋C )，则tan C 的最大值为( )A. 2B.24C.22D.33 答案 B解析 因为sin Csin A ＝cos(A ＋C )，所以sin C ＝sin A cos(A ＋C )，即sin[(A ＋C )－A ]＝sin A cos(A ＋C )，整理得sin(A ＋C )·cos A ＝2sin A ·cos(A ＋C )，则tan(A ＋C )＝2tan A .因为sin Csin A ＝cos(A ＋C )>0.所以A 为锐角，则tan A >0.又tan C ＝tan[(A ＋C )－A ]＝tan (A ＋C )－tan A 1＋tan (A ＋C )tan A ＝tan A1＋2tan 2A＝11tan A ＋2tan A≤121tan A ·2tan A ＝24，当且仅当1tan A ＝2tan A 时等号成立，所以tan C 的最大值为24.9．(2014·江西五校联考)在棱长均为1的正四棱锥P －ABCD 中，点E 是BC 的中点，动点M 在四棱锥表面上运动，并且总保持ME →·AC →＝0，则动点M 的轨迹的长度总和为( )A ．2＋ 2B ．2＋22 C ．1＋22 D ．2答案 C 解析连接AC ，BD ，设其交点为O ，连接PO ，得AC ⊥BD ，AC ⊥PO ，所以AC ⊥平面PBD .过E 作与平面PBD 平行的平面EFG ，由ME →·AC →＝0，得M 在平面EFG 内，则点M 的轨迹的长度总和等于三角形PBD 周长的一半．因为BD ＝2，PB ＝PD ＝1，所以三角形PBD 的周长为2＋2，所以动点M 的轨迹的长度总和为1＋22，故选C.10．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元答案 C解析 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x＝8x ，即x ＝2时取得等号．11．(2014·江南十校联考)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463 C ．4 3 D ．6 2答案 B解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得BC ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763，故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.12．(2014·江西二校联合测试)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2；圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )的圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1.所以|CM |＝(5cos θ)2＋(5sin θ)2＝5，圆M 上任意一点P 到点C 的距离的取值范围为4≤|PC |≤6，设|PE |2＝|PF |2＝t ，因为t ＝|PC |2－4，所以12≤t ≤32.因为cos ∠EPF ＝cos2∠FPC ＝2cos 2∠FPC －1＝2t t ＋4－1＝t －4t ＋4＝1－8t ＋4，所以PE →·PF →＝|PE ||PF |cos ∠EPF ＝|PE |2·(1－8t ＋4)＝t (1－8t ＋4)＝t ＋32t ＋4－8，设y ＝t ＋32t ＋4－8(12≤t ≤32)，因为y ′＝1－32(t ＋4)2≥1－32(12＋4)2＝78>0，所以函数y ＝t ＋32t ＋4－8在[12,32]上为增函数，所以y ≥12＋3212＋4－8＝6，即PE →·PF →的最小值是6，故选B.二、填空题13．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 由向量知识求出|AB →||AC →|的值，代入三角形面积公式求解． 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.14．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．答案 2解析 根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1，∴λ＝2.15．(2014·齐鲁名校联考)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且当x >1时，f (x )<0，若不等式f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )对任意x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，2]解析 ∵f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )，∴f (x 2＋y 2)≤f (a xy )．设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1×x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．∵x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)<0，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即x 2＋y 2≥a xy ，∴a ≤x 2＋y 2xy .而x 2＋y2xy≥2，∴a ≤2，∴0<a ≤ 2.16．(2014·江苏灌云期中)已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为________．答案 3或－1解析 ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3，∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1.17．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)答案539解析 先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值．如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠P AO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m.在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m ．所以cos ∠BCA ＝45. 所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40 x ＋625 m.所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539.18．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 求出定点A ，B 的坐标，并注意已知两直线互相垂直． ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10.∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．19．(2014·合肥质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①b a cos C <1－c a cos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB →·BC →·tan A ；③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1；⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.答案 ④⑤解析 设R 为△ABC 的外接圆的半径，对于①，将b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C 代入b a cos C <1－c a cos B 中，可得sin B cos C ＋sin C cos B <sin A ，即sin(B ＋C )<sin A ，可得sin A <sin A ，所以①错．对于②，由于△ABC 的面积为S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ，此时A 可以取π2，而在S △ABC ＝12AB →·AC →·tan A 中A 取不到π2，所以②错．对于③，将a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C 代入a cos A ＝c cos C 中，得sin A cos A ＝sin C cos C ⇒sin2A ＝sin2C ，故A ＝C 或A ＋C ＝π2，所以△ABC 不一定是等腰三角形，所以③错．对于④，必要性：因为△ABC 是钝角三角形且A 为最大角，即π2<A <π，所以0<sin A <1，－1<cos A <0，所以－1<sin A ＋cos A <1；充分性：因为－1<sin A ＋cos A <1，所以|sin A ＋cos A |<1，平方得sin2A <0，故π<2A <2π，即π2<A <π，所以A 为钝角，即△ABC 是钝角三角形，所以④对．对于⑤，由正弦定理，得3sin π3＝b sin B ⇒b ＝2sin B ，当B ＝π2时，b max ＝2，所以⑤对．20．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成，记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关；③若a ∥b ，则S min 与|b |无关；④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a|，S min ＝8|a|2，则a 与b 的夹角为π4. 答案 ②④解析 根据分类讨论思想及向量数量积定义求解．∵x i ，y i (i ＝1,2,3,4,5)均由2个a 和3个b 排列而成， ∴S ＝ i ＝15x i y i 可能情况有以下三种：(1)S ＝2a 2＋3b 2；(2)S ＝a 2＋2a·b ＋2b 2；(3)S ＝4a·b ＋b 2.∵2a 2＋3b 2－(a 2＋2a·b ＋2b 2)＝a 2＋b 2－2a·b ＝a 2＋b 2－2|a||b|cos θ≥0，a 2＋2a·b ＋2b 2－4a·b －b 2＝a 2＋b 2－2a·b ≥0，∴S 的最小值为S min ＝b 2＋4a·b.因此S 最多有3个不同的值，故①不正确．当a ⊥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2与|a|无关，故②正确．当a ∥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2＋4|a||b|或S min ＝b 2－4|a||b|与|b |有关，故③不正确．当|b |>4|a|时，S min ＝b 2＋4|a||b|cos θ≥b 2－4|a||b|＝|b|(|b |－4|a |)>0.故④正确．当|b |＝2|a|时，由S min ＝b 2＋4a·b ＝8|a |2，知4a·b ＝4a 2，即a·b ＝a 2，∴|a||b|cos θ＝a 2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，故⑤不正确．因此正确命题的编号为②④.。

