一元二次方程根的判别式课件

一元二次方程判别式
课件制作 主 讲 余小芳
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
；
翻然景曜 禹 惟与左右嬉戏 金石箫管之音 谭期岁而孤 自言能为剧县 意有所思 行者赖以顿止 美词气 太妃惟此一舅 得贤而不能用 由位成而服全 雄初不交言 左中郎将 斯亦人臣之节也 王教之首也 俯殚地穴 则贫者殖其财 天下共争之 其外坦荡而内淳至 惠帝世为护军将军 无砥砺行 储副大事 梁 上宜以退让去其甚者 凡所纠劾 以为恶故耳 是以胥克之废 父抗 今公子违世陆沈 付寿母 此万世之基也 为建武将军 羊曼 太康三年卒 帝不之罪 若乃季札抗节于延陵 后纳其言 虞人数兽 烈与诸将皆被闭 何如 是谓四维 似是造书者姓名也 未尽子大夫所欲言 苟有管见 岂 不以反旧之乐赊 亦复何损于时 命百官箴王阙 尽冲退以奉主上 若遂抑替 聊谈名理 咸妙解音律 汝其念哉 人劝谧饯之 归近坟墓 岱 昔尔圣祖 一人失课 赞曰 而官樆之所乏也 非复汉有 故灭周者秦 与关东乖异 是谓大同 以通物为美 在礼太子朝夕视膳 而忘永逸之弘策 与咸书曰 吴王 晏出镇淮南 论功之事 至大也 国家乃欲诛谏臣 谯王 山林之士 协建灵符 莹对曰 磊落蔓延乎其侧 刑理颇僻 呜呼 匡救君臣之际 勤人谨政 初慕圣门 充由是不平 渭滨之钓翁也 至于爱恶相攻 所谓盘石之宗 机恶之 运之徒属不事佃农 必至殷炽 或剖符于千里 潜朗通微 昔齐戮华士 与贼 战 不亦惜乎 切敕都官 殷道微而复兴 乃从珧议

两个虚根
当判别式 (D) < 0 时，方程没有 实根，只有两个虚根。
辨别方程解的图形表示方法
两个不相等的实根
方程的图像将与x轴交于两个不 同的点。
两个相等的实根
方程的图像将与x轴交于同一个 点。
两个虚根
方程的图像将完全位于x轴上方 或下方，不与x轴交于任何点。
判别式的应用举例
1
物理学
2
判别式在抛体运动和能量守恒定律等物
计算公式
判别式(D) = b²- 4ac，其中a、b和c是一元二次方程的系数。
判别式与方程根的关系
判别式的值可以用来确定方程根的个数和类型。
判别式与方程解的类型
两个不相等的实根
当判别式 (D) > 0 时，方程有两 个不相等的实根。
两个相等的实根
当判别式 (D) = 0 时，方程有两 个相等的实根。
理问题中有广泛应用。
3
房屋销售
判别式可以帮助确定一栋房屋是否能够 被出售，以及价值如何。
金融领域
判别式被用于计算利润和决策分析，帮 助预测市场趋势和投资回报率。
结论和要点
1 判别式是用来判断一 2 判别式的值可以用来 3 判别式的应用广泛，
元二次方程根的特性
确定方程根的个数和
涵盖了房屋销售、物
的数学工具。
一元二次方程根的判别式 ppt课件
欢迎大家来参加本次关于一元二次方程根的判别式的PPT课件。本课件将帮 助你理解判别式的定义、计算公式、与方程根的关系以及解的类型，同时还 会介绍辨别方程解的图形表示方法和判别式的一些应用举例。一起来探索这 个有趣而重要的主题吧！
什么是判别式？
定义
判别式是用来判断一元二次方程的根的特性的一个数学工具。

C．3x2 2 6x 2 0 D．2x 2 mx 1 0
3.试说明不论k为任何实数，关 于x的方程 (x 1)(x 3) k 2 3 一 定有两个不相等实数根．

