平面向量 概率

对口高考数学知识点全总结数学作为一门理科学科，在高中阶段的学习过程中占据着重要的地位。

对于即将参加对口高考的同学们来说，掌握数学知识点的全面总结尤为重要。

本文将对对口高考数学知识点进行全面梳理和总结，帮助同学们更好地备考。

一、函数与方程函数与方程作为高中数学的基础内容，是对口高考中数学知识的重点和难点。

其中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。

同学们需要熟练掌握这些函数的性质、图像特征以及相关的解题方法。

同时，方程的解法也是备考中的关键点，包括一元一次方程、一元二次方程、二次根式方程、不等式方程等等。

二、数列与数学归纳法数列作为高中数学的进阶内容，同样是对口高考数学考点之一。

数列的求和公式、常用数列的特征和性质都需要进行细致的学习和掌握。

特别要注意的是，对数学归纳法的理解和运用，数学归纳法是解决数列及其他数学问题的有效方法之一，同学们在备考过程中应该重点练习和掌握。

三、平面向量平面向量是对口高考中比较抽象和复杂的数学知识点之一。

同学们需要了解向量的定义、性质和运算法则，同时要能够熟练地进行向量的加减乘除运算。

掌握平面向量的知识对于解决几何等相关问题有很大的帮助，因此同学们需要在备考中进行充分的练习和应用。

四、立体几何与空间解析几何几何作为数学的一个重要分支，同样也是对口高考中的重点内容。

立体几何主要包括平面与空间的位置关系、角的性质和立体图形的刻画方法，同学们需要能够准确地判断和描述出立体图形的性质和特征。

空间解析几何则相对较为复杂，需要掌握空间的坐标表示方法及相应的运算法则，能够准确地解决空间几何问题。

五、概率与统计概率与统计作为高中数学中的重要应用分支，同样也是对口高考中的考点之一。

概率主要包括事件的概率计算、概率的性质以及条件概率等内容。

同学们需要熟练掌握这些概率计算方法，并能够灵活运用于实际问题的解决。

统计则是对实际数据进行整理和分析的方法，涉及到了频数、频率、统计图表等概念。

高二上学期数学教学重难点常见难点及解决方案2023年高二数学教学重难点 - 常见难点及解决方案数学作为一门基础科学，对于高中生来说是非常重要的一门学科。

在高中数学学习过程中，常见的难点不在少数。

下面将分别介绍高二数学上学期的常见难点及解决方案。

一、平面向量平面向量是高二上数学中的一个重点，平面向量的引入可以理解为是对数学中“长、宽、高”三个维度的扩展，方便数学家探讨平面内的问题。

而平面向量的难点主要在于向量的加减法和平衡向量的求解方法。

解决方案：对于向量的加减法，可以采用画图法，直观感受向量的加减；而对于平衡向量的求解，可以采用平衡点法，将平衡点作为求解向量的起点，往后推导出每一个向量的值，从而求得平衡向量。

二、函数的极限函数的极限是高中数学的重难点，也是高二上数学的必考点之一。

在解决函数的极限时，需要先掌握函数极限的定义和一些常用极限值的计算方法。

解决方案：对于函数极限的定义，可以采用“夹逼定理”、“插值定理”等方法来求解；而对于常用极限值的计算方法，可以采用“洛必达法则”、“无穷小代换法”等方法来简化计算步骤，从而提高求解效率。

三、三角函数三角函数是高二上学期的难点之一，涉及到三角函数的定义、性质以及其应用。

其中最常见的难点是三角函数的简化和求解三角方程。

解决方案：对于三角函数的简化，需要深入理解三角函数的定义和性质，将其转化为简单的三角函数，如正弦、余弦等。

而对于求解三角方程，可以采用三角函数的周期性和对称性来进行转化，利用三角函数的基本公式进行变形，简化计算步骤。

四、概率统计概率统计是高中数学的应用部分，其重难点主要在于概率的理解和概率问题的求解。

在解决概率问题时，需要具备一定的数学基础和概率思维。

解决方案：对于概率问题的求解，可以采用“全概率公式”、“贝叶斯公式”等方法进行计算，详细分析概率事件之间的关系；而在应用概率统计时，需要具备较强的数据分析和预测能力，可以采用数据可视化工具进行数据分析和可视化展示，提高问题求解的效率。

