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逆矩阵

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第三章 矩阵的逆

第三章 矩阵的逆

唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4

高等代数3-3矩阵的逆

高等代数3-3矩阵的逆

... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2

大学线性代数：矩阵的逆

大学线性代数：矩阵的逆
* 1 ⎛ d − b⎞ A ⎜ ⎟ = . A = ⎜ ⎟ | A| ad − bc ⎝ − c a ⎠
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例 设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可 令 矩 阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则 有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠

逆矩阵的知识点总结

逆矩阵的知识点总结

逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。

如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。

换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。

只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。

一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。

1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。

其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。

这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。

如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。

二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。

2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。

换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。

2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。

2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。

如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。

2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。

伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。

与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。

线性代数-逆矩阵

线性代数-逆矩阵

=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1

高等数学逆矩阵

高等数学逆矩阵

2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求 的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵 逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求 逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且 可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中 当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆 的逆(元 为a 的倒数 或称 的逆 元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中 单位阵 相当于数的乘法运算中 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵 称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵 称为可逆矩阵 称A-1为A逆阵 逆阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义 对于 阶方阵 如果存在一个 阶方阵 AB = BA = E 使得 则称矩阵A是可逆的 并称矩阵B为 的逆矩阵 的逆 是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的 并称矩阵 为A的逆矩阵 A的逆 矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 是否可逆? 例3: 下列矩阵 是否可逆 若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆 可逆. 所以 A可逆 由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33

线性代数-逆矩阵

10 2
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵

逆矩阵

A
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),

逆矩阵概念

逆矩阵概念逆矩阵概念矩阵是线性代数中的一种基本数学工具，它可以用来描述线性方程组和线性变换等问题。

在实际应用中，我们常常需要求解矩阵的逆，以便解决一些实际问题。

逆矩阵是指对于一个n×n的可逆矩阵A，存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则B称为A的逆矩阵，记作A^-1。

