浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

2020-2021学年台州一中、天台中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={−1,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B为()A. {1,2，4}B. {2,3，4}C. {−1,2，4}D. {−1,2，3，4}2.设F1、F2是双曲线C的两个焦点，若曲线C上存在一点P与F1关于曲线C的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率是()A. √2B. √3C. 2D. √53.复数等于()A. B. C. D.4.设a>1，b>1，则“a>b”是“be a>ae b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)={(x+2)2−1,x<−1,0,−1≤x≤0,当函数y=f(x−1)−12−k(x−2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时，则实数k的取值范围是() A. (0,6−√30) B. (6−√30,2−√2)C. (14,6−√30) D. (14,2−√2)6.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ=x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=()A. 1B. 4C. 3D. 27. 已知向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量，若(√2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )⊥(√2e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )，则向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角大小为()A. 0B. π4C. π2D. π8. 已知AB、CD分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长、短轴，下列命题正确的是()①∃点P∈C，使得PA⊥PB；②∀点P ∈C ，且直线PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2为定值；③∀点P ∈C ，且直线PC 与PD 的斜率分别为k 3，k 4，则k 3k 4为定值；④当P 与C 或D 重合时，∠APB 最大．A. ①②③B. ①②④C. ②③D. ②③④9. 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，则下列命题中真命题是( )A. “a 2+b 2>c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件B. “a 2+b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的必要不充分条件C. “a 3+b 3=c 3”是“△ABC 为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D. “a 32+b 32=c 32”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件10. “｜x ｜<1”是“<0”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)12. 若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边长的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为______ ．13. 双曲线的顶点到渐近线的距离等于________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x >00,x =0x 2+mx,x <0是奇函数，则实数m 的值是 (1) ；若函数f(x)在区间[−1,a −2]上满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是 (2) ．15. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 (1) ；表面积为 (2) ．16. 若数列{a n}满足1an+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为调和数列，已知数列{1x n}为调和数列，且x1+x2+⋯+x20=200，则x1+x20=(1)；若x5>0，x16>0，则x5⋅x16的最大值为(2)．17. 已知多项式(x−1)3⋅(x−2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a1=(1)，a5=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=3sin2x．(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19. 如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PDE所成的角；(3)求点B到平面PDE的距离．20. 已知数列{a n}满足：2a1+2a2+⋯+2a n−1+2a n=2n+1−2,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n =2a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n .若存在实数λ，使得λ≥T n ，试求出实数λ的最小值．21. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)过点M(1,−2)，且焦点为F ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若直线l 经过抛物线C 的焦点F ，当线段AB 的长等于5时，求直线l 方程．(3)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．22. 已知m ∈R ，函数f(x)=(x 2+mx +m)⋅e x ．(Ⅰ)当m <2时，求函数f(x)的极大值；(Ⅱ)当m =0时，求证：f(x)≥x 2+x 3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合A={1,2，3}，U={−1,1，2，3，4}，所以∁U A={−1,4}，所以(∁U A)∪B={−1,4}∪{2,4}={−1,2，4}．故选C．利用补集运算求出∁U A，然后直接利用交集运算求解．本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题．2.答案：D解析：解：设F(−c,0)，渐近线方程为y=bax，对称点为F′(m,n)，即有nm+c =−ab，且12⋅n=12⋅b(m−c)a，解得：m=b2−a2c ，n=−2abc，将F′(b2−a2c ,−2abc)，即(c2−2a2c,−2abc)，代入双曲线的方程可得(c2−2a2)2c2a2−4a2b2c2b2=1，化简可得c2a2−4=1，即有e2=5，解得e=√5．故选D．设F(−c,0)，渐近线方程为y=bax，对称点为F′(m,n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．3.答案：B解析：试题分析：由，选B．考点：复数的四则运算。

浙江省台州市2021年高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一上·黑龙江期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .3. （2分）设等差数列的前n项和为，且,则使得的最小的n为（）A . 10B . 11C . 12D . 134. （2分）已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上动点，点A的坐标为（， 1）．则的最大值为（）A .B .C . 4D . 35. （2分）函数f（x）=x3+x﹣3的实数解落在的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [2，3]D . [3，4]6. （2分） (2018高二上·深圳期中) 等差数列的前项和为，若，则等于（）A . 58B . 54C . 56D . 527. （2分） (2019高一上·青冈期中) 已知函数，则的值是（）A . -2B . -1C . 0D . 