平面向量、概率、统计、计数原理题型01 平面向量题型02 概率题型03 统计题型04 计数原理题型01 平面向量1.(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知单位向量a ,b 满足a ⊥a -2b ，则a ,b=()A.2π3B.π3C.π4D.π6【答案】B【分析】由向量垂直得到方程，求出a ⋅b =12，再利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】由a ⊥a -2b 得a ⋅a -2b =|a |2-2a ⋅b=0，又a ,b为单位向量，∴a ⋅b =12，∴cos a ,b =a ⋅b a b=12，又a ,b ∈[0,π]，∴a ,b =π3.故选：B .2.(2024·重庆·统考一模)已知向量a ,b 满足a =2,b =3,a -2b =5，则a ⋅b =．【答案】154【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由a -2b =5，得a 2+4b 2-4a ⋅b =25，而a=2,b =3，则4+4×9-4a ·b =25，所以a ⋅b =154.故答案为：1543.(2024·福建厦门·统考一模)已知a ，b 为单位向量，若|a +b |=|a -b |，则a +b 与a -b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4【答案】B【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求(a +b )⋅(a -b )即可判断夹角大小.【详解】由题意(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2=0，则a +b 与a -b 的夹角为π2.故选：B4.(2024·云南曲靖·统考一模)若向量a =4,0 ，b =1,3 ，则向量a 在向量b 上的投影向量坐标为．【答案】1,3【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.【详解】因为a=4,0 ，b =1,3 ，所以a ⋅b=4+0=4,b =1+3=2，所以向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为a ⋅b b ⋅b b =42×b 2=b =1,3 .故答案为：1,3 .5.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若a +b =a -b ,a=1,2 ,b =m ,3 ，则实数m =()A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【分析】将a +b =a -b 两边平方，结合数量积的运算律求出a ⋅b ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a +b =a -b ，所以a +b 2=a -b 2，即a 2+b 2+2a ⋅b =a 2+b 2-2a ⋅b ，所以a ⋅b =0，即m +6=0，解得m =-6.故选：B .6.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知向量a=(1，2)，b =(1，-3)，则()A.a ⎳(a +b )B.a ⎳(a -b )C.a ⊥(a -b )D.a ⊥(a +b )【答案】D【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.【详解】解：因为a=(1，2)，b =(1，-3)，所以a +b =(2，-1),a -b =(0,5)，则a ⋅a +b =1×2-2×1=0,a ⋅a -b=1×0+2×5=10，得a ⊥a +b .故选：D7.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知向量a =1,m ,b =3,-1 ．若2a -b ⎳a+2b ，则实数m 的值为．【答案】-13【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.【详解】因为a =(1,m ),b =(3,-1)，所以2a -b =(-1,2m +1),a+2b =(7,m -2).又(2a -b )⎳(a +2b )，所以-(m -2)-7(2m +1)=0，解得m =-13.故答案为：-13.8.(2024·山西晋城·统考一模)已知两个单位向量a ，b 的夹角为70°，则-a 与a +b的夹角为．【答案】145°【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.【详解】设a =OA ，b =OB ，a -b =OC ，因为a ，b均为单位向量，所以四边形OACB 为菱形，且OC 平分∠AOB ，所以a 与a +b 的夹角为70°÷2=35°，则-a 与a +b 的夹角为180°-35°=145°．故答案为：145°9.(2024·河北·校联考一模)已知单位向量a ,b 满足2a +b =3，则a -b =.【答案】3【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得a ⋅b =-12，再由运算律求a -b 即可.【详解】因为2a +b =3，所以4a 2+4a ⋅b +b 2=3，所以a ⋅b =-12，则(a -b )2=a 2-2a ⋅b +b 2=3，故a -b = 3.故答案为：310.(2024·广东深圳·校考一模)已知向量a =1,m ，b =3,-2 ，且(a +b )⊥b ，则m =A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a +b 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵a =(1,m ),b =(3,-2),∴a +b =(4,m -2)，又(a +b)⊥b ，∴3×4+(-2)×(m -2)=0，解得m =8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．11.(2024·浙江·校联考一模)已知平面向量a ,b 满足：b =2a =2,a 与b 的夹角为120°，若λa +b ⊥a -bλ∈R ，则λ=()A.0 B.1C.32D.52【答案】D【分析】先计算平面向量a ,b 的数量积，再利用λa +b ⋅a -b=0，列式解得即可.【详解】由题意，得a ⋅b =a ⋅b cos120°=1×2×-12=-1，由λa +b ⊥a -b ，得λa +b ⋅a -b =0，即λa 2+1-λ a ⋅b -b 2=0，∴ λ-1-λ -4=0，解得λ=52.故选：D12.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知向量a ,b 满足a =1,b =t ,2-t ,a -b 与a 垂直，则a -b的最小值为()A.2B.22C.1D.3【答案】C【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出a ⋅b ，求a -b，利用平方法转化为数量积进行计算．【详解】由a -b 与a 垂直，得a -b ⋅a =0，则a ⋅b =a 2=1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=12-2×1+t 2+(2-t )2=2(t -1)2+1≥1，所以当t =1时，a -b的最小值为1．故选：C题型02 概率13.(2024·广东深圳·校考一模)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】A【分析】根据x 的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.【详解】当x =1,2,3时，这6个点数的中位数为3，当x =4时，这6个点数的中位数为4，当x =5,6时，这6个点数的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：P =16.故选：A .14.(2024·辽宁沈阳·统考一模)下图是离散型随机变量X 的概率分布直观图，其中3a =5b ,2b =3c ，则()A.a =0.5B.E X =2.3C.D X =0.61D.D 2X =1.22【答案】ABC【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出a ,b ,c ，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.【详解】由题知a +b +c =1,3a =5b ,2b =3c ,解得a =0.5,b =0.3,c =0.2，A 选项正确；所以E X =1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3，B 选项正确；D X =(1-2.3)2×0.2+(2-2.3)2×0.3+(3-2.3)2×0.5=0.61，C 选项正确；D 2X =22⋅D x =2.44，D 选项错误.故选：ABC .15.(2024·重庆·统考一模)已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X (单位：小时)，且X ∼N 5.5,σ2 ，P (x >6)=0.2．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为()A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得P (x >5.5)=0.5，则P (5.5<x <6)=0.5-0.2=0.3，则P (5<x <6)=0.3×2=0.6，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C 230.62×0.4+C 330.63=0.648,故选：B .16.