福建省宁化一中2015届高三第四次阶段考数学试卷(理科)

阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 为使f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－12，0)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 要有f (2x ＋1)有意义，应有0<2x ＋1<1， ∴－12<x <0，故选B.2．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)·f (1)＝(e 0－2)·(e －1)<0，∴选C.3．(文)(2014·枣庄市期中)函数y ＝16－3x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] 要使函数有意义，应有16－3x ≥0，∴3x ≤16， 又3x >0，∴0<3x ≤16，∴0≤16－3x <16，∴0≤y <4，故选C.(理)(2014·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝tan x[答案] C[解析] ∵x ≥0，ln x ∈R,2x >0，tan x ∈R ，∴选C.4．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 0.34，则( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．c <a <b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log 0.34<log 0.31＝0，∴c <a <b . (理)(2014·北京朝阳区期中)若0<m <1，则( ) A ．log m (1＋m )>log m (1－m ) B ．log m (1＋m )>0 C ．1－m >(1＋m )2 D ．(1－m )13>(1－m )12[答案] D[解析] ∵0<m <1，∴1<m ＋1<2,0<1－m <1，∴y ＝log m x 为减函数，y ＝(1－m )x 为减函数，∴log m (1＋m )<log m 1<log m (1－m )，A 、B 错；(1＋m )2>1>1－m ，C 错；(1－m )13>(1－m )12，故正确答案为D.5．(2014·山东省菏泽市期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] ∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3，∵f (x )周期为5， ∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.6．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0，则f [f (116)]＝( )A ．9B ．－19C.19D ．－9[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0∴f (116)＝log 4116＝－2，f [f (116)]＝f (－2)＝3－2＝19，故选C.(理)(2014·江西临川十中期中)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，则f (－4)等于( )A ．2 B.12 C ．32 D.132[答案] D[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，∴f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝2－5＝132.7．(文)(2014·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝e x －e －x 2D ．y ＝x 3＋1[答案] B[解析] y ＝x 3＋1是非奇非偶函数；y ＝e x －e －x2为奇函数；y ＝cos2x 在(1,2)内不是单调增函数，故选B.(理)(2014·广东梅县东山中学期中)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是单调递增的是( )A ．y ＝2|x ＋1|B ．y ＝x 2＋2|x |＋3C ．y ＝cos xD ．y ＝log 0.5|x |[答案] B[解析] y ＝2|x ＋1|是非奇非偶函数；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调增函数，y ＝log 0.5|x |在(0，＋∞)上单调递减，故选B.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013[答案] B[解析] ∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B.9．(文)(2014·枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[答案] D[解析] 由图象知，张大爷散步时，离家的距离y 随散步行走时间x 的变化规律是，先均速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(理)(2014·泸州市一诊)函数f (x )＝(1－1x2)sin x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 首先y ＝1－1x 2为偶函数，y ＝sin x 为奇函数，从而f (x )为奇函数，故排除C 、D ；其次，当x ＝0时，f (x )无意义，故排除B ，选A.10．(2014·安徽程集中学期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[32，3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－2a ≤0，∴32≤a <3，故选C. 11．(文)(2014·银川九中一模)如果不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y＝f (－x )的大致图象是( )[答案] C[解析] 由于不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，∴a <0，且－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选C.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x 2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C. 12.(2014·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关 [答案] B[解析] 设直线OM 、ON 与正六边形的另一个交点分别为M ′、N ′，由于正六边形关于点O 成中心对称，∴OM ′＝OM ，ON ′＝ON ，从而△OM ′N ′与△OMN 成中心对称，设直线l 交y 轴于T ，直线M ′N ′交y 轴于T ′，则|OT |＝|OT ′|，且S △OM ′N ′＝S △OMN ，即当t <0时，有S ＝f (t )＝f (－t )，∴S ＝f (t )为偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·营口三中期中)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)，∵0<log 232<1，14．(文)(2014·河南省实验中学期中)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．[答案] x ＝log 23[解析] 令2x ＝t ，则t >0，∴原方程化为t 2－2t －3＝0，∴t ＝3. 即2x ＝3，∴x ＝log 23.(理)(2014·长安一中质检)方程33x－1＋13＝3x －1的实数解为________． [答案] x ＝log 34[解析] 令3x ＝t ，则t >0，∴原方程化为3t －1＋13＝t3，∴t ＝4，即3x ＝4，∴x ＝log 34.15．(2014·北京海淀期中)已知a ＝log 25,2b ＝3，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． [答案] a >b >c[解析] 因为，a ＝log 25>log 24＝2，c ＝log 32<log 33＝1，由2b ＝3得，b ＝log 23,1＝log 22<log 23<log 24＝2，所以a >b >c .16．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ， x ≥0，x 2－2x ， x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：可知函数f (x )在整个定义域上是单调递减的， 由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. (理)(2014·湖南省五市十校联考)下列命题： ①函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；②点A (1,1)，B (2,7)在直线3x －y ＝0两侧；③数列{a n }为递减的等差数列，a 1＋a 5＝0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n ＝4时，S n 取得最大值；④定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2b 1b 2＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点(1，13)处的切线方程是6x －3y －5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{a n }为递减等差数列，∴d <0，∵a 1＋a 5＝0，∴a 1>0，a 5<0，且a 3＝0，∴当n ＝2或3时，S n 取得最大值，故③错；由新定义知f (x )＝13x 3＋x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2，故f (x )在(1，13)处的切线方程为y －13＝2(x －1)，即6x －3y －5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2ax 2＋4x －3－a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f (x )在R 上有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x 2＋4x －4 ＝2(x 2＋2x )－4＝2(x ＋1)2－6.因为x ∈[－1,1]，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2>0，a ≠0，∴a <－2或－1<a <0或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．(理)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围；(3)设函数g (x )＝bx ＋5－2b ，b ∈R .当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求b 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的图象与x 轴无交点，∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[－1,1]上单调递减，欲使f (x )在[－1,1]上存在零点，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0. (3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )值域的子集即可．∵函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b >0时，g (x )在[1,4]上的值域为[5－b,2b ＋5]，只需⎩⎪⎨⎪⎧5－b ≤－1，2b ＋5≥3，∴b ≥6；当b ＝0时，g (x )＝5不合题意，当b <0时，g (x )在[1,4]上的值域为[2b ＋5,5－b ]，只需⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋5≤－1，5－b ≥3，∴b ≤－3.