18. （2分） (2018高三上·吉林期中) 函数的零点个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个9. （2分）(2018·衡水模拟) 如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA1= 面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·孝感期末) 设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，+∞）C . （﹣1，0）D . （﹣∞，0）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·会宁期中) ________．12. （1分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|，且f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，则a的取值范围为________．13. （1分） (2019高三上·韩城月考) 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数；⑤已知，，则的最大值是．写出所有正确的命题的题号________.14. （1分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________ ．15. （1分） (2019高一上·临渭期中) 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是________三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2016高三上·湖州期中) 如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C： =1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得• = ，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．17. （10分） (2017高二下·赣州期末) 设命题p：实数x满足|x﹣1|＞a其中a＞0；命题q：实数x满足＜1（1）若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18. （15分） (2016高一上·南京期末) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0， ]上是单调增函数，求θ的取值范围．19. （10分） (2019高三上·衡阳月考) 已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证： .20. （10分） (2018高二上·舒兰月考) 设数列的前n项和为，且，数列满足，．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2020高三上·南昌月考) 设函数 .（1）若函数f(x)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围;（2）若a=2，k∈N，g(x)=2-2x-x2,且当x>2时不等式k(x-2)+g(x)<f(x)恒成立,试求k的最大值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

台州一中2020学年高三年级调考试题数学参考答案及评分标准2020.11 。

11. (，[1,)-+∞ 12.，1 13.4，0 14. 45，115. (0,1] 16.17. 3[,)2+∞ 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()sin 1f x x x =++，12(sin )12sin()1223x x x π=++=++， 由()=2sin()113f παα++=， 得(+)03f πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； …………………………………………6分 （Ⅱ）由题知，2()(2())(2)2sin(2)+1633g x f x f x x πππ=+=+=+， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或 5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或 122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|,24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. …………………………………14分 19.（本题满分15分）（Ⅰ）证明：由题知，AB PB AB BC ⊥⊥，，得AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⊥平面PBC ； ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB ⊥平面PBC ，∴AB PC ⊥， 由AB CD ，得CD PC ⊥，又CD BC ⊥,∴PCB ∠即为二面角P CD A --的平面角θ， PCB 中，22236cos 28BC PC PB BC PC θ+-==⋅,2,1BC PB AB ===, 可得6PC =或6，又PC BC >，∴6PC =， ∴227PD PC CD =+=.过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，可得15sin 4PQ PC PCQ =⋅=， 由平面PBC ⊥平面ABCD ，得PQ ⊥平面ABCD ，设点D 到平面PAB 的距离为h .由D PAB P ABD V V --=,得1133PAB ABD Sh S PQ ⋅=⋅， 而1==12PAB ABD S S ，，∴152h PQ ==， 设PD 与平面PAB 所成角为ϕ，则151052sin 7h PD ϕ===. ∴PD 与平面PAB 所成角正弦值为10514. …………………………………………15分 （其他解法请酌情给分）20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）数列{}n S n是公差为12的等差数列，且 1141S a ==， 可得17=22n S n n +，217=22n S n n +， ∴-13(2)n n n a S S n n =-=+≥，又14a =， ∴*3(N )n a n n =+∈； …………………………………………5分 （Ⅱ）22111111[](1)(1)(3)(1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)n n b n a n n n n n n n n n ==<=-++++++++++ 11=32b ， 当2n ≥时，12n b b b +++11111111[]32234454556(1)(2)2(3)n n n n <+-+-++-⨯⨯⨯⨯++++（）1111=[]322342(3)n n +-⨯++（） 1117<3223496+=⨯ ， 又737419631=0964196419641⨯-⨯-=-<⨯⨯ ∴12341n b b b +++<， 又113=3241b <， ∴*123N .41n b b b n +++<∈， ……………………………………………………15分 21．（本题满分15分）解：（Ⅰ）(i)由题知，抛物线2:2(0)M y px p =>上有一点(4,4)P ， 2p ∴=，∴抛物线M 的方程为24y x =；(ii)设(,0),(,0),(,0),E m D m t G m t -+其中0t >，则1244,44k k m t m t==-+--， 12(1)(1)1k k --=，12118214m k k -∴+==，2m ∴=，(2,0)E ， PB ∴直线方程为240x y --=； ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0)E (2,0),(2,0),0D t G t t -+>，则PA 方程为44(4)2y x t -=-+，即4(2)480x t y t -++-=，由24(2)4804x t y t y x-++-=⎧⎨=⎩，得2(2)480y t y t -++-=，2(2)2,4A A t y t x -∴=-=，即2(2)(,2)4t A t --， 而PC 方程为44(4)2y x t-=--，即4(2)480x t y t ----=， 同理可得2(2)(,2)4t C t +--，∴点A 到直线PB 的距离为2125d =，点C 到直线PB的距离为22d =， 记11221||62||16||2PAB PCB PB d Sd t S d t PB d λ-====+， 设过点P 的抛物线M 的切线l 为4(4)y k x -=-，由24(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得2416160ky y k -+-=，由=0∆，得12k =， 所以切线方程为24=0x y -+，令0y =，得4x =-，06t ∴<<，612=1(0,1)66t t t λ-∴=-∈++， 112111(,1)(1)S 12PBC PBC PAB PBC PABC S SS S S S S S