(2024·河北·校联考一模)在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()A.19B.49C.13D.827【答案】B【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种；每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C 24A 33=36种；由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：3681=49.故选：B .17.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A 1，A 2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()A.A 1，A 2互斥 B.P B A 1 =57C.P A 2B =17D.P B =1321【答案】C【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次只取一球，故A 1，A 2是互斥的事件，故A 正确；由题意得P A 1 =13，P A 2 =23，P B A 1 =57，P B A 2 =47，P B =P A 1B +P A 2B =13×57+23×47=1321，故B ，D 均正确；因为P A 2B =23×47=821，故C 错误.故选：C .18.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p 0<p <1 ，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X ，则4D X -32E X的最大值为．【答案】2-23/-23+2【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.【详解】由题意可知，X 服从两点分布，可得E X =p ，0<p <1，D X =1-pp，则4D X -32E X=4p1-p-32p=2-2p-32p=2-2p+32p≤2-22p⋅32p=2-23，当且仅当2p=32p，即p=32时，等号成立，故4D X -32E X最大值为2-23．故答案为：2-2 3.19.(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)某饮料厂生产A,B两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60%，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为()A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32【答案】C【分析】由全概率公式计算即可得.【详解】由题意，选到非碳酸饮料的概率为40%×1-20%+60%×1-80%=0.44.故选：C.20.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)关于下列命题中，说法正确的是()A.已知X∼B n,p，若E X =30，D X =20，则p=2 3B.数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78C.已知ξ∼N0,1，若Pξ>1=p，则P-1≤ξ≤0=12-pD.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得p=13，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.【详解】对于A，∵X∼B n,p，∴E X =np=30D X =np1-p=20，∴1-p=23，解得：p=13，A错误；对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%=4.5，∴45%分位数为第5个数，即78，B正确；对于C，∵ξ∼N0,1，∴P-1≤ξ≤0=121-Pξ>1-Pξ<-1=121-2Pξ>1=12-p，C正确；对于D，∵抽样比为20400=120，∴高二应抽取360×120=18人，则高三应抽取57-20-18=19人，D正确.故选：BCD.21.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；(2)若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望.【答案】(1)5823125；(2)分布列答案见解析，数学期望：1966625.【分析】(1)比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；(2)分析可知X 的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X 的分布列和E X .【详解】解：(1)比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为P 1=C 45×35 4×25 ×35=4863125，恰好打了6局，乙获胜的概率为P 2=C 15×35 1×25 4×25=963125，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P =P 1+P 2=4863125+963125=5823125.(2)X 的可能取值为2，3，4，5，P X =2 =35 2=925，P X =3 =C 12×25×35×35=36125，P X =4 =C 13×35×25 2×35+25 4=124625，P X =5 =C 14×35×25 3×35+C 34×25 3×35×25=96625.所以X 的分布列如下：X2345P9253612512462596625故E X =2×925+3×36125+4×124625+5×96625=1966625.22.(2024·广东深圳·校考一模)某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X ，求X 的分布列和期望．【答案】(1)415；(2)分布列见解析，193.【分析】(1)利用古典概率公式即求；(2)由题可知X 的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.【详解】(1)从这6人中随机选出2人，共有C 26=15种选法，其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C 23+C 22=4种．，故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为415．(2)由题可知，X 的可能取值分别为5，6，7，8，P X =5 =C 13C 26=15，P X =6 =C 23+C 12C 26=13，P X =7 =C 13C 12C 26=25，P X =8 =C 22C 26=115．故X 的分布列为：X 5678P151325115∴E X =5×15+6×13+7×25+8×115=193．23.(2024·辽宁沈阳·统考一模)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【分析】(1)利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；(2)利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【详解】(1)解：设事件M :用户选择甲公司的网约车出行，事件A :用户对等待时间满意，事件B :用户对乘车舒适度满意，事件C :用户对乘车费用满意.则P A =P M P A M +P M P A M=0.32×0.62+0.68×0.78=0.7288，P B =P M P B M +P M P B M=0.32×0.68+0.68×0.61=0.6324，P C =P M P C M +P M P C M=0.32×0.21+0.68×0.32=0.2848所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.(2)解：由题知，P M B =P MB P B=0.32×0.680.6324=5441581，P M B =P M B P B=0.68×0.610.6324=10371581，所以，P M B <P MB ，故该用户选择乙公司出行的概率更大.24.(2024·云南曲靖·统考一模)2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用2n -1局n 胜制n ∈N * 的比赛规则，即先赢下n 局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为1-p ，比赛结束时，甲最终获胜的概率P n ．(1)若p =12,n =2，结束比赛时，比赛的局数为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即P 3>P 2，求p 的取值范围．【答案】(1)分布列见解析，期望为52；(2)12<p <1.【分析】(1)先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；(2)先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.【详解】(1)p =12,n =2，即采用3局2胜制，X 所有可能值为2,3，P (X =2)=12 2+12 2=12，P (X =3)=C 1212 212 +C 1212 12 2=12，X 的分布列如下，X23P1212所以E (X )=2×12+3×12=52.(2)采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用ξ表示3局比赛中甲胜的局数，则ξ∼B (3,p )，甲最终获胜的概率为P 2=P ξ=2 +P ξ=3 =C 23p 21-p +C 33p 3=p 23-2p ，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用η表示5局比赛中甲胜的局数，则η∼B (5,p )，甲最终获胜的概率为P 3=P ξ=3 +P ξ=4 +P ξ=5 =C 35p 31-p 2+C 45p 41-p +C 55p5=p 3[10(1-p )2+5p (1-p )+p 2]=p 3(6p 2-15p +10)，则P 3-P 2=p 36p 2-15p +10 -p 23-2p =3p 2(2p 3-5p 2+4p -1)=3p 2(p -1)(2p 2-3p +1)=3p 2(p -1)2(2p -1)>0，得12<p <1.25.