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复旦大学精品课程《线性代数》课件,几种特殊矩阵课件复习精品资料

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复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料

复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料
上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证 我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为

复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料

复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料

3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。

12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。

αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。

β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。

(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。

•矩阵的秩与矩阵相同。

且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。

12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料
O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)

复旦大学精品课程《线性代数》,矩阵初等变换复习资料

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矩阵形式:
0 5 −2 x1 2 4 −3 2 x2 = 6 1 −2 1 x3 1
增广矩阵:
0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1

倪卫明
2 6 1
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法: (1) 交换等式(1)与(3).
(6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行.
x1 − 3 x2 x2 x3
= −6 = 2 = 2
(10) (11) (9)
1 −3 0 0 1 0 0 0 1

−6 2 2
(9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12).
(9) 第二行数乘3加到第一行.
增广阵
2 −6 8 4 A = −1 −1 6 2 −6

倪卫明
4 6 −8
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行.
(2) 第一行数乘−4加到第二行.
1 −2 1 0 5 −2 0 5 −2
1 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
(3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5.
x1 x2 9 1 + x3 = 5 5 2 2 − x3 = 5 5 0 = 0 (7) (8) (9) 9 1 − t 5 5 2 2 x2 = + t 5 5 x3 = t x1 =

线性代数 课件ppt

线性代数 课件ppt

例6：
a11 A a21
a12 a22
a13
1
a23 , E 0
0 1
0 0 ,
求AE和EA.
a31 a32 a33
0 0 1
解：
a11

AE a21
a31
a12 a22 a32
a13 1 a23 0 a33 0
0 1 0
0 0
a11 a21
1 a31
a12 a22 a32
a13 a23 A; a33
1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13 EA 0 1 0 a21 a22 a23 a21 a22 a23 A.
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为m行n列矩阵，简称mXn矩阵。记作
主对角线
a11 a12
A
a21
a22
副对角线 am1 am2
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2n xn
b1
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中 系数组成的矩阵A称为系数矩阵，
方程组中系数与常数组成的矩阵
a11 a21

复旦大学精品课程《线性代数》课件,齐次线性方程组课件复习精品资料

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若 Cm n = Am l Bl n ，即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量．
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ；
对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ；

线性代数(复旦大学出版社)第二章 矩阵

第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。

记做A=B。

3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。

纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组与矩阵课件复习资料


倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
简单介绍运算、代数系统、域等概念. 定义 2.2: 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示)定义为:
◦:F×F →F
其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运 算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 运算性质的定义:
如整数集 Z 上的普通加法、乘法, 构成代数系统 Z, + , Z, × , Z, +, × .
定义 2.5:
在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(用符号 “+” 和 “×” 表示), 这些运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则:
(1) 运算“+” 可结合. (2) 运算“+” 可交换. (3) F 中存在加法单位元 “0”. (4) ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法
称为数域F 上的m行n列的矩阵, 简称m × n矩阵, 其中 aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) 称为矩阵的第i行第j列的元素.
本课程中无特殊说明, F 取实数域R. 常用Rm×n 表示所有 m × n 矩阵的集合. 如 A ∈ Rm×n 表示 A是m × n实矩阵. 有时, 也用 [aij ]m×n 表示m × n矩阵, 其中 aij 表示矩阵中的元素.
x3
=
3,
(6).
将得到的x3的解(6), 回代到(2) 得 x2 = 16, 在将它们回代到(1), 得x1 =
29.
倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
从线性方程组谈起

线性代数 ch03_复旦大学(周勇)课件


定义1.5：设有m个n维向量：α1, α2, …, αm ， 对于任何一组实 数 c1, c2, …, cm ，表达式 c1α1 + c2α2 + … + cmαm
称为向量α1, α2, …, αm的一个线性组合． c1, c2, …, cm 称为这个线性组合的系数．
对于n维向量α，如果存在一组实数 1, 2, …, m ，使得 α = 1 α 1 + 2 α 2 + … + m α m
定理2.3：设向量组 ： α1, α2, …, αm线性无关， 而向量组 α1, α2, …, αm, β 线性相关，则向量 β 必能由向量组 A 线性ai1 , ai2 , , ain ，(i 1,2, , m), 可以
定义1.3：向量的数乘， (a1, a2 ,L , an )
运算规律：

