专题16 坐标系与参数方程(高考押题)-2017年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破(解析版)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

专题21 坐标系与参数方程（仿真押题）2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－错误!)＝错误!，曲线C的参数方程为错误!（1)写出直线l的直角坐标方程；(2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)∵ρsin（θ－错误!)＝错误!，∴ρ(错误!sinθ－错误!cosθ)＝错误!，∴错误!y－错误!x＝错误!,即x－错误!y＋1＝0。

故直线l的直角坐标方程是x－3y＋1＝0.(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cos α,2sinα），∴曲线C上的点到直线l的距离d＝错误!＝错误!≤错误!，故最大距离是错误!.方法二：曲线C是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为错误!，∴最大距离为错误!＋2＝错误!。

2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(α为参数）．(1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2）已知A(－2，0）,B（0，2)，圆C上任意一点M（x，y）,求△ABM面积的最大值．解：(1）圆C的参数方程为错误!（α为参数），所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0。

(2)点M(x，y）到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝错误!，故△ABM的面积S＝错误!×｜AB|×d＝|2cosα－2sinα＋9|＝｜2 错误!sin（错误!－α)＋9|，所以△ABM面积的最大值为9＋2 错误!.3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!(t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ。

(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程;(2）求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ〈2π）．解：(1)将直线l:错误!(t为参数)消去参数t，化为普通方程错误! x－y－2 错误!＝0，将错误!代入错误!x－y－2 错误!＝0,得错误!ρcosθ－ρsinθ－2 3＝0.4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ。

第1讲坐标系与参数方程极坐标方程及其应用共研典例类题通法1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r,则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ错误!－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：（1）当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2）当圆心位于M（a，0)，半径为a:ρ＝2a cos θ；（3)当圆心位于M（a,错误!)，半径为a：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α,则它的方程为：ρsin（θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0;(2)直线过点M（a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过点M(b，π2）且平行于极轴:ρsin θ＝b.3．极坐标与直角坐标的互化方法点M 直角坐标（x,y)极坐标(ρ，θ）互化公式错误!错误!（2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误!(t为参数,a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。

【解】（1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋（y－1）2＝a2。

C1是以（0，1）为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0。

（2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组错误!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0,由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去）或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1。

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编坐标系与参数方程2017.021、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．2、（荆门市2017届高三元月调考）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），曲线C 2的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4πα=时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4πα=-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 的极坐标方程为4cos 2sin .ρθθ=+（1）求直线l 和C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.7、（襄阳市2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程； (2))若直线3C 的极坐标方程为()4R πρρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N 求2MNC ∆的面积.8、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考） 在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为1cos sin x t t t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线2:12x m t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与圆C 交于A,B两点，且AB =m 的值.10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案1、（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=，∴曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=∵直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，代入22610x y x +-+=整理得28cos 80t t α-+=∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 320α∆=-≥即cos 2α≥或cos α≤ ∵[)0,απ∈ ∴α的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭………5分（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=可化为22(3)8x y -+=其参数方程为3x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） ………7分∵(),M x y 为曲线C 上任意一点，∴334sin()4x y πθθθ+=++=++∴x y +的取值范围是[]1,7-．………10分2、（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(3)4x y -+=，即05622=+-+x y x ，………………2分将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得26cos 50ρρθ-+=；所以，曲线C 的极坐标方程是26cos 50ρρθ-+=． (5)分 （Ⅱ）曲线l 的方程sin cos 1ρθρθ+=，则1x y +=, ………………………………………7分将1x y =-代入22(3)4x y -+=解得0y =和2y =- 即交点(1A ，(3,2)B -，弦长为AB =…………………………………………10分3、解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即． 5分 （Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．10分4、 (Ⅰ) C 1是圆，C 2是椭圆当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3…………………………………………2分 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1……………………………………………………5分(Ⅱ) C 1，C 2的普通方程分别为221x y +=和2219x y += ………………………6分当4πα=时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为x =与C 2的交点B 1的横坐标为x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称因此直线A 1 A 2 、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为sin ρθ=sin ρθ=10分 5、6、（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则P 到直线l的距离2cos 4d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 2d =. 故点P 到直线l的距离的最小值为2. （Ⅱ） 曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，()4t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a的取值范围为(0,. 7、(Ⅰ)解：C 1：cos 2ρθ=-2分由22(1)(2)1x y -+-=得：222440x y x y +--+=∴C 2：2cos 4sin 40ρρθρθ--+=5分 (Ⅱ)解：直线C 3的直角坐标方程为：0x y -= 6分 C 2到直线C 3的距离为d ==，||MN ==8分 211||22MNC S MN d ∆=⋅=． 10分8、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos (222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分 它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分（Ⅱ）法一：当4πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 22221(为参数) 点P )0,1(在直线上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分 设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=dr AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分9、解(1)由圆C 的参数方程可得圆C 的圆心为（2,0），半径为2，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 4= .………………………………………………………4分(2)由直线)(2123:为参数t t y t m x l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=可求得直线l 的直角坐标方程为03=--m y x .由15=AB 知圆心)0,2(C 到l 距离2122=-=m d ,可得1=m 或3=m .………10分10、解:（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=， 即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=．所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ………………5分（Ⅱ） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)，所以弦长22=OA ． ……10分。

