2017-2018学年河南省驻马店市高一下学期期末考试数学(理科)试题

2017-2018学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）cos660°＝（）A．B．C．﹣D．2．（3分）用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001到160编号，按编号顺序平均分成20组，001到008号，O09到016号，017到024号，…，153到160号，若从第9组抽出的号码为068，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）A．001B．002C．003D．0043．（3分）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表：根据上表可得回自方程y＝9x+10.5，则m为（）A．37B．37.5C．38D．394．（3分）一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则这个样本的方差是（）A．3B．4C．5D．65．（3分）从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图），设甲、乙两组数据的平均致分别为，，方差分别为s，s，则（）A．＜，s＞sB．＜，s＜sC．＞，s＜sD．＞，s＞s6．（3分）在△ABC中AD为BC边上的中线，，则＝（）A．B．C．D．7．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买洒．遇店加一倍，见花喝两斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的S值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，有五个全等的小正方形，若，则x+y的值为（）A．1B．2C．3D．49．（3分）在△ABC中，，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（3，6）C．（0，3）D．（，3）10．（3分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是偶函数，则函数f（x）的图象关于（）对称．A．直线B．点（）C．直线D．点（）11．（3分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，（b2+c2﹣3）tan A＝bc，2cos2＝（﹣1）cos C，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．312．（3分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝4，点A（0，4），点B在圆C上，若A，B，C三点不共线，且点B满足对任意的t∈R，恒成立，则＝（）A．32B．30C．28D．26二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）总体由编号为01，02，03．…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为．66 67 40 67 1464 06 71 95 8611066519 68768320379057 16 00 11 6614 90 84 45 1175738805 90522741148614．（5分）若，且，那么与的夹角为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若在区间（）内任取一个实数a，则使得实数a满足f（x）的值域为R的概率为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D是BC的中点，，则BC+AB的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与的夹角为π，求的值．18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB＝θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（），求的值；（2）若，求．19．（12分）某网络游戏在铺天盖地的广告推广下，迅速抓住了人们的眼球，使不少人沉迷于其中，影响了正常的作息时间，甚至部分学生也深受其害．现从某小学随机调查了100名学生每周玩该游戏的时间（单位：分钟），将所得数据分成六祖[60，80），[80，100），…，[160，180]后得到如图部分频率分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）补充完整频率分布直方图，并从该校玩该游戏学生中随机抽取一人，利用随机事件频率估计概率，计算该同学每周玩该游戏时间在[120，160）的概率；（2）估计该校玩该游戏学生每周玩该游戏时间的中位数：（3）甲分层抽样方法从每周玩该游戏时间在[100，140）的学生中抽取一个容量为6的样本，然后从所得样本中任取2人，求至多有1人每周玩该游戏的时间在[120，140）内的概率．20．（12分）向量＝（2cosωx，1），＝（2cos（），﹣1）ω＞0，令，且f（x）最小正周期为π．（1）求f（x）单调增区间；（1）若存在，使得f（x）＜l成立，求m的取值范围．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin A ﹣sin C），c＝4．（1）若b＝6，求sin A．（2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．22．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），在区间上单调，当时，f（x）取得最大值5，当时，f（x）取得最小值﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[0，4π]时，函数g（x）＝f2（x）﹣（2a+3）|f（x）|+2a+2有14个零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）cos660°＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：∵cos660°＝cos（2×360°﹣60°）＝cos（﹣60°）＝cos60°＝．故选：B．2．（3分）用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001到160编号，按编号顺序平均分成20组，001到008号，O09到016号，017到024号，…，153到160号，若从第9组抽出的号码为068，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）A．001B．002C．003D．004【解答】解：根据系统抽样法，抽样间隔为8，设第1组抽取的数据为a，则从第9组抽出的号码为a+8×8＝68，解得a＝4；∴第1组中用抽签的方法确定的号码是004．故选：D．3．（3分）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表：根据上表可得回自方程y＝9x+10.5，则m为（）A．37B．37.5C．38D．39【解答】解：由＝（2+3+4+5）＝，＝（31+m+49+51）＝，将（，）代入回归方程得：＝9×+10.5，解得：m＝37，故选：A．4．（3分）一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则这个样本的方差是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：已知方程x2﹣5x+4＝0，解方程得x1＝1，x2＝4；∵a、b是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，又∵样本中其他数据都大于1，∴a＝1，b＝4．则S2＝[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝5．故选：C．5．（3分）从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图），设甲、乙两组数据的平均致分别为，，方差分别为s，s，则（）A．＜，s＞sB．＜，s＜sC．＞，s＜sD．＞，s＞s【解答】解：观察茎叶图中的数据知，甲组数据主要集中在10～48之间，且成单峰分布，比较集中些；乙组数据主要分布在5～43之间，也成单峰分布，相对分散些；由此知平均数＞，方差＜．故选：C．6．（3分）在△ABC中AD为BC边上的中线，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中AD为BC边上的中线，，∴＝＝+＝+（）＝+＝﹣．故选：A．7．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买洒．遇店加一倍，见花喝两斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的S值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝S，i＝1S＝2S﹣2，满足条件i＜3，执行循环体，i＝2，S＝2（2S﹣2）﹣2＝4S﹣6，满足条件i＜3，执行循环体，i＝3，S＝2（4S﹣6）﹣2＝8S﹣14此时，不满足条件i＜3，退出循环，输出S的值为0．可得：8S﹣14＝0，解得：S＝．故选：B．8．（3分）如图，有五个全等的小正方形，若，则x+y的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】由平面向量的线性运算可得：＝++++，又＝﹣，＝﹣，＝＝，所以＝3﹣2，即x＝3，y＝﹣2，即x+y＝3﹣2＝1，故选：A．9．（3分）在△ABC中，，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（3，6）C．（0，3）D．（，3）【解答】解：∵，由正弦定理可得，，∴，∴sin A＝，∵△ABC有两解，∴sin A＝＜1且a＞b，∴3＜x＜6故选：B．10．（3分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是偶函数，则函数f（x）的图象关于（）对称．A．直线B．点（）C．直线D．点（）【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，则：，解得：ω＝2，故：f（x）＝sin（2x+φ）．f（x）其图象向右平移个单位长度后得到的图象，得到：对应的函数是偶函数，则：（k∈Z），解得：φ＝k（k∈Z），由于：|φ|＜，所以：φ＝﹣故：f（x）＝sin（2x﹣），令2x﹣+（k∈Z），解得：x＝（（k∈Z），当k＝0时，．故选：C．11．（3分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，（b2+c2﹣3）tan A＝bc，2cos2＝（﹣1）cos C，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．3【解答】解：∵a＝，（b2+c2﹣3）tan A＝bc，∴可得：（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，可得：2bc cos A tan A＝bc，可得：2bc sin A＝bc，解得：sin A＝，∵2cos2＝（﹣1）cos C，可得：1+cos（A+B）＝cos C﹣cos C，可得：1﹣cos C＝cos C﹣cos C，解得：cos C＝，∵在锐角△ABC中，cos A＝，sin C＝，可得sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝，∴由正弦定理可得：c＝＝＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×××＝．故选：B．12．（3分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝4，点A（0，4），点B在圆C上，若A，B，C三点不共线，且点B满足对任意的t∈R，恒成立，则＝（）A．32B．30C．28D．26【解答】解：由得的几何意义可得：⊥，又•＝||||cosθ，由向量投影的几何意义得：||cosθ＝||，所以•＝||||cosθ＝||2，由两点距离公式可得：||2＝（4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）总体由编号为01，02，03．…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为19．66 67 40 67 1464 06 71 95 8611066519 68768320379057 16 00 11 6614 90 84 45 1175738805 905227411486【解答】解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为14，06，11，06（重复，舍去），19，20．可知选出的第4个数值为19．故答案为：1914．（5分）若，且，那么与的夹角为．【解答】解：根据题意得，＝（﹣）•＝2﹣•＝0，∴•＝2＝1，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）＝，若在区间（）内任取一个实数a，则使得实数a满足f（x）的值域为R的概率为．【解答】解：当0＜x≤4时，f（x）∈[﹣2﹣3a，+∞）；当x＞4时，f（x）∈（﹣∞，﹣4﹣a2]．