2012年广西高考二轮复习专题突破点睛：导数

2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。

2012年高考数学二轮复习专题卷：专题5 导数及其应用一、选择题1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2 要善于观察，故选B.2．(2011·江西文，4)曲线y ＝e x在点A (0,1)处得切线斜率为( ) A ．1 B. 2 C ．e D.1e[答案] A[解析] y ′＝(e x )′＝e x ，所以k ＝e 0＝1.3．(2011·重庆文，3)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x[答案] A[解析] y ′＝－3x 2＋6x 在(1,2)处的切线的斜率k ＝－3＋6＝3， ∴切线方程为y －2＝3(x －1)．即y ＝3x －1.4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0得x ＝9，x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(0，＋∞)时，y ′<0，y 先增后减，∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x＝1x ＋cos x2，∴y ′|x ＝π4＝12.(理)(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3[答案] D[解析] S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.6．(2011·山东淄博)若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )>bf (b )B ．af (a )<bf (b )C ．af (b )<bf (a )D ．af (b )>bf (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )， 由xf ′(x )>－f (x )，得：xf ′(x )＋f (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在R 上为递增函数． 因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．故选A.7．(2011·江苏盐城)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－1<a <1C ．0<a <12D ．0<a <1[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a.则a∈(0,1)，∴0<a<1，故选D.8．(文)(2011·浙江文，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是( )[答案] D[解析]由F(x)＝f(x)·e x得，F′(x)＝f′(x)e x＋f(x)·(e x)′＝e x[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]∵x＝－1是F(x)的极值点，∴F′(－1)＝0，得c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a∴f′(x)＝2ax＋b∴f′(－1)＝－2a＋b，f(－1)＝2a－b由f′(－1)＝0，则b＝2a，f(－1)＝0，b＝2a，故A，B选项可能成立；由f′(－1)>0，∴－2a＋b>0，∴f(－1)<0，故C选项也成立；所以，答案选D.(理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克[答案] D[解析]M′(t)＝－M030ln2·2－t30，∴M′(30)＝－M060ln2＝－10l n2，∴M0＝600，∴M(t)＝600·2－t30，∴M(60)＝600·2－2＝150.二、填空题9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.[答案] ln2－1[解析] (ln x )′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b ＝ln2－1.10．(2011·山东烟台)曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为________．[答案]5162 [解析] 设直线l 平行于直线y ＝－x －1，且与曲线y ＝2x 4相切于点P (x 0，y 0)，则所求最小值d 即为点P 到直线y ＝－x －1的距离，对于y ＝2x 4，y ′＝8x 3，则y ′|x ＝x 0＝8x 30＝－1. ∴x 0＝－12，y 0＝18，∴d ＝|－12＋18＋1|2＝516 2.11．(苏北四市联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，xfx －f x x2>0(x >0)，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) [解析] 设F (x )＝f xx，则当x >0时， F ′(x )＝xfx －f xx >0，∴F (x )在(0，＋∞)上为增函数，且F (1)＝f (1)＝0. ∴当x >1时，F (x )>0，则有f (x )>0， 当0<x <1时，F (x )<0，则有f (x )<0. 又∵f (x )是R 上的奇函数， ∴当－1<x <0时有f (x )>0， 当x <－1时有f (x )<0.∴x 2f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．12．(文)(2011·银川二模)已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3[解析] 由题可知f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝k ＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.(理)(2011·浙江五校联考)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝2x －9，且f (0)的值为整数，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )所有可能取的整数值有且只有1个，则n ＝________.[答案] 4[解析] 由题可设f (x )＝x 2－9x ＋c (c ∈R )，又f (0)的值为整数即c 为整数，∴f (n )＝n 2－9n ＋c 为整数，f (n ＋1)＝(n ＋1)2－9(n ＋1)＋c ＝n 2－7n ＋c －8为整数，又x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )所有可能取的整数值有且只有1个，∴n 2－7n ＋c －8＝n 2－9n ＋c ，即n ＝4.三、解答题 13．已知曲线y ＝x 3.(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程； (3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程．[解析] (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝f ′(x )＝3x 2，且点(1,1)在曲线上， ∴f ′(1)＝3×12＝3，即所求切线的斜率k ＝3. ∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)∵曲线y ＝x 3，∴y ′＝f ′(x )＝3x 2. 显然点(1,0)不在曲线y ＝x 3上 ， 设切点坐标为(x 0，x 30)，∴所求直线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20故所求直线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 又因为该直线过点(1,0)，代入得， 0－x 30＝3x 20(1－x 0)，∴x 20(2x 0－3)＝0，∴x 0＝0，或x 0＝32.当x 0＝0时，k ＝3x 20＝0， 此时所求直线方程为y ＝0； 当x 0＝32时，k ＝3x 20＝274，此时所求直线方程为y ＝274(x －1)，即27x －4y －27＝0.∴所求直线方程为y ＝0，或27x －4y －27＝0. (3)由(2)知，所求直线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 又直线过点(1,1)，∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)，整理得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1，或x 0＝－12.当x 0＝1时，k ＝3，此时所求直线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0； 当x 0＝－12时，k ＝34，此时所求直线方程为y －1＝34(x －1)，即3x －4y ＋1＝0.