综上知b 的取值范围是b ≥6或b ≤－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)已知二次函数f (x )满足条件：①在x ＝1处导数为0；②图象过点P (0，－3)；③在点P 处的切线与直线2x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求在点Q (2，f (2))处的切线方程．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (0)＝－3，f ′(0)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c ＝－3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，f ′(x )＝2x －2，∴切点Q (2，－3)，在Q 点处切线斜率k ＝f ′(2)＝2， 因此切线方程为y ＋3＝2(x －2)，即2x －y －7＝0.(理)(2014·河南淇县一中模拟)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)证明当m ≤2时，f (x )>0. [解析] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需要证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，所以ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)>0， 综上，当m ≤2时，f (x )>0.19．(本小题满分12分)(文)(2014·枣庄市期中)已知函数f (x )＝a －22x －1(a ∈R )．(1)用单调函数的定义探索函数f (x )的单调性； (2)求实数a 使函数f (x )为奇函数．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．任取非零实数x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，0)上单调递增． 同理可证，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)解法一：对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝a －22x －1＋a －22－x －1＝2a －22x －1－2·2x1－2x ＝2a ＋2·2x －22x －1＝2a ＋2.若函数f (x )为奇函数，则有2a ＋2＝0，解得a ＝－1， 此时f (－x )＝－f (x )． 所以a ＝－1为所求．解法二：若函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，即a －22－1－1＝－(a －221－1)．解得a ＝－1.当a ＝－1时，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝－1－22x －1－1－22－x －1＝－2－22x －1－2·2x1－2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 所以a ＝－1为所求．(理)(2014·泉州实验中学期中)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)已知f (x )是减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，定义域为R ， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知，1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，∴判别式Δ＝4＋12k <0，∴k <－13.20．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)函数f (x )＝2ax －x 2＋ln x ，a 为常数． (1)当a ＝12时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x －x 2＋ln x ，则f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－2x ＋1x ＝－(2x ＋1)(x －1)x .由f ′(x )>0，得0<x <1；由f ′(x )<0，得x >1； ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝0. (2)∵f ′(x )＝2a －2x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，则f ′(x )≥0，或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立． ∴2a －2x ＋1x ≥0，或2a －2x ＋1x ≤0在区间[1,2]上恒成立．即2a ≥2x －1x ，或2a ≤2x －1x 在区间[1,2]上恒成立．设h (x )＝2x －1x ，∵h ′(x )＝2＋1x 2>0，∴h (x )＝2x －1x 在区间[1,2]上为增函数．∴h (x )max ＝h (2)＝72，h (x )min ＝h (1)＝1，∴只需2a ≥72，或2a ≤1，∴a ≥74，或a ≤12.(理)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．[解析] (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)∵OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，∴(32x 2＋1)＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x，∵f (x )＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝3x 2＋1x 在(0，＋∞)上恒正，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(理)(2014·河北冀州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2(a ＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)对任意m ∈(0,2]，关于x 的不等式f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1. 由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3x 2＋2bx ＋c ， ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1,2)， ∴f ′(x )＜0的解是1＜x ＜2.所以方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，12＋4b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－92，c ＝6.∴f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋1.(2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3， 要使f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，应有12m 3－m ln m －mt ＋3>f (x )min ，∴12m 3－m ln m －mt ＋3>3， mt <12m 3－m ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立，即t <12m 2－ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立．设h (m )＝12m 2－ln m ，m ∈(0,2]，则t ＜h (m )min ，h ′(m )＝m －1m ＝m 2－1m ＝(m －1)(m ＋1)m，令h ′(m )＝0得m ＝1或m ＝－1， 由m ∈(0,2]，列表如下：∴当m ＝1时，h (m )min ＝h (m )极小值＝12，∴t <12.22．(本小题满分14分)(文)(2013·泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2013年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2013年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2013年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2013年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ [解析] (1)设比例系数为k (k ≠0)．由题意知，3－x ＝kt ＋1.又t ＝0时，x ＝1.∴3－1＝k 0＋1.∴k ＝2，∴x 与t 的关系是x ＝3－2t ＋1(t ≥0)．(2)依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3＋32x x ·150%＋t2x)元/件．于是，y ＝x ·(3＋32x x ·150%＋t2x )－(3＋32x )－t ，化简得，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)．因此，工厂2013年的年利润y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)万元．(3)由(2)知，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)＝50－(32t ＋1＋t ＋12)≤50－232t ＋1·t ＋12＝42(当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立)．所以，当2013年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元． (理)(2014·安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p .(以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，…，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．[分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f (x )＝x (x －q )2－p 为其模拟函数；(2)由题中条件：f (0)＝4，f (2)＝6，得方程组，求出p ，q 即可得到f (x )的解析式；(3)确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该海鲜产品在哪几个月份内价格下跌．[解析] (1)根据题意，应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)∵f (0)＝4，f (2)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，(2－q )2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0得，1<x <3，又∵x ∈[0,5]，∴f (x )在(0,1)，(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌．。

