课时夺冠九年级数学上册_2.3 一元二次方程根的判别式习题集训课件 (新版)湘教版

12．(2019·舟山)在 x2＋±__4_x_＋4＝0 的横线上添加一个关于 x 的一次 项，使方程有两个相等的实数根．
13．(2019·广元)若关于 x 的一元二次方程 ax2－x－14 ＝0(a≠0)有两 个不相等的实数根，则点 P(a＋1，－a－3)在第_四___象限．
14．(2019·衡阳)关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0 与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
代入方程得 k＋4k－3＋3k－3＝0，解得 k＝34 .故 k 的值34 (3)解：kx2－
(4k－3)x＋3k－3＝0，∴a＝k，b＝－(4k－3)，c＝3k－3，运用公式法解方
程可知道此方程的根为
x＝－b±
b2－4ac 2a
＝（4k－3）±2k（2k－3）2
，
∴此方程的两个根分别为 x1＝1，x2＝3－k3 ，∵方程的两个实根均为正整 数，∴k＝－3 或 k＝－1 或 k＝3
6．(2019·湘潭)已知关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋c＝0 有两个相等的 实数根，则 c＝( A
A．4 B．2 C．1 D．－4
7．(2019·营口)若关于 x 的方程 kx2－x－34 ＝0 有实数根，则实数 k 的取
值范围是( C A．k＝0
B．k≥－13 且 k≠0C．k≥－31
15．已知：关于x的方程kx2－(4k－3)x＋3k－3＝0. (1)求证：无论k取何值，方程都有实根； (2)若x＝－1是该方程的一个根，求k的值； (3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值(k为整数).
(1)证明：当 k≠0 时，∵方程 kx2－(4k－3)x＋3k－3＝0，∴Δ＝(4k －3)2－4k(3k－3)＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2，∴Δ＝(2k－3)2≥0，当 k＝0 时，3x－3＝0，解得 x＝1.∴无论 k 取何值，方程都有实根 (2)把 x＝－1

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16．下面是小敏同学做的题目： 关于 x 的方程 2kx2＋(8k＋1)x＋8k＝0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范 围． 解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴(8k＋1)2－4×2k×8k ＞0，∴k＞－116，∴当 k＞－116时，原方程有两个不相等的实数根． 以上解法对吗？若有错误，请你写出正确的过程． 解：以上解答不正确．正确过程如下：原方程有两个不相等的实数根．∴a≠0 且 b2－4ac＞0，∴2k≠0 且(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－116且 k≠0 时原 方程有两个不相等的实数根．
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
1
会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【例 1】已知 a、b、c 是△ABC 的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b＝0 根的 情况是________． 【思路分析】 因为 a、b、c 是△ABC 的三边，所以 a、b、c 均为正数，此 方程一定是一元二次方程，由 Δ＝(2c)2－4(a＋b)2＝4(a＋b＋c)(c－a－b)，由 三边关系得 a＋b＋c＞0，c－a－b＜0，∴Δ＜0. 【规范解答】 没有实数根
解：(1)把 x＝－1 代入方程得 2a－2b＝0，即 a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即 b2＋c2＝
a2，∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为：2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
5
9．一元二次方程 2x2－3x＋1＝0 的根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根

解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, ∴b2-4ac=32 -4×2×(-4)=41＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2∴）bx2-24-xa+c=14(-=10),2a-4=×1,b1=×-114,c==0.14 . ∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等
的实数பைடு நூலகம்，则k的取值范围是
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
( B)
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则
b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，
k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
问题3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ 1 =0; (3) x2-x+1=0.
4
解析：根据求根公式我们可以知道当b2-4ac≥0时，方程才 有实数根，而b2-4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不 解方程就能判断一元二次方程根的情况．
的根的情况.
解： 2 2k 2 41 k 2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
判别式大于0，方程有两个 不相等的实数根
根的判别式： b2-4ac
判别式等于0，方程有两个 相等的实根