∴所求直线的方程为3x －y －2＝0，或3x －4y ＋1＝0.14．(文)(2011·重庆文，19)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．[解析] (1)∵f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1 ∴f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b 由题意知－2a 2×6＝－12，∴a ＝3.又f ′(1)＝0，∴6×12＋2a ＋b ＝0， ∴6＋6＋b ＝0，∴b ＝－12. ∴a ＝3，b ＝－12.(2)由(1)知a ＝3，b ＝－12.∴f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x 2＋x －2)＝6(x ＋2)(x －1) 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1.f ′(x )、f (x )随x 变化如下表(x )取得极大值，在x (理)(2011·重庆理，18)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．[解析] (1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 15．(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 2＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2012届高考数学解答题题考前集训：导数21. 已知函数f (x ) =b x ax +-26的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x + 2y + 5 = 0.（1）求函数y = f (x )的解析式；（2）求函数y = f (x )的单调区间.2. 已知函数[).21,,)1()1()(22≤<≤-+-=n m n m x n m x x f 且的定义域为（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）证明：对任意[).1|)()(|,,,2121恒成立不等式<-∈x f x f n m x x3. （2012年南京联考）已知函数.)(23c bx ax x x f +++=(1)若函数)(x f 在区间[－1，0]上是单调递减函数，求22b a +的最小值； (2)若函数)(x f 的三个零点分别为.32:)10(1,1,12+=<<+-b a t t t ，求证 (3)在(2)的条件下，函数)(x f 存在两个极值点：).,(),,(21n x B m x A 若32||21=-x x ，求函数)(x f 的解析式.参考答案1. （I ）由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x + 2y + 5 = 0，知－1 + 2f (－1) + 5 = 0，即f (－1) =－2，f '(－1) =－21.∵ f '(x ) =222)()6(2)(b x ax x b x a +--+， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--++-=+--21)1()6(2)1(2162b a b a b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=++-+-=21)1()6(2)1(422b a b a b a ，解得 a = 2，b = 3（∵b +1≠0，b = －1舍去）.所以所求的函数解析式是 f (x ) =3622+-x x .（II ）f '(x ) =222)3(6122+++-x x x .令 －2x2 + 12x + 6 = 0，解得x1 = 3－23，x2 = 3 + 23，当x ＜3－23，或x ＞3 +23时，f '(x ) ＜0；当3－23＜x ＜3 + 23时，f '(x )＞0.所以f (x ) =3622+-x x 在 (－∞，3－23)内是减函数；在(3－23，3 +23)内是增函数；在(3 +23，+∞)内是减函数.2. （1）222)1()1()(222222+--+=-+-=x n m x x n m x x n m x x f )(22222)(23224322322nx m mx n m x x m x n m x n m x x f +--=+--='∴ ))()((2232mn x mn x mn mx x x m -++-=[)[)mn m x x f n mn x x f mn x mn mx x x m n x m ,,0)(;,,0)(0,0,02,21232∈<'∈>'∴>+>+->∴≤<≤≤时时 [)[).,,,)(递减在递增在mn m n mn x f ∴ （2）由（1）知，[)2)1(2)(,)(-=m n mn f n m x f 上的最小值为在， 最大值为2)1()(-=m n m f ；[)n m x x ,,21∈∴对于任意 2221)1(2)1(|)()(|---≤-m n m n x f x f144)(,,144)(242-+-==-+-=u u u u h m n u mn m n m n 令 21.21,21≤<≤<∴≤<≤u m n n m 即 ,)2,1()(0)215)(215)(1(4484)(3上是增函数在u h u u u u u u h ∴>++---=+-=' .152412484)2()(<-=-+-=≤∴h u h3. (1)依题意，]0,1[023)(2-≤++=在b ax x x f 上恒成立. 只需要⎩⎨⎧≤'≤-'0)0(0)1(f f 即可也即 ⎩⎨⎧≤≤+-0023b b a而22b a +可视为平面区域 ⎩⎨⎧≤≤+-0023b b a 内的点到原点的距离的平方，由点到直线距离公式.59222=+=b a a ∴22b a +的最小值为 59(2)由.10)1(---==b a c f ，得∴)1()(2323++-++=+++=b a bx ax x c bx ax x x f)].1()1()[1(2+++++-=b a x a x x 故方程 .1,10)1()1(2t t b a x a x +-=+++++两根是 故),1(11+-=++-a t t .111++=+⋅-b a t t 22)1()11(+=++-a t t 即2)1()1(22+=+++a b a ∴.322+=b a（Ⅲ）依题意023)(,221=++='b ax x x f x x 是方程的根. 故有 012)2(3,3222121>-=∆=⋅-=+b a b x x a x x ，且， ∴.3012)32(4<>-+b b b ，得 由.3323324)(||22122121b b a x x x x x x -=-=-+=- .732,2323322=+===-b a b b ，得由 ,10)1(11-<>+-=++-a a t t ，故 ∴37)1(,7-=++-=-=b a c a ∴.3727)(23-++-=x x x x f高%考≦试ο题:库。

2012年广西高考理科数学冲刺点睛云帆高考命题研究组 编制第五章：平面向量考点一：向量的几何运算1. （08全国卷Ⅰ理3/文5）在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b c2. （10年全国卷Ⅱ理8//文10）△ABC 中，点在上，平分．若a CB =，b CA =，，，则=CD （）A.B.C.D.3. （2011年四川卷）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝（）图1－2A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →4. （2012海淀区高三期末考试）如图，正方形ABC D 中，点E 是D C 的中点，点F 是B C 的一个三等分点.那么=EF（）A.1123A B A D- B.1142A B A D+ C.1132A B D A+ D.1223A B A D-【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM=-(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．考点二：向量平行与垂直5. （08全国卷Ⅱ理13/文13）设向量，若向量与向量共线，则．6. （07全国卷Ⅰ理/文3）已知向量，，则与（ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向7. （05全国卷Ⅱ理8/文9）已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于（）A. 2B.C. －3D. －8. （2011年广东卷）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9. （2011年课标全国卷）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.10. （孝感市2011—2012学年第一次统考）设向量31(,cos ),(sin ,),//,23a b a b θθθ==向量且则锐角为（）A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°D A B C D A C B ∠1a =2b =1233a b +2133a b +3455a b +4355a b +(12)(23)==，，，a b λ+a b (47)=--，c =λ(56)=-，a (65)=，b a b A (0,0)B 0)C B A C ∠A E B C E CE BC λ=λ121311.