福建省龙岩市2015届高三教学质量检查数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2sin15cos15︒︒=A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2．命题“对任意实数x [1,2]∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为A ．20B ．25C ．22.5D ．22.754．已知复数(2)z a a i =+-（,a R i ∈为虚数单位）为实数，则0)ax dx ⎰的值为A ．π+2B ．22π+C ．π24+D ．π44+5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是ABC ．D 16．如图，B A ,分别是射线ON OM ,上的两点，给出下列向量：①2OA + ②1123OA OB + ；③3143OA OB + ；④3145OA OB + ；⑤3145OA - 若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有0.08 0.04 0.03 0.02 35 30 25 20 15 10 长度(mm) 频率 组距侧视图 （第6题图）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤7．已知过抛物线x y 122=焦点的一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若14=AB ，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 若函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则a x x -+21的取值范围是A ．)13,13(+-ππB ．)13,3[+ππC ．)132,132(+-ππ D ．)132,32[+ππ 9．已知函数)(x f y =是R 上的减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于点A )0,1(对称．设动点M ),(y x ，若实数y x ,满足不等式 0)6()248(22≥-++-x y f y x f 恒成立，则OM OA ⋅的取值范围是A ．),(∞+-∞B ．]1,1[-C ．]4,2[D ．]5,3[10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++，其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为A ．223B ．25C ．78D ．334第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.11．如右图所示的程序执行后输出的结果S 为 ． 12．二项式2531()x x +展开式中的常数项为 （用数字作答）. 13．已知点P 在渐近线方程为034=±y x 的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x上，其中1F ，2F 分别为其左、右焦点．若12PF F ∆的面积为16且 120PF PF =，则a b +的值为 ．14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）． 15．已知动点P 在函数24)(+-=x x f 的图像上，定点)2,4(--M ，则线段PM 长度的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）（第11题图）1i =0S =WHILE 5i <=S S i =+1i i =+WEND PRINT S END已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若12a =，求b 的取值范围．17.（本小题满分13分）某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为91的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过94，且他直到第二次测试才合格的概率为278． （Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18.（本小题满分13分）如图，已知,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，直角梯形ABEF 所在平面与圆O 所在平面互相垂直，其中90FAB EBA ∠=∠=︒，2BE =，6AF =，AC =点N 为线段EF 中点．（Ⅰ）求证：直线//NO 平面EBC ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且点M 在平面CEF 上的射影为线段NC 的中点，请求出线段AM 的长．19.（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为其左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)A A -．一条不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆相交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若0m k +=，直线1A M 与2NA 的斜率分别为12,k k ．试问：是否存在实数λ，使得120k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数1)()(+⋅+=x e a x x f x（e 为自然对数的底数），曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线与直线0134=++ey x 互相垂直.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若对任意),32(+∞∈x ， )12()()1(-≥+x m x f x 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设()g x = ，123112[g()g()g()g()]n n T n n n n -=+++++ (2,3)n = ．问：AFDC B ENO（第18题图）（第19题图） y是否存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++< 成立？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知二阶矩阵21M a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭),(R b a ∈，若矩阵M 属于特征值1-的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311α，属于特征值3的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α．（Ⅰ）求实数b a ,的值；（Ⅱ）若向量35β-⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算5M β 的值．（2）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23221（t 为参数），若以原点O 为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρcos 4=，设M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，使MQ OM =． （Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于B A ,两点，点P 的直角坐标为(0,2)，求PB PA +的值．说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1-5 ACCAD 6-10 BDBCC 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．15 12．10 13．7 14．288 15．32三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(3)()()b b c a c a c =+-得2223b bc a c =-，得2223b c a bc +-=于是222cos 2b c a A bc +-=32=又(0,)A ∈π，∴6A π= ……………………………………………6分（Ⅱ）∵B 为钝角于是2A C π+<，又6A π=，∴03C π<<由正弦定理可知，12211sin 2aR A ===所以3b c sin 3sin B C =5sin()36C C π=-13cos 22C C =-cos()3C π=+ 又03C π<<， 2333C πππ<+<∴b cos()3C π=+11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭…………………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999p p p p p p ++++≤， 则,274)91)(1(=+-p p即0524272=+-p p ，0)59)(13(=--p p ，解得31=p 或95=p （舍去）所以小刘第一次参加测试就合格的概率为31. …………………………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，12545(1)39981P ξ==+==，5624(2)(1)9981P ξ==-=，5612(3)(1)(1)9981P ξ==--=，所以ξ的分布列为123.8181818127E ξ=⨯+⨯+⨯== ………………………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD又BD 是圆的直径，,AD AB ⊥因此，以点A 为原点可建立空间直角坐标系如图由于,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，且AC =所以四边形ABCD 是边长为4的正方形则)0,0,4(B ，，)0,4,4(C ，)0,2,2(O ，)2,0,4(E ，)6,0,0(F ，)4,0,2(NEB AB ⊥, ，BC AB ⊥,，)0,0,4(=∴AB 是平面EBC 的法向量)4,2,0(-=NO ，0)4,2,0()0,0,4(=-⋅=⋅NO AB所以直线//NO 平面EBC ………………………………………7分（Ⅱ）点M 在线段AC 上，可设)0,4,4()0,4,4(λλλλ===AC AMNC 的中点为)2,2,3(Q ，)2,42,43(λλ--=MQ ， 由题设有⊥MQ 平面CEF)4,0,4(-=EF ，)2,4,0(-=EC ，⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+--=⋅∴04)42(408)43(4λλ 解得41=λ)0,1,1()0,4,4(==λλ，线段AM2=………………………………13分19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题设可知3a =因为3e =即3c a =，所以c =222981b a c =-=-= 所以椭圆C 的方程为： 2219x y += ………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：由0m k +=知:(1,0)D ， …………………………………………………5分设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．联立方程组122(3)19y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得:222111(19)548190k x k x k +++-= 解得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++． ……………………8分同理，可解得点N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++ ……………………9分 由,,M D N 三点共线，有12221222122212661919327273111919k k k k k k k k -++=----++， ………………10分 化简得2112(2)(182)0k k k k -+=．由题设可知k 1与k 2同号，所以212k k =，即．