要使f（x）的值域为R，则﹣2﹣3a≤﹣4﹣a2，解得1≤a≤2．∴在区间（）内任取一个实数a，则使得实数a满足f（x）的值域为R的概率为P＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D是BC的中点，，则BC+AB的最大值是2．【解答】解：如图所示，设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝可知θ∈（0，），由正弦定理及AD＝知＝＝＝＝2，∴BD＝2sinθ，AB＝2sin（﹣θ），∴BC＝2BD＝4sinθ，AB＝cosθ+sinθ，∴BC+AB＝4sinθ+cosθ+sinθ＝5sinθ+cosθ＝2sin（θ+α），其中tanα＝；∴当θ+α＝时，BC+AB取得最大值为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与的夹角为π，求的值．【解答】解：（1）由可设＝＝（2λ，λ），∵||＝2，∴4λ2+λ2＝20，∴λ＝±2，＝（4，2）或＝（﹣4，﹣2），（2）∵与的夹角为π，∴＝＝﹣，∴＝＝＝15．18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB＝θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（），求的值；（2）若，求．【解答】解：（1）在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（﹣，）在单位圆上，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），∴tanθ＝＝﹣，∴＝＝＝．（2）∵，∴•＝1•1•cosθ＝，∴sinθ＝＝，∴＝sin cos2θ﹣cos sin2θ＝（2cos2θ﹣1）+•2sinθcosθ＝•+•＝．19．（12分）某网络游戏在铺天盖地的广告推广下，迅速抓住了人们的眼球，使不少人沉迷于其中，影响了正常的作息时间，甚至部分学生也深受其害．现从某小学随机调查了100名学生每周玩该游戏的时间（单位：分钟），将所得数据分成六祖[60，80），[80，100），…，[160，180]后得到如图部分频率分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）补充完整频率分布直方图，并从该校玩该游戏学生中随机抽取一人，利用随机事件频率估计概率，计算该同学每周玩该游戏时间在[120，160）的概率；（2）估计该校玩该游戏学生每周玩该游戏时间的中位数：（3）甲分层抽样方法从每周玩该游戏时间在[100，140）的学生中抽取一个容量为6的样本，然后从所得样本中任取2人，求至多有1人每周玩该游戏的时间在[120，140）内的概率．【解答】解：（1）由题意得游戏时间在[120，140）内的频率为：1﹣（0.005+0.0075+0.0075+0.0125+0.0025）×20＝0.3，∴，∴补充完整频率分布直方图如下：∴每周玩游戏时间在[120，160）的频率为：0.3+0.0125＝0.55．（2）游戏时间在[60，120）内的频率为：（0.0050+0.0075×2）×20＝0.4，∴可估计游戏时间的中位数为：×20+120＝（分钟）．（3）∵游戏时间在[100，120）的人数为100×0.0075×20＝15人，游戏时间在[120，140）的人数为100×0.3＝30人，∵所抽取的样本的容量为6，∴游戏时间在[100，120）内抽2人，记为A1，A2，游戏时间在[120，140）内抽4人，记为B1，B2，B3，B4，从容量为6的样本中任取2人，基本事件总数n＝＝15，至多有1人每周玩该游戏的时间在[120，140）内包含的基本事件有：，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，共9个，∴至多有1人每周玩该游戏的时间在[120，140）内的概率p＝＝．20．（12分）向量＝（2cosωx，1），＝（2cos（），﹣1）ω＞0，令，且f（x）最小正周期为π．（1）求f（x）单调增区间；（1）若存在，使得f（x）＜l成立，求m的取值范围．【解答】解（1）解：因为，所以＝2cosωx•2cos（）﹣1＝4cosωx（cosωx+sinωx）﹣1＝2cos2ωx+2sinωx cosωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωx＝2sin（2），因为f（x）最小正周期为π．又ω＞0所以＝π，即ω＝1，令﹣+2kπ，解得：﹣，故f（x）单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈z）（2）当时，2x+∈[]，所以2sin（2x+）∈[1，2]，若存在，使得mf（x）＜l成立，即m＜有解，即m＜（）max，又（）max＝1，所以m＜1，故m的取值范围：m＜1，故答案为：（﹣∞，1）．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin A ﹣sin C），c＝4．（1）若b＝6，求sin A．（2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin A﹣sin C），利用正弦定理得：（a﹣b）（a+b）＝c（a﹣c），所以：a2﹣b2＝ac﹣c2，故：cos B＝，由于：0＜B＜π，故：B＝．由于：c＝4，b＝6，所以：，整理得：．由于b＞c，所以：B＞C，故：cos C＝，则：sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝．（2）由正弦定理得：，故：，△ABC为锐角三角形，故：，．，所以：∈（2，8），．22．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），在区间上单调，当时，f（x）取得最大值5，当时，f（x）取得最小值﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[0，4π]时，函数g（x）＝f2（x）﹣（2a+3）|f（x）|+2a+2有14个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），在区间上单调，当时，f（x）取得最大值5，当时，f（x）取得最小值﹣1．∴，解得A＝3，B＝2∵＝2（）＝2π，∴ω＝1，∴f（x）＝3sin（x+φ）+2，∵f（）＝5，∴sin（+φ）＝1，∵|φ|，∴φ＝0，∴f（x）＝3sin x+2．（2）当x∈[0，4π]时，函数g（x）＝f2（x）﹣（2a+3）|f（x）|+2a+2有14个零点，∴|f（x）|2﹣（2a+3）|f（x）|+2a+2＝（|f（x）|﹣2a﹣2）（|f（x）|﹣1）＝0，∴|f（x）|＝2a+2或|f（x）|＝1有14个零点，∴由右图知|f（x）|＝1有6个零点，∴|f（x）|＝2a+2有8个零点，∴0＜2a+2＜1，解得﹣1＜a＜﹣，∴a的取值范围是（﹣1，﹣）．。

驻马店市2017-2018学年度第二学期期终考试高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算计算，进而得到.详解：故选A。

点睛：：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.2. 若变量与之间的相关系数，则变量与之间( )A. 不具有线性相关关系B. 具有线性相关关系C. 它们的线性相关关系还需要进一步确定D. 不确定【答案】B【解析】分析：相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，相关系数，相关系数的绝对值约接近1，得到结论．详解：：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，相关系数，相关系数的绝对值约接近1，则变量与之间具有线性相关关系．故选：B．点睛：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系，相关系数越大，相关性越强，是基础题．3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题是“甲降落在指定的范围内”是“乙降落在指定的范围内”，则命题“甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内”可以表示为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”表示甲或乙降没有落在指定范围，故选A。

考点：事件的关系及运算。

4. 已知等比数列中，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用等比数列下标和性质求等比数列的特殊项.详解：由，，可得，∴，又同号，∴故选：C点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.5. 若曲线在点处的切线方程为，则( )A. -1B.C.D. 1【答案】B【解析】分析：求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得，即可得到答案.详解：的导数为，曲线在点处的切线方程为，有，解得.故选：B.点睛：本题考查导数的运用，求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键.6. 若实数满足，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，为，当直线经过点时，直线的截距最大，此时时z最大，为，即.故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.7. 已知为实数,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：，反之不成立，例如：，即可判断出关系.详解：，反之不成立，例如：，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.点睛：本题考查了不等式的性质，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8. 某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有( )种.A. 24B. 72C. 120D. 144【答案】A【解析】分析：根据题意，首先排好三辆车，在三辆车中间插入两个空位使三辆车任何两辆车都不相邻，最后一个空车位利用插空法即可.详解：根据题意，首先排好三辆车，共种，在三辆车中间插入两个空位使三辆车任何两辆车都不相邻，最后把剩下的空车位插入空位中，则有种，由分步计数原理，可得共有种不同的停车方法.点睛：本题考查排列、组合的综合应用，注意空位是相同的.9. 若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为( )A. 6B.C. 9D.【答案】B【解析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.10. 在中,为锐角, ,则的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：由正弦定理化简并结合选项即可得到答案.详解：，则由正弦定理可得：，即，则当时，符合题意，故选：A.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．11. 设双曲线的一个焦点为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,且与另一条渐近线交于点,若,则双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：由可得，求得双曲线的渐近线方程，联立求得坐标，根据向量坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率；详解：∵的一条渐近线为另一条渐近线为∵过其焦点的直线与垂直，∴的方程为∴由得垂足A的横坐标则进而可得：由由可得，故选C.点睛：本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题.12. 已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：函数的定义域是，，是函数唯一的极值点,是导函数的唯一根，在无变号零点，即在上无变号零点，令，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，必须.故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 定积分的值为__________.【答案】【解析】分析：，其中利用定积分的几何意义计算.详解：，其中的几何意义为函数与直线及轴所围成的图形的面积，即圆在第一象限的部分的面积，其值为.而.所以原式.故答案为：.点睛：本题主要考查定积分，定积分的几何意义，圆的面积等基础知识，考查数形结合思想，解答定积分的计算，关键是熟练掌握定积分的相关性质.14. 若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.【答案】【解析】分析：根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.详解：的展开式中各项系数之和为0,令，则，解得.的展开式中通项公式为，令时，展开式中含的项为.故答案为：.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．