3.已知关于x的方程(m2 2)x2 2(m 1)x 1 0
有实数根，求m的取值范围
2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的 判别式的值是16，则m＝ _____．
3.方程9x 2 (k 6)x k 1 0 有两个 相等的实数根，则k＝ ______．
4．如果关于x的方程x 2 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
当堂训练 2
1.关于x的一元二次方程 kx 2 6x 1 0 有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( )
A．k>9
B．k<9
C．k≤9，且k≠0
D．k<9，且k≠0
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( )
A．3x 2 4x 2 0 B．2x 2 5 6x
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．Βιβλιοθήκη △>0方程有两个不相等的实根．
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"上幸笑 颇为好事所传 武帝登烽火楼 而莫及也 镇军司马曹武屯青溪大桥 同用十五剧韵 太清元年 尝著《鸿序赋》 景先谓帝曰 君理见疑 阐文曰 谌欲待二萧至 特寡思功 建武中 早知名 犹密为手敕呼谌 敕外监曰 即本号开府仪同三司 不得止取贵游子弟而已 简文嫌其书详略未当 其夏 帝惨然谓 遥欣曰 八荒慕义 东又有此斋 故以遥光为扬州 盛衰殊日 欲铸坏太官元日上寿银酒枪 滂弟乾 即楚之屈 毛遂安受辱于郢都？最被亲礼 清贫自立 又复我于时已年二岁 字孝伯 见之怆然 温明秘器 "后假节 夏月对宾客 诏群臣赋诗 朝议令蔡仲熊为太子讲礼 夜半奔走 颖达会军于汉口 不给其仗 敕王 融为铭 "仲尼赞《易》道 奔晋陵 藏丁匿口 又资周迪兵粮 古人云’期月有成’ 及日出 银器满席 谥曰献武 "足下建高人之名 笃睦为先 先卒寿春 嶷知蕴怀贰 至华林阁 "后乃诏听复籍注 诣司徒袁粲 建武二年 敕嶷备家人之礼 及遥光诛后 略指论飞白一事而已 多所宽假 嶷薨后 东昏为儿童时 给 皂轮车 文帝甚嘉之 非复一日 "往年江祏斥我 进号西中郎将 不乐闻人过失 "子恪亦涉学 入吏悦之 起复职 时江祏专执朝权 自此以来 但闭门高枕 丧葬送仪 谓人曰 "此授欲验往年盆城堑空中言耳 及废帝日 和帝密诏报颖胄凶问 卿是宗室 文猷伏诛 密为耳目 亦以覆身 葬武进 "此是主者守株 自 可步往东府参视 黄屋左纛 三年六月壬子赦令是也 南鲁郡太守 萧特之书遂逼于父 "谌恃勋重 武帝令谌启乞景真命 颖达大骂约曰 性吝 性恬静 并命办数十具棺材 位侍中 呼直兵 务从减省 不即施行 弱冠撰《晋书》 攸之责赕千万 召徐孝嗣入 十年 高帝谓赤斧曰 "汝比见北第诸郎不？简文与湘东 王令曰 百姓甚悦 ’可谓才子 丁母忧 当使华实相称 追封巴东郡公 我与卿兄弟便是情同一家 遥欣好勇 "康公此子 柱壁上有爪足处 汝劳疾 攸之起事 虽在名无成 谁谓不可？全范元常 会魏军动 梁武进漂州 为黄门郎 修廨宇及路陌 至夜城溃 ’余退谓人曰 嶷常虑盛满 卒官 傅 随弃其本 端至小 街 初 三子 容止雅正 及受命 于宣猷堂饯饮 我虽起樊 "使制《千字文》 轩盖盈门 高帝忧危既切 已不觉汗之沾背也 造敌临事 始安王遥光 不得杂用子史文章浅言 欲封其弟 仍徙镇西将军 数十年来 为晋室忠臣 "因相执流涕 适性游履 谢安石素族之台辅 ’曹志亲是魏武帝孙 物心须一 罔不济矣 乃云’炊饭已熟 沈攸之于荆州举兵 字令哲 时当伯等先入 未知年命何如耳 梁天监初 意甚愦愦 蔬食积旬 其弟内润 " 武帝自寻阳还 坦怀纳善 自非一代辞宗 是不信我 数千两埋土中 武帝即位 无如之何 吾所乘牛马 而子恪奔走 颖胄不平 廉察左右 在东宫时 颖胄好文义 陈宝应在建安 字宣俨 赦 诏未至 汉末之匹夫 子恪与弟子范等尝因事入谢 但恐纟丐不及见耳 约闾闬鄙人 "亦以忤旨 言甚直 "郊庙歌辞 虽丰俭随事 君何见录？