121()02k k +-= …………12分所以，存在12λ=- 使得使得120k k λ+=. ……………………………13分解法二：由0m k +=知，k m -=，直线l 方程化为)1(-=x k y ，所以l 过定点(1,0)D ……………………5分 当直线l 的倾斜角∞→α时，)322,1(→M ，)322,1(-→N此时621→k ，322→k ，2121-=-→k k λ 由此可猜想：存在21-=λ满足条件，下面证明猜想正确 …………………7分联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅ …………………10分 3111+=x y k ，3222-=x y k 所以12λ=-时，3213221121--+=+x y x y k k λ =)3)(3(2)3)(1()3)(1(2211221-++----x x x x k x x k=-++--)3)(3(2)955(211221x x x x x x k )3)(3(2)9911859199(2122-+++-+-x x k k k k k 0)3)(3)(91(2)8199099(212222=-++++--=x x k k k k k ………………………………12分 由此可得猜想正确，因此，存在21-=λ使得120k k λ+=成立 ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2)1()()1]()([)(+⋅+-+⋅++='x e a x x e a x e x f x x x 22)1(]1)1([++++=x x a x e x 依题意得：e e a f 434)3()1(=⋅+='， 0=∴a ……………………………4分（Ⅱ）对任意的),32(+∞∈x ，)12()()1(-≥+x m x f x 恒成立等价于0)12(≥--x m xe x对),32(+∞∈x 恒成立，即12-≤x xe m x 对),32(+∞∈x 恒成立令)32(12)(>-=x x xe x t x , 则最小)(x t m ≤ 22)12()12()(---='x x x e x t x由0)(='x t 得：1x =或12x =-（舍去） 当)1,32(∈x 时，0)(<'x t ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x t)(x t ∴在)1,32(上递减，在),1(+∞上递增e t x t ==∴)1()(最小e m ≤∴ ………………………………………9分（Ⅲ）()g x ==x x e e e +e e ee e e e e e e x g x x x x +=+⋅=+=---11)1(， 1)1()(=++=-+∴xx ee ee x g x g ……………………………10分 因此有)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k nkn g n k g 由123112[g()g()g()g()]n n T n n n n -=+++++ )]1()2()1([21ng n n g n n g T n ++-+-+=得n n T n 2)1(22]111[222=-+=++++= ，n T n =∴ …………………………11分 3693111111111()3123n T T T T n++++=++++ ，取2m n =(*m N ∈)， 则=++++n 131**** ****11111()()123456782m +++++++++ 0121231111122222222m m -≥+⨯+⨯+⨯++⨯ 12m=+， ………………12分当m 趋向于+∞时，12m+趋向于+∞． ……………………………13分所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++< 成立． …………………………14分（2）（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，设(,)Q x y ，则(,)22x yM ，∴22(2)()422x y -+=∴22(4)16x y -+=这就是所求的直角坐标方程. ……………3分（Ⅱ）把1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(4)16x y -+=，即代入2280x y x +-=得2211()(2)8()022t t -+--=，即2(440t t +++=令,A B 对应参数分别为12,t t ，则0)324(21<+-=+t t ，1240t t ⋅=>所以3242121+=+=+=+t t t t PB PA . …………………7分（3）（Ⅰ）21)(--+=x x x f ,由0)(≤x f 得21-≤+x x ⇔441222+-≤++x x x x ⇔21≤x ， 所以所求不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. ………………………………4分（Ⅱ）当1=b 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤---<<--++≥++-=1,4)2(21,4)2(2,4)2()(x a x a x a x a x a x a x f因为()f x 既存在最大值，也存在最小值，所以02=-a ，所以2=a所以a 的取值集合为{}2. ………………………………………7分。

（1） （2）（3）（4）宁化一中2015-2016学年上学期第一次月考一.选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1.下列关系不正确的是（ ）A ．1N ∈B QC ． }{}{1,21,2,3⊆D ．}{0φ⊆ 2. 如下图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A.A B C U )( B.B A C U)( C. )(B A C U D. )(B A C U 3.下列函数中与y=x 是同一函数的是（ ） A.2y =B.y =C. 2x y x= D. 2x y =4. 已知函数31((0)()2(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩那么()1f f ⎡-⎤⎣⎦的值为（ ） A ．8B ．18C ．9D ．195.下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A.（3）、（4）B.（1）、（3）、（4）C.（1）、（2）、（3）D.（1）6.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上是增函数的是（ ）A . xy 1=B . 3y x =+C . 42+-=x y D . x y = 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()221xf x x =+-，则(1)f -= （ ）A ．-3 B.-1 C.1 D.3 8.已知偶函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．()()()43f f f π>>-B ．()()()43f f f π->>C ．()()()43f f f π>->D ．()()()34f f f π>>-9.已知定义在（－1,1）上的函数()f x 为减函数，且(1)(0)f a f +<，则a 的取值范围是（ ）A . (1,)-+∞B .（1,0-）C .（2,0-）D .（0,2） 10.已知集合A={}2,3,B={}60x mx -=，若B ⊆A,则实数m 的值是（ ） A.3 B.2或3 C.2 D.0或2或3 11.定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为 （ ）A ．9B ．21C ．18D ． 14 12．下列四个命题：（1）()f x =有意义；（2）设12,x x 为()y f x =的定义域内的任意两个变量，1212()[()()]0x x f x f x -->；则()y f x =是定义域上的增函数；（3）函数2()y x x N =∈的图象是一条直线；（4）函数22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图象是抛物线，其中正确的命题个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13. 函数()f x =的定义域为2(1),()f x x x f x +=-=14.已知则15.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于 16.定义全集U 的子集A 的特征函数为⎩⎨⎧∈∈=A C x Ax x f U A ,0,1)(，这里A C U 表示A 在全集U中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 . （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）)(1)(x f x f A A C U -= （3）()()()A BA B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18.（满分8分）已知集合A={x|a ≤x ≤a+3}，B={x|x<0或x>5}．(1) 若2R a A C B =-，求； (2) 若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．19. 已知函数[]2()22,3,3f x x ax x =++∈-.（1） 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]3,3-上是单调函数。

2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}xB y y x R ==+∈，则AB 等于A ．{24}x x <<B ．{14}x x <<C ．{12}x x <<D ．{4}x x >2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．15B ．16C ．25D ．363． 21()nxx -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．204． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10B ．12C ．18D ．285． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于A．3BCD ．26． 函数cos(sin )y x =的图象大致是7． 已知集合10(,)30,1x y A x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠∅，则R 的最小值为 A．2BC ．3D ．58． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为A ．6B ．10C ．12D ．159． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A .若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是 A ．存在N n ∈，使得21n S b += B ．存在N n ∈，使得21n S b += C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为21e -； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.13．在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是__________.14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移4π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.20．（本小题满分14分）已知函数2*2()()1n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知曲线22:3C x xy y -+=，矩阵2222M ⎛= - ⎝⎭，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的方程；（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（Ⅰ）若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当14x -≤≤.。

