第三中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(附答案)

枣庄三中2018届高三一调模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集41{|0},{|24}24xx A x N B x x -=∈≥=≤≤+ ，则集合A B =（ ）A ．{}|12x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,2 2. 在等差数列{}na 中，37101141,21aa a a a +-=--=,则数列{}n a 的前8项和8S =（ ）A ．50B ．70C ．120D ．1003. 已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=，则“0x >"是“a 与b 夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4。

已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos()y x ϕ=+ 的图象（ ）A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于点(,0)3π对称 C ．关于点6x π=对称D ．关于点3x π=对称5.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是 （ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π6。

《周易》历来被人们视作儒家之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而不朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法,我们用近代术语解释为:把阳“—”当作数字“1",把阴“——”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下:依次类推，则六十四卦“屯”卦，符号“”表示的十进制是( )A ．18B ．17C ．16D ．15 7。

设变量,x y 满足约束条件342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108.已知定义在R 上的函数()f x 满足条件:①对任意的x R ∈,都有()(4)f x f x +=；②对任意的12,[0,2]x x ∈且12x x <，都12()()f x f x <有；③函数(2)f x +的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ） A ．()()()7 6.5 4.5f f f << B ．()()()7 4.5 6.5f f f << C ．()()()4.57 6.5f f f << D ．()()()4.5 6.57f f f <<9.已知斜率为3的直线l 与双曲线2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，若点(6,2)P 是AB 的中点,则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2210。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除.故选B.3. 设是等差数列的前项和，若,，那么等于（）A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.4. 已知，，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】∵，∴故选D5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，即。

依题意可得，直线方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选D.....................6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥.故选B7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.8. 设是数列的前项和，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，，则，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列。

2018年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}2log 1N x x =<，则M N = A.{10}x x -≤<B．{01}x x <≤C．{12}x x ≤<D．{12}x x -≤<2.若复数20182(1i)i z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =A．1i+B．iC．12i -D.12i 3.设变量x ，y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是A．[6,)+∞B．[5,)+∞C．[0,6]D．[0,5]4.已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（2a >且1a ≠）.则下列命题为真命题的是A．p q ∨B．p q ∧C.()p q⌝∧D．()p q⌝∨5.执行下列程序框图，若输入的n 等于7，则输出的结果是A．2B．13C.12-D．3-6.将函数()2sin()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则g()y x =的图象的一个对称中心为A．(,0)3πB．(,0)12π C.(,1)3π-D．(,1)12π-7.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为A．33B．12C.22D．328.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f +的值为A．2-B．1- C.0D．19.已知O 是ABC ∆的外心，4AB = ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+=A．10B．9C.8D．610.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[0,1]随机抽取200个实数对(,)x y ，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 共有56个.则用随机模拟的方法估计π的近似值为A．227B．257C.7225D．782511.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为A．8πB．16πC.32πD．64π12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 3a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为A．5B．5C.3D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线2212x y -=的渐近线方程为．14.观察下列各式：3211=332113+=33321236++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律，第n 个等式可为．15.在24(23)x x --的展开式中，含有2x 项的系数为．（用数字作答）16.如图所示，已知Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，D 是线段AB 上的一点，满足2AD CD ==，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足123111223n b b b b n n+++⋅⋅⋅+=*()n N ∈（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(1)()nn n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18.(本小题满分12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多面体中，90ACB ︒∠=，面ACDE 为直角梯形，//DE AC ，90ACD ︒∠=，23AC DE ==，2BC =，1DC =，二面角B AC E --的大小为60︒.（1）求证：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面ABE 与平面BCD 所成二面角（锐角）的大小；19.(本小题满分12分)为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去50年的水文数据，得如下表：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥年数103082将年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位:亿立方米）在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥发电机最多可运行台数1234已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，若水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20.(本小题满分12分)已知抛物线E ：22x py =的(2)p >焦点为F ，点M 是直线y x =与抛物线E 在第一象限内的交点，且5MF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于两点C ，D .判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()ln 2af x x x x=++()a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2g()()(2)2ax xf x x x =-+-在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除.故选B.3. 设是等差数列的前项和，若,，那么等于（）A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.4. 已知，，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】∵，∴故选D5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，即。

依题意可得，直线方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选D.....................6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥.故选B7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.8. 设是数列的前项和，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，，则，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列∴故选C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选.10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A. 111B. 117C. 118D. 123【答案】B【解析】因为，所以，所以回归直线方程为，当时代入，解得，故选B.11. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由为的中点，所以，又因为在直角中，，所以①又②，③故由①②③得，，故本题选C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值.. 12. 设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正方形边长为2，是的中点，则______.【答案】2【解析】根据题意.故正确答案为.14. 若实数满足，则的最大值为_______.【答案】5【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______.【答案】【解析】设，∵直线与抛物线相交于不同两点∴，，则两式相减得∵是中点∴∴故答案为.16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.【答案】【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得，故.