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第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
成人高考专升本《高等数学二》复习教程高等数学是成人高考专升本考试的重要科目之一，也是考生们普遍觉得较为困难的科目之一、本文将为大家提供一个《高等数学二》的复习教程，帮助考生们更好地备考。
1.复习大纲首先，要明确复习的大纲和重点。
成人高考专升本的《高等数学二》主要涉及到三大部分内容：常微分方程、级数和多元函数。
要仔细研读考纲，明确重点、难点和考点。
2.备考资料准备一本《高等数学二》的教材和相关的辅导资料是必不可少的。
教材是主要的学习材料，逐章进行系统地学习。
辅导资料可以帮助补充和巩固知识，同时提供一些例题和习题等训练。
3.知识概念梳理在学习的过程中，要将每个知识点的概念和公式整理出来，形成一份详细的笔记。
可以将概念和公式写在纸上，然后做一些例题，巩固记忆和理解。
同时，还要注意一些常见的特殊情况和性质，以及一些经典的解题方法。
4.题目分类在备考过程中，要将各个知识点的题目进行分类整理。
可以按照章节进行划分，也可以按照题目类型进行分类。
这样有助于系统地学习和复习，同时也可以发现一些重点和难点。
5.练习题做题是检验学习和理解程度的重要途径。
通过做题可以帮助巩固知识，发现知识点的不足和问题。
可以从教材和辅导资料中选择一些典型的例题和习题进行练习。
同时，还要注重对错题的整理和分析，找出错误的原因和解题方法。
6.重点难点攻克在复习的过程中，可能会遇到一些重点和难点。
可以选择一些典型的例题和习题进行重点攻克和深入理解。
可以寻求老师和同学的帮助，进行讨论和交流。
也可以在网上查找一些相关的讲解视频和资料进行学习。
7.模拟考试在复习结束之前，可以进行一些模拟考试。
可以选择一些真题进行练习，模拟考试的形式和流程，帮助考生们适应考试环境和时间。
模拟考试还可以检验自己的复习情况和考试策略，找出问题和不足。
8.多做题、多总结在复习过程中，要多做题、多总结。
通过做题可以巩固知识和提高解题能力，通过总结可以梳理知识点和理清思路。
高考高等数学复习攻略微分方程应用咱都知道，高考数学里，微分方程应用这一块那可是相当重要！要是能把它拿下，高分不就到手啦！我先给大家讲讲为啥微分方程应用这么关键。
有一次我去监考模拟考，有个同学在做一道涉及微分方程应用的题目时，那抓耳挠腮的样子让我印象特别深。
这道题其实就是要通过建立微分方程模型来解决实际问题，比如物体的运动、人口增长啥的。
可这同学呢，根本就没找到头绪，空着一大片。
当时我就想，这孩子要是考前能好好复习这部分，掌握好方法，也不至于这么无奈。
那咱们怎么复习这部分呢？首先，得把基本概念和公式弄清楚。
啥是微分方程？简单说，就是含有导数的方程。
就像咱们走路，速度是路程对时间的导数，通过建立速度和路程的关系，就能得到一个微分方程。
然后就是多做练习题。
别光做那种一看就会的，要专门找那种有点难度、综合性强的题目来练手。
比如说，有一道关于传染病传播的题目，给定了初始感染人数、传播速度等条件，让你建立微分方程来预测未来某个时间点的感染人数。
这就需要咱们把学到的知识灵活运用起来。
还有啊，要学会总结归纳。
比如说，把不同类型的微分方程应用题目分类整理，找出它们的共同点和不同点。
像物理中的弹簧振动问题、化学中的反应速率问题，虽然背景不同，但解题的思路可能有相似之处。
另外，复习的时候可以找个学习搭子，互相讲讲题，这样能发现自己的不足，也能加深对知识的理解。
我就见过两个同学，一起讨论一道关于经济增长的微分方程应用题目，一个同学从数学角度分析，另一个同学从实际经济现象出发，两个人一交流，思路一下子就开阔了。
最后，一定要保持好心态。
遇到难题别慌，相信自己通过努力一定能解决。
就像跑马拉松，一路上会有各种困难，但只要坚持，终点就在眼前。
总之，微分方程应用这部分虽然有点难，但只要咱们下功夫，多练习，多总结，一定能在高考中取得好成绩！加油吧同学们，相信你们可以的！。
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高数复习方法高等数学是许多学生感到难以理解和掌握的学科之一，然而，通过采用合适的复习方法，我们可以更好地应对高数考试。
本文将介绍一些有效的高数复习方法，帮助学生在考试中取得好成绩。
一、制定复习计划在开始复习之前，制定一个合理的复习计划非常重要。
首先，你需要评估自己对高数各个章节的掌握程度，并根据这些章节的重要性和难度程度来安排复习的时间。
建议将更多的时间分配给你觉得较难的章节，以便更好地理解和掌握它们。
在制定复习计划时，要确保合理安排每天的学习时间，并留出一些时间来复习和巩固已学内容。
同时，要合理利用课余时间，避免拖延复习，确保每天都有时间专注于高数学习。
二、理解概念并进行笔记在复习过程中，理解高数的基本概念是非常重要的。
不要只死记硬背公式和计算方法，而是要深入理解每个概念的含义和应用。
如果你对某个概念感到困惑，可以寻求老师或同学的帮助，或者查找辅导资料进行学习。
另外，做好笔记也是复习的关键。
在学习过程中，记录下重要的公式、定理和解题方法，这些笔记可以在复习过程中帮助你回顾和巩固知识。
同时，通过整理笔记，你也可以更好地梳理知识结构，加深对高数的理解。
三、做大量练习题高数是一门注重实践的学科，做大量的练习题对于学习和掌握高数非常重要。