酒泉中学2015届高三第四次模拟考试数学试卷（理科）本试卷满分150分，答卷时间120分钟第Ⅰ卷一, 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1，已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2，已知是虚数单位，复数的模为（）A．B．C．D．3，已知数列中，，，且数列为等差数列，则（）A．B．C．D．4，已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5，以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则、均为假命题D．对于命题：，使得，则：，则6，要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术堂课的课程表，要求数学排在上午（前节），体育排在下午（后节），不同的排法种数是（）A．240 B．192 C．200 D．2567，已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．(第7题图) （第8题图）8，执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1 B．C．D．29，已知函数的图象如图(其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象可能是（）10，利用独立性检验来考虑两个分类变量与是否有关系时，通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度。

如果，那么就有把握认为“和有关系”的百分比为（）A．25% B．95% C．5% D．97.5% 11，函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312，是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是( )A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，) D． (，2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二，填空题：本大题共4小题，每小题5分.13，二项式的展开式中常数项为，则的值为．14，设，则函数的图像与轴有公共点的概率等于．15，已知与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为．16，给出下列命题：①在中，若，则；②将函数向右平移个单位，得到函数的图像；③在中，若，，则必为锐角三角形；④在同一坐标系中，函数和函数的图像有三个公共点；⑤函数在区间内是增函数.其中真命题是 .（填出所有正确命题的序号）三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17，（本小题满分12分）已知，，满足.(1) 将表示为的函数，并求的最小正周期；(2) 已知分别为的三个内角对应的边长，的最大值是，且，求的取值范围.18，（本小题满分12分）现有个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为或的人去参加甲游戏，掷出点数大于的人去参加乙游戏.（1）求这个人中恰有人去参加甲游戏的概率；（2）求这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用分别表示这个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．19，（本小题满分12分）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，且,，点是的中点.（1）证明：平面；（2）若直线BF与平面所成角的正弦值为，求的长；（3）判断线段上是否存在一点，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20，（本题满分12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.21，（本小题满分12分）已知.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22，选修4-1：几何证明选讲如图，是的一条切线，切点为，直线，，都是的割线，已知．（1）求证：；（2）若，．求的值．23，选修4—4：坐标系与参数方程已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为．（1）写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；（2）设与圆相交于两点，求的值．24，选修4-5：不等式选讲设函数的最小值为.（1）求；（2）已知两个正数满足，求的最小值.。

2014-2015学年福建省福州市闽清高中等四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．99 C．101 D．1022．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞3．（5分）设{a n}是等比数列，且a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，则a1a4=（）A．2013 B．﹣2013 C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）＞sin2A+sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．（5分）已知实数x，y满足约束条件’则z=2x﹣y的取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]6．（5分）已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则角A等于（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．28 B．24 C．21 D．78．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：19．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈[1，4]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[，]C．[]D．[，3]二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，）11．（4分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是．12．（4分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=，A=，则sinB=．13．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值．14．（4分）已知a＞0，b＞0且4b+3a=ab，则a+b的最小值是．15．（4分）给出数列，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，）16．（13分）已知函数f（x）=﹣3x+27，数列{b n}满足b n=f（n），试判断数列{b n}是否为等差数列，并求{b n}的前n项和S n的最大值．17．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．18．（13分）（1）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式﹣x2+bx+a＞0的解集．（2）若不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．19．（13分）如果直线l1：2x﹣y+2=0，l2：8x﹣y﹣4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值．20．（14分）如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离（点B，C，D，F 在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°．若∠FCB=60°，CD=16（﹣1）m．（1）求建筑物AB的高度；（2）求取景点C与F之间的距离．21．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n﹣（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）试比较T n与的大小．2014-2015学年福建省福州市闽清高中等四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．99 C．101 D．102【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=2，∴a51=1+50×2=101．故选：C．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞【解答】解：∵c＞d＞0，∴，∵a＞b＞0，∴，故选：A．3．（5分）设{a n}是等比数列，且a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，则a1a4=（）A．2013 B．﹣2013 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，∴由韦达定理可得a2a3=﹣2013，又∵{a n}是等比数列，∴a1a4=a2a3=﹣2013故选：B．4．（5分）已知△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）＞sin2A+sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）=sin2B＞sin2A+sin2C，∴由正弦定理得：b2＞a2+c2，∴cosB=＜0，B∈（0，π），∴B为钝角，∴△ABC的形状是钝角三角形，故选：C．5．（5分）已知实数x，y满足约束条件’则z=2x﹣y的取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=2x﹣y过点A（1，2）时，Z最小为0．当z=2x﹣y过点B（2，2）时，Z最大为2．故所求z=2x﹣y的取值范围是[0，2]故选：D．6．（5分）已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则角A等于（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【解答】解：由题意△ABC的面积为，且b=2，c=，∴=，可得sinA=，∴A=60°或120°．故选：D．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．28 B．24 C．21 D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4+a6=3a4=12，∴a4=4，∴S7==7a4=7×4=28．故选：A．8．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2．∵S n=n2+n，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，上式也成立．∴．∴==．∴T n==．∴．故选：D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈[1，4]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[，]C．[]D．[，3]【解答】解：令f（t）=，g（t）=，t∈[1，4]，∵令f（t）==，∴t+在[1，3]上单调递减，（3，4]单调递增，∴f（t）在[1，3]上单调递增，（3，4]单调递减，上单调递增，∴f（t）max=f（3）=；同理可得g（t）==在t∈[1，4]上单调递减，∴g（t）min=g（4）=．∴f（t）max≤a≤g（t）min，即．故选：B．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，）11．