（2012届江西省重点中学第一次联考）已知，若，则实数的值是（）A. -17B.C.D.12.（唐山市2011—2012学年期末考试）已知向量(1,1),(1,)a xb y=-=，且a b⊥，则22x y+的最小值为13.（南宁二中2012届12月月考）设是不共线的两个向量，其夹角为θ，若函数，在（0，+∞）上有最大值，则（）A．，且θ为钝角B．，且θ为锐角C．，且θ为钝角D．，且θ为锐角14.（南宁二中2011届12月月考）已知向量(2,3),(1,2),2a b ma nb a b==-+-若与共线，则mn等于（）A．12-B．12C．-2 D．2考点三：向量的数量积、夹角与模15.（09全国卷Ⅱ理/文6）已知向量a = (2,1)，a·b = 10，︱a + b︱= ，则︱b︱= （）A. B. C. 5 D. 2516.（2011年广东卷）若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4 B．3 C．2 D．017.（2011年湖南卷）在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.18.（2011年江西卷）已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．19.（2011年课标全国卷）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3πp3：|a－b|＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p4：|a－b|＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.其中的真命题是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p，p420.（安徽省示范高中2012届高三第二次联考）已知,3),12,5(=-=aA.[]15,9 B.[]16,10 C.[]17,11 D.[]18,1221.（桂林市2011届二模）已知向量(2,0),(2,2),)O B O C C Aθθ===()Rθ∈，则向量O A O B与的夹角的取值范围是（）A．[,]123ππB．[,]412ππC．5[,]1212ππD．5[,]122ππ22.（桂林十八中2012届第三次月考）已知b==cos,0a b<>=, 若向量c满足()()0a cb c-⋅-=，则maxc=（）A．B．2A．1D．2【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a·b=x1x2+y1y2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.考点四：向量的应用23.（2011年山东卷）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→()()2,1,1,3-=-=ba()()b kaba++-∥2k21-181935,a b()()()()f x x a b a xb x R=+⋅-∈||||a b<||||a b<||||a b>||||a b>(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（）A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上24. （2011年福建卷）已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是（）A ．（－1,0）B ．（0,1）C ．（0,2）D ．（－1,2]【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面．考点五：与向量相关的最值问题25. （2011年全国卷文3）设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．126. （09全国卷Ⅰ理6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为( )A. 2-B. 2C. 1-D. 1-27. （2011年辽宁卷）若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为（）A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 28. （2011年天津卷）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．29. （2011年浙江卷）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．30. （唐山市2011—2012学年期末考试）在边长为1的正三角形ABC 中，,BD x BA C E yC A == ，0,0,1x y x y >>+=且，则CD BE ⋅ 的最大值为（）A ．58-B ．38-C ．32-D ．34-31. （柳铁一中2012届第四次月考）已知点G 是ABC ∆的重心，AG AB AC λμ=+ ,）、（R ∈μλ若0120=∠A ，2AB AC ⋅=- ，则AG的最小值是（）A ．33 B ．22 C ．32 D ．4332. （广西百所高中2012届第二次联考）已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1,1,||c a c b c ⋅=⋅==，则对任意的正实数1,||t c m b t++的最小值是（）A ．2B ．C ．4D ．【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点六：向量的平移33. （06全国Ⅰ理9）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且ia 顺时针旋转30o 后与ib 同向，其中1,2,3i =，则（）A ．1230b b b -++=B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=34. （05全国卷Ⅱ理10）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（-10，10），则5秒后点P 的坐标为（）A. （-2，4）B. （-30，25）C.（10，-5）D.（5，-10） 35. （南宁二中2011届5月月考）若直线20x y c -+=按向量(1,1)a =-平移后与圆225x y +=相切，则c 的值为 （） A ．8或-2 B ．6或-4 C ．4或-6D ．2或-8考点七：向量与三角函数问题36. （2012届江西省重点中学第一次联考）已知向量m ),cos ,(sin A A =n )sin ,(cos B B =,n m ⋅C B A C ，，，且2sin =分别为△ABC 的三边c b a ,,所对的角.（Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB 成等比数列, 且18)(=-⋅AC AB CA , 求c 的值37. （2011杭师大附中第一次月考）设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)2(=∙+∙+CB CA c BA BC c a ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ∙的最小值．38. （南宁二中2011届12月月考）已知向量(sin ,1cos ),m B B =-向量(2,0),n m n =且与所成角为,3π其中A 、B 、C 是△ABC 的内角。

导数及应用-无答案一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度． 由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