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积.试题解析：（1）由题意知，由.∵∴∴∴（2）∵∴∵∴∵，∴由余弦定理可得∴∴18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.0015.024 2.0726.6357.879 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算，与临界值比较即可得出结论.试题解析：(1)(2)所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19. 如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.（1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取中点，连结，则∥且.因为当为中点时，∥且，所以∥且.所以四边形为平行四边形，∥，又因为，，所以平面；（2）假设存在满足条件的点，设.以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，平面的法向量，平面的法向量，，解得，所以存在满足条件的点，此时.20. 已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求的长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，由及韦达定理可得的值，从而求出弦长；（2）由可得，即，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出的值，从而求出直线的方程. 试题解析：(1)由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为联立，得∵∴，则∴(2)∵∴∴，即设直线的方程为，联立，得∴，∴，即∴或∴直线的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】（1）当时，利用导数可求得函数在上递减，在上递增，故最小值为.（2）根据函数的定义域为非负数，得到，由于导函数是否有零点由的正负还确定，故将分成三种情况，讨论函数的单调区间和最小值，由此求得实数的取值范围.【试题解析】（1）当时,.（2）①时, 不成立②时, ,在递增, 成立③时, 在递减, 递增设,,所以在递减,又所以综上: .【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用导数和不等式恒成立来求参数的取值范围.由于函数的导数是个分式的形式，故要将导函数进行通分，通分之后由于分母为正数，故只需要考虑分子的正负，结合一元二次函数的图象与性质，将分类讨论后利用最小值可求得的范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意利用转化公式可得曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）将原问题转化为三角函数问题可得曲线上的点到曲线的距离的最大值.试题解析：（1）由，得，则，即∴曲线的参数方程为（为参数）由（为参数）消去参数，整理得曲线的普通方程为.（2）设曲线上任意一点，点到的距离∵∴∴曲线上的点到曲线的距离的最大值为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，两边平方即可求得解集；（2）对分类讨论，去掉绝对值符号得函数的解析式，可得函数的最小值为，再结合基本不等式即可求出的最小值.试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴，当且仅当，即，时取等号.。

哈尔滨三中2018年第一次模拟考试数学试卷（理工类） 第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP ，{}24x y x Q -==，则=Q PA ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．)2,1[2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2- D ．3 3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，则ABC ∆的面积为23，=∠CA ． 30B ． 45C ． 60D ． 754. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．x e y =C ．)1ln(+=x yD ．)2(+-=x x y 5. 方程2log 2=+x x 的解所在的区间为A ．)1,5.0(B ．)5.1,1(C ．)2,5.1(D ．)5.2,2(6. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为A ．43π B ．4π C ．0 D ．4π- 7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为 A ．223 B ．5 C ．29D ．59. 如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则⋅的最小值为A ．1-B ．81-C ．41- D ．21-10. 如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为A ． 90B ． 75C ． 60D ．4511. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q是直线PF 与C 的一个交点，若3=，则QF =A ． 25 B ． 38 C ． 3 D ． 612. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为A ． ]2,2[-B ． ),2[+∞C ． ),0[+∞AOCBPBDCPA正视图侧视图俯视图D ．(,2][2,)-∞-+∞哈尔滨三中2018年第一次模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 正项等比数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于 ．14. 则它的表面积为 ．15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若12=⋅AC AB ，72=a ，求b ，c （其中c b <）．18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．19.（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值； （Ⅲ）求AG 的长．AHICDBFGE20.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368.（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ∆和OCD ∆的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分） 设函数bx x x a x f +++=)1ln()1()(2)1(->x ，曲线)(x f y =过点)1,1(2+--e e e ，且在点)0,0(处的切线方程为0=y .（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0≥x 时，2)(x x f ≥；（Ⅲ）若当0≥x 时，2)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ， 21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD 的值；（Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ， 求BC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程P已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．哈尔滨三中2018年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13. 1022 14. 8(2π++ 15. 4 16. 3(3,]4--三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ． (12)分18.解：(Ⅰ) [])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH⋂平面HI AED =所以HI ED // 又因为BC ED //， 所以IH //BC . (4)分(Ⅱ))0,0,0(D ，)0,0,2(E ，A)0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=EF ， )1,2,0(-=，)0,0,1(21==， 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ，所以二面角CGI A --的余弦值为1515 …………………………… 8分（Ⅲ）法（一）)2,1,3(-=，设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλ则02=⋅n ，解得32=λ，3142)2(13323222=-++==AF AG (12)分法（二）取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，HKJ ∆与CKA∆相似，得2=KJAK ，易证GK HI //，所以314232==AF AG (12)分20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=By ， (2)分代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………4分 (Ⅱ) 存在直线l : 0411=-±y x 符合条件解：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与x y 82=联立得03282=--my y .设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=.……………6分由直线OC 的斜率为1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 18=，与1121622=+y x 联立得1)1211664(212=+⋅y y E ，同理1)1211664(222=+⋅y y F ， 所以2Ey ⋅1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F………8分可得2E y ⋅223625612148F y m ⨯=+要使37712=S S，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分即21214849121m +=⨯ 解得11±=m ，所以存在直线l : 0411=-±y x 符合条件………………………… 12分21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． (4)分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)((())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ． ∴2)(x x f ≥． (8)分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(，∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立．②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='，m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m ex ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立．综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以2AD x BC y ==………………………………5分(Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((122x y -++=圆心,22-到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. (5)分(Ⅱ)设(cos ,sin )22M θθ+-+， 则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤-② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分(Ⅱ)即12122122ax x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥-…………………10分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三数学（理）一模考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A． B． C． D．