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)一只LED 灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.(1)求第4次闪光为红光的概率；(2)求第n 次闪光为红光的概率.【答案】(1)316(2)45⋅-14 n -1+15【分析】(1)由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.(2)由全概率公式得递推f (n )=14-14f (n -1)式，构造等比数列f (n )-15 即可求解.【详解】(1)由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，所以P =12×34×14+12×34×14=316.(2)设事件A n 表示“第n 次闪光为红光”，事件B n 表示“第n 次闪光为黄光”，事件C n 表示“第n 次闪光为蓝光”，且P A n =f (n )，P B n =g (n )，则P C n =1-f (n )-g (n )，由题意知f (1)=P A 1 =1，当n ≥2时，P A n =P B n -1 P A n B n -1 +P C n -1 P A n C n -1 ，即f (n )=14g (n -1)+14[1-f (n -1)-g (n -1)]，整理得f (n )=14-14f (n -1)，所以f (n )-15=-14f (n -1)-15 ，所以f (n )-15 是以f (1)-15=45为首项，-14为公比的等比数列，所以f (n )-15=45⋅-14n -1，故P A n =f (n )=45⋅-14 n -1+15，即第n 次闪红光的概率为45⋅-14n -1+15.26.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙不相互独立D.丙与丁不相互独立【答案】BCD【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8，有2,6 ,3,5 ,4,4 ,5,3 ,6,2 共5种情况，所以P 丙 =56×6=536；两次取出的球的数字之和为7，有1,6 ,2,5 ,3,4 ,4,3 ,5,2 ,6,1 共6种情况，所以P 丁 =66×6=16；P 甲 =P 乙 =16；对于A ，P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙)，故甲与丙不相互独立，错误；对于B ，P (甲丁)=136=P (甲)P (丁)，故甲与丁相互独立，正确；对于C ，P (乙丙)=136≠P (乙)P (丙)，故乙与丙不相互独立，正确；对于D ，P (丙丁)=0≠P (丁)P (丙)，故丙与丁不相互独立，正确.故选：BCD .27.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)在工业生产中轴承的直径服从N 3.0,0.0025 ，购买者要求直径为3.0±ε，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为；(若X ~N μ,σ2 ，则P X -μ <2σ =0.9545)【答案】0.1/110【分析】依题意得μ=3.0，σ2=0.0025，则σ=0.05，由P X -3.0 <0.1 =0.9545，得P X -3.0 ≥0.1 =1-0.9545=0.0455，即可求解.【详解】若X ~N μ,σ2 ，则P X -μ <2σ =0.9545)因为工业生产中轴承的直径服从N (3.0，0.0025)，所以μ=3.0，σ2=0.0025，则σ=0.05，由P X -3.0 <0.1 =0.9545，得P X -3.0 ≥0.1 =1-0.9545=0.0455，则要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为0.1.故答案为：0.1##11028.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)高一(1)班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为()A.1384B.34C.38D.116【答案】D【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有A88种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有C28C26C24C22A44种分法，4组人有A44种站法，故所求概率P=C28C26C24C22A44⋅A44A88=116.故选：D.29.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为12，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为()A.14B.732C.316D.532【答案】D【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则P1=C23C25×122=340；若两个题目中一个有思路一个没有思路，则P2=C12C13C25×12×14=340；若两个题目都没有思路，则P1=C22C25×142=1160；故P A=P1+P2+P3=340+340+1160=532.故选：D.30.(2024·山西晋城·统考一模)某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：果籽数量1234水果数100504010(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：果籽数量1234价格/元201286以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)2.5，1.8(2)分布列见解析，1665【分析】(1)由题意计算出200×75100=150对应的果籽数量为2，即得第75百分位数为2+32=2.5；(2)先求得果籽数量为1,2,3,4对应的概率，依题要求至少有1个的果籽数量为1的前提下这2个果实的售价之和X ，属于条件概率，而至少有1个的果籽数量为1的概率为1-1-12 2=34，则可对X 的四个可能值40，32，28，26分别利用条件概率公式求得概率，写出分布列即得期望.【详解】(1)将这200个果实的果籽数量从少到多排列，因为200×75100=150，对应的果籽数量为2，故这200个果实的果籽数量的第75百分位数为2+32=2.5．这200个果实的果籽数量的平均数为1×100+2×50+3×40+4×10200=1.8．(2)依题意可得果籽数量为1，2，3，4对应的概率分别为12，14，15，120．被选的2个成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为1-1-12 2=34．X 的可能取值为40，32，28，26，P (X =40)=12×1234=13，P (X =32)=2×12×1434=13，P (X =28)=2×12×1534=415，P (X =26)=2×12×12034=115，则X 的分布列为X40322826P1313415115E (X )=40×13+32×13+28×415+26×115=1665．31.(2024·山西晋城·统考一模)某羽毛球超市销售4种品牌(品牌A ，B ，C ，D )的羽毛球，该超市品牌A ，B ，C ，D 的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A ，B ，C ，D 的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为(填入A ，B ，C ，D 中的1个)．【答案】D【分析】先确定不是品牌B ，再利用全概率公式分别计算不买ACD 品牌的概率即可求解.【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有0.9>0.8，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B ．若他不买品牌A 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.9×33+2+3+0.7×23+2+3+0.6×33+2+3=5.98=0.7375．若他不买品牌C 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×44+3+3+0.9×34+3+3+0.6×34+3+3=7.710=0.77．若他不买品牌D 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×44+3+2+0.9×34+3+2+0.7×24+3+2=7.39≈0.81．故答案为：D32.(2024·河北·校联考一模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p (0<p <1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，X 的数学期望为E X ．