第5讲 导数及其应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为____________．2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．6．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．11．函数f (x )＝2m cos 2x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．二、解答题13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)14.若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围． 答 案1．(1,0) 2.[32，2] 3．(－1，＋∞)4．(－∞，10) 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 6．[1，＋∞) 7.358．0<t <1或2<t <3 9．[1，＋∞)10．[－2，－1] 11．±1 12.12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e13．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．14．解 因为f (x )图象过点P (0,1)， 所以c ＝1，即f (x )＝ax 4＋bx 2＋1， 则f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ①由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，得a ＋b ＋1＝－1.②由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2＋1.15．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，－a ＋c －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值， 故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527.又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增． 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b .依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立，当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求．当x ＝b6≤－2时，即b ≤－12时，[f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在．当－2<b 6<1即－12<b <6时，[f ′(x )]min ＝12b －b 212≥0，∴0≤b <6，综上所述b ≥0.。

第2讲导数的简单应用1.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x解析:法一因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.2.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D )解析:因为f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.设g(x)=2x2-e x,则g'(x)=4x-e x.又g'(0)<0,g'(2)>0,所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,所以g(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.3.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.解析:因为y'=,y'x=1=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-24.(2017·全国Ⅰ卷,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.解析:f(x)=x2+,f(1)=2.f'(x)=2x-,f'(1)=1.所以y=x2+在(1,2)处的切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),y-2=x-1,即x-y+1=0.答案:x-y+1=05.(2015·全国Ⅱ卷,文16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .解析:法一因为y'=1+,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0,由得ax2+ax+2=0,因为Δ=a2-8a=0,所以a=8.法二因为y'=1+,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.因为y'=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-,代入y=2x-1,得y=-2,所以点-,-2在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,故-2=a×-2+(a+2)×-+1,所以a=8.答案:86.(2017·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,因为x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a<0,因为x∈0,-时,f'(x)>0,当x∈-,+∞时,f'(x)<0,故f(x)在0,-上单调递增,在-,+∞上单调递减.(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f-=ln--1-, 所以f(x)≤--2等价于ln--1-≤--2,即ln-++1≤0,设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0,所以当x>0时,g(x)≤0,从而当a<0时,ln-++1≤0,即f(x)≤--2.7.(2015·全国Ⅱ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,+∞时,f'(x)<0.所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln +a1-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).1.考查角度(1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等;(2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下,其他问题均属于较难的试题.(对应学生用书第11~13页)导数的几何意义【例1】(1)(2018·山东日照校际联考)已知f(x)=e x(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与 g(x) 的公切线,则直线l的方程为( )(A)y=x或y=x-1(B)y=-ex或y=-x-1(C)y=ex或y=x+1(D)y=-x或y=-x+1(2)(2018·河南南阳一中三模)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2图象的切线,则切线方程为;(3)(2018·黑龙江省哈尔滨九中二模)设函数f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2.其中x>0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为.解析:(1)设切点分别为(x1,),(x2,ln x2+2),因为f'(x)=e x,g'(x)=,所以==,所以=,所以(x2-1)(ln x2+1)=0,所以x2=1或x2=,因此直线l的方程为y-2=1·(x-1)或y-1=e·x-,即y=ex或y=x+1.故选C.(2)因为f'(x)=3x2+6x.设切点为P(x0,y0),切线斜率为k,则把①,③代入②得切线方程为y-(+3)=(3+6x0)(x-x0),④又切线过(0,0),所以-(+3)=-x0(3+6x0),解得,x0=0或x0=-.代入④式得切线方程为y=0或9x+4y=0.(3)由题意,问题等价于f(x)min≤.而函数f(x)可看作是动点M(x,ln x2)与N(a,2a)之间距离的平方,动点M在函数y=2ln x的图象上,N在直线y=2x的图象上,问题转化为直线与曲线的最小距离.如图,由y=2ln x得y'==2,得x=1,所以曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小,为d=,所以f(x)≥.又由题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=,此时N恰好为垂足,由k MN===-,解得a=.答案:(1)C (2)y=0或9x+4y=0 (3)(1)求切线方程的关键是求切点的横坐标,使用切点的横坐标表达切线方程,再根据其他已知求解;(2)两曲线的公切线的切点未必是同一个点,可以分别设出切点横坐标,使用其表达切线方程,得出的两方程表示同一条直线,由此得出方程解决公切线问题;(3)从曲线外一点P(m,n)引曲线的切线方程,可设切点坐标为(x0,f(x0)),利用方程=f'(x0)求得x0后得出切线方程;(4)一些距离类最值,可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值,此时与已知直线平行的曲线的切线到已知直线的距离即为其最小值.