15. 驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)服从正态分布,记为事件为事件,则__________.(结果用分数示)附：；；.【答案】【解析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论.详解：由题意，，.故答案为：.点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.16. 已知函数, ,,且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】分析：根据条件，构造函数，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集.详解：由则，构造函数，则，当时，，即函数在上单调递减，则不等式等价于，即，则，故不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中,角的对边分别为,且成等比数列,的面积为.等差数列的首项,公差为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足,设为数列的前项和,求.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先利用已知求出b,再求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求．详解：（1）由，，成等比数列得，因为，所以，所以是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得．（2）由（1）可得，．点睛：(1)本题主要考查三角形的面积公式，考查等差数列的通项，考查等比中项和裂项相消求和,意在考查学生对等差等比数列的基础知识和数列求和的基础知识的掌握能力和基本运算能力.(2)一般如果数列的通项为分式结构，可以考虑裂项相消法求和，如：18. 如图,四棱柱中,底面是等腰梯形, ,,是线段的中点,平面.(1)求证:平面；(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得平面；（2）写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可求得答案.详解：(1)证明方法一: 连接，因为底面是等腰梯形且所以，，又因为是的中点，因此，且，所以，且，又因为且，所以，因为，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四边形中，因为,所以平行四边形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,,，所以，,，设平面的一个法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的锐二面角的余弦值是.点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.19. 现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.(1)求直方图中的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x的值；（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.详解：(1)由直方图可得,∴.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,,∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住.(3)的可能取值为,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,,,,,,则的分布列为的数学期望.点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.20. 已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.详解：（1）；(2)因为右焦点,当直线的斜率不存在时其方程为，因此，设，则，所以且，所以，，因此，直线和的斜率是成等差数列.当直线的斜率存在时其方程设为，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因为，所以有,因此，直线和的斜率是成等差数列，综上可知直线和的斜率是成等差数列.点睛：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转化思想方法，考查计算能力与解决问题的能力.21. 已知函数.若是的极值点.(1)求在上的最小值；(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值. 【答案】（1）2；（2）2.【解析】分析：（1）求出函数的导数，求出a的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；（2）问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k 的范围即可.详解：（1），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此时，，令，，，令，，在单调递增，且，，在时，，，由，，又，且，所以的最大值为2.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线;过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)若成等比数列,求的值.【答案】（1），；（2）1.【解析】试题分析：（1）极坐标化为直角坐标方程可得曲线的方程为，消去参数可得直线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入抛物线方程可得.则，.结合参数的几何意义有：，，据此可得关于实数a的方程，解方程可得.试题解析：（1）曲线：，消去参数可得直线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得：.设，对应参数为，.则有，.因为，，.所以，即，解得.点睛：(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式中t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．23. 选修4一5:不等式选讲已知函数，.(1)当时,解不等式；(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）当时，，分段讨论即可；（2）由题意可得函数的值域是的值域的子集，从而求得实数的取值范围.详解：（1)当时，，或，或，解得.即不等式解集为.(2)，当且仅当时，取等号，的值域为.又在区间上单调递增.即的值域为，要满足条件，必有，解得的取值范围为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式的应用，属于中档题.。

驻马店市重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数sin y x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1117,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．71,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1117,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．71,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】写出变换后的函数解析式()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,6626x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象可分析得：要使函数有且仅有两个零点，只需2326πωπππ≤+<，即可得解.【详解】由题，根据变换关系可得：()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,6626x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 根据正弦函数图象可得：2326πωπππ≤+<，解得：1117,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：C 【点睛】此题考查函数图象的平移和伸缩变换，根据函数零点个数求参数的取值范围. 2．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x +<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A ．{}[)024,⋃+∞B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞【答案】B【解析】 【分析】根据定义可得2230kx kx ++<的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立，再对k 分类讨论可得结果. 【详解】 由题意得22232301k kx kx kx x +=++<-的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立.当0k =时，不等式即为30>，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式恒成立，则0,Δ0,k >⎧⎨≤⎩即0,024,k k >⎧⎨≤≤⎩解得024k <≤.综上可知:024k ≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题. 3．设等比数列{}的前n 项和为，若=3，则=A ．B ．2C ．D ．3【答案】A 【解析】解：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比，（S n ≠0） 所以，选A4．已知2παπ<<,1sin cos 5αα+=,则2cos sin αα-（ ）A ．57- B ．75- C ．107 D ．107-【答案】D 【解析】由题意可得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 025αα=-<，则cos 0α<，所以2412sin cos 125αα-=+，即497sin cos 255αα-==，也即7sin cos 5αα-=，所以210cos sin 7αα=--，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得242sin cos 025αα=-<，进而得到cos 0α<，求得7sin cos 5αα-=，从而求出210cos sin 7αα=--使得问题获解． 5．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=. 故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．6．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升 B ．三升C ．四升D ．五升【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案． 【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为4232+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.8．在ABC中，若tan tan tan A B A B +=⋅，且sin cos 4B B ⋅=，则ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．正三角形【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式求得A B +，从而得C ，由二倍角公式求得B ，再求得A ，注意检验符合题意，可判断三角形形状． 【详解】tan tan tan tan A B A B ++=⋅，∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B+==+-⋅，∴23A B π+=，3C π=由sin cos B B ⋅=，即sin 2B =∴23B π=或23π.当6B π=时，2A π=，tan A 无意义.当3B π=时，3A π=，此时ABC 为正三角形.故选：D. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查两角和的正切公式和二倍角公式，根据三角公式求出角是解题的基本方法． 9．4sin()3π-的值等于( )A ．12 B ．－12C ．2D ．－2【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把4sin()3π-化简成sin 3π. 【详解】44sin()sin()sin 333πππ-=-==【点睛】本题考查诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考查基本运算求解能力. 10．()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x = A ．