2019年北师版文数高考一轮复习 第7章 第4节 平行关系

第三节平行关系错误!１．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b２．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b１．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．２．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．３．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[试一试]１．下列说法中正确的是（）１一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；２一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；３过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；４如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．Ａ．１２３４Ｂ．１２３Ｃ．２４Ｄ．１２４解析：选D 由线面平行的性质定理知１４正确；由直线与平面平行的定义知２正确；３错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．１若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；２若m∥l，且m∥α，则l∥α；３若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；４若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选B 易知１正确；２错误，l与α的具体关系不能确定；３错误，以墙角为例即可说明；４正确，可以以三棱柱为例说明．故选Ｂ．１．转化与化归思想——平行问题中的转化关系２．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：（１）利用线面平行的判定定理；（２）利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．[练一练]１．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题１错误!⇒α∥β２错误!⇒α∥β３错误!⇒a∥α４错误!⇒α∥a其中正确的命题是（）Ａ．１２３Ｂ．１４Ｃ．２Ｄ．１３４解析：选C ２正确．１错在α与β可能相交．３４错在a可能在α内．２．如图所示，在正四棱柱ABCD—A １B１C１D１中，E、F、G、H分别是棱CC、C１D１、D１D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运１动，则M满足条件______时，有MN∥平面B１BDD１.解析：由平面HNF∥平面B１BDD１知，当M点满足在线段FH上有MN∥平面B１BDD１.答案：M∈线段FH错误!考点一线面平行、面面平行的基本问题１若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；２若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；３若m，n是相交直线，m⊂α，m∥β，n⊂α，n∥β，则α∥β；４若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中真命题有（）Ａ．４个Ｂ．３个Ｃ．２个Ｄ．１个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知１是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，２是真命题；由线面平行的性质和判定知３是真命题；满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l 或相交或平行或异面，故４是假命题，于是选Ｂ．２．（２0１３·济宁模拟）过三棱柱ABC­A１B１C１的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB１A１平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC­A１B１C１的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A１C１，B１C１的中点分别为E，F，E１，F１，则直线EF，E１F１，EE１，FF１，E１F，EF１均与平面ABB１A１平行，故符合题意的直线共6条．答案：6[类题通法]解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项（１）判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．（２）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．（３）举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点二直线与平面平行的判定与性质[典例] （２0１３·新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC­A １B１C１中，D，E分别是AB，BB１的中点．（１）证明：BC１∥平面A１CD；（２）设AA１＝AC＝CB＝２，AB＝２错误!，求三棱锥C­A１DE的体积．[解] （１）证明：连接AC １交A１C于点F，则F为AC１中点．又D是AB中点，连接DF，则BC１∥DF.因为DF⊂平面A１CD，BC１⊄平面A１CD，所以BC１∥平面A１CD.（２）因为ABC­A１B１C１是直三棱柱，所以AA１⊥CD.由已知AC＝CB，D 为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA１∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB１A１.由AA１＝AC＝CB＝２，AB＝２错误!得∠ACB＝90°，CD＝错误!，A１D＝错误!，DE＝错误!，A１E＝３，故A１D２＋DE２＝A１E２，即DE⊥A１D.＝错误!×错误!×错误!×错误!×错误!＝１．所以V C­A１DE在本例条件下，线段BC１上是否存在一点M使得DM∥平面A１ACC１？解：存在．当M为BC１的中点时成立．证明如下：连接DM，在△ABC１中，D，M分别为AB，BC１的中点∵DM綊错误!AC１，又DM⊄平面A１ACC１AC１⊂平面A１ACC１，∴DM∥平面A１ACC１.[类题通法]证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法（１）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；（２）利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；（３）注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．[针对训练]（２0１４·长春三校调研）如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB ∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝错误!AB＝１，M是PB 的中点．（１）求证：AM＝CM；（２）若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.证明：（１）∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝错误!AB＝１，∴AC＝错误!，BC＝错误!，∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝错误!PB，在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝错误!PB，∴AM＝CM.（２）如图，连接DB交AC于点F，∵DC綊错误!AB，∴DF＝错误!FB.取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，∴DG∥平面AMC.连接GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC，MC⊂平面AMC.∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC，又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC.考点三平面与平面平行的判定与性质[典例] （２0１３·陕西高考）如图，四棱柱ABCD­A１B１C１D１的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A１O⊥底面ABCD，AB＝AA１＝错误!.（１）证明：平面A１BD∥平面CD１B１；（２）求三棱柱ABD­A１B１D１的体积．[解] （１）证明：由题设知，BB１綊DD１，∴四边形BB１D１D是平行四边形，∴BD∥B１D１.又B D⃘平面CD１B１，∴BD∥平面CD１B１.∵A１D１綊B１C１綊BC，∴四边形A１BCD１是平行四边形，∴A１B∥D１C.又A１B平面CD１B１，∴A１B∥平面CD１B１.又∵BD∩A１B＝B，∴平面A１BD∥平面CD１B１.（２）∵A１O⊥平面ABCD，∴A１O是三棱柱ABD­A１B１D１的高．又∵AO＝错误!AC＝１，AA１＝错误!，∴A１O＝错误!＝１．又∵S△ABD＝错误!×错误!×错误!＝１，＝S△ABD×A１O＝１．∴V ABD­A１B１D１[类题通法]判断面面平行的常用方法（１）利用面面平行的判定定理；（２）面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）；（３）利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）．[针对训练]如图，在直四棱柱ABCD­A１B１C１D１中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B１B，D１D，DA的中点．求证：（１）平面AD１E∥平面BGF；（２）D１E⊥AC.证明：（１）∵E，F分别是B１B和D１D的中点，∴D１F綊BE.∴四边形BED１F是平行四边形，∴D１E∥BF；又∵D１E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D１E∥平面BGF.∵FG是△DAD１的中位线，∴FG∥AD１；又AD１⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD１∥平面BGF.又∵AD１∩D１E＝D１，∴平面AD１E∥平面BGF.（２）连接BD，B１D１，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D１D⊥AC，D１D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD１B１.