热点训练1:(1)(2018·辽宁省辽南协作校一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )(A)y=-2x+3 (B)y=x(C)y=3x-2 (D)y=2x-1(2)(2018·安徽皖南八校4月联考)若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b-3)2=1,则(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为( )(A)3(B)18(C)3-1 (D)19-6(3)(2018·天津部分区质量调查二)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0,则实数a的值为.解析:(1)由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8-8x,即f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4,将其代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(x)=4f(x)+8-8x-2x2-x2+8x-8,即f(x)=x2,故f'(x)=2x,因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.故选D.(2)由题意可得,其结果应为曲线y=ln x上的点与以C(-2,3)为圆心,以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线y=ln x上的点与圆心C(-2,3)的距离的最小值,在曲线y=ln x上取一点M(m,ln m),曲线y=ln x在点M处的切线的斜率为k'=,从而有k CM·k'=-1,即·=-1,整理得ln m+m2+2m-3=0,解得m=1,所以点(1,0)满足条件,其到圆心C(-2,3)的距离为d==3,故其结果为(3-1)2=19-6,故选D.(3)根据题意,设曲线y=ae x+2与2x-y+6=0的切点的坐标为(m,ae m+2),其导数y'=ae x+2,则切线的斜率k=ae m+2,又由切线方程为2x-y+6=0,即y=2x+6,则k=ae m+2=2,则切线的方程为y-ae m+2=ae m+2(x-m),又由ae m+2=2,则切线方程为y-2=2(x-m),即y=2x-2m+2,则有-2m+2=6,可解得m=-2,则切点的坐标为(-2,2),则有2=a×e(-2)+2,所以a=2.答案:(1)D (2)D (3)2导数研究函数的单调性考向1 确定函数的单调性【例2】(2018·河南洛阳第三次统一考试)已知函数f(x)=(x-1)e x-x2,其中t∈R.(1)函数f(x)的图象能否与x轴相切?若能,求出实数t,若不能,请说明理由;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)由于f'(x)=xe x-tx=x(e x-t).假设函数f(x)的图象与x轴相切于点(x0,0),则有即显然x0≠0,将t=>0代入方程(x0-1)-=0中,得-2x0+2=0.显然此方程无实数解.故无论t取何值,函数f(x)的图象都不能与x轴相切.(2)由于f'(x)=xe x-tx=x(e x-t),当t≤0时,e x-t>0,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当t>0时,由f'(x)=0得x=0或x=ln t,①当0<t<1时,ln t<0,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当ln t<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x<ln t,f'(x)>0,f(x)单调递增;②当t=1时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;③当t>1时,ln t>0,当x>ln t时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<ln t时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当t≤0时,f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数;当0<t<1时,f(x)在(-∞,ln t),(0,+∞)上是增函数,在(ln t,0)上是减函数;当t=1时,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;当t>1时,f(x)在(-∞,0),(ln t,+∞)上是增函数,在(0,ln t)上是减函数.确定函数单调性就是确定函数导数为正值、为负值的区间,基本类型有如下几种:(1)导数的零点是确定的数值,只要根据导数的零点划分定义域区间,确定在各个区间上的符号即可得出其单调区间;(2)导数零点能够求出,但含有字母参数时,则需要根据参数的不同取值划分定义域区间,再确定导数在各个区间上的符号;(3)导数存在零点,但该零点无法具体求出,此时一般是根据导数的性质、函数零点的存在定理确定导数零点的大致位置,再据此零点划分定义域区间,确定导数在各个区间上的符号.考向2 根据单调性求参数范围【例3】(1)(2018·吉林大学附中四模)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( )(A)0,(B),(C),+∞(D)0,(2)(2018·云南昆明5月适应考)已知函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是( )(A)-e (B)e (C)-(D)4e2(3)(2018·安徽合肥三模)若函数f(x)=x+-aln x在区间[1,2]上是非单调函数,则实数a 的取值范围是( )(A),(B),+∞(C),+∞(D),解析:(1)因为f(x)=(x2-2ax)e x,所以f'(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x(x2+2x-2ax-2a).因为f(x)在[-1,1]上是单调减函数,所以f'(x)=e x(x2+2x-2ax-2a)≤0.即x2+2x-2ax-2a≤0.法一设g(x)=x2+2x-2ax-2a,根据二次函数的图象可知,只要即可,解得a≥,所以实数a的取值范围是,+∞.故选C.法二由x2+2x-2ax-2a≤0,得x2+2x≤2a(x+1).当x=-1时,-1≤0恒成立,当(-1,1]时,a≥,a≥,a≥(x+1)-,令h(x)=(x+1)-,可知h(x)=(x+1)-在(-1,1]上为增函数,所以h(x)max=h(1)=,即a≥,所以实数a的取值范围是,+∞.故选C.(2)因为函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R),所以f'(x)=e x(x2-2x)+e x(2x-2)-=e x(x2-2)-.因为函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=e x(x2-2)-≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即≤e x(x2-2),亦即a≤e x(x3-2x)在区间(0,+∞)上恒成立,令h(x)=e x(x3-2x),所以h'(x)=e x(x3-2x)+e x(3x2-2)=e x(x3-2x+3x2-2)=e x(x-1)(x2+4x+2), 因为x∈(0,+∞),所以x2+4x+2>0.因为e x>0.所以令h'(x)>0,可得x>1.所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 所以h(x)min=h(1)=e1(1-2)=-e.所以a≤-e,则a的最大值为-e.故选A.(3)因为f(x)=x+-aln x,所以f'(x)=1--=,因为f(x)在区间[1,2]上是非单调函数,所以f'(x)=0在[1,2]上有解,即x2-ax-a=0在[1,2]上有解,所以x2=a(x+1)在[1,2]上有解,令g(x)=x2,x∈[1,2],h(x)=a(x+1),x∈[1,2],由图象易知,两函数图象在[1,2]上有交点时,≤a≤,即≤a≤.故选D.函数f(x)在区间D上单调递增(减),等价于在区间D上f'(x)≥0(≤0)恒成立;函数f(x)在区间D上不单调,等价于在区间D上f'(x)存在变号零点.考向3 函数单调性的简单应用【例4】(1)(2018·东北三省三校二模)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x)+1,则下列正确的是( )(A)f(2 018)-ef(2 017)>e-1(B)f(2 018)-ef(2 017)<e-1(C)f(2 018)-ef(2 017)>e+1(D)f(2 018)-ef(2 017)<e+1(2)(2018·辽宁省大连八中模拟)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对任意的实数x都有f(x)=4x2-f(-x),当x∈(-∞,0)时,f'(x)+<4x.