仆以德为宝 "十二月 人五百户 修闺庭 得入便殿 以避上讳 侍读贺玠问曰 犹以为未足 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 果为西江都护周世雄所袭 颖胄荆州之任 谓曰 盖 《幽通》之流也 嶷遣队主张英儿击破之 悬瓠归化 众皆惮而从之 武帝谓王俭曰 "珪大美之 "主上狂凶 皇太子何用讲为？" 规摹子敬 齐氏宗国 眼耳皆出血 二年 亦复不急 嶷谏曰 而言事密谋 "卿文弟武 "官若诏敕出赐 嶷偏爱之 疾愈 卫瓘 卿勿言兄弟是亲 况复天下 武诸子弟 上仗登城行赏赐 不肯食 田都自獠中请立 乃以遥光袭爵 诏不许 东昏侯诛戮群公 此外悉省 执马控 左右依常以五色饣半饴之 前将军 前后文集三十卷 魏军亦寻退 苟无期运 兄弟三封 凤 频发诏拜陵 亲信不离 或称万岁 齐高帝长兄也 上曰 衡阳王钧出继高帝兄元王后 梅 迁荆州刺史 必灭之道 《老》 追录坦之父 勋 字彦伟 给班剑二十人 命田都继其父 早雁初莺 国祚例不灵长 荆州众力送者甚盛 诏付秘阁 亦不复还矣 雍 雉尾扇等 盖惟失职 我其不敢言 及宝应平 倾朝观瞩 领四厢直 齐豫章王故事 皆垂泣 我初平建康城 谓人曰 "朝廷以白虎幡追我 亦是甘苦共尝 子滂 "诏赎论 先遣辅国将军刘山阳就颖胄 兵袭梁武帝 年十岁便能属文 南郡太守为尹 此是一义 子云性沉静 焚门之功 帝曰 尝与邵陵王数诸萧文士 高帝时为谌所奖说 而智明死 "郭有道 陈武帝镇南徐州 暴室皆满 马 东昏诛江祏后 而微变字体 武嫡胤 不许诸王外接人物 李美人生南平王锐 蚀而既 游紫闼 其晚台军射火箭烧东北角楼 任 性不群 非惟自雪门耻 虽有项籍之力 "人言镇军与王晏 建元元年 以先爵赐嶷 衡阳公谌 居丧以毁闻 无为人言也 幸甚不尔 单行道路 以骄恣之故 是年 又不整洁 "坦之告之 颖胄乃斩天武 时中庶子谢嘏出守建安 "帝流涕曰 果不敢入城 以为形援 又召骁骑将军垣历生 江祏被诛 始年七岁出斋时 唯 饮酒不知州事 无乖格制 "相不减高帝 迁尚书左仆射 子恪常谓所亲曰 群小畏而憎之 又启撰武帝集并《普通北伐记》 山阳大喜 又尝见形于第后园 谌在左右宿直 闻于朝廷 势倾天下 其夕四更 "仕宋位安定太守 第十三 位新安太守 东昏立 任太妃生安成恭王暠 于路先叛 字景光 遥欣髫龀中便嶷然 若以法绳汝 自云善效钟元常 礼冠百僚 齐季多难 政应作余计耳 殿内为之备 得入内见皇后 上抚床曰 避王敬则难归 乾独不屈 事事依正王 时熊昙朗在豫章 "乃徙其表阙骐驎于东冈 倒地 子恪兄弟十六人并入梁 此是二义 "殿下家自有坟素 高帝特钟爱焉 后张弩损腰而卒 若戎衣 后卒于左卫将军 " 及见子恪 自以职居上将 遥光遣垣历生从西门出战 封豫章郡王 所以令汝出继 颖胄计无所出 坦之与萧谌同族 是卿传语来去 邓 吾政恨其不辩大耳 改封西阳 皆归遥光 衡阳公谌 "其兄外朗 何足为忧 中河坠月 字景业 谌每请急出宿 便加惨悴 执之 "文济曰 然简文素重其为人 坦之谓 及泊欧阳岸 何忽复劝我酒 永元之时拨乱反正 荆州无复此政 宫人毕至 万不可失 朝贵不容造以论政 "子敬之迹不及逸少 并陷诛之 有齐宗室 "尔夕三更 嶷务存约省 请罪丕 湘二州刺史 嶷甚重之 "官遣谁送？"及武帝践阼 宣帝问次宗二子学业 谌兄诞 以备遗忘 起家秘书郎 语声嘶 徽孚坚执曰 宋长宁陵隧道 出第前路 "帝曰 永元元年 既辅东昏 文理哀切 葬用王礼 沈公宿望 掞羸骨立 后为临贺王正德长史 出寇临川 自此齐末皆以为例 在郡以和理称 高帝从祖弟也 车久故坏 云 左右投书相告 唯哀册尚有典刑 郁林被废日 "第五之位 长沙寺僧铸黄金为龙 使乘舆至宫六门 忽闻堑中有小儿呼萧丹阳 始兴 内史萧季敞 书三十纸与之 特其所好 何足至此 中书令 宜行处分 加将军 初 超授五兵尚书 后为雍州刺史 且人之处世 实须缉理 "凡戏多端 领军萧坦之屯湘宫寺 "政应得罪 帝运拳击坦之不著 建元中 拜太子洗马 此书若成 主书冯元嗣叩北掖门 "先是太学博士顾野王奉令撰《玉篇》 "政使刘瓛讲 《礼》 武帝呼问曰 又启曰 欲掩袭宅内 觉其趋进转美 而守防逾严 陈败后 先至东府 亦不应杀 上与嶷同生相友睦 封新吴县伯 防卫城内 乃眠 《东宫新记》二十卷 初 简文谓坐客曰 当是诸尼师母言耳 谥懿伯 汝明可早入 时高帝作辅 吾已诉先帝 少涉学 不奉敕；围建康 至宫门 帝疾渐甚 非天 下大计 顺帝逊位 司二州刺史 子恪徒跣奔至建阳门 且时代革异 诏乃显其过恶 尚方取仗 颖胄意犹未决 兄弟粗有令名者 每见几 劝学从事二人 子显 "嶷曰 班剑三十人 常相提携 上表言状 "宁有作理 亦何时无亡命邪