()arccos sin x B ．()arccos sin x π+ C ．()arccos sin x - D ．()arccos sin x π--【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【详解】()sin x sinx -=-()()()arccos sin arccos ,x sinx ππ∴--=--又()arccos arccos απα-=-，()()()arccos sin arccos x sinx ππ∴--=--()()()arccos arccos ,sinx sinx ππ=--=0x ∴<时，0x ->，()()()()()arccos sin arccos ,f x f x x sinx π-=-=--=()arccos(sin )f x x ∴=-故选：C ． 【点睛】本题考查奇函数的定义、反三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．6πC ．8πD ．16π【答案】C 【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O '，则12AO AC =='，2PA =，PO '⊥平面ABCD，故PO ='，而底面ABCD所在截面圆的半径AO '=则球的半径R =O 的表面积248S R ππ==，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.12．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．项数为()21k k +为正整数的等差数列，若奇数项之和为88，偶数项之和为77，则实数k 的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】奇数项和偶数项相减得到111a kd +=和2111k kd a +-=-，故12122k a a ++=，代入公式计算得到答案. 【详解】 由题意知：1321...88k a a a ++++=，242...77k a a a +++=前式减后式得到：111a kd += ，后式减前式得到2111k kd a +-=- 故：12122k a a ++=12121()(21)1652k k a a k S ++++== 解得7k =故答案为：7 【点睛】本题考查了等差数列的奇数项和与偶数项和关系，通过变换得到12122k a a ++=是解题的关键. 14．与30°角终边相同的角α=_____________. 【答案】30360,k k Z +⋅∈ 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义可得答案. 【详解】与30°角终边相同的角α=30360,k k Z +⋅∈， 故答案为：30360,k k Z +⋅∈ 【点睛】本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则n a =__________． 【答案】12n - 【解析】分析：由21n n S a =-，当1n =时11a =，当1n >时，11 21n n S a ++=-相减可得1122n n n a a a ++=-，则12n na a +=，由此可以求出数列{}n a 的通项公式 详解：当1n =时11a =，当1n >时由21n n S a =-可得1121n n S a ++=- 二式相减可得：1122n n n a a a ++=-12n na a +∴= 又11a =则数列{}n a 是公比为2的等比数列12n n a -∴=点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到n S ，则用1n n S S --即可算出n a ，需要注意讨论1n =的情况。

驻马店市2017-2018学年度第二学期期终考试高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21i-（i 为虚数单位）的共轭复数是( ) A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --2.若变量y 与x 之间的相关系数0.9832r =-，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性相关关系还需要进一步确定D ．不确定3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题p 是“甲降落在指定的范围内”q 是“乙降落在指定的范围内”，则命题“甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内”可以表示为( )A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4.已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =( )A ．2±B ．2- C.2D ．45.若曲线ln(1)y ax x =++在点(0,0)处的切线方程为20x y -=，则a =( )A ．-1B ．12- C.12D ．1 6.若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A.[]1,9B.[]5,9C.[]3,9D.[]3,57.已知a,b 为实数,则“2ab b >”是“a b 0>>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有()种.A.24B.72C.120D.1449.若抛物线2y 4x =,过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点,则2AF BF +的最小值为( )A. 6B. 322+C. 9D. 322-10.在ABC 中,,B C 为锐角, sin sin a b B c C =+,则ABC ∆的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对 11.设双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点为F ,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,且与另一条渐近线交于点B ,若32OF OB OA =+,则双曲线C 的离心率为( ) 223 D. 143 12.已知函数3()3ln xe f x k x kx x=+-,若3x =是函数()f x 唯一的极值点,则实数k 的取值范围为( )A.3,27e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.327e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.30,27e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,27e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.定积分12(1)e x x dx -⎰的值为__________.14.若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________.15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X 服从正态分布()2110,10N ,记(]90,110X ∈为事件(],80,100A X ∈为事件B ,则()|P B A __________.(结果用分数示)附：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=.16.已知函数()y f x=,0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1()62fπ=,且'()tan()f x x f x>，则不等式()sinf x x≤的解集为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中,角,,A B C的对边分别为,,a b c,60B=︒且,,a b c成等比数列,ABC的面积为43.等差数列{}n a的首项14a=,公差为b.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若数列{}n c满足`116nn nca a+=,设nT为数列{}n a的前n项和,求n T.18.如图,四棱柱1111ABCD A B C D-中,底面ABCD是等腰梯形,60DAB∠=︒,22AB CD==,M是线段AB的中点,1CD⊥平面ABCD.(1)求证:AC⊥平面1A DM；(2)若13CD=,求平面11C D M和平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.19.现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是[0100]，,样本数据分组为[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100.(1)求直方图中x的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用X表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求X的分布列和数学期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，2322M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，P 是直线2x =上任意一点.证明：直线,,PA PF PB 的斜率成等差数列.21.已知函数()1()xf x e ax a R =++∈.若0x =是()f x 的极值点. (1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立,其中k 为整数,()'f x 为()f x 的函数,求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为222242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M N 、两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值.23.选修4一5:不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =++-，65()21x g x x -=-. (1)当3a =时,解不等式()6f x ≤； (2)若对任意15[1,]2x ∈,存在2x R ∈,使得()()12g x f x =成立,求实数a 的取值范围.驻马店市2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案一、选择题 1-5:ABACB 6-10:CBABA 11、12：CA二、填空题13.124π- 14.3160x - 15.2795 16.(0,]6π 三、解答题17.【解析】（1）由,,a b c 成等比数列得2b ac =，又因为143sin ,602ABC S ac B B ∆===， 所以4b =，所以{}n a 是以4为首项，4为公差的等差数列，所以4n a n =.(2)由(1)可得111(1)1n c n n n n ==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.(1)证明方法一:连接MC ，因为底面ABCD 是等腰梯形且 2AB CD = 所以，//AB CD ，又因为M 是AB 的中点因此，// CD AM 且 CD AM =所以，//AD CM 且 AD CM =又因为11// AD A D 且11 AD A D =所以11//A M CD因为，1CD ⊥平面ABCD所以1A M ⊥平面ABCD所以，平面1A DM ⊥平面ABCD 在平行四边形AMCD 中，因为 60DAM ∠=,所以平行四边形AMCD 是菱形，因此AC DM ⊥所以AC ⊥平面1A DM ；解法二：底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=,22AB CD ==,所以，22,3AB BC AC ===因此CA CB ⊥以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，则31(3,0,0),(,0)2A D -,131,0),3)2M D 由11DA D A =得1313)2A所以(3,0,0)CA =,(0,1,0)DM =,(0,03MA =,13)MA =因此0CA DM =，且10CA MA =所以CA DM ⊥且1CA MA ⊥所以，AC ⊥平面1A DM (2)底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=,22AB CD ==,所以，22,3AB BC AC ===因此CA CB ⊥以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，则()3,0,0A ,()0,1,0b ,31,022M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(13D所以，131,,322MD⎛⎫=--⎪⎪⎝,1131,,022D C MB⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭设平面11C D M的一个法向量(,,)n x y z=由111303230n D C x yn MD x y z⎧•=-=⎪⎨•=+-=⎪⎩得()1,3,1n=由1(0,0,3)CD=是平面ABCD的法向量因此15cos,n CD=平面11C D M和平面ABCD所成的锐二面角的余弦值是55.19.