3．设是等差数列的前项和，若,，那么等于（）A．4 B．5 C．9 D．184．已知，，则（）A．2 B． C． D．15．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A． B．2 C． D．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（）A． B． C． D．8．设是数列的前项和，若,则（）A. B. C. D.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C． D．10．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A．111 B．117 C．118 D．12311．已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．212．设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正方形边长为2，是的中点，则.14．若实数满足，则的最大值为.15．直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率. 16．已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积. 18．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中19．如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.（1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.20．已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点. （1）若，求的长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.21．已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.答案一、选择题二、填空题13. 2 14. 5 15. 16.三、解答题17．（1）题意知，由。

宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃等于( ) A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1-C ．{}2,0D ．{}4210，，，2．复数5i1＋2i 的虚部是 ( )A. iB. －iC. 1D. －1 3．在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = ( ) A ．325 B ．335 C．33 D ．533 4．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为( )A ．0642022=+-+x y xB ．0362022=+-+x y xC ．0161022=+-+x y xD ．091022=+-+x y x5.MOD(a ，b )表示求a 除以b 的余数，若输入a ＝34，b ＝85，则输出的结果为( )A. 0B. 17C. 21D. 346．三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC ，其正视图⊥1AA是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为( )A ．B ．C ．D ．47．设,x y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是 ( )A ．[4,1]-B ．3[3,]7-C ．(,3][1,)-∞-+∞UD ．[3,1]-8.已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-(ω＞0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移6π个单位得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( ))0,3.(π-A )4,4.(ππ-B )3,0.(πC )3,4.(ππD9．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为( ) A. 若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α B. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a αD.若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥10.若a ∈[1，6]，则函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)内单调递增的概率是( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 1511．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,若2AB AC AO +=u u u r u u u r u u u r ，且OA AC =u u u r u u u r ，则向量BA uu u r在向量BC uuu r方向上的投影为( )A ．32B ．3C ．3D ．3-.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f x －1＋m ，x ＞1在定义域[)0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0， 方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n(n ∈N *)上的所有零点的和为( )33222A. n (n ＋1)2B. 22n －1＋2n －1 C. (1＋2n )22D. 2n －1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，则正数a =________14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件{A =三个人去的景点各不相同}，事件{B =甲独自去一个景点}，则()P A B =__________1516．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.三、解答题:(本大题共6小题70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式.（2 ）数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，求M 的最小值.18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60…[]90,100后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数x 和方差2s .（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）从被抽取的数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X （以该校学生的成绩的频率估计概率），求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为BC 的中点,//AO 面EFD ．(1)求BD 的长；ABC DEF FA ⊥ABC 2=AB 2=AF 3=CEO(2)求证：面EFD 面BCED ；(3)求平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q . (1)求动点Q 的轨迹Г的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）DEF设(4)ln ()31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．请考生在22，23，二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1=4+1622x y ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin()33ρθ+=． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设M （x ，y ）为椭圆C 上任意一点，求|32x +y ﹣1|的最大值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||,R f x x a a =-∈.（1）当2a =时，解不等式：()6|25|f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：ts 8+1≥6．【参考答案】一、选择题1 . A 2．C 3．A4.C 5. B 6 . B 7.D 8.D 9. C 10．B 11．A12. B 二、填空题 13．114 .21 15．21 16．3三、解答题17．解：（1）由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1， （2）由a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1， 由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时，12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.18.解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.1520.01f =-+⨯+0.005)100.3+⨯=.直方图如图所示.中位数是0.1701073.330.3c x =+⨯=， 样本数据中位数是73.33分.众数是75；x =71；2s =194（2）[)70,80，[)80,90，[)90,100的人数是18，15，3，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：22218153236C +C +C 29C 70P ==. （3）因为()4,0.3X B ~，()44C 0.30.7kkkp X k -==⋅，()0,1,2,3,4k =，所以其分布列为：数学期望为40.3 1.2EX np ==⨯=.19.（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ，则PO 为梯形BCED 的中位线， 又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF ，所以,,,A O P F 四点共面， 因为//AO 面EFD ，且面AOPF I 面EFD PF =，所以//AO PF ，所以四边形AOPF 为平行四边形，2PO AF ==，所以1BD =. （2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC ，所以AO⊥面BCED ， 因为//AO PF ，所以PF⊥面BCED ，又PF ⊂面EFD ，所以面EFD⊥面BCED ；（3）以为原点，,,OC OA OP 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系(1,0,0),(1,0,0).(0,0,2),(1,0,3),2)A B C P E F -，设Q 为AC 的中点，则1(,,0)22Q ，易证：BQ ⊥平面ACEF ， O z y x ,,平面ACEF的法向量为3(2BQ =u u u r ，设平面的法向量为(,,1)n x y =r，(1,0,1),PE PF ==u u u r u u u r，由00n PF n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rg r u u u r g 得01y x =⎧⎨=-⎩，所以(1,0,1)n =-r，所以cos ,BQ n BQ n BQ n⋅<>==u u u r ru u u r r u u u r r由所求二面角为锐二面角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值 为46. 20.解：(1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上，∴|QP |＝|QF |， 得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：x 24＋y 2＝1. (2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)， ∵|CA |＝|CB |，∴C 在AB 的垂直平分线上，∴直线OC 的方程为y ＝－1k x . ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4k 2＋14k 2＋1，同理可得|OC |＝2k 2＋1k 2＋4，S △ABC ＝12|AB |×|OC |＝4(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)(4k 2＋1)(k 2＋4)，(4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)2，当且仅当k ＝1时取等号， ∴S △ABC ≥85.综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值85. 21．解：（1）f ′（x ）=，由题设f ′（1）=1，∴，∴a =0．（2），∀x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1），即4ln x ≤m （3x ﹣﹣2），设g （x ）=4ln x ﹣m （3x ﹣﹣2），即∀x ∈[1，+∞），g （x ）≤0，DEF DEF高三一模数学试题∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m，①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m∈（0，1），当x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．③若m≥1，当x∈（1，+∞），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立,综上所述，m≥1．22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．11。

2018届⿊龙江省哈尔滨市第三中学⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题2018年哈尔滨市第三中学第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理⼯类）第I 卷（选择题, 共60分）⼀、选择题(共12⼩题，每⼩题5分，共60分)1．设集合{|24}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B ?=A. [)1,2B. (]1,2C. [)2,+∞D. [)1,+∞2．下列函数中，既是偶函数⼜在区间()0,1内单调递减的是A.2y x = B.cos y x = C.2xy = D.x y ln = 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若311318,3a a S +==-,那么5a 等于 A. 4B. 5C. 9D. 184．已知()οο15sin ,15cos =OA ， ()οο75sin ,75cos =OB ，则=ABA. 2B. 3C. 2D. 15. 过原点且倾斜⾓为3π的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为A. 3D. 32 6．设m l ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平⾯，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是A. l ∥α，m ⊥β，α⊥βB. l ⊥α，m ⊥β，α∥βC. l ∥α，m ∥β，α∥βD. l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-= 上，其中0,0>>n m ，则mn 的最⼤值为A.161B. 81C. 41D.21 8. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若32-=n n a S ，则=n SA. 12+nB. 121-+n C. 323-?n D. 123-?n9．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该⼏何体的体积为 A. 4 B. 2C. 43D. 2310. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个⼀百年”奋⽃⽬标、实现中华民族伟⼤复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加⼤拔尖⼈才的培养⼒度，据不完全统计：年份（届） 2014 2015 2016 2017 学科竞赛获省级⼀等奖及以上学⽣⼈数x 51 49 55 57 被清华、北⼤等世界名校录取的学⽣⼈数y10396108107根据上表可得回归⽅程y bx a =+中的?b 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级⼀等奖及以上学⽣⼈数为63⼈，据此模型预报我校今年被清华、北⼤等世界名校录取的学⽣⼈数为 A. 111 B. 117 C. 118 D.123 11．已知1F 、2F 为双曲线22直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离⼼率为A. 103B. 43C. 53D. 2 12. 设函数bx ax x x f ++=2ln )(，若1=x 是函数)(x f 的极⼤值点，则实数a 的取值范围是A. ??∞-21， B. ()1，∞- C. [)∞+，1 D. ??∞+，21第Ⅱ卷（⾮选择题, 共90分）⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正⽅形ABCD 边长为2, M 是CD 的中点,则BD AM ?= .14.若实数,x y 满⾜??-≥≥+≤111x y y x y ，则2x y +的最⼤值为 .15.直线l 与抛物线x y 42=相交于不同两点B A 、,若）4,(0x M 是AB 中点，则直线l 的斜率=k .16.已知锐⾓111A B C ?的三个内⾓的余弦值分别等于钝⾓222A B C ?的三个内⾓的正弦值, 其中22π>A ,若122=C B ,则2222322C A B A +的最⼤值为 .12345678三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本⼩题满分12分)已知函数2()sin cos f x x x x =+.（1）当0,3x π??∈时，求()f x 的值域；（2）已知ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,,a bc ()2A f =,4,5a b c =+=，求ABC ?的⾯积.18. (本⼩题满分12分)某中学为研究学⽣的⾝体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名⾼三学⽣平均每天课将学⽣⽇均课外体育锻炼时间在[)40,60的学⽣评价为“课外体育达标”. （1（2与性别有关？参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++A 19. (本⼩题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，ο120=∠ACB 且21===AA BC AC ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（1）当E 是1CC 中点时，求证：//CF 平⾯1AEB ；（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平⾯1AEB 与平⾯ABC 所成锐⼆⾯⾓为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20. (本⼩题满分12分)已知F 是椭圆1262（2）O 为坐标原点,θ=∠AOB ,满⾜64tan 3=?θOB ，求直线l 的⽅程.21. (本⼩题满分12分)已知函数)0(12)2ln()(≥+++=x xax x f . （1）当2=a 时，求)(x f 的最⼩值；（2）若12ln 2)(+≥x f 恒成⽴，求实数a 的取值范围.请考⽣在22、23⼆题中任选⼀题作答，如果都做，则按所做的第⼀题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数⽅程(本⼩题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的⽅程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建⽴平⾯直⾓坐标系，曲线2C 的⽅程为=+=t y t x 21232（t 为参数）. （1）求曲线1C 的参数⽅程和曲线2C 的普通⽅程；（2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最⼤值.23.选修4-5:不等式选讲(本⼩题满分10分) 已知函数()22f x x a x =--+.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）当2a =时，函数()f x 的最⼩值为t ，114t m n+=- (0,0)m n >>，求m n +的最⼩值.A1 2018哈三中第⼀次模拟考试理科数学答案⼆、填空题13. 2 14. 5 15.2三、解答题17．（1）题意知，由2 ()sin cos sin(2)3f x x x x xπ=+=-∵0,3xπ∈??，∴2,333xπππ-∈-??，∴sin(2)3xπ?-∈?可得()f x?∈?（2）∵()23Aπ-=，∵()0,Aπ∈可得3Aπ=∵4,5a b c=+=，∴由余弦定理可得222 16()3253b c bc b c bc bc=+-=+-=-∴3bc=∴1sin2ABCS bc A==18. (1)(2)2200(60203090)200 6.060 6.635 150509011033所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19.（1）取1AB中点G，连结FGEG、，则FG∥1BB且121BBFG=.因为当E为1CC中点时，CE∥1BB且121BBCE=，所以FG∥CE且=FG CE.所以四边形CEGF为平⾏四边形，CF∥EG，⼜因为1AEBCF平⾯，1CF平⾯1AEB；（2）假设存在满⾜条件的点E，设()1 0≤≤=λλCE.以F为原点，向量1AAFB、⽅向为x轴、y轴、z则()0,0,3-A，()2,0,31B，()λ,1,0E，平⾯ABC平⾯1AEB的法向量()3,333--=λ，n，()2313cos2=-++λ，解得1=λ，所以存在满⾜条件的点E，此时1 =CE.20.(1)061212)13()2(63222222=-+-= = +kxkxkxkyyx61 32 21 === +AB kxx (2)tan3==AOB SOB OAθ()2 33,2-±==xyx 21.01)2(4)(22≥++axaaxxf，）（（1）当2 =a时3211)(）（+-='xxxf,12ln2)1()xf（2）0 0≥≥ax①0=a时, 1 2ln212ln)1(+<+=f不成⽴②4≥a时, 0 )(≥'x f,)(xf在)2ln)0() (+>+=≥fxf成⽴③40< (xf在)4,0(aa-递减, ) ,4 (∞+-aa递增1)4()(min+-++-=-=aaaaaaafxf）（设14042+=?>=-t a t a a ,12214ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（ 0) 1()1(4)(222<++-='t t t t g ,所以)(t g 在<≤?≤-a aa综上: 2≥a22. （1）曲线1C的参数⽅程为1:sin x C y αα=??=??（α为参数）曲线2C 的普通⽅程为20x -=（2）设曲线1C 上任意⼀点,sin )P αα，点P 到20x -=的距离d∵2)224πα-≤+-≤ ∴0d ≤≤所以曲线1C 上的点到曲线2C 23．（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥?-≥+两边平⽅得224(1)(2)x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][),04,-∞?+∞（2）当2a =时，6,2,()22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-??=--+=--<+=(0,0)m n >> ∴111()44m n m n m n ?? +=++1515914444416n m m n =++≥+= ? ?当且仅当2m n =，即316n =，38m =时取等号.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三一模数学(理)第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三一模数学（理）一、单选题 1．设集合，集合，则（ ） A. B. C. D.2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（ ） A.B.C.D.3．