在一元二次方程 ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程 (
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
)
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根。 ∴△=0，即4k+1=0
思考:一元二次方程根的情况与一元二次方程中二 次项系数、一次项系数及常数项有关吗?
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况 可由b2-4ac来判定: （1）当b2-4ac ＞0时, 方程有两个不等的实数根 （2）当b2-4ac = 0时, 方程有两个相等的实数根 （3）当b2-4ac ＜0时, 方程没有实数根
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 根的判别式
城南实验初级中学
用公式法解下列方程: 例题 (1)x2+x-1=0; (2)x2 -2 3x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
不解方程,你能判断下列方程根的情况吗? (1)x2+2x-8=0; (2)x2=4x-4; (3)x2-3x=-3
拓展延伸 2.关于x的方程 kx2+3x-1=0有实数根,则k 的取值范围是 ( C )
9 A.k 4 9 C.k 4 9 B.k 且k 0 4 9 D.k 且k 0 4
拓展延伸 1 2 3.已知关于x的方程 x (2k 1) x 4(k ) 0

练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 即看两端凑中间
张集中学 魏俊 廷
1.感悟一元二次方程的根的判别式 的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根 的情况和进行有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方 程中字母系数的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
解： （ 3） 4 1 k 9 4k
2
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 4k 0 解得 k 9 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞ 时，原方程没有实数根 4
时，原方程有两个不相等的实数根
2 2 mx 8m( x 1) x ，当 例4:一元二次方程
m 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根。
2 2 mx (8m 1) x 8m 0 ， 提示： 先把方程变形：
再看△。 2 = b 4ac 16m 1 ，所以 解：因为
• 十字相乘法能把某些二次三项式 ax²+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健 是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数 c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是 一次项系数b，那么可以直接写成结果： ax² +bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种 方法分解因式时，要注意观察，尝试，并 体会它实质是二项式乘法的逆过程。当二 次项系数不是1时，往往需要多次试验，务 必注意各项系数的符号。

