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航新人教A版选修2-2
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导航新人教A版选修2-2
定积分在物理中的应用
思考
提示:路程是位移的绝对值和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程：
⎰v（t)d t；
(1）若v(t)≥0,s＝b
a
（2）若v(t）≤0,s＝b
-⎰v（t)d t；
a
⎰v（t）d t－b c⎰v （3)若在区间［a，c］上v（t)≥0，在区间[c，b］上v(t）＜0，则s＝c
a
（t）d t。
思考2求变力做功问题的关键是什么？
提示：（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．
（2)由功的物理意义知，物体在变力F(x）的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动,使物体从x＝a移动到x＝b（a＜b）．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．
⎰F（x)d x即可求出变力F（x)所做的功．
（3)根据变力做功公式W＝b
a。
§1.7定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈［a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?b a f(x)d x.(2)当x∈［a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－?b a f(x)d x.(3)当x∈［a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝?b a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥０时，求某一时间段内的路程和位移均用21()tttv d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t ttv d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t ttv d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝?b a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝?b a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为?b a F(x)d x.1．曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为?10x3d x＋?21(2－x)d x.( √) 2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( ×)3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( ×)类型一利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S＝________.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案1 3解析由y2＝x，y＝x2，得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD ＝?10x d x－?10x2d x＝2332x10－13x310＝23－13＝13.反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限．(3)确定被积函数．(4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练 1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝ba -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即ba ⎰v (t )d t .【典型例题1】有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．思路分析：(1)→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移(2)→ 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝40⎰(8t －2t 2)d t －64⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340|－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364|＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为60⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360|＝0. (2)依题意0t⎰(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6是所求的值．探究二 求变力做功求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝ba ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．【典型例题2】一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．思路分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力——位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x＝4处力F (x )做的功为20⎰10d x ＋42⎰(3x ＋4)d x ＝10x 20|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42|＝46(J)． 探究三 易错辨析易错点：忽视单位换算导致计算错误【典型例题3】设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．错解：由题意知F (x )＝kx ，由已知x ＝5时，F (5)＝100，∴5k ＝100，∴k ＝20，∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功W ＝150⎰20x d x ＝10x 2150|＝10×152＝2 250(J)．错因分析：没有将位移单位换算成米，导致功的单位不是焦耳．正解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意，得F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2 000.∴F(x)＝2 000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为2 000x d x＝1 000x20.150|＝22.5(J)．W＝0.15。
高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。
1。
7.1 定积分在几何中的应用［学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．[知识链接］1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积?答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f（x)〈0时，f（x）与x轴所围图形的面积怎样表示?答如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x),所以S＝错误!（0－f（x））d x＝－错误!f（x)d x。
［预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x∈[a，b］时，若f(x)>0,由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积S＝错误!f(x）d x.（2）当x∈［a,b］时，若f(x)〈0,由直线x＝a,x＝b(a≠b）,y＝0和曲线y＝f（x)围成的曲边梯形的面积S＝－错误!f(x)d x.(3)(如图)当x∈［a，b]时,若f(x）〉g（x)>0时，由直线x＝a，x＝b（a≠b)和曲线y＝f(x),y ＝g（x)围成的平面图形的面积S＝错误!［f(x）－g（x）]d x.要点一不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由错误!得错误!或错误!所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝错误!－3[(－x＋2）－（x2－4)］d x＝错误!－3（－x2－x＋6）d x＝错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!。
1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a bf (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛ab f x d x ； (2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cb f (x )d x □06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上， 当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形X 围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)由曲线y ＝e x，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为________． (3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】 已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.。
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。
1。
7。
1 定积分在几何中的应用 1。
7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．(2016·广州高二检测)用S表示图1。
7。
4中阴影部分的面积，则S的值是（)图1。
74A.错误!f(x）d xB。
错误!C.错误!f（x)d x＋错误!f(x）d xD。
错误!f（x）d x－错误!f（x）d x【解析】在区间[a，b］上图形在x轴下方，积分为负值,∴S＝错误!f(x)d x－错误!f（x）d x。
故选D。
【答案】D2．如图1.7.5，阴影部分的面积是（）图1。
75A．2 3 B．2－错误!C.错误!D.错误!【解析】S＝错误!（3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!。
【答案】C3．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s）做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【解析】S＝错误!(3t2＋2t）d t＝（t3＋t2)｜错误!＝33＋32＝36(m）．【答案】B4．如果某飞行物以初速度v0＝10 m/s,加速度a(t）＝10t m/s2做直线运动，则飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为( )A．40 m/s B．45 m/sC．50 m/s D．55 m/s【解析】飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为v＝v＋错误!a（t)d t＝10＋错误!10t d t＝10＋5t2错误!＝55 m/s.【答案】D5．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于（)A. 错误!(x－x3)d xB. 错误!（x3－x)d xC．2错误!（x－x3）d x D．2错误!(x－x3）d x【解析】由题意知,由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2错误!（x－x3)d x。