解析：(1)由直方图可得()202 0.005 0.0175 0.02251x⨯+++=∴ 0.0025x=(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:()200.005 0.00250.15⨯+= 12000.15 180⨯=∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住(3)X的可能取值为01,2,3, 4，,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为25()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 31423216(1)55625p x c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222423216(2)55625p x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3342396(3)55625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4216(4)5625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 则X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81625 216625 216625 9662516625X 的数学期望012346256256256256255EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解析：（1）1222=+y x ； (2)因为右焦点)0,1(F ,当直线AB 的斜率不存在时其方程为1=x ，因此，设)y ,1(),2(A t P ，则),1(y B - 所以t y t y t K K PB PA 21212=-++--=+且t t K PF =--=120 所以，PF PB PA K K K 2=+因此，直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列.当直线AB 的斜率存在时其方程设为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得，0224)212222=-+-+k x k x k （所以222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+ 因此，)22()2121(222211212211x y x y x x t x y t x y t K K PB PA -+---+-=--+--=+ 2)1(2)1(42122214242144)(24)(422222222212121=++=+-++-+-=++-+-k k k k k k k k x x x x x x )212212()2121(22221122112211x x x x k x x x x k x y x y -+-+-+-=--+--=-+-∴ 0)22121(21=--+-=x x k 所以，t K K PB PA 2=+又因为t t K PF =--=120 所以有PF PB PA K K K 2=+,因此，直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列综上可知直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列.21.（Ⅰ）'()xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得'(0)0f =，1a ∴=-. 易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增，所有当0x =时，()f x 在[]2,1-上取得最小值2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a =-，此时'()1x f x e =-， '()1(1)1x x x kf x xe k e xe ∴<+⇔-<+10,10,1x xx xe x e k e +>∴->∴<- 令1()(0)1x x xe g x x e +=>-，min ()k g x ∴< (2)'()(0)1x x x e e x g x x e --=>- 令()2xh x e x =--，'()10x h x e =->，()h x ∴在(0,)+∞单调递增， 且(1)0h <，(2)0h >，()h x ∴在(0,)+∞时，'()0g x >00min 001()()1x x g x g x x e +∴==+-， 由000'()02x g x ex =⇒=+，()00()12,3g x x ∴=+ 又0()k g x <，且k Z ∈，所以k 的最大值为2.22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为ax y C 2:2=，直线l 的普通方程为02=--y x （Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得0416)224(212=+++-a t a t ， a t t a t t 832,22282121+=+=+∴ 因为2121,,t t MN t PN t PM -===由题意知，21221212215)(t t t t t t t t =+⇒=-代入得1=a .23.解：（1)当3=a 时，.1232)(-++=x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f ， 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-6)21(322123x x x ， 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)12()32(21x x x ， 解得12≤≤-x .百度文库 - 让每个人平等地提升自我- 11 - 即不等式解集为{}12≤≤-x x . (2)1122122)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号， )(x f ∴的值域为[)+∞+,1a .又12231256)(--=--=x x x x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡251，上单调递增. ).25()()1(g x g g ≤≤∴ 即)(x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡251，，要满足条件，必有[)+∞+⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡,1251a ， .11≤+∴a 解得.02≤≤-aa ∴的取值范围为[].02-，。

2018年驻马店市高一数学下期末试卷（附答案和解释）
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2018学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若向量 =（1，2）， =（﹣3，1），则2 ﹣ =（）
A．（5，3）B．（5，1）c．（﹣1，3）D．（﹣5，﹣3）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】解向量 =（1，2）， =（﹣3，1），则2 ﹣ =（2，4）﹣（﹣3，1）=（5，3）．
故选A．
2．sin30°cs15°+cs30°sin15°的值是（）
A． B． c． D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由条利用两角和的正弦式化简所给的式子，可得结果．【解答】解sin30°cs15°+cs30°sin15°=sin（30°+15°）=sin45°= ，
故选c．
3．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）
A．系统抽样B．分层抽样c．抽签抽样D．随机抽样
【考点】系统抽样方法；收集数据的方法．。

2018-2019学年河南省驻马店市高一下学期期末数学（理）试题一、单选题 1．的值等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】= ,选A.2．已知在ABC ∆中，2CD BD =-，且(,)AD xAB yAC x y R =+∈，则x y -的值为（ ） A ．12B ．12-C ．13D ．13-【答案】C【解析】先确定D 位置，根据向量的三角形法则，将AD 用AB ，AC 表示出来得到答案. 【详解】12=3CD BD BD BC =-⇒1121()+3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=211,333x y x y ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.3．计算：222cos 1tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】B【解析】利用恒等变换公式化简得的答案. 【详解】2222cos 1cos 2cos 2cos 222sin(2)tan sin sin sin cos 244444cos 4cos 4ααααππππππααααααπαπα-====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭故答案选B 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力. 4．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图依次计算得到12,16,23,34,42,5n i n i n i n i n i ========== 结束 故答案为C 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力.5．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a 人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则a和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ．810,17a m == B ．450,14a m == C ．720,16a m == D ．360,12a m ==【答案】B【解析】根据分层抽样的规律，计算a 和m 的关系为：890am += ，将选项代入判断不符合的得到答案. 【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a 人, 样本中的中年人为6人，则老年人为：61802540⨯= 青年人为：654090a a = 2689090a am m ++=⇒+= 代入选项计算，B 不符合 故答案为B 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.6．已知平面向量,,a b c 满足：1a b ⋅=-，0a c ⋅=，||1a =，若(,)c m a n b mn R =+∈，则mn 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．1D ．-1【答案】C【解析】将(,)c ma nb m n R =+∈代入0a c ⋅=，化简得到答案. 【详解】2(0)c ma nb a c a ma n a b m n m n b ma n =+⇒⋅=⋅+=⋅=-=⇒+=1m n= 故答案选C 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A【解析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．一组数123,,,,n x x x x 平均数是x ，方差是2s ，12，3,3n x ）A 2sB 2s +C 2s +D 2+【答案】B【解析】直接利用公式：i x 平均值方差为2,x s ，则ax b +的平均值和方差为：22,ax b a s +得到答案.【详解】123,,,,n x x x x 平均数是x ，方差是2s123,3n x方差为：2223s s = 故答案选B 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：123,,,,n x x x x 平均数是x ，方差是2s ，则a x b +的平均值和方差为：22,ax b a s +. 9．已知角,αβ满足322ππαβ<-<，0αβ<+<π，且1sin()3αβ-=，1cos()3αβ+=-，则cos 2β的值为（ ）A ．9-B ．9C ．9-D ．9【答案】D【解析】根据角度范围先计算cos()αβ-和sin()αβ+，再通过cos 2cos[()()]βαβαβ=+--展开得到答案. 