设是等差数列的前项和，若,，那么等于（ ）A. 4B. 5C. 9D. 184．已知()0cos15,sin15OA =u u u v ， ()cos75,sin75OB =u u u v，则AB =u u u v （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 15．过原点且倾斜角为3π的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A. 3B. 2C. 6D. 236．设l ， m 是两条不同的直线， α， β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是 A. l ∥α， m ⊥β， α⊥β B. l ⊥α， m ⊥β， α∥β C. l ∥α， m ∥β， α∥β D. l ∥α， m ∥β， α⊥β7．函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B. C. D. 8．设是数列的前项和，若,则（ ）A.B.C.D.9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.10．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A. 111B. 117C. 118D. 12311．已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．已知正方形边长为2，是的中点，则______.14．若实数满足，则的最大值为_______. 15．直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率_______.16．已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.三、解答题17．已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积.18．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育第5页共10页◎第6页共10页锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：，其中0.0250.150.10.0050.0250.0100.0050.0015.0242.0726.6357.8795.0246.6357.87910.82819．如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点.（1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.第7页共10页◎第8页共10页20．已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求弦长；（2）为坐标原点，，满足，求直线的方程.21．已知函数. （1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的第9页共10页◎第10页共10页方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.第11页共10页◎第12页共10页参考答案1．C【解析】∵集合，集合∴故选C. 2．B【解析】对于，是偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是偶函数，在区间单调递减，故正确；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递增，故排除；对于，是非奇非偶函数，在区间单调递减，故排除. 故选B. 3．B【解析】等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.4．D【解析】∵()0cos15,sin15OA =u u u v ， ()0cos75,sin75OB =u u u vu u u r u u u r u u u r∴()()22=-=︒-︒+︒-︒=-︒= AB OB OAcos75cos15sin75sin1522cos601故选D5．D【解析】2240+-=，即()22x y x-+=。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018届高三数学（理）一模考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}42|{≥=xx A ，集合)}1lg(|{-==x y x B ，则=B A I （ ） A ．)2,1[ B ．]2,1( C ．),2[+∞ D ．),1[+∞ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间)1,0(内单调递减的是（ ）A ．2x y = B ．x y cos = C ．xy 2= D ．|ln |x y = 3．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若18113=+a a ,33-=S ，那么5a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．184．已知)15sin ,15(cos 00=OA ，)75sin ,75(cos 00=OB ，则=||AB （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 5．过原点且倾斜角为3π的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．326．设m l ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出m l //的是（ ）A ．α//l ，β⊥m ，βα⊥B ．α⊥l ，β⊥m ，βα//C ．α//l ，β//m ，βα//D ．α//l ，β//m ，βα⊥7．函数1)3(log +-=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=-+ny mx 上，其中0,0>>n m ，则mn 的最大值为（ ）A ．161 B ．81 C ．41 D ．218．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若32-=n n a S ,则=n S （ ） A. 12+nB. 121-+n C.323-⋅nD. 123-⋅n9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体A ．4B ．2C ．34 D ．32 10．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（ ）A ．111B ．117C ．118D ．12311．已知1F 、2F 为双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222a y x =+相切，且||||212F F PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．310 B ．34 C ．35D ．2 12．设函数bx ax x x f ++=2ln )(，若1=x 是函数)(x f 是极大值点，则实数a 的取值范围A ．)21,(-∞B ．)1,(-∞C ．),1[+∞ D ．),21[+∞ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正方形ABCD 边长为2，M 是CD 的中点，则=⋅BD AM .14．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤111x y y x y ，则y x +2的最大值为 .15．直线l 与抛物线x y 42=相交于不同两点B A ,，若)4,(0x M 是AB 中点，则直线l 的斜率=k .16．已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=CB ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+=.（1）当]3,0[π∈x 时，求)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，23)2(=Af ，5,4=+=c b a ，求ABC ∆的面积.18．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在)60,40[的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=)(2k K P ≥ 0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.001k 5.024 2.072 6.635 7.879 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ACB 且21===AA BC AC ，E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 的中点.（1）当E 是1CC 中点时，求证：//CF 平面1AEB ；（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面1AEB 与平面ABC 所成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20．已知F 是椭圆12622=+y x 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于),(11y x A ，),(22y x B两点.（1）若321=+x x ，求AB 的长；（2）O 为坐标原点，θ=∠AOB ，满足64tan 3=⋅θ，求直线l 的方程.21．已知函数)0(12)2ln()(≥+++=x xax x f . （1）当2=a 时，求)(x f 的最小值；（2）若12ln 2)(+≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1C 的方程为θρ22sin 13+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21232（t 为参数）. （1）求曲线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程； （2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|2|||2)(+--=x a x x f . （1）当1=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集； （2）当2=a 时，函数)(x f 的最小值为t ，t nm -=+411（0,0>>n m ），求n m +的最小值.答案一、选择题二、填空题13. 2 14. 5 15. 2116. 10三、解答题17．（1）题意知，由2()sin cos sin(2)3f x x x x x π=+=-+∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin(2)322x π⎡-∈-⎢⎣⎦可得()f x ⎡∈⎣（2）∵()22A f =，∴sin()03A π-=，∵()0,A π∈可得3A π= ∵4,5a b c =+=，∴由余弦定理可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=- ∴3bc =∴1sin 24ABC S bc A ∆== 18. (1)(2) 22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 19.（1）取1AB 中点G ，连结FG EG 、，则FG ∥1BB 且121BB FG =.因为当E 为1CC 中点时，CE ∥1BB 且121BB CE =， 所以FG ∥CE 且=FG CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1AEB CF 平面⊄，1AEB EG 平面⊂， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()10≤≤=λλCE .以F 为原点，向量1AA FC FB 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,3-A ，()2,0,31B ，()λ,1,0E ，平面ABC 的法向量()1,0,0=m ，平面1AEB 的法向量()3,333--=λ，n，()23199332=-++==λ， 解得1=λ，所以存在满足条件的点E ，此时1=CE .20.(1) 061212)13()2(63222222=-+-+⇒⎩⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 613221=⇒=⇒=+AB k x x(2) 36264tan 3=⇒=⋅∆AOB S θ()233,2-±==⇒x y xA 121. 