∵D１E⊂平面BDD１B１，∴D１E⊥AC.错误![课堂练通考点]１若a∥b，b⊂α，则a∥α；２若a∥b，a∥α，则b∥α；３若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选A 对于１，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以１不正确；对于２，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此２不正确；对于３，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此３是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．２．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）Ａ．１３Ｂ．２３Ｃ．１４Ｄ．２４解析：选C 对于图形１，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形４，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形２３无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选Ｃ．３．（２0１４·济南模拟）平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a，a∥α，a∥βＢ．存在一条直线a，a⊂α，a∥βＣ．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αＤ．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除Ａ．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除Ｂ．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除Ｃ．故选Ｄ．４．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由错误!＝错误!＝错误!，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD５．如图，在三棱柱ABC­A １B１C１中，E，F，G，H分别是AB，AC，A１B１，A１C１的中点，求证：（１）B，C，H，G四点共面；（２）平面EFA１∥平面BCHG.证明：（１）∵GH是△A１B１C１的中位线，∴GH∥B１C１.又∵B１C１∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．（２）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A１G綊EB，∴四边形A１EBG是平行四边形．∴A１E∥GB.∵A１E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A１E∥平面BCHG.∵A１E∩EF＝E，∴平面EFA１∥平面BCHG.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（）Ａ．不一定存在与a平行的直线Ｂ．只有两条与a平行的直线Ｃ．存在无数条与a平行的直线Ｄ．存在唯一与a平行的直线解析：选A 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选Ａ．２．（２0１４·石家庄模拟）已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：１存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；２存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；３存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；４存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是（）Ａ．１３Ｂ．２４Ｃ．１４Ｄ．２３解析：选C 对于２，平面α与β还可以相交；对于３，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以２３是错误的，易知１４正确，故选Ｃ．３．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）Ａ．只有一条，不在平面α内Ｂ．只有一条，且在平面α内Ｃ．有无数条，不一定在平面α内Ｄ．有无数条，一定在平面α内解析：选B 由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选Ｂ．４．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是（）Ａ．AC⊥BDＢ．AC∥截面PQMNＣ．AC＝BDＤ．异面直线PM与BD所成的角为４５°解析：选C 由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝４５°，故D正确；而AC＝BD没有论证来源．５．如图，四边形ABCD是边长为１的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝１，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是（）Ａ．MC⊥ANＢ．GB∥平面AMNＣ．平面CMN⊥平面AMNＤ．平面DCM∥平面ABN解析：选C 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中（如图），作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．6．（２0１３·惠州调研）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．１若m∥α，n∥α，则m∥n；２若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；３若m∥α，m∥β，则α∥β；４若m⊥α，n⊥α，则m∥n.解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故１不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故２不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故３不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，４正确．答案：４7．在正四棱柱ABCD­A１B１C１D１中，O为底面ABCD的中心，P是DD１的中点，设Q是CC１上的点，则点Q满足条件________时，有平面D１BQ∥平面PAO.解析：假设Q为CC１的中点，因为P为DD１的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD，DB的中点，所以D１B∥PO，又D１B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D１B∥平面PAO，QB∥平面１PAO，又D１B∩QB＝B，所以平面D１BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC１的中点时，有平面D１BQ∥平面PAO.答案：Q为CC１的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．１α∥γ，n⊂β；２m∥γ，n∥β；３n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，１正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，３正确．答案：１或３9．（２0１４·保定调研）已知直三棱柱ABC­A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝错误!AA′＝２，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．（１）求证：MN∥平面A′ACC′；（２）求三棱锥C­MNB的体积．解：（１）证明：如图，连接AB′，AC′，∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′，∴MN∥平面A′ACC′.（２）由图可知V C­MNB＝V M­BCN，∵∠BAC＝90°，∴BC＝错误!＝２错误!，又三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱，且AA′＝４，∴S△BCN＝错误!×２错误!×４＝４错误!.∵A′B′＝A′C′＝２，∠B′A′C′＝90°，点N为B′C′的中点，∴A′N⊥B′C′，A′N＝错误!.又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′N⊥BB′，∴A′N⊥平面BCN.又M为A′B的中点，∴M到平面BCN的距离为错误!，∴V C­MNB＝V M­BCN＝错误!×４错误!×错误!＝错误!.１0．（２0１３·江苏高考）如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（１）平面EFG∥平面ABC；（２）BC⊥SA.证明：（１）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.（２）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.第Ⅱ组：重点选做题１．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）Ａ．平行Ｂ．平行和异面Ｃ．平行和相交Ｄ．异面和相交解析：选B 因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊂平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．２．（２0１４·汕头质检）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．１若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；２若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；３已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β；４若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．解析：１为假命题，２为真命题，在３中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在４中，m，n也可能异面，故为假命题．答案：２。

AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。

3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。