客观题专练四 不等式、平面向量、解三角形一、选择题 (共12小题，每题5分。

每道题只有一个正确选项。

)1．(2016·全国Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·全国Ⅰ理，8)若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c3．(2016·全国Ⅲ，1)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞)4．(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310107．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－949．(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.11810.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,=3 ,则( ) A =-BCD11. (2014课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={|}，B=，则=（ ） .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=,c n+1=,则( ).A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列C .{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D .{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列二、填空题（共4道小题，每题5分，请将正确的结果填到横线上。

基本不等式和三角函数练习一、选择题1.63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D. 223 2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.944.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ）A ．4B ．6C ．9D ．1610．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．11．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．12. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________. 13.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.15. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。

16．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B 2－1，且向量m 、n 共线．(1)求角B 的大小； (2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．17、在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A,B,C 的对边.已知：)()22sin sin sin ,A C a b B ABC -=-∆的外（1）求角C 和边c ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值并判断取得最大值时三角形的形状.18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=+（I ）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆面积的最大值基本不等式和三角函数练习一、选择题1. 63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D.223 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.94【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解析】选D. 2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2.8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．16时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2.∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m 2＋2m 成立，即8＞m 2＋2m ，解得－4＜m ＜2.答案：D二、填空题10．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：1811．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．解析：∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.答案：23312. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.213.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ， 若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】3414.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-215. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。