01)2(4)(22≥++-+='x x ax a ax x f ，）（ （1）当2=a 时3211)(）（+-='x x x f ,12ln 2)1()(min +==f x f （2）00≥⇒≥a x①0=a 时, 12ln 212ln )1(+<+=f 不成立②4≥a 时, 0)(≥'x f ,)(x f 在),0(+∞递增, 12ln 222ln )0()(+>+=≥f x f 成立③40<<a 时, )(x f 在)4,0(a a -递减, ),4(∞+-aa递增 14224ln )4()(min +-++-=-=aaaaa a a f x f ）（设14042+=⇒>=-t a t a a ,12214ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（ 0)1()1(4)(222<++-='t t t t g ,所以)(t g 在),0(+∞递减,又12ln 2)1(+=g 所以⇒≤<10t 4214<≤⇒≤-a aa综上: 2≥a22. （1）曲线1C的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）曲线2C的普通方程为20x --=（2）设曲线1C上任意一点,sin )P αα，点P到20x -=的距离d ==∵2)224πα≤+-≤∴0d ≤≤所以曲线1C 上的点到曲线2C的距离的最大值为2223．（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥⇔-≥+ 两边平方得224(1)(2)x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][),04,-∞⋃+∞（2）当2a =时，6,2,()22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩，可得4t =-，∴1144m n+=(0,0)m n >> ∴111()44m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1515914444416n m m n ⎛⎫⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2m n =，即316n =，38m =时取等号. 2018哈三中第一次模拟考试理科数学答案 参考答案一、选择题二、填空题13. 2 14. 5 15. 2116. 10 三、解答题17．（1）题意知，由2()sin cos sin(2)32f x x x x x π=+=-+∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin(2)322x π⎡-∈-⎢⎣⎦可得()f x ⎡∈⎣（2）∵()2Af =，∴sin()03A π-=，∵()0,A π∈可得3A π= ∵4,5a b c =+=，∴由余弦定理可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=- ∴3bc =∴1sin 2ABC S bc A ∆==18. (1)(2) 22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 19.（1）取1AB 中点G ，连结FG EG 、，则FG ∥1BB 且121BB FG =. 因为当E 为1CC 中点时，CE ∥1BB 且121BB CE =， 所以FG ∥CE 且=FG CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1AEB CF 平面⊄，1AEB EG 平面⊂， 所以//CF 平面1AEB ；（3）假设存在满足条件的点E ，设()10≤≤=λλCE .以F 为原点，向量1、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,3-A ，()2,0,31B ，()λ,1,0E ，平面ABC 的法向量()1,0,0=，平面1AEB 的法向量()3,333--=λ，，()23199332=-++==λ， 解得1=λ，所以存在满足条件的点E ，此时1=CE .20.(1) 061212)13()2(63222222=-+-+⇒⎩⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 613221=⇒=⇒=+AB k x x(2) 36264tan 3=⇒=⋅∆AOB S OB OA θ ()233,2-±==⇒x y x21. 01)2(4)(22≥++-+='x x ax a ax x f ，）（ （1）当2=a 时3211)(）（+-='x x x f ,12ln 2)1()(min +==f x f （2）00≥⇒≥a x①0=a 时, 12ln 212ln )1(+<+=f 不成立②4≥a 时, 0)(≥'x f ,)(x f 在),0(+∞递增, 12ln 222ln )0()(+>+=≥f x f 成立③40<<a 时, )(x f 在)4,0(a a -递减, ),4(∞+-aa递增 14224ln )4()(min +-++-=-=aaaaa a a f x f ）（设14042+=⇒>=-t a t a a ,12214ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（0)1()1(4)(222<++-='t t t t g ,所以)(t g 在),0(+∞递减,又12ln 2)1(+=g 所以⇒≤<10t 4214<≤⇒≤-a aa综上: 2≥a22. （1）曲线1C的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）曲线2C的普通方程为20x -=（2）设曲线1C上任意一点,sin )P αα，点P到20x --=的距离d ==∵2)224πα≤+-≤∴0d ≤≤所以曲线1C 上的点到曲线2C的距离的最大值为2223．（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥⇔-≥+ 两边平方得224(1)(2)x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][),04,-∞⋃+∞（2）当2a =时，6,2,()22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩，可得4t =-，∴1144m n+=(0,0)m n >> ∴111()44m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1515914444416n m m n ⎛⎫⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2m n =，即316n =，38m =时取等号.。

2018届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集41{|0},{|24}24x x A x N B x x -=∈≥=≤≤+ ，则集合A B = （ ） A ．{}|12x x -≤≤ B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22. 在等差数列{}n a 中，37101141,21a a a a a +-=--=，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．50 B ．70 C ．120 D ．1003. 已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=，则“0x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos()y x ϕ=+ 的图象（ ）A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于点(,0)3π对称 C ．关于点6x π=对称 D ．关于点3x π=对称 5.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是 （ ） A ．13π B ．16π C ．25π D ．27π6.《周易》历来被人们视作儒家之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而不朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳“—”当作数字“1”，把阴“——”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦“屯”卦，符号“”表示的十进制是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157. 设变量,x y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =- 的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108.已知定义在R 上的函数()f x 满足条件：①对任意的x R ∈，都有()(4)f x f x +=；②对任意的12,[0,2]x x ∈且12x x <，都12()()f x f x <有；③函数(2)f x +的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A ．()()()7 6.5 4.5f f f <<B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<C ．()()()4.57 6.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<9.已知斜率为3的直线l 与双曲线2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，若点(6,2)P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．22 10. 函数()2(1)cos 1xf x x e=-+（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）11. 已知点(0,22)Q 及抛物线24y x =上一动点(,)P x y ，则x PQ +的最小值为（ ） A ．4 B ．2 C ．6 D ．212.已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()[()1]F x f f x m ++有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是 （ ）A ．[42ln 2,)-+∞B ．(,)e +∞C ．(,42ln 2]-∞-D ．(,)e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()22(1),101,0,1x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()f x dx -=⎰ ．14.已知函数()21sin 21x xf x x x -=+++，若正实数,a b 满足(4)(9)0f a f b +-=，则11a b +的最小值为 ． 15.圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的标准方程 ． 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3,23BC AB ==,点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量(sin ,cos()),(2cos ,2cos )a x x b x x π=-=，函数()1f x a b =⋅+ .（1）求()f x 的对称中心； （2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出x 相应的值.18. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3sin cos C cB b=.（1）求角B 的大小；（2）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若85,2,5,25CD AD a πθπ<<===， 求sin θ与b 的值.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形,060,,2ABC PA PB PC ∠=⊥=. （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求锐角二面角A PC D --的余弦值.20. 已知数列{}{},n n a b 分别是等差数列与等比数列，满足11a =，公差0d >，且2263224,,a b a b a b ===. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112n n nc c c a b b b ++++= 成立，设{}n c 的前n 项和为n S ， 求证：20182018(S e e ≥是自然对数的底数）21.