λλ∴====∈+++四边形. …………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）1a =时，()ln f x x x x =+，()ln 2f x x '=+， 令()ln 20f x x '=+>，得21x e> ， ()f x ∴在21(0,)e 上递减，在21()e +∞，上递增； ……………………4分 （Ⅱ）由题知，ln (2)20x x a x a +-+-> ，即2ln (2)0a x a x-+-+>对于任意的1x >恒成立， 设2()ln (2)(1)a g x x a x x-=+-+>， 2212(2)()a x a g x x x x ---'=-=，1x >， (1)3a ≤时，(2)0x a -->，()0g x '>，()g x 在1x >时单调递增，()(1)0g x g ∴>=满足条件；(2)3a >时，21a ->，(1,1)x a ∈-时，()0g x '<，(1)x a ∈-+∞，时，()0g x '>， 即函数()y g x =在(1,1)a -递减，在(1)a -+∞，递增，当(1,1)x a ∈-时，()(1)0g x g <=，与()0g x >在1x >时恒成立矛盾，综上，3a ≤. ……………………10分 （Ⅲ）要证()()f x g x >，即证2ln (2)1x x x a x a ex xe x +-+->-+，即2ln (1)1x x x a x a ex xe +-+->-，设2()()1x x h x ex xe x ex e x =-=->，，设,1x y ex e x =->，则0x y e e '=-<，x y e ex =-在1x >时为减函数， 所以0x ex e -<，即()0h x <，设()ln (1)1ln (1)(1)x x x a x a x x a x ϕ=+-+-=+--，1x >，设ln (1),1y x x x x =-->，ln 0y x '=>，ln (1)y x x x =--在1x >时为增函数， ln 1x x x ∴>-，又2a <，()ln (1)(1)(2)(1)0x x x a x a x ϕ∴=+-->-->，()()x h x ϕ∴>，∴当2a <时，2ln (2)1x x x a x a ex xe x +-+->-+对于任意的1x >恒成立. …15分。

浙江省台州市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，那么（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·山东) 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A . ﹣2iB . 2iC . ﹣2D . 23. （2分） (2019高一上·衢州期末) 对于函数，给出下列选项其中正确的是（）A . 函数的图象关于点对称B . 存在，使C . 存在，使函数的图象关于轴对称D . 存在，使恒成立4. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .5. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．A . 6038B . 6587C . 7028D . 75396. （2分）在等差数列{an}中，a2=4，a4=2，则a8=（）A . -1B . -2C . 4D . 87. （2分） (2017高二上·长沙月考) 根据右边的图，当输入为时，输出的（）A . 28B . 10C . 4D . 28. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），b=， c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞b＞aC . c＞a＞bD . a＞c＞b9. （2分） (2017高三上·漳州期末) 函数y= 的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于（）A . 1B . 2C . 4D . 811. （2分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）设函数， g(x)=+b+C,如果函数g(x)有5个不同的零点,则（）A . b＜-2且C＞0B . b＞-2且C＜0C . b＜-2且C=0D . b≥-2且C＞0二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2017高一下·桃江期末) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），当k=________时，（1）k + 与﹣3 垂直；当k=________时，（2）k + 与﹣3 平行．14. （1分） (2019高一下·大庆月考) 的值为________.15. （2分）(2016·温岭模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为________，目标函数4x2+y2的最小值为________．16. （1分） (2017高三上·九江开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A=120°，c=3，a=7，则△ABC的面积S=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2017高三下·淄博开学考) 已知直线x= 与直线x= 是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．18. （5分） (2016高三上·山西期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．19. （10分） (2017高二下·金华期末) 甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为．（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．20. （5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．求圆C的方程；21. （10分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣3 （a∈R）（1）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，3）；（2）若f（x）在x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3）求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高二下·赣州期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点．（1）求直线l及圆C的普通方程（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值．23. （10分）(2014·安徽理) 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N* ．（1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（2）数列{an}满足a1＞，an+1= an+ an1﹣p．证明：an＞an+1＞．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．16．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．48．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞9．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2311．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．612．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6613．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或714．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<15．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．18．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C ____． 19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 20．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．21．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________22．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.23．