2019版理数(苏教版)练习：第二章 第十节 函数模型及其应用

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第2章函数§2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个________，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的________．2．若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的________．3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有________个．①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________． ①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2； ④f(x)＝(x )2x和g(x)＝x (x )2.4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________．6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：x1 2 3f(x) 2 3 1x1 2 3g(x)1 3 2x 1 2 3 g[f(x)]填写后面表格，其三个数依次为：________.8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2 011)f (2 010)＝________. 9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f(x)的值域为________．10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f(1－x1＋x )＝x ，求f(2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．2．②③解析①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．3．④解析①中的函数定义域不同；②中y＝x0的x不能取0；③中两函数的对应法则不同．4．9解析由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．5．{x|0≤x≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析 由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1， ∴f(a ＋1)＝f(a)，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2 011)f (2 010)＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ， ∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， ∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}． (3)函数图象如下确定．由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分， 如下图所示．。

5．某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购 买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好 为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 每次购买该种货物的吨数是________ 200 解析：设每次购买 x 吨，则需要购买 x 次，则一年的总运费为 200 400 400 ×2＝ ，一年的存储费用为 x，所以一年的总费用为 ＋x≥2 x x x 400 400 x＝40，当且仅当 x ＝x，即 x＝20 时等号成立，故要使一年 x · 的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买 20 吨． 答案：20
【解】 (1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元(x≥0)，所获利润 分别为 f(x)、g(x)万元， 由题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， ∴根据图象可解得 f(x)＝0.25x(x≥0)， g(x)＝2 x(x≥0)．
(2)①由(1)得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6， ∴总利润 y＝8.25(万元)． ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业可获 总利润为 y 万元， 1 则 y＝ (18－x)＋2 x，0≤x≤18. 4 令 x＝t，t∈[0,3 2]， 1 则 y＝ (－t2＋8t＋18) 4 1 34 ＝－ (t－4)2＋ . 4 4 34 ∴当 t＝4 时，ymax＝ ＝8.5，此时 x＝16,18－x＝2. 4 ∴当 A、B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业 获得最大利润 8.5 万元．
随 x 增大逐渐表现 随 x 增大逐渐表现 随 n 值变 为与 y 轴平行一样 为与 x 轴平行一样 化而不同 存在一个 x0，当 x＞x0 时， 有 logax＜xn＜a x
值的比较

§2.6.2 函数模型及应用(2)
课后训练
【感受理解】
1．有一批机器设备，它原来的总价值为72万元，由于使用折旧，平均每年比上一年要降值%5.5，求第五年末这批机器设备的价值。

2．如图ABC ∆中，AB m AB ,10=边上的高m CD 6=，四边形EFGH 为矩形，那么矩形EFGH 的最大面积为 ；
3．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为kt e y =，其中k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌个数，则k = ，经过5小时，1个病菌能繁殖为 。

4．将进价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每上涨1元，则销售量减少10个，为了获得最大利润，则此商品的售价应为 元；
【思考应用】
5．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资_______________。

6．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2019年1月1日可取回款 _______________。

7．某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元．
【拓展提高】
8．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，约经过 年能使现有资金翻一番．（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）。

3.[考点二]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专 家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为 v＝5log21q0(m/s)，其中 q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当 一只两岁燕子的耗氧量为 80 个单位时，其速度是________m/s. 解析：由题意，燕子静止时 v＝0，即 5log21q0＝0，解得 q＝ 10；当 q＝80 时，v＝5log28100＝15(m/s)． 答案：10 15
随 n 值变化而
逐渐表现为与 渐 表 现 为 与
_y_轴__平行
_x_轴__平行
各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
二次函数模型
[例 1] (2018·启东中学模拟)某企业实行裁员增效，已知现有员 工 a 人，每人每年可创利润 1 万元，据评估，在生产条件不变的情 况下，每裁员 1 人，则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元，但每 年需付给每个下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人 数不得少于现有员工的34，设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元．
4.[考点二]调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通 法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL，在 停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少，则至 少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时) 解析：设 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得 3(1－ 0.5)n≤0.2，即 2n≥15，解得 n≥log215，故至少经过 4 小时他 才可以驾驶机动车． 答案：4