1．在极坐标系中，过点2，π2且与极轴平行的直线方程是()A．ρ＝2 B．θ＝π2C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2[来源学科网ZXXK]2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝t，y＝2t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0.则l与C的交点直角坐标为________．[来源学科网ZXXK]3．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a的值为________．4．已知曲线C1：ρ＝22和曲线C2：ρcosθ＋π4＝2，则C1上到C2的距离等于2的点的个数为________．5．在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为x＝cos α，y＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点个数为________．6．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A4，π6到圆心C的距离是________．7．在极坐标系中，点M4，π3到曲线ρcosθ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．8．在平面直角坐标系下，曲线C1：x＝2t＋2a，y＝－t(t为参数)，曲线C2：x＝2sin θ，y＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．9．已知曲线C的参数方程为x＝2cos t，y＝2sin t(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．[来源:]10．已知点P(x，y)在曲线x＝－2＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数，θ∈R)上，则yx的取值范围是________．11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是x＝2＋2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)．[来源:](1)将C1的方程化为普通方程；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C1与C2的交点的极坐标．12．(2014·郑州质检)已知曲线C1：x＝－2＋cos t，y＝1＋sin t(t为参数)，C2：x＝4cos θ，y＝3sin θ(θ为参数)．。

专题16 坐标系与参数方程【2017年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B 级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数). 【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】【2016年高考北京理数】在极坐标2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此【举一反三】 (2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．解析 依题已知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.答案522【变式探究】(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析 在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1. 答案 1【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．【变式探究】(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想． 【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化 【例2】【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）,与C 交于,A B率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=【变式探究】 (2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1 (1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 参数方程及其应用【例3】 【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1 【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.【举一反三】(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)【变式探究】(2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. ②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．。

专题21 坐标系与参数方程（命题猜想)2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程 例1、【2016年高考北京理数】在极坐标系中,直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______。

【答案】2【解析】直线310x y --=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】2015·全国卷］ 在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2，圆C 2：（x －1)2＋(y －2）2＝1，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1)求C 1，C 2的极坐标方程；（2)若直线C 3的极坐标方程是θ＝π4（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ,N ，求△C 2MN 的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：错误!（t 为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π3（ρ∈R ），l 与C 相交于A ，B 两点． （1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2）设线段AB 的中点为M ，求点M 的极坐标．解：（1）直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，则直线l 的参数方程为错误!(t 为参数）．曲线C 的普通方程为y ＝x 2－6.(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2,将错误!代入y ＝x 2－6,得t 2－2 错误!t －24＝0，∴Δ＝108>0，t 1＋t 2＝2 3，∴错误!＝错误!,即点M 所对应的参数为错误!,∴点M 的直角坐标为(错误!，错误!)，∴点M 的极坐标为（错误!,错误!)．【命题热点突破二】简单曲线的参数方程例2、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ。

2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：根据（2012—2017）的考查统计，可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关系为主要考查形式.知识：极坐标方程⇔普通方程⇔参数方程之间转化；方程 椭圆 表示出椭圆上的点（ϕϕsin ,cos b a ）； 离（最值）等问题；抛物线 表示出抛物线上的点（22,2pt pt ）； 2．能力（1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力.（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.3．思想方法（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想.（2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想.二、亮点扫描【例题一】（2016课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；由 2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=， 得2+12cos 110t t α+=,22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-.【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==,由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k x x +++=, 222121212214411()4441AB k x x k x x x x k=+-=++-=-+. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为2121212()4ρρρρρρ-=+-.（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为2121212()4t t t t t t -=+-.（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为22212121211()4k x x k x x x x +-=++-.【例题二】（2017全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ= 14cos OM ρθ==，||||16OM OP ⋅=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ∆面积 213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=--. 知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理. 【例题三】（2017全国课标III ） 在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)写出C 的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.(Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点322()22M 求得M 的极径. 【解法二】直线3l 的参数方程为22222y y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 的普通方程224x y -=，得1t =-，322(,)M -求得M 的极径. 【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直线3l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )20ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，5ρ=. 知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用， 方法：求直线与曲线的交点坐标问题.（1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标.（3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，【例题四】（2017江苏高考）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 参数方程为22,22x s y s ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ， 点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-，知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.方法：抛物线的普通方程为22y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】（2017年厦门市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其中πα<≤0.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C ：θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.（Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值；（Ⅱ）已知点)02(，Q ，直线l 与2C ：1322=+y x 交于B A ，两点，求ABQ ∆面积. 【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为0422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t t αα，0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为31132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线得063852=++t t21221214)(t t t t t t AB -+=-=.考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.【例题二】（2017年福州市第一次检测）在平面直角坐标系xOy 中，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-．（Ⅰ）求1C 的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）（Ⅱ）【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x y --= 因为直线2C ：22330x y --=与曲线1C ：22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点， 所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2，倾斜角为6π，曲线2C 的参数方程为332212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入1C ：22(2)1x y -+=，得242330t t --=， 2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】（2017年三明市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线2cos()204πρθ--=，曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）1C .（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．【解析】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为222y x =-. （Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=，(2,0)P 在l 上，l 参数方程为22222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）代入曲线1C 方程得22240t t +-=,120,0t t ><，212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-.考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-四、复习启示1. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：①极坐标ρ的几何意义；②直线标准参数t 的几何意义；③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识.3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.。