(1)证明：E X <1p；(2)某公司意向投资该产品，若p =0.2，每次试验的成本为a (a >0)元，若试验成功则获利8a 元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析【分析】(1)由题意，X =1,2,3,...,8，P (X =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,⋯,7,P (X =8)=(1-p )7，列出分布列，列出E (X )，乘公比错位相减法求和S =(1-p )0+2(1-p )1+3(1-p )2+⋯+7(1-p )6，分析可证明E X <1p；(2)由(1)可得E (X )<1p =5，分析即得解【详解】(1)由题意，X =1,2,3,...,8故P (X =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,⋯,7,P (X =8)=(1-p )7分布列如下：X12345678Ppp (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1-p )4p (1-p )5p (1-p )6(1-p )7所以X 的数学期望E (X )=p (1-p )0+2p (1-p )1+3p (1-p )2+⋯+7p (1-p )6+8(1-p )7，记S =(1-p )0+2(1-p )1+3(1-p )2+⋯+7(1-p )6，(1-p )S =(1-p )1+2(1-p )2+3(1-p )3+⋯+7(1-p )7，作差可得，pS =1-p 0+1-p 1+1-p 2+⋯+1-p 6-71-p 7=1-1-p 7p-71-p 7，则E (X )=pS +8(1-p )7=1-(1-p )7p +(1-p )7=1-(1-p )8p <1p；(2)由(1)可知E (X )<1p=5，则试验成本的期望小于5a 元，试验成功则获利8a 元，且8a >5a ，则该公司应该投资该产品33.(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m 个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为1591.(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)1419(2)分布列见解析，127【分析】(1)根据题意可知共有m +6 个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出m ，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；(2)先写出随机变量ξ的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】(1)由题意知共有m+6个团队，一次抽取2个团队的情况有C2m+6种，其中全是私家游团队的情况有C26种，故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是C26C2m+6=30m+6m+5=1591，整理得m2+11m-152=0，解得m=8或m=-19(舍去)，若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有C36=20种情况，若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有C38=56种情况，所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率为5620+56=1419；(2)由题意知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，Pξ=0=C48C414=701001=10143，Pξ=1=C16C38C414=3361001=48143，Pξ=2=C26C28C414=4201001=60143，Pξ=3=C36C18C414=1601001，Pξ=4=C46C414=151001，故ξ的分布列为ξ01234P 1014348143601431601001151001数学期望Eξ =0×10143+1×48143+2×60143+3×1601001+4×151001=127.34.(2024·吉林延边·统考一模)“斯诺克(Snoo ker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球⋯⋯)，没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为13，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为12，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为ξ，写出随机变量ξ的分布列并求其数学期望E(ξ).【答案】(1)5 36；(2)分布列见解析，数学期望为4912.【分析】(1)设出事件，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式进行计算；(2)求出随机变量ξ的可能取值及相应的概率，从而求出分布列和数学期望.【详解】(1)记第i局甲赢为事件A i，乙赢为事件B i，则P(A)=P A1A2B3A4+P A1B2A3A4+P B1A2A3A4=13×12×23×12+13×12×13×12+23×12×13×12=5 36(2)由题意知ξ的取值为3，4，5.P ξ=3 =P A 1A 2A 3 +P B 1B 2B 3=13×12×13+23×12×23=518P ξ=4 =P A 1A 2B 3A 4 +P A 1B 2A 3A 4 +P B 1A 2A 3A 4 +P B 1B 2A 3B 4 +P B 1A 2B 3B 4 +P A 1B 2B 3B 4=536+23×12×13×12+23×12×23×12+13×12×23×12=536+836=1336P ξ=5 =1-518-1336=1336由题意得，随机变量ξ的分布列如下：ξ345P51813361336数学期望E ξ =3×518+4×1336+5×1336=14736=4912.35.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P 1；第1次摸到红球的概率为P 2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P 3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P 4.求P 1,P 2,P 3,P 4；(3)对于事件A ,B ,C ，当P AB >0时，写出P A ,P B ∣A ,P C ∣AB ,P ABC 的等量关系式，并加以证明.【答案】(1)710(2)详见解析(3)详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可；(2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；(3)根据(2)猜想P ABC =P A P B A P C AB ，由条件概率公式证明即可.【详解】(1)记事件“第i 次摸到红球”为A i i =1,2,3,⋯,10 ，则第2次摸到红球的事件为A 2，于是由全概率公式，得P A 2 =P A 1 P A 2|A 1 +P A 1 P A 2|A 1 =710×23+310×79=710.(2)由已知得P 1=P A 1A 2A 3 =A 37A 310=724，P 2=P A 1 =710，P 3=P A 2|A 1 =P A 1A 2 P A 1 =A 27A 210×107=715×107=23，P 4=P A 3|A 1A 2 =P A 1A 2A 3 P A 1A 2 =724×157=58.(3)由(2)可得P 1=P 2P 3P 4，即P A 1A 2A 3 =P A 1 P A 2|A 1 P A 3|A 1A 2 ，可猜想：P ABC =P A P B A P C AB ,证明如下：由条件概率及P (A )>0,P (AB )>0，得P B |A =P AB P A ，P C |AB =P ABCP AB，所以P (A )P B A )P (C AB =P A ⋅P AB P A ⋅P ABCP AB =P ABC .36.(2024·福建厦门·统考一模)已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a ,b ,c ,d 将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为n 1，n 2，设随机变量X =n 1-n 2 ，求E (X )．【答案】(1)215；(2)3835.【分析】(1)由题意，a ,b ,c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率；(2)根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】(1)a ,b ,c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为P (A )=12；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为P (B |A )=25；当a ,b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为P (C |AB )=13；所以P (AB )=P (A )P (B |A )=12×25=15，则P (ABC )=P (AB )P C |AB )=15×13=115，同理知：新增登山爱好者a ,b ,c 均被分至乙队的概率也为115，所以a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率为215.(2)由题设，X 可能取值为4,2,0，X =4为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则P (X =4)=2×2×2×2×24×5×6×7=4105，X =2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第k (k =1,2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则P 1=P (k =1)=2×2×3×3×34×5×6×7=970，P 2=P (k =2)=2×2×3×3×34×5×6×7=970，P 3=P (k =3)=2×2×2×4×34×5×6×7=435，P 4=P (k =4)=2×2×2×2×54×5×6×7=221，所以P (X =2)=P 1+P 2+P 3+P 4=715，X =0为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则P (X =0)=1-P (X =2)-P (X =4)=。