O 1g ( )
( ) ( )
( ) O ( ) () ( )
若 α1, α2, …, αr 及 β1, β2, …, βs 为行向量时，线性表示的
系数矩阵
1 k11 k12 L k1s 1

2
L



k21 M
k22 M
L
k2s

M


2

L


r

kr1
kr 2
L
krs

行向量

(a1 , a2 ,L
, an )
，列向量


a2

M
an

第一节 - 复旦大学精品课程

第三章线性方程组引言11112211211222221122+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b •线性方程组的一般形式：简记为：1,(1,2,,)===∑nij j i j a x b i m •线性方程组的矩阵形式：=AX b 其中，,⨯⎡⎤=⎣⎦ij m n A a []12,,,,=Tn X x x x []12,,,=Tm b b b b A [,]=A A b ：系数矩阵：增广矩阵，与方程组一一对应3.1 消元法分析：用消元法解下列方程组的过程．求解线性方程组例123412341234241,2553,354152,++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩x x x x x x x x x x x x 123解(2)⨯-+(3)⨯-+1234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415(3)⨯-132(2)⨯-++11234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415+5+41234234241,31,00,++-=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩x x x x x x x 14+(2)⨯-+4(2)⨯-1134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 64134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 化简任意取定(未知自变量),得到方程组的通解：34,x x 1122123142131013=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩x t t x t t x t x t （其中为任意常数）1,t 2t 小结：消元法解线性方程组的常用变换（变换可逆，不会改变同解性）：1.互换两个方程位置（与相互替换）i j 2.以不等于零的数乘以某个方程3.某个方程加上另一个方程的k 倍（以替换）i k ⨯i （以替换）i k ⨯j i因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记12141[]25153354152-⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭B A b 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B (方程组唯一对应的增广矩阵）的变换．。