若f(m+1)≤f(-m)+4m+2,则实数m的取值范围是( )(A)-,+∞ (B)-,+∞(C)[-1,+∞) (D)[-2,+∞)(3)(2018·湖南永州市一模)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对于任意实数x有f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等式e x f(x)>1的解集为( )(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,e)(D)(e,+∞)解析:(1)法一设g(x)=,则g'(x)=.因为f'(x)>f(x)+1,所以f'(x)-f(x)-1>0,所以g'(x)>0在R上恒成立,所以g(x)=在R上单调递增.所以g(2 018)>g(2 017),所以>,所以f(2 018)+1>ef(2 017)+e,所以f(2 018)-ef(2 017)>e-1.故选A.法二构造特殊函数f(x)=e x-2,该函数满足f'(x)>f(x)+1,而f(2 018)-ef(2 017)=(e2 018-2)-e(e2 017-2)=2e-2,结合2e-2>e-1可知f(2 018)-ef(2 017)>e-1,排除B选项,结合2e-2<e+1可知f(2 018)-ef(2 017)<e+1,排除C选项,构造特殊函数f(x)=e x-100,该函数满足f'(x)>f(x)+1,而f(2 018)-ef(2 017)=(e2 018-100)-e(e2 017-100)=100e-100,结合100e-100>e+1可知f(2 018)-ef(2 017)>e+1,排除D选项,故选A.(2)令F(x)=f(x)-2x2,则F(-x)=f(-x)-2x2,所以F(x)+F(-x)=f(x)-[4x2-f(-x)]=0,故F(x)为奇函数.当x<0时,F'(x)=f'(x)-4x<-<0,所以F(x)在(-∞,0)上是减函数,而f(0)=0-f(-0),所以f(0)=0.故F(x)为减函数.因为f(m+1)=F(m+1)+2(m+1)2,f(-m)=F(-m)+2m2,所以F(m+1)+2(m+1)2≤F(-m)+2m2+4m+2,所以F(m+1)≤F(-m),所以m+1≥-m,所以m≥-.故选A.(3)令g(x)=e x f(x),故g'(x)=e x[f(x)+f'(x)],由f'(x)+f(x)>0可得,g'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以g(0)=1,所以不等式e x f(x)>1的解集为(0,+∞).故选B.函数单调性的简单应用主要有两个方面:(1)根据函数的单调性,比较函数值的大小;(2)根据函数的单调性解函数不等式.解题的基本思路是根据已知条件和求解目标,构造函数,通过构造的函数的单调性得出结论.常见的构造函数类型为乘积型h(x)g(x)和商形,具体的如xf(x),e x f(x),,tan x·f(x)等,视具体情况而定.热点训练2:(1)(2018·安徽江南十校二模)y=f(x)的导函数满足:当x≠2时,(x-2)[f(x)+2f'(x)-xf'(x)]>0,则( )(A)f(4)>(2+4)f()>2f(3)(B)f(4)>2f(3)>(2+4)f()(C)(2+4)f()>2f(3)>f(4)(D)2f(3)>f(4)>(2+4)f()(2)(2018·河北石家庄二模)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)ln x+f(x)>0(其中f'(x)为f(x)的导函数),若a>1>b>0,则下列各式成立的是( )(A)a f(a)>b f(b)>1 (B)a f(a)<b f(b)<1(C)a f(a)<1<b f(b)(D)a f(a)>1>b f(b)(3)(2018·黑龙江哈师大附中三模)若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )(A)[-1,1] (B)[-1,3](C)[-3,3] (D)[-3,-1](4)(2018·天津河北区二模)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中a>2.①讨论函数f(x)的单调性;②若对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,恒有>-1,求a的取值范围.(1)解析:令g(x)=,则g'(x)=,因为当x≠2时,(x-2)[f(x)-(x-2)f'(x)]>0,所以当x>2时,g'(x)<0,即函数g(x)在(2,+∞)上单调递减,则g()>g(3)>g(4),即>>,即2(+2)f()>2f(3)>f(4).故选C.(2)解析:构造函数g(x)=x f(x),x∈(0,+∞),两边取自然对数得ln g(x)=f(x)ln x,求导得g'(x)=f'(x)ln x+,得g'(x)=[xf'(x)ln x+f(x)].因为x>0,所以x f(x)>0,即g(x)>0,所以g'(x)>0.即g(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为a>1>b>0,所以g(a)>g(1)>g(b),所以a f(a)>1>b f(b).故选D.(3)解析:因为f(x)=2x+sin x·cos x+acos x,所以f'(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3,设sin x=t,-1≤t≤1,令g(t)=-2t2-at+3,因为f(x)在(-∞,+∞)上递增,所以g(t)≥0在[-1,1]上恒成立,因为二次函数图象开口向下,所以⇒-1≤a≤1,a的取值范围是[-1,1].故选A.(4)解:①由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,所以f'(x)=x-a+=,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1,因为a>2,所以a-1>1.由f'(x)>0,解得0<x<1或x>a-1,由f'(x)<0,解得1<x<a-1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(a-1,+∞),单调递减区间为(1,a-1).②设x1>x2,则不等式>-1等价于f(x1)-f(x2)>x2-x1.即f(x1)+x1>f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x=x2-(a-1)x+(a-1)ln x,则函数g(x)在x∈(0,+∞)上为增函数.所以g'(x)=x-(a-1)+≥0在(0,+∞)上恒成立,而x+≥2,当且仅当x=,即x=时等号成立.所以2≥a-1,因为a>2,所以4(a-1)≥(a-1)2,即a2-6a+5≤0,所以1≤a≤5,而a>2,所以2<a≤5.所以实数a的取值范围是(2,5].导数研究函数的极值、最值考向1 导数研究函数极值【例5】(1)(2018·河南中原名校质检二)已知函数f(x)=2f'(1)ln x-x,则f(x)的极大值为( )(A)2 (B)2ln 2-2 (C)e (D)2-e(2)(2018·黑龙江哈三中一模)设函数f(x)=ln x+ax2+bx,若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是( )(A)-∞,(B)(-∞,1)(C)[1,+∞)(D),+∞(3)(2018·河南高三最后一模)若函数f(x)=e x-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,则a的取值范围为( )(A)(-e2,-e) (B)-∞,-(C)-∞,- (D)(-∞,-e)解析:(1)f(x)=2f'(1)ln x-x,则f'(x)=2f'(1)-1,令x=1得f'(1)=2f'(1)-1,所以f'(1)=1,则f(x)=2ln x-x,f'(x)=-1=,所以函数在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2,故选B.(2)f'(x)=+2ax+b=(x>0),因为x=1是函数f(x)的极大值点,所以f'(1)=0即b=-(2a+1),所以f'(x)==,当a≤0时,因为2ax-1<0,所以若0<x<1,则f'(x)>0,若x>1时,则f'(x)<0,所以x=1是函数f(x)的极大值点,符合题意; 当a>0时,若x=1是函数f(x)的极大值点,则需1<,即0<a<,综上a<.故选A.(3)因为f(x)=e x-aln x+2ax-1,所以f'(x)=e x-+2a,令e x-+2a=0,得a=,再令g(x)=(x>0),因为函数f(x)=e x-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,所以g(x)=a有两个零点,又g'(x)=-(x>0),令g'(x)>0,得0<x<1,且x≠;令g'(x)<0,得x>1,所以函数g(x)在0,,,1上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,由于g(1)=-e,因为y=g(x)与y=a有两个交点,根据数形结合法可得,a<-e,即a∈(-∞,-e).故选D.(1)可导函数的极值点是其导数的变号零点,在零点处“左负右正”的为极小值点、“左正右负”的为极大值点;(2)根据极值点的个数确定参数范围的问题可以转化为其导数零点个数的问题讨论.