不等式211x x --<的解集是 ．24．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.25．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题26．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 27．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 28．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.29．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 30．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A 9．B 10．A 11．B 12．D 13．B 14．A二、填空题16．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的17．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最18．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角19．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(120．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题21．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式22．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数23．【解析】【分析】【详解】由条件可得24．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题25．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c ，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．D解析：D 【解析】 【分析】 把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x ，0y >，20x y xy +-=， 2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 30B B =，即tan 3B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.9．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.10．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.13．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.14．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【解析】分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

台州中学-高三第一学期中考试数学（理科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间1。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高)()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =球的表面积公式 棱台的体积公式24R S π=)(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M= （ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2} 2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．抛物线y ＝－4x 2的焦点坐标是 ( )A.（B.（-1，0）C.（0，161-） D ．（161-，0） 4．在△ABC 中，“3sin 2A >”是“3πA >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是 （ ）6． 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z+=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围为（ ）A ． )5,3(B ． ),21(+∞C ．)2,1(-D ． )1,31(8．设(132)nx y -+的展开式中含y 的一次项为01(),n n a a x a x y +++则01a a +n a ++=（ ）A ．12--n n B ．(2)n n - C ．(2)n n -- D ．1(2)n n ---9．12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为P ，G 是12PF F ∆的重心，且021=∙F F GA ，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．2C ．3D ．310．已知函数),0[,)9()(2+∞∈-=x x x x f 存在区间[,][0,)a b ⊆+∞，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则最小的k 值为( ) A ．36 B ．9 C ．4 D ． 1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望 1.5E ξ=，则a 的值等于 。

浙江省台州市2020版高一上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2020高三上·闵行期末) 已知集合，则 ________.2. （1分） (2019高一上·新丰期中) 设幂函数的图像经过点，则 ________．3. （1分） (2019高三上·江苏月考) 若为上的奇函数，当时，，则的解集为________.4. （2分） (2019高一上·凤城月考) 方程的解集为________;方程解集为________。

5. （1分） (2019高一上·绵阳月考) 函数的定义域是________．6. （1分） (2019高一上·成都月考) 已知函数 (其中、是常数)，且，则 ________.7. （1分） (2016高一上·东海期中) 已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为________．8. （1分） (2018高二下·科尔沁期末) 函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.9. （1分）用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈________（填区间）10. （1分）已知指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是________．11. （1分） (2016高一上·沈阳期中) 已知log3[log4（log2x）]=0，则x=________．12. （1分） (2020高一上·天门月考) 若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数的值为________.13. （1分） (2016高一上·灌云期中) 已知函数f（x）= ，若f（x）=3，则x=________．14. （1分） (2016高一上·虹口期中) 已知关于x的不等式的解集为p，若1∉p，则实数a的取值范围为________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分） (2016高一上·南宁期中) 已知全集U=R，集合，B={x|1＜x＜6}（1）求A∩∁UB；（2）已知C={x|a≤x≤a+1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．16. （10分） (2019高一上·汪清月考) 解下列各题：（1）计算：；（2）化简 .17. （10分） (2019高一上·怀仁期中) 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：5公里以内(含5公里)，票价2元；5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，（1）请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．（2）与在(5，10]内有且仅有1个公共点，求a范围.18. （15分） (2016高一上·上饶期中) 已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f （a）+f（b）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（2）=3，（1）求f（0）及f（1）的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并给予证明；（3）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．19. （10分） (2019高三上·绵阳月考) 已知函数．（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；（2）若，且，求的值．20. （10分）(2020·晋城模拟) 已知函数（其中）. （1）讨论函数的极值；（2）对任意，恒成立，求的取值范围.参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共65分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