三角形基础练习1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点.A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高2.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，3.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则△ABC 的面积 是( ) 则该等腰三角形的周长是( )A.24cm2B.30cm2C.40cm2D.48cm2 A.7㎝ B.9㎝ C.12㎝或者9㎝ D.12㎝4. 面积相等的两个三角形( ) A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对5．已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = .6.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是 。

8．Rt ⊿ABC 中，∠C=90º，∠B=30º，则AC 与AB 两边的关系是 ，9．在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 .10．在△ABC 中，∠A=40°，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 与D ，则∠DBC 的度数为 ．11.如图，在△ABD 和△ACD 中，已知AB ＝AC ， 12.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ；∠B ＝∠C ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．13.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ， 14.如图，ABC ∆中，DE A AC AB ，， 50=∠= 且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. 是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。

不等式易错题练习1．已知实数a满足不等式组化简下列式子的结果是（）A．3﹣2a B．2a﹣3 C．1 D．﹣12．2．若不等式组有解，则a的取值范围是A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜13．如果一元一次不等式组的解集为x＞3．A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜34．若不等式组无解，则a的取值范围是（）则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a=2 C．a＞2 D．a≥25．关于x的不等式组无解，则a的取值是（）A．a≤﹣1 B．a≥2 C．﹣1＜a＜2D．a＜﹣1，或a＞2 6．不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥17．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤88．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜29．若不等式组无解，那么a的取值范围是（）A．a＞6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤610．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜211．如果关于x的不等式组无解，那么不等式组的解集（）A．b﹣3＜x＜3﹣a B．3﹣b＜x＜3﹣a C．3﹣a＜x＜3﹣b D．无解12．不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤314．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．15．小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（）A．B．C．D．填空题16．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=____．17．已知不等式组无解，则a的取值范围是_________．18．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．19．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．20．如果不等式组无解，那么a的取值范围是_________．21．若不等式组无解，则m的取值范围是_________．22．若无解，则a的取值范围是_________．23．如果关于x的不等式（a﹣1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为_________．（1）一变：如果的解集是x＜2，则a的取值范围是_________；（2）二变：如果的解集是1≤x＜2，则a的取值范围是_________．24．不等式的自然数解有_________个．25．如图，如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有_________个．26．在平面直角坐标系中，点A（x﹣1，2﹣x）在第四象限，则实数x的取值范围是_________．。

三角形及不等式测试题1．如图中，CD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．2．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′=AB，CC′=2BC，AA′=3AC．若S△ABC=1，那么S△A'B'C'是（）A． 15B． 16C． 17D． 183．下列图中每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影面积不等于2的图形是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A． 1，2，4B． 8，6，4C． 12，5，6D． 2，3，66．为防止变形，木工师傅常常在门框钉上两条斜拉的木条（如图中的AB，CD），这样做是运用了三角形的（）A．稳定性B．灵活性C．全等性D．对称性7．如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为（）根．A．165B．65C．110D．558．如图，数轴上表示的是一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是（）A．﹣1，0，1，2B． 0，1，2C． 1，2D．﹣1，0，19．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．若a＞b，c＜0，则下列四个不等式中成立的是（）A．ac＞bcB．a b c cC．a﹣c＜b﹣cD．a+c＜b+c11．已知a＞b，c≠0，那么下列结论一定正确的是（）A．ac2＜bc2B．ac＜bcC．ac＞bcD．ac2＞bc212．若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．ba有最小值12B．ba有最大值1C．ab有最大值2D．ab有最小值8913．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2EB，点D是AC的中点，AE、BD交于点F，AF＝3FE，若△ABC的面积为18，给出下列命题：①△ABE的面积为6；②△ABF的面积和四边形DFEC的面积相等；③点F是BD的中点；④四边形DFEC的面积为152．其中，正确的结论有．（把你认为正确的结论的序号都填上）14．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP．若∠BPC=50°，则∠PAC=____ 度．15．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过_____次操作．16．图中可数出的三角形个数为_____个．17．不等式组43315x xxx⎧-≥⎪⎨->--⎪⎩的解集是_______．18．不等式组423123(x1)xxx⎧++≥⎪⎨⎪+>-⎩的整数解共有_______个．19．若不等式组220x ab x⎧->⎨->⎩的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=_______．20．若不等式组2123x ax b⎧-<⎨->⎩的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于_______．21．若关于x的不等式42322x xx a⎧++>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x＜2，则a的取值范围是_______．22．代数式|x﹣1|﹣|x+4|﹣5的最大值为_____．23．一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩至少有80分，则小明至多答错了_____道题．24．按如下程序进行运算：并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x的个数是．25．如图，在△ABC中，∠BAC=60°∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