考向2 导数研究函数最值【例6】(1)(2018·陕西榆林四模)设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是( )(A)(B)(C)2e (D)e(2)(2018·河北武邑中学质检二)已知函数f(x)=ax-cos x+b的图象在点,f处的切线方程为y=x+.①求a,b的值;②求函数f(x)在-,上的最大值.(1)解析:不等式x2ln x-m≥0⇔x2ln x≥m⇔xln x≥⇔ln xe ln x≥,设f(x)=xe x(x>0),则f'(x)=(x+1)e x>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,因为>0,ln x>0,所以≤ln x,即m≤xln x对任意的x≥e恒成立,此时只需m≤(xln x)min,设g(x)=xln x(x≥e),g'(x)=ln x+1>0(x≥e),所以g(x)在[e,+∞)上为增函数,所以g(x)min=g(e)=e,所以m≤e,m的最大值为e.故选D.(2)解:①因为f(x)=ax-cos x+b,所以f'(x)=a+sin x.又f'=a+1=,f=a+b=×+,解得a=,b=3.②由①知f(x)=x-cos x+.因为f'(x)=+sin x,由f'(x)=+sin x>0,得-<x≤,由f'(x)=+sin x<0得,-≤x<-,所以函数f(x)在-,-上单调递减,在-,上单调递增.因为f-=,f=π,所以f(x)max=f=π.(1)闭区间[a,b]上图象连续的函数其最值在极值和端点值的比较中找到;(2)在区间D上如果f(x)有唯一的极大(小)值点,该点也是函数的最大(小)值点.热点训练3:(1)(2018·福建南平5月质检)若函数g(x)=mx+在区间(0,2π)上有一个极大值和一个极小值,则实数m的取值范围是( )(A)(-e-2π,) (B)(-e-π,e-2π)(C)(-eπ,) (D)(-e-3π,eπ)(2)(2018·黔东南州一模)若函数f(x)=xln x-a有两个零点,则实数a的取值范围为( )(A)-,1(B),1(C)-,0(D)-,+∞(3)(2018·河北唐山三模)已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a等于( )(A)(B)(C)e (D)e2解析:(1)函数g(x)=mx+,求导得g'(x)=m+.令f(x)=m+,f'(x)=.易知,在0,上,f'(x)<0,f(x)单调递减;在,上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在,2π上,f'(x)<0,f(x)单调递减.且f(0)=m+1,f=m-,f=m+,f(2π)=m+e-2π.有f<f(2π),f(0)>f.根据题意可得解得-e-2π<m<.故选A.(2)函数定义域为(0,+∞),由f(x)=xln x-a=0得xln x=a,令g(x)=xln x,则g'(x)=ln x+1,由g'(x)>0得x>,由g'(x)<0得,0<x<,所以函数g(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,所以当x=时,g(x)取得极小值即最小值,g=-,又当x→0时,g(x)→0,作出g(x)的图象如图,所以要使f(x)=xln x-a有两个零点,即方程xln x=a有两个不同的根,即函数g(x)和y=a有两个交点,所以-<a<0,选C.(3)由f(x)=,得f'(x)==,令g(x)=e x+ax+a,则g'(x)=e x+a>0,则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,又g(-1)=>0,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,即f'(x0)=0,所以+ax0+a=0,①函数f(x)在(-∞,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,则f(x)的最小值为f(x0)==-1,即x0=--a,②联立①②可得x0=-2,把x0=-2代入①,可得a=.故选A.【例1】(1)(2018·河南高三最后一模)已知函数f(x)=4x2的图象在点(x0,4)处的切线为l,若l也与函数g(x)=ln x(0<x<1)的图象相切,则x0必满足( )(A)<x0<(B)0<x0<(C)<x0<1 (D)1<x0<(2)(2018·广西三市第二次调研)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公共切线,则a的取值范围为( )(A)(0,1) (B)1,(C),2(D),+∞(3)(2018·重庆綦江区5月调研)设函数f(x)=|e x-e2a|,若f(x)在区间(-1,3-a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为( )(A)-,(B),1(C)-3,-(D)(-3,1)解析:(1)由于f'(x)=8x,f'(x0)=8x0,所以直线l的方程为y=8x0(x-x0)+4=8x0x-4.因为l也与函数g(x)=ln x(0<x<1)的图象相切,令切点为(m,ln m),g'(x)=,所以l的方程为y=x+ln m-1,因此有又因为0<m<1,所以1-4<0,x0>,4=1+ln x0+ln 8,令h(x)=4x2-ln x-ln 8-1x>,h'(x)=8x-=>0,所以h(x)=4x2-ln x-ln 8-1是,+∞上的增函数. 因为h=1-ln 4<0,h(1)=3(1-ln 2)>0,所以x0∈,1.故选C.(2)C1在点(x1,y1)处的切线为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-,①C2在点(x2,y2)处的切线为y=x+(1-x2),②设①②是同一条切线,则④÷③,得=1-x2,所以x1=2(x2-1),代入③得a=,因为a>0,所以x2>1,以下求函数u(x2)=的值域:u'(x2)==, 令u'(x2)=0得x2=2,在x2∈(1,2)内,u'(x2)<0,u(x2)单调递减, 在x2∈(2,+∞)内,u'(x2)>0,u(x2)单调递增,所以u(x2)min=u(2)=,当x2→+∞时,u(x2)→+∞,所以u(x2)的值域为,+∞,所以a≥.故选D.(3)f(x)=|e x-e2a|=f'(x)=若存在x1<x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,则必有-1<x1<2a<x2<3-a,由-1<2a<3-a得-<a<1,由-1<x1<2a<x2<3-a得2a-1<x1+x2<a+3,由f'(x1)f'(x2)=-1得x1+x2=0,所以2a-1<0<a+3,得-3<a<,综上可得-<a<.故选A.【例2】(1)(2018·江西重点中学协作体二联)已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+xln xf'(x)<0且f(2 018)=0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,e是自然对数的底数,则不等式f(x)>0的解集为( )(A)[e,2 018) (B)[2 018,+∞)(C)(e,+∞)(D)[e,e+1)(2)(2018·江西六校联考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),恒为正数的f(x)符合f(x)<f'(x)<2f(x),则f(1)∶f(2)的取值范围为( )(A)(e,2e) (B),(C)(e,e3) (D),(3)(2018·陕西咸阳二模)已知定义在R上的函数 f(x) 的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>1,设a=f(2)-1,b=e[f(3)-1],则a,b的大小关系为( )(A)a<b (B)a>b(C)a=b (D)无法确定解析:(1)设g(x)=ln x·f(x),当x∈[e,+∞)时,g'(x)=+ln xf'(x)=<0,所以g(x)在[e,+∞)上是减函数,又g(2 018)=ln 2 018f(2 018)=0,所以g(x)>0的解集为[e,2 018),又此时ln x≥1,所以f(x)>0,即f(x)>0的解集为[e,2 018).故选A.(2)令g(x)=,h(x)=,则g'(x)=>0,h'(x)=<0,所以g(1)<g(2),h(1)>h(2),所以<,>,所以<<.选D.(3)令g(x)=e x f(x)-e x,则g'(x)=e x[f(x)+f'(x)]-e x=e x[f(x)+f'(x)-1]>0.即g(x)在R上为增函数.所以g(3)>g(2),即e3f(3)-e3>e2f(2)-e2,整理得e[f(3)-1]>f(2)-1,即a<b.故选A.【例3】(2018·华大新高考联盟4月质检)设函数f(x)=x-,a∈R且a≠0,e为自然对数的底数.(1)求函数y=的单调区间;(2)若a=,当0<x1<x2时,不等式f(x1)-f(x2)>恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)y=1-,y'==-,->0⇔<0.①当a>0时,<0⇒<0⇒0<x<2;②当a<0时,<0⇒>0⇒x<0或x>2.综上,①当a>0时,函数y=的增区间为(0,2),减区间为(-∞,0),(2,+∞);②当a<0时,函数y=的增区间为(-∞,0),(2,+∞),减区间为(0,2).