浙江省台州中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题一、选择题（每题3分，共14小题） 一、假设{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，那么AB =（ ） Ａ．{}3 Ｂ．{}1 Ｃ．∅ Ｄ．{}1-二、知足{}{}2,11= A 的集合A 的个数为 ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，那么下述对应法那么f 中，不能组成A 到B 的映射的是（ ）A ．2:x y x f =→ B ．23:-=→x y x fC ．4:+-=→x y x fD ．24:x y x f -=→ 4、设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，那么（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 五、函数y=x 53在[－1, 1]上是（ ）A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数六、()ln 2f x x x =+-的零点在以下哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7、假设02log 2log <<b a ，那么（ ）A ．0<a<b<1B ．0<b<a<1C ．a>b>1D ．b>a>1八、已知f(xx +1)=x x x 1122++，那么f (x)=（ ） A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋1九、与函数()lg 210.1x y -=的图象相同的函数解析式是 （ ）A ．121()2y x x =->B ．121y x =-C ．11()212y x x =>- D ．121y x =- 10、已知()y f x =在概念域R 上是减函数，那么函数y ＝f (|x ＋2|)的单调递增区间是（ ）A ．(－∞, ＋∞)B ．(2, ＋∞)C ．(－2, ＋∞) D(―∞, ―2)1一、 已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，那么yx 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或-11二、已知()|log |a f x x =，其中01a <<，那么以下不等式成立的是（ ） A ．11()(2)()43f f f >> B ．11(2)()()34f f f >> C ．11()(2)()34f f f >> D ． 11()()(2)43f f f >> 13、对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．-∞(，－2］B ．［－2，2］C ．［－2，)+∞D ．［0，)+∞14、已知12)(-=x x f ，该函数在区间[a,b]上的值域为[1,2]，记知足该条件的实数a 、b 所形成的实数对为点P （a,b ），那么由点P 组成的点集组成的图形为（ ）A 、线段ADB 、线段ABC 、线段AD 与线段CD D 、线段AB 与BC二、填空题（每题3分，共7小题）1五、函数23()lg(31)1x f x x x=++-的概念域为____________. 1六、概念在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，知足f(1)=0，那么 不等式f(x)>0的解集为__________。

专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

浙江省台州市2020-2021学年高三第一学期期末质量评估数学试题 2021.01命题：（台州一中） （台州中学） 审题：（三门中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高椎体的体积公式：13V Sh =其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高台体的体积公式：()1213V h S S = 其中1S ，2S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A.{}01x x <<B.{}12x x ≤≤C.{}23x x ≤<D.{}03x x <<2.已知A 是ABC △的内角，则“3A π=”是“sin A =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y −≤⎧⎨−≥⎩则x y +的最小值是（ ）A.2B.-2C.1D.-1 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.24 B.28 C.32 D.365.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l ，与抛物线C 在第一象限交于点P ，若4PF =，则点P 的橫坐标是（ ）A.3B.13 C.12D.2 6.函数()f x 的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ） A.()1ln 2f x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ B.()()1ln 2f x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ C.()1ln 2f x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ D.()()1ln 2f x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭7.已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+−− ⎪⎝⎭在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减，则实数m 的最小值是（ ）A. B. 8.在正三棱锥A BCD −中，点P ，Q ，R 分别在棱BC ，BD ，AB 上，12CP CB =，14BQ BD =，12AR AB =，则（ ） A.平面//RPQ 平面ACD B.平面RPQ ⊥平面BCD C.//AC RQ D.PQ AD ⊥9.已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b−=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P 不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A.)+∞ B.)+∞ C.( D.(10.已知数列{}n a 中，112a =，211n n n a a a +=−+，记12a n S a a a =+++，22212n n T a a a =+++，*N n ∈，，给出下列结论： ①11516n a +<；②1210n n a a +−−≤；③56n S n <；④2n n S T n −≤.则（ ） A.①③正确 B.①④正确 C.②③正确 D.②④正确非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分。