不等式与三角形的组合练习本试卷总分100分，标准答题时间120分钟一选择题（本题共9小题，共计23分）1：根据不等式的性质，把x－3＜8，化成x＞a或x＜a的形式（）(2.0分)A. x＞11B. x＜11C. x＝11D. 无法确定2：如果a－b＞0，则a（）b(2.0分)A. ＞B. ＜C. ≥D. ≥3：若2a＜8，则a（）4(2.0分)A. ＞B. ＜C. ≥D. ≤4：在ΔABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，则∠A、∠B、∠C的度数为( )(2.0分)A. 20°、60°、100°B. 50°、50°、80°C. 60°、40°、80°D. 30°、60°、90°5：不等式2x＞4的解为（）(3.0分)A. x＝2B. x＝3C. x＞2D. x＞36：若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（）(3.0分)A. a＞bB. ab＞0C. a/b＜0D. －a＞－b7：当x( )时，代数式2－5x的值不小于零(3.0分)A. x≥2B. x≤5C.D.8：若方程组的解为x，y且2＜k＜4，则x-y的取值范围（）(3.0分)A. 0＜x-y＜B. -3＜x-y＜-1C. 0＜x-y＜1D. -1＜x-y＜19：下列各对不等式中，解集不相同的一对是（）(3.0分)A. （3－x）/2＜（4＋2x）/7与－7（x－3）＜2（4＋2x）B. （1－x）/2＜（x+9）/3与3(x－1)＜－2（x＋9）C. （2＋x）/2≥（2x－1）/3与3（2＋x）≥2（2x－1）D. x/2＋3/4＞1/4－x与3x＞－1二填空题（本题共10小题，共计20分）10：（1）已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是＿＿＿；（2）已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是＿＿＿；(2.0分) 注：2009年北京西城11：如图，直线a∥b，则∠A＝＿＿度。