高二数学选修1知识点总结高二数学选修1是数学领域中的一门选修课程，旨在帮助学生深入了解数学的相关概念、方法和技巧。

在这门课程中，学生将学习各种各样的数学知识点，为进一步的学习和应用打下坚实的基础。

本文将对高二数学选修1中的重要知识点进行总结，以帮助学生梳理知识结构和加深对各个知识点的理解。

一、平面向量平面向量是高二数学选修1中的一个重要概念。

向量具有大小和方向两个特征，可以用有大小有方向的箭头表示。

平面向量有加法、减法和数量乘法三种运算，可以进行向量的线性组合和数乘运算。

1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示方法（方向角、方向余弦）或分量表示方法（a、b、c表示）来表示。

2. 向量的运算：向量的加法和减法可以通过坐标或分量的相应运算法则进行计算。

向量的数量乘法即将向量的每个分量与一个实数相乘。

3. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。

单位向量是模为1的向量，可以通过将向量除以其模得到。

4. 点积和叉积：向量的点积表示两个向量的数量乘积再相加，可以用于计算两个向量的夹角。

向量的叉积表示两个向量垂直的向量，可以用于计算平行四边形的面积和向量的方向。

二、立体几何立体几何是高二数学选修1中的另一个重要内容，主要涉及到空间中的图形、体积和表面积的计算。

1. 空间几何体：空间几何体包括点、线、面以及由它们组成的各种立体图形。

常见的空间几何体有球体、立方体、棱锥、棱台等。

2. 空间坐标系：空间坐标系是用来描述空间中点的位置的一种方法，常见的空间坐标系有直角坐标系和柱坐标系。

3. 空间几何体的体积和表面积：不同的空间几何体有不同的计算方法来求解其体积和表面积。

例如，球体的体积和表面积可以通过相应的公式来计算。

三、函数与导数函数与导数是高二数学选修1中的另一个重要模块，旨在帮助学生理解函数的性质和变化规律。

1. 函数的定义和性质：函数是一种映射关系，可以将自变量的取值域映射到因变量的值域。

数学高一上各章知识点梳理高一上学期的数学课程主要包括数与式、函数与方程、平面向量、几何与变换这四个章节。

下面将对这四个章节的知识点进行梳理和总结。

一、数与式1. 实数与有理数：- 实数的分类和性质，有理数的概念和性质。

2. 幂与根：- 幂的运算法则，指数幂的乘法与除法，根式的概念和性质。

3. 整式与分式：- 整式的加减乘除运算，多项式的因式分解，分式的概念和性质。

4. 一元二次方程：- 一元二次方程的概念和性质，一元二次方程的解法及其应用。

二、函数与方程1. 函数的概念：- 定义域、值域、对应关系、函数的表示与性质。

2. 一次函数与二次函数：- 一次函数的概念和性质，二次函数的概念、图像和性质。

3. 不等式与线性规划：- 不等式的解集，线性规划的概念和解法。

4. 概率与统计：- 随机事件的概念和性质，概率的计算与性质，统计的基本概念和方法。

三、平面向量1. 向量的概念与表示：- 向量的定义和性质，向量的表示方法。

2. 向量的运算：- 向量的加法、减法，数量积与向量积的概念与计算。

3. 线性相关与线性无关：- 向量的线性相关与线性无关的概念和判定方法。

4. 平面解析几何：- 平面上的点的坐标表示，直线的方程表示，圆的方程表示。

四、几何与变换1. 平面向量的应用：- 向量共线与垂直的判定，向量的几何应用。

2. 直线与圆：- 直线的性质和方程，圆的性质和方程。

3. 三角函数与解三角形：- 三角函数的定义和性质，三角形的解法和性质。

4. 变换与坐标系：- 平移、旋转、对称等变换的定义和性质，坐标系的建立和应用。

通过对以上各章知识点的梳理，我们可以清晰地了解高一上学期数学的内容与重点。

这四个章节涵盖了数与式、函数与方程、平面向量、几何与变换的基本概念、性质和解题方法。

在学习这些知识点时，应注重理论与实践的结合，加强练习和应用，从而提高数学的应用能力和解题能力。

职高高二上册数学知识点职高高二上册数学知识点主要包括数列、函数与图像、平面向量、概率与统计等内容。

以下将分别对这些知识点进行详细介绍。

一、数列数列是指按照一定规律排列的一组数，其中包括等差数列和等比数列两种常见形式。

等差数列是指相邻两项之差相等的数列，常用的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。

等比数列是指相邻两项之比相等的数列，常用的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。

二、函数与图像函数是一种特殊的关系，将一个自变量的值与一个因变量的值对应起来。

函数的表示通常用y=f(x)来表示，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数关系。