选考内容（一）坐标系与参数方程1.坐标系（1)理解坐标系的作用。

（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

(5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2。

参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.学％（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

（二）不等式选讲1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） a b a b +≤+ . （2) a b a c c b -≤-+-.(3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.(2）了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义， 并会证明.①柯西不等式的向量形式：||||||.⋅≥⋅αβαβ ②22222()(+)()a b c d ac bd +≥+。

③222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-≥-+-。

（此不等式通常称为平面三角不等式。

）3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4。

会用向量递归方法讨论排序不等式.5.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题。

6.会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立。

第十六章 选讲内容第一节 极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1.（2017天津理11）在极坐标系中，直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 1.解析直线14sin 1022ρθθ⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=，由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=，得其直角坐标方程为222x y y +=，即()2211x y +-=，则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为2.2.（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为___________.2. 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，化为普通方程为222440x y x y +--+=， 即()()22121x y -+-=，由圆心为()1,2，P 为()1,0，则AP 最小值为1.故选D.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 3．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠.（2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大， max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2.题型161 直角坐标方程化为极坐标方程 题型162 参数方程化普通方程4.（17江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．4.解析 直线l 的普通方程为280x y -+=． 因为点P 在曲线C 上，设()22P s ，从而点P 到直线l的距离224sd +==当s =min d =因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值为5．5.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .5.解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219xy +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==3tan 4ϕ=． 依题意得max d 16a =-或8a =.6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21:2l y x k=+ ② ⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=，联立2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．题型163 普通方程化参数方程——暂无 题型164 参数方程与极坐标方程的互化——暂无第二节 不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式7.（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++，()11g x x x =++-.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x …的解集； （2）若不等式()()f x g x …的解集包含[]–11，，求a 的取值范围. 7.解析 （1）当1a =时，()24f x x x =-++为开口向下，对称轴为12x =的二次函数， ()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，剟，当(1,)x ∈+∞时，令()()f x g x 単，即242x x x -++…，解得x ⎛∈ ⎝⎦.当[]11x ∈-，时，令()()f x g x 単，即242x x -++…，解得[]1,1x ∈-． 当()1x ∈-∞-，时，令()()f x g x 単，即242x x x -++-…，解得x ∈∅． 综上所述，()()f x g x …的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立，即220x ax --≤在[]11-，恒成立， 则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩……，解得11a -剟． 故a 取值范围是[]11-，． 8.（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--．（1）求不等式()1f x …的解集； （2）若不等式()2–f x x x m+…的解集非空，求m 的取值范围．8．解析 （1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩…….由()1f x …，可得①当1x -…时显然不满足题意； ② 当12x -<<时，211x -…，解得1x …； ③ 当2x …时，()31f x =…恒成立.综上，()1f x …的解集为{}1x x …. ⑵不等式()2f x x x m -+…等价于()2f x x x m -+…， 令()()2g x f x x x =-+，则()g x m …的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦…. 而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩…….①当1x -…时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x …时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上所述，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ….题型166 不等式的证明题型167 函数单调性在证明不等式中的应用 题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无9.（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明：8ac bd +…．9.解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd a bcd +++…，因为224a b +=，2216c d +=，所以()264ac bd +…，因此8ac bd +…． 10.（2107全国2卷理科23）已知0a >，0b >，332a b +=，求证：（1）()()554a b a b ++…； （2）2a b +…．10．解析 （1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥，1a b ==时取等号． （2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…，所以()38a b +≤，即2a b +≤，当且仅当1a b ==时等号成立．。