(2)当0<x1<x2时,f(x1)-f(x2)>⇔f(x1)-f(x2)>-⇔f(x1)->f(x2)-,即函数g(x)=f(x)-=x-·-在(0,+∞)上为减函数,g'(x)=1-+=≤0,em≤(x-1)e x-ex2,令h(x)=(x-1)e x-ex2,h'(x)=e x+(x-1)e x-2ex=xe x-2ex=x(e x-2e)=0⇒e x=2e⇒x=ln 2e.当x∈(0,ln 2e)时,h'(x)<0,h(x)为减函数;当x∈(ln 2e,+∞)时,h'(x)>0,h(x)为增函数.h(x)的最小值为h(ln 2e)=(ln 2e-1)·e ln 2e-eln22e=2eln 2-e(ln 2+1)2=-eln22-e.所以em≤-eln22-e⇒m≤-1-ln22,所以m的取值范围是(-∞,-1-ln22].【例4】(2018·陕西西工大附中六模)若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,0)(B)0,(C),+∞(D)(-∞,0)∪,+∞解析:因为3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0,所以3x+a(2y-4ex)ln =0,所以3+2a-2e ln =0,令t=,则t>0,所以3+2a(t-2e)ln t=0,所以(t-2e)ln t=-,设g(t)=(t-2e)ln t,则g'(t)=ln t+1-,而[g'(t)]'=+.故g'(t)为增函数,因为g'(e)=0,所以当t=e时,g(t)min=g(e)=-e,所以-≥-e,即≤e.当a<0时,不等式成立;当a>0时,得a≥;当a=0时,由原等式易知不符合题意.所以a<0或a≥.故选D.(对应学生用书第13页)【典例】(2018·全国卷Ⅲ,文21)(12分)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.评分细则:(1)解:f'(x)=,2分f'(0)=2.3分因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.5分(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.6分令g(x)=x2+x-1+e x+1,7分则g'(x)=2x+1+e x+1.9分当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.11分所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.12分【答题启示】(1)导数解答题的基础是正确求出函数的导数,这是解题的起始,一定要细心处理,不要“输在起跑线上”.(2)导数证明不等式基本技巧是构造函数、利用函数的单调性、最值得出所证不等式.。

2012年广西高考理科数学冲刺点睛云帆高考命题研究组 编制第三章：数列考点一：等差数列的性质和应用1. （2011年全国卷理4/文6）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（）A ．8B ．7C ．6D ．52. （08全国卷Ⅰ理/文7）已知等比数列满足，则（）A ．64B ．81C ．128D ．2433. （09全国卷Ⅰ理/文14）设等差数列的前项和为，若，则=．4. （2011年广东卷）等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.5. （2011年湖南卷）设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.6. （2011年福建卷）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3，若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，则k =．7. （孝感市2011—2012学年第一次统考）在等差数列15946{},,tan()4n a a a a a a π++=+中若则= （）A．3B．C ．1D ．—18. （2012届西南大学附属中学第二次月考）在等差数列{}811162n a a a =+中，，则数列前9项之和9S 等于（）A ． 24B ．48C ．72D ．1089. （2012届微山一中10月月考）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254,a a +=，721S =，则7a 的值为（）A ． 6B ．7C ．8D ．9 10. （南宁二中2012届12月月考）已知等差数列中，的值为（） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式,由五个量a 1,d (q ),n ,a n ,S n 中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时,“基本量”(等差数列中的首项a 1和公差d 或等比数列中的首项a 1和公比q )法是常用方法.考点二：等比数列的性质和应用 11. （10年全国卷Ⅰ理/文4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）A ．B ．7C ．6D ．12. （07全国卷Ⅰ理/文15）等比数列的前n 项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______．13. （09全国卷Ⅱ文13）设等比数列{}的前n 项和为．若，则=．14. （2011年北京卷）在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.15. （银川一中2012届第四次月考）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且257424,1a a a a ⋅==，则1a =( )A ．12B ．2C D ．216. （北京市朝阳区2011-2012学年期中统考）在各项均为正数的数列{}n a 中，对任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=⋅．若664a =，则9a 等于（）A ．256B ．510C ．512D ． 1024n S{}n a n 11a =2d =224k k S S +-=k ={}n a 122336a a a a +=+=，7a ={}n a n n S 972S =249a a a ++{}n a 123345910112,6,a a a a a a a a a ++=++=++则n a 123a a a 789a a a 456a a a {}n a n S 1S 22S 33S {}n a n a n s 3614,1s s a ==4a17. （桂林市2011届二模）若等比数列13455{}10,,4n a a a a a +=+=满足则数列{}n a 的公比q 为 （）A ．14B ．12C ．2D ．8考点三：求数列的通项公式18. （06全国卷Ⅰ理22）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，n =1,2,3…．（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2nn nT S =，n =1,2,3…，证明：132ni i T =<∑．19. （07全国卷Ⅰ理22）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…43n n b a -<≤，123n =，，，…．20. （09全国卷Ⅰ理20）在数列中，（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．{}n a 11111,(1)2n n nn a a a n ++==++n n a b n={}n b {}n a n n S21. （2010年全国卷Ⅰ理22）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-．（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围．22. （2011年全国卷理20）设数列{}n a 满足10a=且111 1.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n kn k b bS ===<∑记S 证明：23. （2011年江西卷）已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.（1）若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }唯一，求a 的值．24. （南宁二中2012届12月月考）设数列且（1）求数列的通项公式； （2）对一切成立；（3）记数列25. （南宁二中2011届12月月考）已知数列12{},3,5n a a a ==中，其前n 项和为n S ，且满足12122(3)n n n n S S S n ---+=+≥（1）试求数列{}n a 的通项公式； （2）令112,n n n n n b T a a -+=⋅是数列{}n b 的前n 项和，证明：1.6n T <（3）证明：对任意给定的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N +∈，使得（2）中的n T m >成立。