函数的图像是指将函数关系用图形表示出来，常见的函数图像包括直线、抛物线、指数函数、对数函数等。

三、平面向量平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

平面向量的加法和减法符合平行四边形法则，即将向量首尾相连形成的平行四边形的对角线即为两个向量的和或差。

平面向量的数量积满足交换律和分配率，可以通过向量的模长与夹角的余弦值相乘得到。

四、概率与统计概率是描述随机事件发生可能性的数量化指标，用0到1之间的实数表示。

概率的计算包括经典概型、几何概型和统计概型三种方法，常用的计算方法包括排列组合、加法原理、乘法原理等。

统计是根据收集到的数据对总体进行推断和判断，包括描述统计和推断统计两个方面。

常用的统计方法包括数据的收集、整理、分析和展示等。

以上就是职高高二上册数学知识点的简要介绍。

通过学习这些知识点，可以帮助我们更好地理解数学的基础概念和方法，提高数学问题的解决能力。

希望同学们能够认真学习，勤于练习，掌握好这些数学知识点，为今后的学习打下扎实的基础。

高三数学九大模块的知识点高三数学可以说是中学阶段数学学习的最后一站，也是最为关键的一站。

在高三数学中，学生需要掌握并运用九大模块的知识点。

这九大模块包括代数与函数、立体几何、平面向量、数列与数学归纳法、解析几何、概率统计、三角函数、导数与微分以及积分与定积分。

代数与函数这一模块是数学学习的基础，也是高三数学的基石。

学生需要掌握代数式的化简、方程与不等式的解法、函数的性质以及函数图像的绘制等知识点。

此外，学生还需要熟练掌握函数的运算、反函数、函数的相交以及函数的最值等重要概念和技巧。

立体几何是高三数学中的一大重点。

学生需要了解各种几何体的性质，如球、圆锥、圆柱、圆台等，并能运用这些性质解决相关的问题。

此外，学生还需要掌握立体几何中的投影、截面、体积与表面积的计算。

平面向量是高三数学中的一门重要课程。

学生需要学习向量的定义、运算和性质，并能灵活运用向量解决几何问题。

此外，学生还需要掌握向量的共线、垂直以及平行等重要概念，能够准确判断和计算向量之间的关系。

数列与数学归纳法是高三数学中的一项基本内容。

学生需要了解等差数列、等比数列以及等差数列与等比数列的应用，并能够应用数列的性质解决相关问题。

此外，学生还需要熟练运用数学归纳法，能够用归纳的方法证明数学命题的正确性。

解析几何是高三数学中的一门重要课程。

学生需要学习平面坐标系、直线的方程以及圆的方程，并能够应用这些知识解决几何问题。

此外，学生还需要学习曲线的方程以及相关的性质，并能够运用曲线的性质解决相关问题。

概率统计是高三数学中的一门实用课程。

学生需要学习概率的定义与性质，掌握计算概率的方法，并能够应用概率解决实际问题。

此外，学生还需要学习统计的方法和技巧，能够进行数据的整理、分析和解读。

三角函数是高三数学中的一门基础课程。

学生需要学习三角函数的定义、性质以及图像，并能够根据图像解决相关问题。

此外，学生还需要学习三角方程、三角不等式以及三角函数的应用，能够灵活运用这些知识解决相关问题。

上海高考数学必修三知识点上海高考中，数学必修三是考生们必须要掌握的一个重要知识点。

本文将围绕这一知识点展开讲解，帮助考生们更好地理解和掌握相关的数学知识。

下面将分为几个方面进行具体介绍。

一、平面向量平面向量是必修三中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

平面向量包括向量的定义、向量的加减、数量积和向量积等。

在解题过程中，要善于将实际问题转化为向量的运算，运用向量的性质和定理进行分析和求解，这对于解决几何问题和物理问题都具有非常重要的意义。

二、三角函数三角函数是数学中的基础知识，而在必修三中，对于三角函数的学习更加深入和系统。

包括正弦、余弦、正切等三角函数的概念、基本性质和图像特征等。

在解题过程中，要熟练掌握三角函数的计算公式和一些基本的三角恒等式，灵活运用三角函数的知识解决实际问题，提高解题效率。

三、导数与微分导数与微分是必修三中的又一个重要知识点。

导数的概念、性质和计算方法都需要考生掌握。

在解题过程中，要灵活运用导数的定义、性质和运算法则进行求解，特别要注意导数在几何和物理问题中的应用，如切线、法线、极值等。

另外，对于微分的概念和方法也要进行深入的学习和理解，能够熟练地运用微分求解各类相关问题。

四、概率与统计概率与统计是必修三中的最后一个知识点。

概率与统计是数学中的实用学科，它与现实生活中的数据处理和决策密切相关。

在概率与统计的学习中，要理解和掌握一些基本概念、计算方法和统计图表的解读与分析。

在解题过程中，要善于使用概率和统计的方法对实际问题进行分析和解决，培养良好的数据处理能力和统计思维。