（4分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1} ．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．12．（4分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=，A=，则sinB=．【解答】解：由正弦定理知：，从而有sinB===．故答案为：．13．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，∴b2=ac，cosB==，∴当且仅当a=c时，cosB取最小值．故答案为：．14．（4分）已知a＞0，b＞0且4b+3a=ab，则a+b的最小值是．【解答】解：∵a＞0，b＞0且4b+3a=ab，∴＞0，解得a＞4．则a+b=a+=a﹣4++7≥+7=+7．当且仅当a=4+2时取等号．∴a +b 的最小值是7+4．故答案为：7+4．15．（4分）给出数列，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号 是 4901 ． 【解答】解：值等于1的项只有，，，…， ∴第50个值等于1的应该是，那么它前面一定有这么多个项： 分子分母和为2的有1个：； 分子分母和为3的有2个：，； 分子分母和为4的有3个：，；…分子分母和为99的有98个：，…，． 分子分母和为100的有99个：，…，，，，…，，．∴它前面共有（1+2+3+4+…+98）+49=4900， ∴它是第4901项． 故答案为：4901．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，）16．（13分）已知函数f （x ）=﹣3x +27，数列{b n }满足b n =f （n ），试判断数列{b n }是否为等差数列，并求{b n }的前n 项和S n 的最大值．【解答】解：取任意n ≥11，b n +1﹣b n =f （n +1）﹣f （n ）=﹣3（n +1）+27﹣[﹣3n +27]=﹣3b 1=f （1）=24，bn=f （n ）=﹣3n +27根据等差数列定义，﹛bn ﹜是首项为24，公差为﹣3的等差数列．S n===可以看做是一个一元二次函数，函数开口向下，对称轴是n=，∵n是正整数，∴取离n最近的正整数8和9，得S8=S9=108．则S n的最大项是S8=S9=108．17．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．18．（13分）（1）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式﹣x2+bx+a＞0的解集．（2）若不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个实数根是﹣，﹣；∴，解得a=﹣6，b=5；∴不等式﹣x2+bx+a＞0化为x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3；∴不等式﹣x2+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．（2）∵不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2可化为（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，对任意的实数x均成立，∴，即，解得a＞2；∴实数a的取值范围是{a|a＞2}．19．（13分）如果直线l1：2x﹣y+2=0，l2：8x﹣y﹣4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值．【解答】解：设P（x，y）为封闭区域中的任意点则P（x，y）满足约束条件…（3分）可行域如图所示…（6分）目标函数的最优解为B（1，4）…（8分）依题意将B（1，4）代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4…（10分）有基本不等式得：（当且仅当a=b=2时，等号成立）故a+b的最小值为4…（12分）20．（14分）如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离（点B，C，D，F 在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°．若∠FCB=60°，CD=16（﹣1）m．（1）求建筑物AB的高度；（2）求取景点C与F之间的距离．【解答】解：（1）设AB=x，在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=x，AC=x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2在△ADC中，由正弦定理得，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5∴x=16即建筑物AB的高度为16 m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8在Rt△AFB中，∠AFB=30°，∴由tan30°=可得：FB=16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9在△BCF中，设CF=y，∵∠BCF=60°，∴由余弦定理得：BF2=BC2+FC2﹣2BC•FC•cos 60°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10∴（16）2=162+y2﹣2•16•y•cos 60°，即y2﹣16y﹣512=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12∴y1=32，y2=﹣16（负数舍去），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13即景点C与F之间的距离为32 m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1421．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n﹣（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）试比较T n与的大小．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=﹣（2﹣2+2﹣3+…+2﹣n）=﹣=又a1=，也适合上式，所以a n=（n∈N*）．（2）由（1）得a n=，所以b n=na n=，∴T n=1×2×2﹣2+…+n×2﹣n，①，∴T n=1×2﹣2+2×2﹣3+…+n×2﹣n﹣1，②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7由①﹣②得，T n=2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣n﹣n×2﹣n﹣1，∴T n=1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+21﹣n﹣n×2﹣n=﹣n×2﹣n=2﹣（3）因为T n﹣=（2﹣）﹣=﹣=所以确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．当n=1时，21＜2×1+1；当n=2时，22＜2×2+1；当n=3时，23＞2×3+1；当n=4时，24＜2×4+1；可猜想当n≥3时，2n＜2n+1；综上所述，当n=1或n=2时，T n＜；当n≥3时，T n＞赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

宁化一中2017届高三上学期8月份阶段考试理科数学A 卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数512i iiz ++=的共轭复数为 （ ） A ．i 21- B ．i 21+ C ．1-i D ．i -12. 在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）A ．)1,3(-B ．)3,1(C ．)3,1(--D ．)1,3(3.下列说法正确的是 ( ) A.“a R ∃∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ∀∈，方程220ax x a -+=有负实根”B.命题“a b R ∈、，若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，若0a ≠且0≠b ，则220a b +≠”C.命题p ：若回归方程为1y x -=，则y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题q p ∨为真命题D.若)4,1(~N X ，则()()212P X t P X t <-=>成立的一个充分不必要条件是1=t4．设}32,31,1,1{-∈α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A.31,1-B.32,1 C.31,1 D.32,1 5．函数23()log (2)(0)f x x x x=+->的零点所在的大致区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，e ）D ．（3，4） 6．函数()13sin 1f x a x bx =+-，（R b a ∈,），若1(lg)2016,(lg 2017)2017f f ==则 A.2016- B.2016 C .2018 D. 2018-7.已知函数2,10()1x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是 ( ) A.|)(|x f y =B.|)(|x f y =C.|)|(x f y -=D.|)(|x f y -=8．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场. 每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32， 甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51.则甲获第一名 且丙获第二名的概率；（ ） A.1211 B. 152 C. 301 D. 61 9．关于函数31)212()(x x f x x∙-=和实数n m ,的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <≤-3，则)()(n f m f < B. 若0≤<n m ,则)()(n f m f < C. 若)()(n f m f <则22n m < D. 若)()(n f m f <则33n m <10. 如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线CO AC ⊥,AC 与BO 交于点E ,某指数函数x a y =0(>a 且)1≠a 经过点B E 、,则=a （ ） A ．2 B.3 C.2 D.311 .已知函数()xf x e =，1()ln 22xg x =+的图象分别与直线y m =交于,A B 两点，则AB 的最小值为 （ ）A ．2B ．32ln2e - C ．212e + D ．2ln 2+12.已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()f x =()[](]1,1,1,,1,3,t x x x ⎧-∈-⎪∈则当8,27t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是A.3B.4C.5D.6第10题图第7题图第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知集合2{|20},{|2},x A x x x B y y =--≤==则AB = .14.某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有 。