台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学（答案在最后）2023.11本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}1,2,2,1A =，(){}|,1B x y x y =-=，则A B = （）A.{}2,1 B.(){}2,1 C.(){}1,2 D.{}1,2【答案】B 【解析】【分析】将集合A 中的元素代入集合B ，验证A B ⋂的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除A ，D ；当1x =，2y =时，1x y -=-，故()1,2A B ∉⋂，故C 错误；当2x =，1y =时，1x y -=，故()2,1A B ∈⋂，故B 正确.故选：B2.若πcos cos 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α的取值可以为（）A.π6 B.π3C.5π6D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】由πcos cos 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1cos 022αα+=，即πsin 06α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ,6k k α+=∈Z ，即π6π,k k α=-∈Z ，当1k =时，5π6α=.故选：C.3.已知非零向量a ，b ，c 满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量a ，b夹角的余弦值为（）A.12B.13C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】由13c a = ，c 为b 在a上的投影向量，1cos ,cos ,cos ,3b a c a b b a ba ab a a a⎛⎫ ⎪==⋅== ⎪⎝⎭所以1cos ,3a ab a =，故1cos ,3a b =故选：B4.设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，且a α⊥，b β⊂，则“//a b ”是“αβ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案【详解】由a α⊥，//a b ，则b α⊥，又b β⊂，所以αβ⊥，故“//a b ”是“αβ⊥”的充分条件.当满足αβ⊥，a α⊥，b β⊂时，直线,a b 可能平行，可能相交，也可能异面.故“//a b ”不是“αβ⊥”的必要条件.故选：A5.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种B.360种C.480种D.504种【答案】C 【解析】【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.【详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选：C6.函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A.112y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.112y f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭C.()42y f x =-D.()42y f x =--【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数图象，由(1)0f =推理排除CD ；由①中函数当1x >时，()0f x >分析判断得解.【详解】由图①知，(1)0f =，且当1x >时，()0f x >，由②知，图象过点(0,0)，且当0x <时，0y >，对于C ，当0x =时，(4)0y f =>，C 不可能；对于D ，当0x =时，(4)0y f =-<，D 不可能；对于A ，当0x =时，(1)0y f ==，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x ->，A 可能；对于B ，当0x =时，(1)0y f =-=，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x --<，B 不可能.故选：A7.已知二面角l αβ--的平面角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，A α∈，B β∈，C l ∈，D l ∈，AB l ⊥，AB 与平面β所成角为π6．记ACD 的面积为1S ，BCD △的面积为2S ，则12S S 的最小值为（）A.2B.C.32D.12【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理、三角形的面积公式、二面角的知识求得正确答案.【详解】过A 作AE l ⊥，垂足为E ，连接BE ，依题意，AB l ⊥，由于,,AE AB A AE AB =⊂ 平面ABE ，所以l⊥平面ABE ，由于BE ⊂平面ABE ，所以l BE ⊥，所以π0,2AEB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭.由于l β⊂，所以平面ABE β⊥，平面ABE BE β⋂=，所以AB 在平面β上的射影为BE ，所以π6ABE ∠=，根据三角形的面积公式以及正弦定理得：12π1sin 1621ππsin 2sin 266CD AES AE S BE CD BE θθ⨯====⎛⎫⎛⎫⨯⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π0,2663θθ<<<+<，所以当ππ62θ+=时，12S S 取得最小值为12.故选：D8.已知1tan 2a =，2tan b π=，c π=，则（）A.a c b<< B.<<c a bC.a b c <<D.<<b c a【答案】A 【解析】【分析】构造函数()tan f x x x =-,π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，讨论得出函数单调性递增后，通过做差或做商判断2π，π大小后，即可判断b ,c 的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断a ,c 的大小.【详解】因为1π26<，连接()0,0和π3,63⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,得割线方程23πy x =,因为tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是下凸函数，所以在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上，割线在正切曲线上方，即23tan πx x >,所以当12x =时，1tan π2>,令()tan f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'2222sin sin cos 1111cos cos cos x x x f x x x x +⎛⎫=-= ⎝'-=-⎪⎭，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为2cos 1x <,即()0f x ¢>，所以()tan f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调增，即tan x x >,2π1=>，所以2ππ>，即2tan ππ>，故21tantan ππ2>>，即b c a >>.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是2【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD ：举例说明即可.【详解】设这5个数字为12345,,,,x x x x x ，对于A ：若取到数字4，不妨设为14x =，则2345425x x x x ++++=，可得23456x x x x +++=，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为231x x ==，则这5个数字的方差()()()()()222222123451222225⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦s x x x x x ()()()22216421212155⎡⎤≥-+-+-=>⎣⎦，不合题意，故A 错误；对于C ：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为11x =，若极差是4，这最大数为5，不妨设为25x =，则这5个数字的平均数()()123453*********=++++=++++=x x x x x x x x x ，则3454++=x x x ，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差()()()()()2222221121252121222155⎡⎤=-+-+-+-+-=>⎣⎦s ，不合题意，故C 错误；对于BD ：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD 正确；故选：BD.10.已知等差数列{}n a 中，1π4a =，公差为π2，tan n n b a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A.()1nn b =-B.()1123112n nb b b b -+-+++⋅⋅⋅+=C.若n n nc a b =，则()11231π4n nnc c c c --+++⋅⋅⋅+=D.