【详解】322ππαβ<-<，1sin()c (3os )αβαβ-=⇒-=0αβ<+<π，1cos()sin()3αβαβ+=-⇒+=cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-1133339=⨯+⨯=故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，将cos 2cos[()()]βαβαβ=+--是解题的关键. 10．已知函数()sin(),(0,0,)f x A x b A b R ωϕω=++<>∈的值域为31[,]22--，且图象在同一周期内过两点3351,,,2222B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,A b ω的值分别为（ ） A ．1,2,12A b ωπ=== B ．1,2,12A b ω=-==- C ．1,,12A b ωπ=-==-D ．1,2,12A b ω=== 【答案】C【解析】根据值域先求1,12A b =-=-，再代入数据得到最大值和最小值对应x 相差π得到答案. 【详解】函数()sin(),(0,0,)f x A x b A b R ωϕω=++<>∈的值域为31[,][,]22A b A b +-+=--即312,1122A b A b A b ⎧+=-⎪⎪⇒=-=-⎨⎪-+=-⎪⎩1()sin()12f x x ωϕ=-+-，图象在同一周期内过两点3351,,,2222B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133sin()1sin()122232ωϕωϕ-=-+-⇒+= 155sin()1sin 12()1222ωϕωϕ-+-⇒+==-- 53()()22ωϕωϕπωπ+-+=⇒= 故答案选C 【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.11．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的正切值为（ ）A ．13B．3C ．23D【答案】D【解析】根据大角对大边判断最小角为C ，利用正弦定理得到1cos 2(1)n C n +=-，代入余弦定理计算得到5n =，最后得到tan 3C =. 【详解】根据大角对大边判断最小角为C根据正弦定理知：111cos sin sin sin 2sin 2(1)a c n n n C A C C C n +-+=⇒=⇒=- 根据余弦定理：222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n C n n n nn +-=++-+=++-+-化简得：5n =13cos tan 2(1)43n C C n +==⇒=-故答案选D 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力. 12．若关于x 的方程sin cos 2sin cos 10,,44x x x x a x ππ⎡⎤+-+-=∈-⎢⎥⎣⎦有两个不同解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．9(2,]4B ．5[2,]2C ．5(2,)2D ．9[2,)4【答案】D【解析】换元设sin cos t x x =+，将原函数变为22192()24a t t t =-+=--+，根据函数图像得到答案. 【详解】sin cos 2sin cos 10,,sin cos 2sin cos 144x x x x a x a x x x x ππ⎡⎤+-+-=∈-⇒=+-+⎢⎥⎣⎦设sin cos t x x =+，则22sin cos 1x x t =-sin cos ),4t x x x π=+=+,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，单调递增，则t ∈22192()24a t t t =-+=--+如图：数a 的取值范围为9[2,)4故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.二、填空题13．已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________．【答案】2【解析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案. 【详解】圆心角AOB 为12023π= 扇形AOB 的面积为2241124232233S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 故答案为2 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________． 【答案】1136【解析】将甲、乙到达时间设为,x y （以4:00为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：10y x -≤ 画出图像，根据几何概型公式得到答案. 【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为,x y （以4:00为0时刻，单位为分钟） 则相见需要满足：10y x -≤ 画出图像：根据几何概型公式：2500111360036P =-=【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．【答案】(3,【解析】利用正弦定理得到sinA =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 1B A <=<，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力. 16．已知当x θ=时，函数22()(1)sincos (1)cos 2222x x xf x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最小值，则4tan 23θ=时，a 的值为__________． 【答案】3【解析】先根据4tan 23θ=计算tan θ，化简函数，再根据当x θ=时，函数()f x 取得最小值，代入计算得到答案. 【详解】242tan 41tan 2tan 2tan 31tan 32θθθθθ=⇒==⇒=-或2- 222111()(1)sincos (1)cos 2sin cos 2222222x x x a a a f x a a a x x a +--=+--+-=--+-211)2(tan 0)21a a x a a ϕϕ--=--+-=>+当x θ=时，函数()f x 取得最小值：31112tan tan 2tan tan 2k πθϕπθϕϕθ-=+⇒=-⇒=-=或2-（舍去） 11tan 312a a a ϕ-==⇒=+ 故答案为3 【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题17．已知函数()cos 16g x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，作如下变换：6()()y g x y h x π==向右平移个单位12()y t x =纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍2()y f x =横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍.（1）分别求出函数()y g x =的对称中心和单调增区间； （2）写出函数()y f x =的解析式、值域和最小正周期.【答案】（1）2+,1,3k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos(2)23f x x π=--，[]4,0-，π.【解析】（1）由()cos 16g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直接利用对称中心和增区间公式得到答案. （2）根据变换得到函数()y f x =的解析式为()2cos(2)23f x x π=--，再求值域和最小正周期. 【详解】由题意知：（1）()cos 1cos 166g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,62x k k Z πππ-=+∈得()g x 对称中心2,1,3k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭， 由22,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得：()g x 单调增区间为52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， （2）所求解析式为：()2cos(2)23f x x π=--0值域：[4,0]y ∈- 最小正周期：22T ππ==. 【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.18．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A b c -=+. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，D 是BC 的中点，且AD =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2【解析】（1）利用正弦定理和和差公式计算得到答案.（2）利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=代入余弦定理公式得到163bc =，计算面积得到答案. 【详解】（1）∵,,A B C 是ABC ∆的内角，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+且sin 0B ≠又由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==和已知条件得： sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++化简得：1cos 2A =-，又∵(0,)A π∈ ∴23A π=；（2）∵4a =，D 是BC 的中点，且AD =，23A π=，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴由余弦定理得：222222022AD BD AB AD CD AC BD AD CD AD+-+-+=⨯⨯，代入化简得：22323b c +=又2222cos a b c bc A =+-，即32163bc =+，可得：163bc =故所求ABC ∆的面积为1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题考查了余弦定理，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，计算得：201160ii x==∑，20140i i y ==∑，201()360i i i x y ==∑，20211480i i x ==∑，1,2,3,20i =.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y a bx =+；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄. 【答案】（1）1255y x =+；（2）正相关；（3）2.2千元. 【解析】（1）直接利用公式计算回归方程为：1255y x =+. （2）由（1）105b =>，故正相关.（3）把9x =代入1255y x =+得：112.25y ==.【详解】（1）∵2011160820i i x x ====∑，2011220i i y y ===∑，样本中心点(),x y 为：(8,2) ∴由公式得：()20120221203602082114802064520i ii i i x y xyb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑把(8,2)代入15y a bx a x =+=+得：25a =所求回归方程为：1255y x =+； （2）由（1）知，所求出方程的系数为：15b =，25a =，∵105b =>， ∴x 与y 之间是正相关.（3）把9x =代入1255y x =+得：112.25y ==（千元）即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元. 【点睛】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力. 20．已知向量(cos ,sin )a x x =，(1,3)b =-，[0,]x π∈. （1）若//a b ，求x 的值；（2）设()2f x a b =⋅+，若()0()f x m m R -≤∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）[3,)m ∈+∞. 【解析】（1）根据//a b得到cos 1x =计算得到答案. （2）先求出函数表达式为()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的最大值得到答案. 【详解】（1）∵//a b ，且(cos ,sin )a x x =，(1,3)b =-，[0,]x π∈，∴cos1x =，即tan x = 又∵[0,]x π∈，∴23x π=（2）易知，()cos 22sin 26f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-+=-+⎪⎝⎭∵[0,]x π∈，∴5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 1,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当66x ππ-=时，1sin 62x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()f x 取得最大值：12232⨯+=，又()0()f x m m R -≤∈恒成立，即max (())m f x ≥ 故[3,)m ∈+∞. 