2015年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学 2015.04本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式 s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设,x y ∈R ，且1i 3i x y +=+，则i x y +等于A ．2B ．4C ．10D ．102．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为A ．1 :B ．3C ．9D ．27x >0?y =3xy =log 3x3．不等式102x x -≥-的解集为 A ．[1,2] :B ．(,1][2,)-∞+∞C ．[1,2)D ．(,1](2,)-∞+∞4．“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．已知y x ,满足2,1,220,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．46．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面命题正确的是Ａ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α Ｂ．若a ∥b ，b α⊂，则a ∥α Ｃ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ Ｄ．若αβ⊥，a β⊂，则a α⊥7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22sin sin 3sin sin A B B C -=，23c b =，则角A 等于A ．30 B ．60 C ．120 D ．1508．若过点(5,0)-的直线l 与曲线21y x =-有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．0,6⎡⎤⎣⎦ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．函数cos(sin )y x =的图象大致是10．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE 等于A. 18B. 26C. 27D. 28xyOxy OxyOxyOABDC11．已知1F 为双曲线22:11411x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若110PF QF =，则△1PFQ 的周长等于A ．21110+B ．21410+C ．22D ．2412．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为A ．30x y --=B ．70x y --=C ．30x y +-=D ．70x y +-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知3cos (0)5αα=<<π，则sin 2α=__________． 14．已知函数321,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩若()1f x =，则x = __________．15．如图，函数cos y x x =+的图象经过矩形ABCD 的顶点,C D ．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．16．A n ()n ∈N 系列的纸张规格如图，其特色在于：①A 0，A 1，A 2，…，A n 所有规格的纸张的长宽比都相同；② A 0对裁后可以得到两张A 1，A 1对裁后可以得到两张A 2，…，A n-1对裁后可以得到两张A n ．现有每平方厘米重量为b 克的A 0，A 1，A 2，…，A n 纸各一张，若A 4纸的宽度为a 厘米，则这（1n +） 张纸的重量之和1n S +等于__________．（单位：克）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕ><<π的最小正周期为2π，图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值．18．（本小题满分12分）2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为1:5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一 梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思 想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．19．(本小题满分12分)某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形． （Ⅰ）若P 为线段1AA 上的点，求四棱锥C C BB P 11-的体积；（Ⅱ）已知D 为线段1BB 的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面1ADC ，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段C A ''，并给予证明．20．(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，离心率等于12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆C 相交得到的弦的中点共线；（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆E 的一部分，试作出椭圆E 的中心，并写出作图步骤．21．（本小题满分12分）俯视图侧视图正视图22A'B'C'直观图A 1A CC 1B 1B已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()415n n S a =-． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5n n n b ta =-，试问：是否存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．(本小题满分14分)已知函数()e ()x f x x m m =--∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）判断()f x 的零点个数，说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个零点12,x x ，证明：120x x +<．2015年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．2425； 14．0； 15．12； 16．2113221()2n a b +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为()f x 的最小正周期是2π，所以2T ωπ=，得4ω=． ………………….2分 所以()sin(4)f x x ϕ=+．又因为()f x 的图象过点(0,1)P ，所以2()2k k ϕπ=π+∈Z ， 因为0ϕ<<π，所以2ϕπ=． ………………………………….5分 所以()sin(4)2f x x π=+，即()cos 4f x x =． …………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得2()cos(4)3g x x π=+． ………………………….…..8分因为(0,)x m ∈，所以2224(,4)333x m πππ+∈+，……………….…10分 要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，只有243m π+≤π，所以12m π≤．因此实数m 的最大值为12π． ……………….…..12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得()cos(4)3g x x 2π=+．……………….8分 令2423k x k 2π-π+π≤+≤π()k ∈Z ，则12262k k x 5ππππ-+≤≤-+()k ∈Z ，因此函数()g x 在[,]123ππ上单调递增， …………………………….9分 令2423k x k 2ππ≤+≤π+π()k ∈Z ，则62122k k x ππππ-+≤≤+()k ∈Z ， 因此函数()g x 在[,]612ππ-上单调递减， ………………………….10分要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数， 只有(0,)[,]612m ππ⊆-，因此实数m 的最大值为12π． …………………………….12分18．本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个． …………………………….3分 其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．…………………………….6分设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为A ，则所求的概率为3()10P A =． ………………………….8分 （Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为3a ．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：31759752080%6120a aa ⋅+⋅=>．故此方案符合国家“保基本”政策． ………………………….12分 19．本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）取线段BC 的中点E ，连接AE ，则BC AE ⊥．又∵ABC BB 平面⊥1，ABC AE 平面⊂，FE∴AE BB ⊥1．又∵B BC BB =⋂1 C C BB BB 111平面⊂，C C BB BC 11平面⊂，∴C C BB AE 11平面⊥， ………………………….1分 又点P 在为线段1AA 上的点，且1AA ∥平面11BB C C ，∴AE 是四棱锥C C BB P 11-的高， ………………………….2分 又113,224BB C C AE S ==⨯=正方形， ………………………….4分 ∴33432231311111=⨯⨯⨯=⋅=-AE S V C C BB C C BB P 正方形四棱锥．………………….6分 （Ⅱ）所求的线段是C A 1． ………………………….7分首先，∵1111CC A BC ⊥平面，∴C A1在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段C A ''．………8分下面证明11AC ADC ⊥平面． 连接C A 1，交1AC 于点F ，则点F 为线段1AC 的中点，连接DF ，DC ，1DA ， 在平面C C BB 11中，2=BC ，1=BD ，∴225CD BC BD =+=，同理，15DA =，∴1DA CD =，∴C A DF 1⊥， ………………………….10分 又 在正方形11A ACC 中，11AC C A ⊥， ………………………….11分1DFAC F =，1ADC DF 平面⊂，11ADC AC 平面⊂，∴11AC ADC ⊥平面． ………………………….12分 20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意，得11,2c c a ==，所以22,213a b ==-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………….4分 （Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+，2l ：2y x b =+，分别交椭圆于()()111111,,,A A B B A x y B x y 及()()222222,,,A A B B A x y B x y ，弦11A B 和22A B 的中点分别为()111,Q x y 和()222,Q x y ．由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即177b -<<．又1118,7A B b x x +=-所以1111427A B x x bx +==-，111137b y x b =+=． 