若n n nd b S =，则212322π4n n n d d d d ++++⋅⋅⋅+=-【答案】BCD 【解析】【分析】由{}n a 为等差数列，先求出,,n n n a S b ，由11b =可判断选项A ；对于选项B ，分n 为奇数和偶数分别求{}n b 的前n 项和，从而可判断;选项C ，先得出()21Z 2n n n n na n k c ab k a n k=-⎧==∈⎨-=⎩，从而得出，221221π2k k k k c c a a --+=-+=-，再分n 为奇数和偶数分别求{}n c 的前n 项和；对于选项D ，由()21Z 2nn n n nS n k d b S k S n k=-⎧==∈⎨-=⎩，求出()212212π414k k k k d d S S k --+=-=--，从而可求出{}n d 的前2n 项的和.【详解】由{}n a 为等差数列，1π4a =，公差为π2，则()()πππ121424n a n n =+-=-()211π24n n n n S na d -=+=()()121ππππtan tan 1tan Z 124224n n n k n b a n k n k=-⎧⎛⎫⎛⎫==+-==∈⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎩当1n =时，11b =，则选项A 不正确.当n 为偶数时，1230n b b b b +++⋅⋅⋅+=当n 为奇数时，1231n b b b b +++⋅⋅⋅+=故()1123112n nb b b b -+-+++⋅⋅⋅+=，所以选项B 正确.()21Z 2nn n n na n k c ab k a n k=-⎧==∈⎨-=⎩221221π2k k k k c c a a --+=-+=-当n 为偶数时，123π4n n c c c c +++⋅⋅⋅+=-当n 为奇数时，()1231ππ21π444n n nc c c c n -+++⋅⋅⋅+=-+-=所以()112314n nnc c c c π--+++⋅⋅⋅+=，故选项C 正确.()21Z 2nn n n nS n k d b S k S n k=-⎧==∈⎨-=⎩()()()22212212ππ2124144k k k k d d S S k k k --⎡⎤+=-=--=--⎣⎦所以()()()12322322411n n n d d d d d d d d d d -+++⋅⋅⋅++=+++⋅++⋅⋅()π37414n ⎡⎤=-+++-⎣⎦ ()2π341π2424n n n n +-=-⨯⨯=-+，所以选项D 正确故选：BCD11.已知A 为双曲线C ：221169x y -=上位于第一象限内一点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，点B 与点A关于原点对称，点F 为双曲线C 的左焦点，则（）A.若10AB =，则AF BF ⊥B.若AF BF ⊥，则ABF △的面积为9C.2AF AM>D.AF AM -的最小值为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意结合四边形1AFBF 的形状分析A ，B ；将AF AM转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C ；由双曲线定义12AF AM a AF AM -=+-，利用1AF 与AM 之间的关系求最值判断选项D.【详解】设双曲线右焦点为1F ，由题意可知，四边形1AFBF 为平行四边形，如图：由双曲线C ：221169x y -=可知：4a =，3b =，5c =，对于A ，因为10AB =，所以1||AB FF =，所以四边形1AFBF 为矩形，所以AF BF ⊥，故A 正确；对于B ，据双曲线定义可知：1||||8AF AF -=，1||10FF =，若AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则22211||||||AF AF FF +=，所以()22111||||2||||||AF AF AF AF FF -+=，即22182||||10AF AF +=，所以1||||18AF AF =，所以||||18AF BF =，所以11||||18922ABF S AF BF ==⨯= ，故B 正确；对于C ，由双曲线的方程可知，在Rt AFM △中，22222221AF AF AMFMFM AMAMAMAM+==+又因为双曲线渐近线方程为：34y x =±，所以34AF AM k FM=<221651193FM AM+>+=，即53AF AM >，故C 错误；对于D ，()111min288AF AM a AF AM AF AM AF AM -=+-=+-≥+-，当且仅当1||||AF AM =时，AF AM -取到最小值为8，故D 正确.故选：ABD12.已知()g x 是定义域为R 的函数()f x 的导函数，()01f =，()10f =，()()20g x g x +-=，()()01f xg x x +>-，则下列说法正确的是（）A.()21f =B.()13ef >（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋅⋅⋅）C.存在0R x ∈，()00f x <D.若()00,1x ∈，则()()00,1f x ∈【答案】ABD 【解析】【分析】由原函数和导函数的对称性判断A ；令()()e xh x f x =，结合题设条件判断其单调性后可判断B ，C ，D.【详解】因为()g x 是定义域为R 的函数()f x 的导函数，所以()f x 是定义域为R 的可导函数，因为()()20g x g x +-=，所以()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()()2f x f x C =-+，而()()110f f C C =+Þ=，故()()2f x f x =-，所以()f x 的图像关于1x =对称，因为()()01f xg x x +>-，故1x >时，()()0f x g x +>，所以()()0f x f x +'>，设()()e xh x f x =，故1x >时，()()()e 0xh x f x f x ''⎡⎤=+>⎣⎦，故()h x 在()1,+∞上为增函数，同理()h x 在(),1-∞上为减函数，对于A ，因为()()2f x f x =-，故()()012f f ==，故A 正确；对于B ，()()()3223e 3(2)e 2e h f h f =>==，故()13ef >，故B 正确；对于C ，当1x >时，()()()1e 10h x h f >==；当1x <时，()()10h x h >=，而1x =时，()10h =，故()0h x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，当01x <<时，()h x 单调递减，()()00e 01h f ==，()10h =，所以()()0,1h x ∈，故01x <<时，()()e 0,1xf x ∈，而e 1x >，故()()0,1f x ∈，故D 正确；故选：ABD【点睛】思路点睛：抽象函数及其导数性质的讨论中，注意轴对称与中心对称的转化，另外对于原函数与导函数具有的不等式可适当构建新函数，通过新函数的性质得到原函数的性质.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若12z =-（i 为虚数单位），则z =______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为12z =，所以32z ==.故答案为：3214.浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为1:1:2，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为______．【答案】4780【解析】【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理的概率，最后由分类加法算出总概率.【详解】设：事件A ：这个学生来自甲学校；事件B ：这个学生来自乙学校；事件C ：这个学生来自丙学校；事件1D ：甲学校学生选了物理；事件2D ：乙学校学生选了物理；事件3D ：丙学校学生选了物理；由题意知：这个学生选择是物理的概率：()()()1231313114744452280P P AD P BD P CD =++=⨯+⨯+⨯=.故答案为：4780.15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．若角A 为锐角，3b =，4c =，则ABC 的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，()8,12内的任何一个值均可）【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得()1,5a ∈，进而可得周长的取值范围.【详解】由余弦定理可得==a ，因为角A 为锐角，则()cos 0,1A ∈，可得()1,5=a ，所以ABC 的周长()78,12++=+∈a b c a .故答案为：9（答案不唯一，()8,12内的任何一个值均可）.