三角形练习题之阿布丰王创作1.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2.如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）A．15 B．16 C．8 D．73.已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9B．12C．15 D．12或154.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）（A）3cm（B）4cm（C）7cm（D）11cm5.纷歧定在三角形内部的线段是（）（A）三角形的角平分线（B）三角形的中线（C）三角形的高（D）三角形的中位线6. 如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑资料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：．（填“稳定性”或“不稳定性”）7. 现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一（第6题个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）．8.以下列各组线段为边，能组成三角形的是A. 1cm ， 2cm ， 4cmB.4cm ， 6cm ， 8cmC.5cm ， 6cm ， 12cmD. 2cm ， 3cm ， 5cm9.如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150（B ）210（C ）105（D ）7510.一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形（D ）钝角三角形11.如图，在ABC △中，6040A B ∠=∠=°，°，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，则1=∠______°．12.如图，在ABC △中，47B =∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．13..如图，四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则12∠+∠=__________度．14.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，50B ∠=º.现将ADE ∆沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为1A ，则1BDA ∠的度数为°.15. 如图，△ABC 中，∠C＝70°，若沿图中虚B C D E A 1 AAC B 12线截去∠C，则∠1＋∠2等于A ．360°B．250°C ．180°D．140°16.将一副直角三角板如图放置．若AE∥BC，则∠AFD=°．17.如图，在ABC △中，D ，E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE BC ∥，46A =∠，152=∠，则2=∠度． 18如图，在△ABC 中，若∠A=42º，∠B=62º，则∠C 的补角是度．19.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o20.将一副三角尺按如图所示放置，则1∠＝度．21.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A ．225B ．235C ．270D ．与虚线的位置有关22.如图，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那FED C B A （第16题）1 2么∠CED 的大小是A ．40°B．60°C．120°D．140°23.将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°24.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°25.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n26.如图，ABC △中，60A ∠=°，15B C ∠∠=∶∶．求B ∠的度数．全等三角形1.如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（） A ．60 B ．50 C ．45 D ．302.已知：如图，AB AE B E =，∠1=∠2，∠=∠.求证：BC ED =.……第1个 第2个 第3个 OEAB D C3.如图，点B 在射线AE 上，CAE DAE CBE DBE ∠=∠∠=∠，． 求证：AC AD =．4. 如图，点A B D E 、、、在同一直线上，AD EB BC DF =，∥，C F =∠∠． 求证：AC EF =.5．如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）： 6．如图，点C 、E 、B 、FAC=DF,BC=EF, △ABC与△DEF 7777．1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ⊥．8.如图，AOE BOE =∠∠=15，,,EF OB EC OB ⊥∥若1EC =，则EF =________.9.如图，Rt ABC △中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，4CD =，则点D 到AB 的距离为_________．10.已知30ABC ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，则ABD ∠=_______度．11.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所成夹角的探究片段，完成所提出的问题．图1 图2 第7题图探究１：如图1，在ABC △中，O 是ABC ∠与ACB ∠的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现1902BOC A ∠=+∠°，理由如下：BO 和CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， 又180ABC ACB A ∠+∠=-∠°，112(180)2A ∴∠+∠=-∠°＝1902A -∠°． ＝1180(90)2A --∠°° ＝1902A +∠°．探究2：如图2中，O 是ABC ∠与外角ACD ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O 是外角DBC ∠与外角ECB ∠的平分线BO 和CO 的交点，则BOC ∠与A ∠有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 结论：________________________________________．12.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，EC=BF ，AB=DC ．求证∠ACE=∠DBF．不等式图3 图1 图21.已知a b >，若c 是任意实数，则下列不等式总是成立的是（）（A ）a c b c +<+（B ）a c b c ->-（C ）ac bc <（D ）ac bc >2.若0a b ，则下列不等式纷歧定成立的是A ．ac bcB ．a c b cC ．11a bD ．2ab b3.某药品说明书上标明药品保管的温度是(202)±℃，由此可知该药品在___________℃范围内保管才合适．4.商品的售价是528元，商家售出一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%，设进价为x 元，则x 的取值范围是.5.不等式1212x x ->的解是_________.6.把不等式10x +≥的解集在数轴上暗示出来，则正确的是（ ）．7. 解不等式324x -≥，并将解集在数轴上暗示出来.8. 解不等式：5(2)86(1)7x x -+<-+；9.不等式293(2)x x ++≥的正整数解是__________．10.关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +﹥1，则k 的取值范围 是.11. 解不等式组：()10223x x x -⎧⎪⎨+>⎪⎩≥，．12.不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（）A.1 个B. 2 个C. 3个D. 4个13.不等式组31025(3)0x x -⎧-⎪⎨⎪-->⎩≥，的解集是_________． 14. 已知点(1)P a a -，在平面直角坐标系的第一象限内，则a 的取值范围在数轴上可暗示为（ ）15. 不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是；16.求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．17.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）（A ）40% （B ）33.4% （C ）33.3% （D ）30%18.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A 、B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．（1）若购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，问购进A 、B 两种树苗各多少棵？（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．19. 某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利很多于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？C ．B ．D ．20.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超出5 720元．这所中学最多可以购买多少个篮球？。