1. 可逆矩阵在定义逆矩阵之前，我们需要先了解可逆矩阵的概念。

一个n×n的方阵A称为可逆矩阵，当且仅当其行列式不为0（det(A)≠0）。

如果行列式等于0，则称该矩阵为奇异矩阵。

只有可逆矩阵才有可能存在逆矩阵。

2. 逆矩阵的求解方法2.1 初等行变换法初等行变换法是求解逆矩阵最常用的方法之一。

首先将原始方程组增广为一个增广矩阵[A|I]，然后通过一系列初等行变换将其变换为[ I | B ]的形式，其中B就是矩阵A的逆矩阵。

初等行变换包括三种操作：交换任意两行、用非零常数乘以某一行、将某一行加上另一行的若干倍。

2.2 列主元法列主元法也是求解逆矩阵的一种方法。

它首先通过高斯消元法将原始方程组化为一个上三角矩阵，然后再通过回带法求解出逆矩阵。

这种方法的优势在于稳定性较高，但计算量较大。

2.3 求伴随矩阵求伴随矩阵也是一种求解逆矩阵的方法。

伴随矩阵是指将原始矩阵A的每个元素替换为其代数余子式所构成的矩阵A*，然后对其进行转置得到的矩阵，即A^-1=1/det(A)×A*^T。

这种方法虽然计算量较小，但需要计算大量代数余子式。

3. 逆矩阵存在条件3.1 方阵可逆只有方阵才有可能存在逆矩阵。

对于非方阵而言，则不存在逆矩阵的概念。

3.2 行列式不为0对于一个n×n的方阵A，如果其行列式det(A)≠0，则称其为可逆矩阵。

只有可逆矩阵才有可能存在逆矩阵。

3.3 线性无关对于一个n×n的方阵A，如果其列向量线性无关，则称其为满秩矩阵。

只有满秩矩阵才有可能存在逆矩阵。

第7讲 矩阵的逆

变换化为单位矩阵 （矩阵是满秩）
A 0
四 逆矩阵的性质
(1) 若A可逆， (A1)1A
AA1=I
(2) 若A可逆，数l0，则(lA )1l1·A1
证明 lA• l1A1 ll1 • AA1 I 所以: (lA )1l1A1
(3) 若A可逆，则 (AT )1(A1)T
证明 AT(A1)T (A1A)T ITI，
所以 (AT )1(A1)T
(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则 (AB )1B 1A1
证明 (AB)(B1A1) A(BB1)A1 AIA1AA1I
所以: (AB )1B 1A1 推论: (ABC)1C 1B 1A1
注意逆矩阵顺 序，和转置相
(ABCD)1D-1 C 1B 1A1
似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
1 1 1
13 20 31
3 1 5 2
2 1 10 4 10 4
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
练习 ：解矩阵方程 X XA B 其中
1 0 1
A
2 3
1 2
03
B
1 3
2 4
1 1
解： X XA B
有 XE XA B
(I-A)-1=I+A+A2+...+Ak-1
证明 (I A)(I A A2 ... Ak1) I A A2 ... Ak1 A A2 ... Ak I Ak I
所以 I-A 可逆,且
(I A)1 I A A2 ... Ak1
矩阵可逆的充要条件
A矩阵可逆
A矩阵可经有限次初等行
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(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m
= Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1
(1 ) (2 ) . ( ) n
高等代数
例16 设
1 1 1 1 P 1 0 2 , 2 , AP P , 1 1 1 3
（ 3） ( A ) ( A ) , （4） ( AB) B A
* * *
1 *
* 1
（ 5） ( A )
*
k
1
(A )
1 k
（ 6） A A
n 1
, ( A* )T ( AT )* , ( A)* n1 A*
高等代数
1 1 1 1 0 2 1 0 0 例3 设 A 1 2 3 B C 5 3 0 1 1 0 1 求矩阵X，使满足矩阵方程 A X B= C
A21 A22 A2n

An1 An 2 Ann
Aij 为行列式 A 中元素aij的代数余子式.
a (2) 特别地，对二阶方阵A c 当 A ad bc 0时，有 d 1 1 A A A ad bc c
1
(1) | A1 || A |1; 1 (2) A | A | A , 且(A ) A. | A|
* 1 * 1
注：这个定理不但给出了一个 方阵是可逆的充 分必要条件，而且还给出了一种求逆矩阵的方法。
高等代数
推论 ： 设A、B是n 阶方阵， 如果 A B = E
或 BA= E , 则 B=A-1。 定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵），
= P ()P -1 . （ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则
k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
高等代数
( ) = a0 E + a1 + … + a m m
m 1 1 1 m 2 2 1 a0 a1 am m n 1 n
由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
2 1 例1: 设 A , 求A的逆矩阵。 1 0
a b 解： 设 B 是A的逆矩阵, c d
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 A12 1 1 (1) A A A ，其中A A1n 其中A为A的伴随矩阵，
b d
b a
一调一反
高等代数
例1
1 1 1 的逆矩阵。 求方阵 1 2 3 0 1 1
高等代数
方阵的求逆矩阵运算满足下列运算规律： （ 1） ( A ) A T 1 1 T （ 2） ( A ) ( A ) （3） (kA)
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
高等代数
高等代数
例5、已知A2-3A=O， (1)证明4E-A可逆,; (2)若 A 0，证3E-A不可逆 .
高等代数
练习：设方阵满足方程 A2 3 A 10 E 0
证明 : A和A 4 E都可逆，并求出它们 的逆矩阵
高等代数
六、矩阵多项式
1. 定义
设 (x) = a0 + a1x + … + amxm 为 x 的 m 次多 项式，A 为 n 阶矩阵，记
定义： 设 A 为 n 阶方阵， .
1
则称矩阵 A 是可逆的，方阵 B 称为 A 的逆矩阵，
1 1 1 2 1 2 例 : 设 A , B , 1 1 1 2 1 2
AB BA E,
1
1 1
（4） ( AB)
1
1 1 A ,其中数k 0 k
B A
1
1
（ 5） ( A )
（ 6） A
1
k
1
(A )
1
1 k
A
高等代数
方阵的伴随矩阵运算满足下列运算规律：
* 1 A | A | A （ 1） 1 * 1 （ 2） ( A ) A | A|
B是A的一个逆矩阵.
高等代数
问题： 存在性？
如果存在，是否唯一？
如何判定？
如何求？
定理1：如果n 阶方阵 A 可逆， 则它的 逆矩阵是唯一的。
高等代数
定理2：A是可逆方阵的充分必要条件是 而且当 A 可逆时，
A 0.
1 * A A A
1
其中 A 是方阵A的伴随阵。 重要 副产品：
高等代数
矩阵 A 的伴随矩阵
A11 A12 A A1n
*
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
n1
满足： AA A A A E
| A || A | ,
(|A| 0)
高等代数
一、逆矩阵的定义、唯一性
归纳总结: 小结所有介绍过的一般n元线性方程组的各种 表示形式.
高等代数
§2-2 逆矩阵 (Invers Matrix)
一、逆矩阵的定义、唯一性
二、矩阵可逆的判别及求法
三、可逆矩阵的性质
高等代数
加法运算 线性运算 数乘运算
矩 阵 运 算
1、不满足交换律；
乘法运算
2、不满足消去律； 3、存在非零的零因子
转置运算
(1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ; (3) (kA)T = kAT; (4) (AB)T = BTAT ;