【点睛】本题考查了向量平行，函数的最大值，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 21．驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了n 人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?（3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121. 【解析】（1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算,,,a b x y 的值.（2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）依题和图表：由500.010100.5n ⨯⨯=得：1000n =， 由1800.02010n a ⨯⨯=得：0.9a =，由0.030100.9xn ⨯⨯=得：270x =，由900.02510n b ⨯⨯=得：0.36b =，由0.015100.6yn ⨯⨯=得：90y =，故所求0.9a =，0.36b =，270x =，90y =.（2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人 用分层抽样抽取7人,则:从第二组回答正确的人中应该抽取: 180721802709090⨯=+++人，从第三组回答正确的人中应该抽取：270731802709090⨯=+++人， 从第四组回答正确的人中应该抽取: 90711802709090⨯=+++人， 从第五组回答正确的人中应该抽取: 90711802709090⨯=+++人， 故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人； （3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为: 2,2a b ， 从第三组回答正确的人抽取的3人为: 3,3,3a b c 从第四组回答正确的人抽取的1人为: 4a 从第五组回答正确的人抽取的1人为: 5a随机抽取2人,所有可能的结果有: (2,2)a b ，(2,3)a a ，(2,3)a b ，(2,3)a c ，(2,4)a a ，(2,5)a a ，(2,3)b a ，(2,3)b b ，(2,3)b c ，(2,4)b a ，(2,5)b a ，(3,3)a b ，(3,3)a c ，(3,4)a a ，(3,5)a a ，(3,3)b c ，(3,4)b a ，(3,5)b a ，(3,4)c a ，(3,5)c a ，(4,5)a a ，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：(2,2)a b ，(2,3)a a ，(2,3)a b ，(2,3)a c ，(2,4)a a ，(2,5)a a ，(2,3)b a ，(2,3)b b ，(2,3)b c ，(2,4)b a ，(2,5)b a 共这11个基本事件.故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：1121. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力. 22．已知函数()2()sin 22cos 16y f x x x π⎛⎫==++- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的值域和单调减区间； （2）已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，且1cos 3B =，1()22C f =，求sin A 的值.【答案】（1）()[1]f x ∈，7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）sin 6A =.【解析】（1）将函数化简()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.（2）通过函数计算sin 3B =，3C π=，再计算sin sin()A B C =+代入数据得到答案. 【详解】（1）∵3()sin 2cos 2121223f x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭且sin 2[1,1]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴故所求值域为()[1]f x ∈ 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得： 所求减区间：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）∵,,A B C 是ABC ∆的三个内角，1cos 3B =，∴sin B ==∴又1212232C C f π⎛⎫⎛⎫=⨯+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又∵4,333C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴3C π=,故11sin sin()sin cos cos sin 32326A B C B C B C =+=+=+⨯=,故sin 6A =. 【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.。

2017-2018学年下期教学质量调研测试高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，且是第四象限角，则( )A. B. C. D.2. 进制数，则可能是( )A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知向量，，若，则( )A. B. C. D.4. 中，若，，则等于( )A. B. C. D.5. 某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”6. 用秦九韶算法求多项式当的函数值时，先算的是( )A. B. C. D.7. 已知，又，，则等于( )A. B. C. D. 或08. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为( )A. B. C. D. 49. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取( )名学生.A. 60B. 75C. 90D. 4510. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A. 3B. 2C. 1D. 011. 若向量，，满足，，若，则与的夹角为( )A. B. C. D.12. 已知函数，若对恒成立，则的单调递减区间是( )A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约__________石．14. 在上任取两数和组成有序数对，记事件为“”，则__________．15. 设的内角，已知，若向量与向量共线，则的内角__________．16. 下列4个命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；②四边形为长方形，，，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；③把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；④已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为. 其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数的值；(2)设，且满足，，求.18. 某中学团委组织了“文明礼仪伴我行”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出如下部分频率分布直方图，观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点.(1)如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；(2)已知点，，求.20. 长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解、两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时间作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为，从班的样本中随机抽取一个不超过21的数据记为，求的概率.21. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为原点，且点坐标为，.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，且是第四象限角，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sin a=,且a为第四象限角,∴，则，故选：D.2. 进制数，则可能是( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】因为k进制数3651(k)中出现的最大数字为6，可得：k>6，故选：D.3. 已知向量，，若，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，,.故选A.4. 中，若，，则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴)，∴3，∴，∴λ=故选C.5. 某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】试题分析：“至少有1名女生”包含“都是女生”，所以A错误；“至少有1名女生”包含“（男，女）”这种情况，所以与“至多有1名女生”不互斥，所以B错误；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”互斥，但不对立，C正确；“至少有1名男生”与“都是女生”既互斥又对立，所以D错误。

驻马店市2017-2018学年度第二学期期终考试高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21i-（i 为虚数单位）的共轭复数是( ) A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --2.若变量y 与x 之间的相关系数0.9832r =-，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性相关关系还需要进一步确定D ．不确定3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题p 是“甲降落在指定的范围内”q 是“乙降落在指定的范围内”，则命题“甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内”可以表示为( )A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4.已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =( )A ．2±B ．2- C.2D ．45.若曲线ln(1)y ax x =++在点(0,0)处的切线方程为20x y -=，则a =( )A ．-1B ．12- C.12D ．1 6.若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A.[]1,9B.[]5,9C.[]3,9D.[]3,57.已知a,b 为实数,则“2ab b >”是“a b 0>>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有()种.A.24B.72C.120D.1449.若抛物线2y 4x =,过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点,则2AF BF +的最小值为( )A. 6B. 3+C. 9D. 3-10.在ABC 中,,B C 为锐角, sin sin a b B c C =+,则ABC ∆的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对 11.设双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点为F ,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,且与另一条渐近线交于点B ,若32OF OB OA =+,则双曲线C 的离心率为( )D. 312.