已知点P 是圆221:(1)8F x y -+=上任意一点，点1F与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线分别与12,PF PF 交于,M N 两点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点1(0,)3G 的动直线l 与点M 的轨迹C 交于,A B 两点，在y 轴上是否存定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 22.设函数()()ln (),cos f x m x m R g x x =∈= .（1）若函数()1()h x f x x=+在(1,)+∞上单调递增，求m 的取值范围； （2）设函数()()()x f x g x ϕ=+，若对任意的3(,)2x ππ∈，都有()0x ϕ≥ ，求m 的取值范围； （3）设0m >，点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，且函数()f x 与()g x 在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且(1,)2x π∈.试卷答案一、选择题1-5: BDCAC 6-10: BCCAB 11、B 12：D二、填空题13.4312π+ 14. 1 15. 22(1)(2)5x y -+-= 16.[2,4]ππ 三、解答题17.解：因为()212sin cos cos()2cos 2sin cos 2cos 1f x a b x x x x x x x π=⋅+=+-⋅=-+sin 2cos 22sin(2)4x x x π=-=-，所以()f x 的对称中心为(,0)()28kx k Z π+∈.（2）由（1）得()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=-，因为[0,]2x π∈，所以32[,]444x πππ-∈-，所以242x ππ-=时，即38x π=时，()f x 的最大值为2，当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最大值为1-.18.解：（1）由已知3sin cos C c B b =，得3sin sin cos sin C CB B =， 因为sin 0C >，所以sin 3tan cos 3B B B ==， 因为0B π<<，所以6B π=.（2）在BCD ∆，因为sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠, 所以8525sin sin B BDC =∠，所以25sin 5θ=， 因为θ为钝角，所以ADC ∠，所以25cos cos()1sin5ADC πθθ∠=-=-=， 在ADC ∆中，由余弦定理，得22252cos 5425255b AD CD AD CD θ=+-⨯=+-⨯⨯=， 所以5b = .19.解：（1）取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，所以2AB BC ==， 因为060ABC ∠=,所以ABC ∆是等边三角形， 所以,3CO AB OC ⊥=, 因为PA AB ⊥，所以112PO AB ==， 因为2PC =，所以222OP OC PC +=，所以CO PO ⊥.因为AB PO O = ，所以CO ⊥平面PAB ，因为CO ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD . (2)因为22222211(2)OP OA PA +=+==，所以PO AO ⊥， 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以直线,,OC OB OP 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图， 则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,0,1)O A B C D P --，所以(0,1,1),(3,0,1),(0,2,0)AP PC DC ==-=，设平面APC 的法向量为(,,)m x y z =，由00300y z m AP x z m PC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩，取1x =，得(1,3,3)m =- ， 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，由030200n PC x z y n DC ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩，取1x =，得(1,0,3)m = ，所以27cos ,7m n m n m n⋅==⋅，由图可知二面角A PC D --为锐二面角，所以二面角A PC D --的余弦值为277.20.解：（1）由题意可知2(15)(1)(12)d d d +=++，结合0d >，解得3d =， 所以132,4n n n a n b -=-=. （2）证明：因为12112n n nc c c a b b b ++++= ， 所以112121(2)n n n c c c a n b b b --+++=≥ ， 两式作差可得：13nn n nc a a b +=-=，所以1334(2)n n n c b n -==⋅≥， 当1n =时，1124c b a ==，所以14,134,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩， 于是2017220171220172018201820184(14)434343443(444)43414S e -=+⋅+⋅++⋅=++++=+⨯=≥- .21.解：（1）由题意得121112222MF MF MF MP FP F F +=+==>=， 所以点M 的轨迹C 为以为焦点12,F F 的椭圆因为222,22a c ==，所以点M 的轨迹C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的方程可设为13y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立221312y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，可得229(12)12160k x kx ++-=，由求根公式化简整理得121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==++ ， 假设在y 轴上是否存在定点(0,)Q m ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则AQ BQ ⊥ ，即0AQ BQ ⋅=，因为1122(,),(,)AQ x m y BQ x m y =--=--，1122121211(,)(,)()()33AQ BQ x m y x m y x x m kx m kx ⋅=--⋅--=+----2222212122121(1818)(9615)(1)()()03399(12)m m k m m k x x k m x x m k -+--=++-++-+==+ 所以221818096150m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，求得1m =-，因此，在y 轴上是否存在定点(0,1)Q -，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 22.解：（1）由题意，知1()ln h x m x x =+，所以21()m h x x x'=-， 由题意，21()0m h x x x '=-≥，即1m x ≥对(1,)x ∈+∞恒成立， 又当(1,)x ∈+∞时，11x<，所以1m ≥.（2）因为()()()ln cos x f x g x m x x ϕ=+=+，所以()sin mx x xϕ'=-，①当0m ≤时，因为3(,)2x ππ∈，所以ln 0,cos 0x x ><，，故()0x ϕ<，不合题意；②当0m >时，因为3(,)2x ππ∈，所以()0x ϕ'>，故()x ϕ上3(,)2ππ单调递增；欲()0x ϕ≥对任意的3(,)2x ππ∈都成立，则需()0ϕπ≥，所以ln cos 0m ππ+≥，解得1ln m π≥，综上所述，m 的取值范围是1[,)ln π+∞. （3）证明：因为()(),sin mf xg x x x''==-，且函数()f x 与()g x 在点00(,)P x y 处的切线垂直，所以(sin )1mx x⋅-=-，即00sin m x x =，又点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，所以00ln cos m x x =， 消去m ，得000ln sin cos 0m x x x -=，①当0(0,1]x ∈时，因为0m >，所以0ln 0m x ≤，且0cos 0x >，此与上式矛盾， 所以(0,1]上没有0x 适合题意.②当0(1,)x ∈+∞时，设()ln sin cos ,(1,)r x x x x x x =-∈+∞， 则()ln 1cos20r x x x '=+->，即函数()r x 在(1,)+∞上单调递增， 所以函数()r x 在(1,)+∞上至多有一个交点， 因为()1ln1sin1cos1sin cos10,()lnsincosln02222222r x r πππππππ=-=-<=-=>，且()r x 的图象在(1,)+∞上不间断，所以函数()r x 在(1,)2π有唯一的零点，即只有唯一的，使得0000ln sin cos 0x x x x -=成立，且0(1,)2x π∈，综上所述，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，且0(1,)2x π∈.。

哈三中2018届高三下学期第一次高考模拟数学理试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合{}2,1=M ，{}3,2,1=N ，{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为A.3B.4C.5D.62. 若i 是虚数单位，则复数ii+-12的实部与虚部之积为 A.43 B.43- C.i 43 D.i 43-3. 若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是A.ββα⊥⊥a ,B.b a b //,=βαC.α//,//b b aD.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为A.1813B.1811 C.95D.15.的值为A.5B.6C.7D.86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x xy x z -=3的最小值为 A.4- B.0C.34D.47.直线02=++y x 截圆422=+y x 圆心角为A.6π B.3π C.32π D.5π8. 面积是 A.π949 B.π37 C.π3289. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则(26a a 的值是侧视图A.9-B.9C.6-D.310. 在二项式n x x )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率之积为41，则该双曲线的离心率为A.25 B. 26 C.2 D.31512. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的范围是 A ．),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nmn n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅= ,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角, 且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点.（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20.（本小题满分12分）若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点，经过点()2,5-B 的直线l 与抛物线C 交于Q P ,两点.（I ）求证：⋅为定值；（II ）若点Q P ,与点A 不重合，问APQ ∆的面积是否存在最大值?若存在，求出最大BACDPQ值； 若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）设a R ∈，函数21()(1)x f x x e a x -=--． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值；（Ⅱ）设函数1()()(1)x g x f x a x e -=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <） 时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数1)(-=x x f .