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Ei (c ) A − − − 表示A的第i 行乘c；
行； Eij (c ) A − − − 表示A的第i 行乘c加至第j
Eij A − 表示A的第i 行与第j 行 对换位置;
BEi (c ) − − − 表示B 的第i列乘c；
BEij (c ) − − − 表示B 的第j 列 乘 c加 至 第 i 列；
a11 a 21 M a n1 0 0 0 a 22 0 0 M O 0 a n 2 L a nn
性质:
A、B是同阶、同型的三角形矩阵 ⇒ kA, A+B, AB 仍是同阶同型三角形矩阵。 三角阵的逆矩阵为同型三角阵
对称矩阵
若aij = a ji ， 称A = (aij )是对称矩阵 若aij = − a ji ， 称A = (aij )是反对称矩阵 (aii = 0)
= BA
( 2)
AT = A
（4）若A可逆，则
A−1 = diag (ai−1 )
(3) | A |= a11a22 L ann
（5）若设 C = (α1 , α 2 , L , α n ) = (β1 , β 2 , L , β n )T , 则
a1β1 a β AC = 2 2 M a β n n
称为矩阵A的一个多项式。 分解*式
矩阵多项式的分解：
因 x 2 + 2 x − 8 = ( x − 2)( x + 4) 所以 A2 + 2 A − 8 I = ( A − 2 I )( A + 4 I )
三角矩阵
a11 0 M 0 a12 L a1n a 22 L a 2 n M M M 0 L a nn
= aB
单位阵
| A |= 1 → A = I
? A2 = I →A= I
?
1 1 反例： 反例： A = 1 2 1 1 2 2 反例： 反例： A = 1 1 − 2 2
2
( A + I ) ? A + 2 AI + I
2
2
等式成立
A2 − I 2 ? ( A + I )( A − I )
推广… …
例
设
1 0 0 A = 1 1 0 ，计算An 1 1 1
解法二
1 0 0 1 0 0 0 0 0 Q A = 1 1 0 = 0 1 0 + 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
练习：
求C 2
C 2 = CIC = C ( AB )C = (CA)( BC ) = I I = I
所以
A + B + C = 3I
2
2
2
矩阵多项式
例
设 A 是n阶方阵，
f ( x) = x + 2 x − 8
*
2
则
f ( A) = A 2 + 2 A − 8 I
(
f ( A) = A 2 + 2 A − 8 )
1 0 d c11 0 1 0 c21 0 0 1 c 31
b11 b21 b 31 b12 b22 b32
c12 c11 + dc31 c22 = c21 c32 c31
c12 + dc32 c22 c32
1 E ij ( c ) = 注意下标
O 1 O c 1 O
i j 1
将单位矩阵的第i行乘以c加到第j行得到；
.
（3）初等对换矩阵
E ij
1 =
O 1 0 M M M 1 L L L 1 O 1 L L L 1 M M M 0 1 O
n( n − 1) 2 B + nB + I 2
单位矩阵的妙用
例
设A、B、C为n阶方阵， 阶方阵，且 AB = BC = CA = I , 求A + B + C .
2 2 2
解
A2 = AIA = A( BC ) A= ( AB )(CA) = I I = I B 2 = BIB = B(CA) B = ( BC )( AB ) = I I = I
b13 b23 b33 b12 b22 b32
b13 1 0 0 b11 b23 0 0 1 = b21 0 1 0 b b33 31
.
据例1可知, 初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换 初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换 一般地有如下结论： 左乘--行变换; 右乘—列变换.
解
0 1 0 1 0 1 0 0 0 k = 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 c 0 0 1 c
0 1 0 k 0 0 0 0 0 0 0 1
.
( P1 P2 P3 )−1 = P3−1 P2−1 P1−1 1 0 1 1 0 1 0 = k 0 0 1 1 1 − c 0 0 1 0 1
0 0 0 B2 = 0 0 0 1 0 0
=I+B
0 0 1 An = n 1 0 n( n + 1) n 1 2
B3 = O
∴ An = ( I + B ) n = B n + L +
=
n( n − 1) 2 B + nB + I 2
列 对换位置; BEij − 表示B 的第i列与第j
.
四、初等矩阵的基本性质 （1）初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是初等矩阵。
Ei (c ) = c ≠ 0; Eij (c ) = 1 ≠ 0; Eij = −1 ≠ 0;
1 Ei ( ) Ei (c ) = I ; Eij ( − c ) Eij (c ) = I ; Eij Eij = I ; c
试求
P1 P2 P3 及( P1 P2 P3 )−1 .
0 0 P1 P2 P3 = 1 0 0 0 = 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 k . 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 c 0 0 1 1
故AB是对称阵。 是对称阵。
T “⇒” ∴ AB = ( AB ) Q AB是对称阵， 是对称阵，
＝B A = BA
T
T
设A与B为两个n 阶矩阵，A为反对称矩阵， B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵。
证
由已知条件得： 由已知条件得： AT = − A, BT = B
T T = ( AB ) − ( BA ) ( AB − BA )
1 0 0 0 c 0 0 a11 0 a 21 1 a 31 a12 a 22 a 32 L L L a1 n a11 a 2 n = ca 21 a3n a 31
a12 ca 22 a 32
L L L
a1 n ca 2 n a3n
初等矩阵
定义将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵 －－－有三种形式 (1) 初等倍乘矩阵
1 O 1 Ei (c ) = c i 1 O 1
将单位矩阵的第 i行（列）乘以非 零数c而得到；
.
（2）初等倍加矩阵
记为： 记为： A = diag (a11， a22， L ann )
1 0 0 0 0 2 0 0 不是对角阵 0 0 3 0
性质
（1）A,B为n阶对角阵，k为常数
⇒ kA, A + B , AB , BA仍为对角阵， 仍为对角阵，且 AB = BA.
a11 a11b11 b11 因 a b a b 22 22 22 22 = AB = O O O a b a b nn nn nn nn
1 Ei −1 ( c ) = Ei ( ); Eij −1 (c ) = Eij ( − c ); Eij −1 = Eij ; c
所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵. （2）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。 .
例2 设初等矩阵
0 0 P1 = 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 k , P = . , P2 = 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 c 0 0 1 1
CA = [a1α1
a2α 2 L an α n ]
（二）数量矩阵
性质：
a A=
a O a
对角元素相等；对角阵的 特别情形
a AB Βιβλιοθήκη ab11 ab12 L ab1l b11 b12 L b1l ab ab22 L ab2 l a b21 b22 L b2 l = 21 L L O LL ab ab L ab a n×n bn1 bn 2 L bnl n×l n1 n2 nl n×l
1 = 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 −c 1 1 0
i j 1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵 的乘积：
A = ( a ij ) 3 × n , C = ( c ij ) 3 × 2 , B = ( b ij ) 3 × 3