总结：上海高考数学必修三的知识点涵盖了平面向量、三角函数、导数与微分以及概率与统计，这些知识点在解题过程中起着非常重要的作用。

通过对这些知识点的深入学习和理解，考生们将能够更好地应对高考数学试题，并取得优秀的成绩。

希望本文的介绍能够对考生们在备考过程中有所帮助，祝愿大家在高考中取得好成绩！。

高二数学上下册知识点总结高二是学习数学的重要阶段，上下学期的内容涵盖了多个数学知识点，包括函数、三角函数、平面向量、立体几何等。

下面是对高二数学上下册的知识点进行总结。

一、函数函数是高中数学的基础，也是高二数学的核心内容之一。

高二上学期主要涉及函数的定义、性质以及常见函数的图像与性态。

下学期进一步深入学习了函数的极限与连续性、导数与微分以及反函数等内容。

二、三角函数三角函数是高中数学的重要分支之一，高二数学上学期主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的性质与图像。

下学期进一步学习了三角函数的诱导公式、三角函数的和差化积与积化和差等内容，并结合应用题进行练习。

三、平面向量平面向量是高中数学的重要工具，高二数学上学期主要学习了平面向量的定义、性质以及平面向量的数量积、向量积等基本运算。

下学期进一步学习了平面向量的坐标表示、几何运算以及向量的夹角等内容，并应用于平面几何问题。

四、立体几何立体几何是高中数学的一大难点，高二数学上学期主要学习了空间几何体的性质、相交关系以及立体几何的投影等内容。

下学期进一步学习了直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间几何体的相似性等内容，并进行了相关题型的练习。

五、概率与统计概率与统计是高中数学的必修内容，高二数学上学期主要学习了概率与事件、随机变量以及概率分布等内容。

下学期进一步学习了统计量的性质与计算、参数估计以及假设检验等内容，并结合实际问题进行应用分析。

六、解析几何解析几何是高中数学的一大重点，高二数学上学期主要学习了平面直角坐标系与直线的方程、圆与二次函数的方程以及椭圆与双曲线的方程等内容。

下学期进一步学习了空间直角坐标系与立体几何体的方程、球的方程以及曲线的方程等内容，并进行了应用题的练习。

综上所述，高二数学上下册的知识点包括函数、三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计以及解析几何等。

掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题过程中，将有助于提高数学学科的综合素养，更好地适应高中数学的学习要求。

高三数学中考必考知识点在高中数学中，高三学生面临着即将到来的中考，必须掌握一些必考的知识点。

这些知识点不仅是中考的重点，更是日后学习数学的基础。

下面将介绍一些高三数学中考必考的知识点。

1. 函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是中考必考的内容。

学生需要掌握函数的概念、性质，以及解一元一次方程、一元二次方程等基本的方程解法。

在解方程的过程中，需要运用代入法、消元法等解题方法。

2. 直线与圆直线与圆是几何中的重要概念，也是中考经常出现的题型。

学生需要了解直线与圆的性质，掌握直线与圆的相交关系，以及直线与圆的切线、法线等概念。

3. 三角函数三角函数是数学中的重要内容，也是中考必考的知识点。

学生需要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的概念，了解三角函数的周期性和性质，并能运用三角函数解决实际问题。

4. 平面向量平面向量是中考中经常出现的题型，也是高中数学的重点内容之一。

学生需要掌握平面向量的定义、性质，了解平面向量的线性运算、数量积、向量的投影等概念，并能应用平面向量解决几何问题。

5. 概率与统计概率与统计是数学中的实际应用内容，也是中考必考的知识点。

学生需要了解概率的概念、计算方法，掌握统计数据的处理和分析能力，能够应用概率与统计解决生活中的实际问题。

6. 三角形与四边形在几何中，三角形与四边形是中考必考的内容。

学生需要了解三角形的性质、分类，熟练掌握三角形的面积计算公式，以及四边形的性质和面积计算方法。

7. 数列与数表数列与数表是数学中的基本概念，也是中考常考的内容之一。

学生需要了解数列与数表的概念、常见数列的求和公式，以及数表的规律性，并能运用数列与数表解答问题。

8. 平面几何平面几何是中考必考的内容，也是数学中的重点之一。

学生需要掌握平面几何的基本概念、定理，熟练运用平面几何的推理方法，解决与平面几何相关的问题。

以上是高三数学中考必考的知识点的简要介绍。

学生在备考中应该注重理解这些知识点的定义、性质和解题方法，并进行大量的练习，加强对这些知识点的掌握。