即11143,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….6分同理可得22243,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….7分 所以直线12Q Q 所在的直线方程为34y x =-． ………………………….8分 设l ：3y x b =+是斜率为1且不同于12,l l 的任一条直线，它与椭圆C 相交于33,A B ，弦33A B 的中点为333(,),Q x y 同理可得33343,,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭由于33343747b b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，故点3Q 在直线34y x =-上． 所以斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ………………………….9分 （Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦12A A ∥12B B ，12C C ∥12D D ，其中12A A 与12C C 不平行．②分别作平行弦1212,A A B B 的中点,A B 及平行弦1212,C C D D 的 中点,C D ．③连接AB ，CD ，直线AB ，CD 相交于点O ，点O 即为椭圆E 的中心． (12)分解法二：（Ⅰ）同解法一．ABB 2DCD 2OC 1C 2D 1A 1A 2B 1（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A AB B A x y B x y 弦AB 的中点()00,Q x y ． 由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即177b -<<． 147A B b x x +=-，11167A B A B b y y x b x b +=+++=． 所以10104,73,7b x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………6分所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上， 故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A AB B A x y B x y 弦AB 的中点()00,Q x y ．则22143A A x y +=，22143B B x y +=，所以()()()()043A B A B A B A B x x x x y y y y +-+-+=， 又02A B x x x +=，02A B y y y +=，1A B A B y y x x -=-， 所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上， 故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分（Ⅲ）同解法一．注：本题解法一、解法二中，如果没有考虑0∆>，不扣分．21．本小题主要考查数列的通项公式及前n 项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为()415n n S a =-， 所以当1n =时，()11415a a =-，解得14a =-； ……………….1分 当2n ≥时，()()11441155n n n n n a S S a a --=-=---，即14n n a a -=-，……….3分 由14a =-，()142n n a a n -=-≥知0n a ≠，所以{}n a 是以14,4a q =-=-的等比数列．……………………………….4分所以()4nn a =-． ……………….5分 （Ⅱ）假设存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列，即对于n *∈N ，都有1n n b b +>． 由(Ⅰ)知()4n n a =-，又5n n n b ta =-，所以()54n n n b t =--， ………………6分 所以只要对任意n *∈N ，恒有()()115454n nn n t t ++-->--，即只要对任意n *∈N ，恒有()1514n n t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭．……..① ………………7分当n 为奇数时，①等价于154n t -⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立． 又n 为奇数时，154n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1，所以1t <． ………………8分当n 为偶数时，①等价于154n t -⎛⎫>- ⎪⎝⎭恒成立． 又n 为偶数时，154n -⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为54-，所以54t >-．………………10分 综上，514t -<<． ………………11分 又t 为非零整数，故存在非零整数1t =-使得数列{}n b 为递增数列． ………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4nn a =-，又5n n n b ta =-．所以()54nn n b t =--， 所以154b t =+，22516b t =-，312564b t =+．…………………………6分若数列{}n b 为递增数列，则123b b b <<，所以542516,251612564,t t t t +<-⎧⎨-<+⎩解得514t -<<， 要使数列{}n b 为递增数列，且t 为非零整数，则只有1t =-． …………………7分以下证明，当1t =-时，数列{}n b 是递增数列，即证明对于n *∈N ，都有1n n b b +>．因为1115(4)5(4)n n n n n n b b +++⎡⎤-=+--+-⎣⎦455(4)n n =⨯-⨯-45455n n ⎡⎤⎛⎫=-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………………9分 当n 为奇数时，444545055n n ⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………10分 当n 为偶数时，444545055n n⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………11分 因此对任意n *∈N ，都有1n n b b +>． …………………………12分22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解：（Ⅰ）因为()e 1x f x '=-， ………………1分 所以，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，……………2分故当0x =时，()f x 取得最小值为()01f m =-． ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值为()01f m =-．（1）当10m ->，即1m <时，()f x 没有零点．………………5分（2）当10m -=，即1m =时，()f x 有一个零点．………………6分（3）当10m -<，即1m >时，构造函数()e 2(1)x g x x x =-≥，则()e 2x g x '=-，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)e 20g x g ≥=->，因为1m >，所以()e 20m g m m =->，又()e 2(1)m f m m m =->，故()0f m >． ………………8分 又()e 0m f m --=>，………………9分所以必存在唯一的()1,0x m ∈-，唯一的()20,x m ∈，使得12,x x 为()f x 的两个零点，故当1m >时，()f x 有两个零点．………………10分（Ⅲ）若12,x x 为()f x 的两个零点，设12x x <，则由（Ⅱ）知120,0x x <>．因为()()()()1222f x f x f x f x --=--()()2222e e x x x m x m -=---+-222e e 2x x x -=--．………………11分令()()e e 20x x x x x ϕ-=--≥，则()e e 2x x x ϕ-'=+-2e e 20x x -≥⋅-=，………………12分所以()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，因此，()()00x ϕϕ≥=．又120x x <<，所以()20x ϕ>，即222e e 20x x x --->，故()()12f x f x >-，………………13分又120,0x x <-<，且由（Ⅰ）知()f x 在(),0-∞单调递减，所以12x x <-，所以120x x +<．………………14分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016闽粤部分名校联考第四次模拟考试 高三数学（理科）命题：闽粤名校联谊试题研究中心组 审核：福建三明第二中学 广东璟表中学 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 为实数,若复数z=a2-3a-4+(a-4)i 为纯虚数,则复数a-ai 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(2) 设a R ∈，且2(1)a i i +为正实数，则a =(A) 0 (B) 1- (C) 1± (D) 1 （3）下列命题中是假命题．．．的是 （A ）βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R （B ）有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02（C ）),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m mx m x f m R 上递减（D ）,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数 （4）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈，则sin cos θθ+ 等于 (A)55- (B) 55(C)255 (D) 355（5）设1(5)nx x-的展开式的各项系数和M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为 (A) 150- (B)150 (C)300 (D)300- （6）如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为a 2的直角三角形,侧视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是(A)336a π (B)334a π (C)33a π(D)323a π（7）已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为(A)15 (B) 25(C)35 (D)45(8) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加 工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （A ）12 (B)512 (C)14 (D)16(9)圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形，则a-b 的取值范围是 （A ） (,4)-∞ （B ）(,0)-∞ （C ） ),4(+∞- （D ）),4(+∞（10）抛物线2x y =与直线x=0、x=1及该抛物线在x t = (0<t<1)处的切线所围成的图形面积的最小值为 (A)121 (B) 101 (C)61(D)41（11）若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是(A) （1-，2 ） (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)-（12）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y 若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有 c x f x f ≤-|)()(|21，则实数c 的取值范围是(A)4≥c (B) 3≥c (C) 2≥c (D) 1≥c第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。