（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.2018年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学（理工类）一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题13.n n 14. 20 15. 6 16. ( 三、解答题17.解：（I ）112,2n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列，则2(1)22n a n n=+-=；-----------------------------------------------3分11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===， 则2nn b =；-------------------------------------------------------------------6分（II ）12n n n n c a b n +==， 则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++- ----------9分整理得2(1)24n n T n +=-+.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人---------------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设事件A =甲同学面试成功，则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分 （Ⅲ）由题意得，0,1,2,3=ξ0333361(0)20===C C P C ξ， 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为ξ0 1 2 3P120 920 920 120 19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………..12分19. （I ） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD,∴平面⊥PQB 平面PAD;-----------------------------6分（II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,设−→−−→−=PC PM λ(10<<λ), 所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ，设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM 取=2n )3,0,233(λλ-，-----------------------------------------9分由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：||||||212121n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM --------------------------------12分20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上， 所以p24=，有2=p ，那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分若直线l 的斜率不存在，直线l 5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅QA PA -------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l ()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y xy ， 有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ，---------------5分()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y x x x x y x y x 那么，⋅为定值.--------------------------------------------------------------------------7分（II ） 若直线l 的斜率不存在，直线l 5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -5845421=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411k k k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=------------------9分点()2,1A 到直线l()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，令211⎪⎭⎫⎝⎛+=k u ，有0≥u ， 则uu S APQ 482+=∆没有最大值.---------------------------------------------------------12分 21. 解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)xf x x ex -=--，则211(2)()x x x x e f x e ----'=， 令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单 调递减.又因为31()042h '=<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<， 所以()h x 在3(,2)4上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减, 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（Ⅱ）由题可知21()()x g x x a e -=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <， 所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)x f x x x e a -'=--， 可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.--------------------------------------------------------8分即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立(1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈；(2)当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x x x e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数，所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+； (3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+ 由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+； 综上所述，21ee λ=+.-------------------------------------12分22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆. ………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ； 曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x ---------------------------4分（II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(abf a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->- 而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.----------------------------------------10分。

2018哈三中第一次模拟考试理科数学答案一、选择题二、填空题13. 2 14. 5 15. 2116. 10 三、解答题17．（1）题意知，由2()sin cos sin(2)32f x x x x x π=+=-+∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin(2)322x π⎡-∈-⎢⎣⎦可得()f x ⎡∈⎣（2）∵()2Af =，∴sin()03A π-=，∵()0,A π∈可得3A π=∵4,5a b c =+=，∴由余弦定理可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=- ∴3bc =∴1sin 2ABC S bc A ∆==18. (1)A 1(2) 22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 19.（1）取1AB 中点G ，连结FG EG 、，则FG ∥1BB 且121BB FG =. 因为当E 为1CC 中点时，CE ∥1BB 且121BB CE =， 所以FG ∥CE 且=FG CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1AEB CF 平面⊄，1AEB EG 平面⊂， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()10≤≤=λλCE .以F 为原点，向量1方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()0,0,3-A ，()2,0,31B ，()λ,1,0E ，平面ABC 的法向量()1,0,0=，平面1AEB 的法向量()3,333--=λ，，()23199332=-++==λ， 解得1=λ，所以存在满足条件的点E ，此时1=CE .20.(1) 061212)13()2(63222222=-+-+⇒⎩⎨⎧-==+k x k x k x k y y x613221=⇒=⇒=+AB k x x(2) 36264tan 3=⇒=⋅∆AOB S θ()233,2-±==⇒x y x21. 01)2(4)(22≥++-+='x x ax a ax x f ，）（（1）当2=a 时3211)(）（+-='x x x f ,12ln 2)1()(min +==f x f （2）00≥⇒≥a x①0=a 时, 12ln 212ln )1(+<+=f 不成立②4≥a 时, 0)(≥'x f ,)(x f 在),0(+∞递增, 12ln 222ln )0()(+>+=≥f x f 成立③40<<a 时, )(x f 在)4,0(a a -递减, ),4(∞+-aa 递增 14224ln )4()(min +-++-=-=a a aa a a a f x f ）（ 设14042+=⇒>=-t a t a a ,12214ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（ 0)1()1(4)(222<++-='t t t t g ,所以)(t g 在),0(+∞递减,又12ln 2)1(+=g 所以⇒≤<10t 4214<≤⇒≤-a a a 综上: 2≥a22. （1）曲线1C的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 曲线2C的普通方程为20x -=（2）设曲线1C上任意一点,sin )P αα，点P到20x -=的距离d ==∵2)224πα≤+-≤∴202d ≤≤所以曲线1C 上的点到曲线2C的距离的最大值为2223．（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥⇔-≥+ 两边平方得224(1)(2)x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][),04,-∞⋃+∞（2）当2a =时，6,2,()22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩，可得4t =-，∴1144m n+=(0,0)m n >> ∴111()44m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1515914444416n m m n ⎛⎫⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2m n =，即316n =，38m =时取等号.。