已知函数3()3ln xe f x k x kx x=+-,若3x =是函数()f x 唯一的极值点,则实数k 的取值范围为( ) A.3,27e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.327e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.30,27e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,27e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.定积分1(e x dx ⎰的值为__________.14.若5(2)a x x +的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________.15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X 服从正态分布()2110,10N ,记(]90,110X ∈为事件(],80,100A X ∈为事件B ,则()|P B A __________.(结果用分数示)附：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=.16.已知函数()y f x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,1()62f π=,且'()tan ()f x x f x >，则不等式()sin f x x ≤的解集为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60B =︒且,,a b c 成等比数列,ABC 的面积为等差数列{}n a 的首项14a =,公差为b .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足`116n n n c a a +=,设n T 为数列{}n a 的前n 项和,求n T . 18.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠=︒,22AB CD ==,M 是线段AB 的中点,1CD ⊥平面ABCD .(1)求证:AC ⊥平面1A DM ；(2)若1CD ,求平面11C D M 和平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19.现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是[0100]，,样本数据分组为[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100.(1)求直方图中x 的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用X 表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求X 的分布列和数学期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，P 是直线2x =上任意一点.证明：直线,,PA PF PB 的斜率成等差数列.21.已知函数()1()xf x e ax a R =++∈.若0x =是()f x 的极值点. (1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立,其中k 为整数,()'f x 为()f x 的函数,求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M N 、两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值.23.选修4一5:不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =++-，65()21x g x x -=-. (1)当3a =时,解不等式()6f x ≤； (2)若对任意15[1,]2x ∈,存在2x R ∈,使得()()12g x f x =成立,求实数a 的取值范围.驻马店市2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案一、选择题1-5:ABACB 6-10:CBABA 11、12：CA二、填空题 13.124π- 14.3160x - 15.2795 16.(0,]6π 三、解答题17.【解析】（1）由,,a b c 成等比数列得2b ac =，又因为1sin ,602ABC S ac B B ∆===， 所以4b =，所以{}n a 是以4为首项，4为公差的等差数列，所以4n a n =.(2)由(1)可得111(1)1n c n n n n ==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.(1)证明方法一:连接MC ，因为底面ABCD 是等腰梯形且 2AB CD = 所以，//AB CD ，又因为M 是AB 的中点因此，// CD AM 且 CD AM =所以，//AD CM 且 AD CM =又因为11// AD A D 且11 AD A D =所以11//A M CD因为，1CD ⊥平面ABCD所以1A M ⊥平面ABCD所以，平面1A DM ⊥平面ABCD在平行四边形AMCD 中，因为 60DAM ∠=,所以平行四边形AMCD 是菱形，因此AC DM ⊥所以AC ⊥平面1A DM ；解法二：底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=,22AB CD ==,所以，22,AB BC AC ===因此CA CB ⊥以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，则1,0)2A D -,11,0),2M D由11DA D A =得112A所以(3,0,0)CA =,(0,1,0)DM =,(MA =,1MA = 因此0CA DM =，且10CA MA =所以CA DM ⊥且1CA MA ⊥所以，AC ⊥平面1A DM(2)底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=,22AB CD ==,所以，22,AB BC AC ===因此CA CB ⊥以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A ,()0,1,0b ,1,022M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1D所以，1122MD ⎛=-- ⎝,111,022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11C D M 的一个法向量(,,)n x y z =由1113030n D C x y n MD x y ⎧∙=-=⎪⎨∙=+-=⎪⎩得()1,3,1n = 由1CD =是平面ABCD 的法向量因此15cos ,n CD = 平面11C D M 和平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值是5.19.解析：(1)由直方图可得()202 0.005 0.0175 0.02251x ⨯+++= ∴ 0.0025x =(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:()200.005 0.00250.15⨯+= 12000.15 180⨯=∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住(3) X 的可能取值为01,2,3,4，, 有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为25()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 31423216(1)55625p x c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222423216(2)55625p x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3342396(3)55625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4216(4)5625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 则X 的分布列为X 的数学期望012346256256256256255EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解析：（1）1222=+y x ； (2)因为右焦点)0,1(F ,当直线AB 的斜率不存在时其方程为1=x ，因此，设)y ,1(),2(A t P ，则),1(y B - 所以t y t y t K K PB PA 21212=-++--=+且t t K PF =--=120 所以，PF PB PA K K K 2=+因此，直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列.当直线AB 的斜率存在时其方程设为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得，0224)212222=-+-+k x k x k （所以222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+ 因此，)22()2121(222211212211x y x y x x t x y t x y t K K PB PA -+---+-=--+--=+ 2)1(2)1(42122214242144)(24)(422222222212121=++=+-++-+-=++-+-k k k k k k k k x x x x x x )212212()2121(22221122112211x x x x k x x x x k x y x y -+-+-+-=--+--=-+-∴ 0)22121(21=--+-=x x k 所以，t K K PB PA 2=+ 又因为t t K PF =--=120 所以有PF PB PA K K K 2=+,因此，直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列综上可知直线PF PA ,和PB 的斜率是成等差数列.21.（Ⅰ）'()xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得'(0)0f =，1a ∴=-. 易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增，所有当0x =时，()f x 在[]2,1-上取得最小值2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a =-，此时'()1x f x e =-， '()1(1)1x x x kf x xe k e xe ∴<+⇔-<+10,10,1x xx xe x e k e +>∴->∴<- 令1()(0)1x x xe g x x e +=>-，min ()k g x ∴< (2)'()(0)1x x x e e x g x x e --=>- 令()2xh x e x =--，'()10x h x e =->，()h x ∴在(0,)+∞单调递增， 且(1)0h <，(2)0h >，()h x ∴在(0,)+∞时，'()0g x >00min 001()()1x x g x g x x e +∴==+-， 由000'()02x g x ex =⇒=+，()00()12,3g x x ∴=+ 又0()k g x <，且k Z ∈，所以k 的最大值为2.22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为ax y C 2:2=，直线l 的普通方程为02=--y x （Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得0416)224(212=+++-a t a t ， a t t a t t 832,22282121+=+=+∴ 因为2121,,t t MN t PN t PM -=== 由题意知，21221212215)(t t t t t t t t =+⇒=-代入得1=a .23.解：（1)当3=a 时，.1232)(-++=x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f ， 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-6)21(322123x x x ， 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)12()32(21x x x ， 解得12≤≤-x .即不等式解集为{}12≤≤-x x . (2)1122122)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号， )(x f ∴的值域为[)+∞+,1a . 又12231256)(--=--=x x x x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡251，上单调递增. ).25()()1(g x g g ≤≤∴ 即)(x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡251，，要满足条件，必有[)+∞+⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡,1251a ， .11≤+∴a 解得.02≤≤-aa ∴的取值范围为[].02-，。