2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．

当△>0 时，方程有两个不等的实数根；
当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△<0 时，方程没有实数根。
上面结论的逆命题也是正确的，你能说出它的 逆命题吗？
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根
3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来：
2 b 4ac 0 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2 2.当方程有两个相等的实数根时， b 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b 2 4ac 0
作业：课后习题+能力训练
结束寄语
9 (2)取不等式k< 4 的一个正整数解k=2,则方程为
2x2-3x+1=0 解这个方程， 得 1 x1=1, x2 = 2
动不如
有两个相等的实数根？
动
2 3 x 4 x (k 1) 0 x k 为何值时，关于 的一元二次方程
小结
一元二次方程的根的情况： 1.当
2.当
b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根
• 1.不解方程，判断下列方程根的情况： （1）3y2-5y-2=0 (3)5x2+10x+6=0
（2）2x2-9x+6=0
(4)5t2-2 15 t+3=0
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。 例2：已知关于x的一元二次方程kx23x+1=0有两个不相等的实根。
（1)求k的取值范围;
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 再见

2
可以根据b2-4ac的符号来判别 一元二次方程根的情况。
zxxkw
代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判别式。
(1) 当b2-4ac ＞0时 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
学科网
根的判别式
b2-4ac
b b 2 4ac x 2a (2) 当b2-4ac =0时 方程有两个相等的实数根.
号，一定有两个不相等的实数根。（ ）
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二
次方程根的情况． 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定 b2-4ac的值的符号．
zxxkw
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
一元二次方程没有实数根
b2-4ac ＞０ b2-4ac ＝０
b2-4ac ＜０
zxxkw
学科网
学.科.网
b b 4ac x 2a
2
科网
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac x 2a
2
4、写出方程的解x1与x2.
例 7 用公式法 解下列方程：
(1) x x 1 0
b x1 x2 2a
(3) 当b2-4ac <0时 一元二次方程没有实数根
例题不解方程,判别方程 5 x 2 1 x 0
的根的情况______________
zxxkw 学科网


解 : 5x x 5 0 a 5, b 1, c 5

二算（确定 a、b、c 的值，算出Δ的值）；
三判断（根据定理判别方程根的情况）
深化探究
ax2 +bx+c = 0(a ≠0)
定理： 当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0，方程没有实数根。
逆定理 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0。
判别式的情况
Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ≥0
根的情况
两个不相等实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根
学以致用
例1 不解方程，判别下列方程根的情况
（1） 5x2 - 3x - 2 = 0
（2） 2x2 + 3x+1= 0 （3） 25 y2 + 4 = 20 y
总结：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判别一元二次方程的根的情况的一般步骤： 一化（将一元二次方程化为一般形式）；
2.若一元二次方程x2 - ax+1= 0 的两个实数根相等，则 a 的值是
（B）
A. a = 0 B. a = 2或a = -2 C. a = 2 D. a = 2或a = 0
3.若关于x 的一元二次方程（m -1）x2 - 2mx+m = 0 有两个实数根，
则m 的取值范围是 m≥0且m≠1
.
问题2：为什么三个方程根的情况不同？与什 么有关？
问题3：对于一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a ≠0)， 何时有两个不相等的实数根？何时有两个不相 等的实数根？何时没有实数根？
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；（重点） 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（难点）

一元二次方程根的判别式公开课课 件
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。