选择合适的练习题可以帮助你巩固知识，并提高解题能力。
在做练习题时，要注意选择难度适中的题目，并根据自己的复习进度逐渐增加难度。
开始时可以选择一些基础的题目，逐步提升到更复杂的题目。
解题过程中，要注意理清思路，多进行推导和思考，不急于求解，以免错失解题的关键点。
四、参加讨论和解答疑惑在复习过程中，积极参加讨论和解答疑惑是非常有效的学习方法。
与同学一起讨论高数问题，可以促进互相理解和学习。
你可以参加课堂上的讨论，加入学习小组或在线论坛，与其他学生分享和交流高数的学习经验和困惑。
同时，不要害怕提问，当你对某个问题感到困惑时，及时向老师或同学请教。
解决疑惑有助于加深对知识点的理解，并及时消除错误的概念。
《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθee （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e x x e y -=-2/π5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题6.已知x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.23)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22-==⇒++=+x x e xx x y x 与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题9.⎰=-x x dt t x dxd 022sin )sin( ⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n nxn n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(2622147302141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：20202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-⇒=-⎰⎰ 10.求)0(0)1ln()()(2n fn x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543n nn x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n fn n E.不等式的证明11.设)1,0(∈x ，211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x h F.中值定理问题12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++= 其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.2e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b e a b ->- 证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange =--令ξξln 2ln ln ,ln )(222=--=a b a b x x f 令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(ee t t t t t t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ )(4ln ln 222a b ea b ->- （关键：构造函数）三、补充习题（作业） 1.23)0('',11ln)(2-=+-=y xx x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y t e x tt处切线为在3.ex y x x e x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(xx x g x g x g x x x x g -=---= 02)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法 A.积分计算1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2sec )1(tan 2222223.设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )( 解：⎰⎰+=dx e e dx x f xx )1ln()(⎰+++-=+-++=--C e e x dx ee e e xx xx xx)1ln()1()11()1ln( 4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π B.积分性质5.)(x f 连续，⎰=10)()(dt xt f x ϕ,且A xx f x =>-)(lim0，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连续性。