➢ 四、听方法。
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
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2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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C
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
➢ 课时训练
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论
正确的是
(D )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m
一元二次方程根 的判别式
▪ 用公式法解下列方程：
▪ ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0
▪ ⑶ 2x2－2x＋1 = 0
▪ 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由 b2－4ac 来判定：
▪ 当 b2－4ac＞0 实数根； Nhomakorabea▪ 当 b2－4ac = 0 数根；
解:5x2 7x 5 0
方程要先化 为一般形式
72 4 5 5 149再 求0 判别式
原方程有两个不相等的 实数根
▪已知关于X的方程
(1)当K取什么值时,方k程x2有两(个2不k 相等1)的x实数k根? 0
(2)当K取什么值时,方程有实数根?
➢ 课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是
(D )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中，有实数根的是

1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 ( D )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0) 有两个不相等
的实数根，则b2－4ac满足的条件是 ( ) B
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
把方程ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方后得到：
x2ba2b24a42ac
由于a≠0，所以 4 a 2 ＞0 ，因此我们不难发现：
（1）当
b24ac>0时，b
2 4ac 4a 2
>0.
由于正数有两个平方根，所以原a c , x 2 b b 2 a 2 4 a c .
D．b2－4ac≥0
2.3 一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推 理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引 入
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）
当
b24ac=0时，b2 4ac
4a 2
= 0.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为 x1x22ba，
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当
b24ac<0时，b
2 4ac 4a 2
< 0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以 原方程没有实数根.
课堂练习

能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）？
教师引导学2 生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及 基本步骤.
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨 论交流.
1.实验发现： 练习：用配方法解下列一元二次方程： （1）x2-8x=20；（2）2x2-6x-1=0. 提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？ 用配方法解方程：x2-3x+p=0. 教师展示此练习. 对于一部分学生，教师可给予一定帮助，也可以鼓励同 学之间互相帮助. 学生实验，观察分析，总结结论，合作交流，小组内讨
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判
别式，通常用希腊字母Δ 表示它. 3.应用不解方程，能用根的判别式直接判断一元二次方
程根的情况.
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还有什么疑惑？说给大家听听.
的值分别与零有怎样的关系？ 让学生讨论，交流，探索后，教师再展示此 推导过程. 能直接开平方吗？ 让学生思考分析，发表意见.得出结论.
问题2：你能得出什么结论？
结论：当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c(a≠0)有两个不相等
的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-
4ac<0时，方程没有实数根.
第二章 一元二次方程
2.3 一元二次方程方程有两个不相等的实根；b24ac=0 一元二次方程有两个相等的实根；b2-4ac<0 一元 二次方程没有实根.
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
一、创设情境，导入新课

（重点、难点）
第二页，共十八页。
新课导入
情境引入
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解
第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何 判断的吗？
第三页，共十八页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程根的判别式
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + xb+ = c0 .
aa 配方，得 x2 + bx +( )b2 -( b)2 - =c 0,
移项，得
a 2a 2a
a
（x + b ）2 = 2a
b2 4ac 4a2 .
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
第四页，共十八页。
新课讲解
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
，
k≠0.解(2得)2k>-41k且k0≠0，故选B.
第十一页，共十八页。
新课讲解
应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ =10,a=1,b=-1,c= . 1
4
4
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =10.
4
∴方程有两个相等的实数根．
第十六页，共十八页。

13．(2019·丹东)等腰三角形一边长为2，它的则k的值是( B )
A．8 B．9 C．8或9 D．12
14．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋1＝0的根的判别式的值为5，则k的 值为___－__5_或__1_．
15．(2019·岳阳模拟)在等腰△ABC中底BC＝2，腰AC＝b，且关于x的 方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是__1_0_．
11．(开福区外校月考)若关于 x 的方程(m－1)x2＋2x＋1＝0 有实数根，则
m 的取值范围是( A )
A．m≤2
B．m≤21
C．m≤2 且 m≠1 D．m<2
12．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b
＝0的根的情况是( A )
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
5．(8分)不解方程，判别下列一元二次方程根的情况．
(1)x2－x＋1＝0；
(2)2x2＋5x＝4；
解：(1)∵Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，∴此方程没有实数根；
(2)∵Δ＝52－4×2×(－4)＝57>0，∴此方程有两个不相等的实数根；
(3)4x2－2x＋14 ＝0；
(4)－12 x2－x－1＝0.
第2章 一元二次方程
2．3 一元二次方程根的判别式
1．(3分)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则
b2－4ac满足的条件是( B)
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0
2．(3分)(2019·朝阳)一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况是( A )