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线C ：24y x =上的点P （不为原点）作C 的切线l ，过坐标原点O 作OQ l ⊥，垂足为Q ，直线PF （F 为抛物线的焦点）与直线OQ 交于点T ，点()0,2A ，则TA 的取值范围是______．【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】设点P ()2,04t t t 骣÷ç÷¹ç÷ç÷桫，切线l 的方程为24t y t k x 骣÷ç÷-=-ç÷ç÷桫，继而求得切线的斜率，由OQ l ⊥可求得OQ 的方程，与直线PF 联立可求得点T 的坐标，继而消参可求得点T 的轨迹方程，则结合图形可求得TA 得范围.【详解】因为点P 为抛物线C ：24y x =上的点（不为原点），所以可设点P ()2,04t t t 骣÷ç÷¹ç÷÷ç桫，且()1,0F 当切线l 的斜率不存在时，切点P 为原点不合题意；当切线l 的斜率存在时，可设为24t y t k x 骣÷ç÷-=-ç÷ç÷桫，联立2244t y t k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2244y t y t k 骣÷ç-=-çç桫，化简可得22440t y y t k k -+-=，令Δ0=，可得2216440t t kk骣÷ç--=÷ç÷ç桫，化简可得()220tk -=，即2k t=，又OQ l ⊥，所以OQ 的斜率2OQ t k =-，所以OQ 的方程2ty x =-，因为点P ()2,04t t t 骣÷ç÷¹ç÷ç÷桫，()1,0F 所以PF 的斜率为2204414PF t tk t t -==--()2t ≠±，则PF 的方程为()2414ty x t =--，联立()22414t y x t y x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得228444x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，即2284,44t T t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，当2t =±时，PF 的方程为1x =，OQ 的方程y x =±则()1,1T -或()1,1T ，满足2284,44t T t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭由228444x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩两式相除可得2x y t =-，即2y t x =-由0t ≠，可得0y ≠再代入284x t =+，可得22844x y x=+，化简可得2220x x y -+=，可得()2211x y -+=()0y ≠，可知点T 轨迹为半径为1r =的圆，圆心为()1,0F ,结合图形可知AF r TA AF r -≤≤+，又1r =，AF =，则1TA ⎤∈⎦.故答案为：1⎤-⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若()*1212n n n a a a n +++=∈N ，5121S=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若ln n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a -=（2）()311ln 32n n n n T -+-=【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求1,a q ，进而可得结果；（2）由（1）可得：()131ln 3n n b n -=+-，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】设{}n a 的公比为()0q q >，因为1212+++=n n n a a a ，即212n n n a q a q a ⋅+=，且0n a ≠，可得2120q q +-=，解得3q =或4q =-（舍去）．又因为()5151312113a S -==-，解得11a=，所以1113n n n a a q--=⋅=.【小问2详解】由（1）可得：()131ln 3n n b n -=+-，所以()()012112333331231ln 3n n n T b b b b n -⎡⎤=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-⎣⎦()()1311ln 313ln 31322n n n nn n --+--=+=-，所以()311ln 32n n n n T -+-=.18.已知()()sin sin cos f x x x x ωω=++∈R ．（1）当0ω=时，求()f x 的最小正周期以及单调递减区间；（2）当2ω=时，求()f x 的值域．【答案】（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()π5π2π,2πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）5,14⎡-+⎢⎣【解析】【分析】（1）应用辅助角公式化简函数，应用公式求得T ，应用整体代入法即可求单调区间；（2）应用换元法，设(sin cos x x t t +=≤≤，则函数转化为()21g t t t =+-，t ⎡∈⎣，即可求解.【小问1详解】当0ω=时，()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，2π2π||T ω==，令ππ3π2π2π242k x k +≤+≤+，()k ∈Z ，得ππππ52244k x k +≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 的最小正周期为2π，单调递减区间为()π5π2π,2πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】当2ω=，()sin 2sin cos 2sin cos sin cos f x x x x x x x x =++=++，设(πsin cos )4x x x t t +=+=≤，则2sin 21x t =-，令()21g t t t =+-，t ⎡∈⎣，又()21524g t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故当t =时，()g t 取得最大值1+，当12t =-时，()g t 取得最小值54-，所以()f x 的值域为5,14⎡-+⎢⎣．19.如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，4AB =，2AD AE ==．将ADE V 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置．（1）若平面APE ⊥平面ABCE ，求证：AP BE ⊥；（2）若点A 到直线PC 的距离为3，求二面角P AE B --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13-或79【解析】【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面APE ，进而可得结果；（2）分析可知POG ∠即为二面角P AE B --的平面角，记为θ，建系，可得()P θθ，结合点到线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，且ADE V 为等边三角形，所以120BCE ∠=︒．又因为E 为CD 的中点，则CE ED DA CB ===，所以BCE 为等腰三角形，可得30CEB ∠=︒，18090AEB AED BCE ∠=︒-∠-∠=︒，即BE AE ⊥，因为平面APE ⊥平面ABCE ，平面APE ⋂平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE ，则BE ⊥平面APE ，且AP ⊂平面APE ，所以AP BE ⊥．【小问2详解】取AE 的中点O ，连接PO ，因为APE V 为等边三角形，所以PO AE ⊥，取AB 的中点G ，则//OG BE ，由（1）得BE AE ⊥，所以OG AE ⊥，所以POG ∠即为二面角P AE B --的平面角，记为θ．以点O 为坐标原点，以OA ，OG ，OZ 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()1,0,0A，()C -，因为OP =，则()P θθ，可得()1,,PA θθ=；(),PC θθ=-，则点A 到直线PC=3=，解得1cos 3θ=-，或7cos 9θ=，所以二面角P AE B --的平面角的余弦值为13-或79．20.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108（1）请根据所给数据求出x ，y 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：5122820iii x y==∑，51435i i y ==∑，i x 的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）ˆ 1.0733.5yx =+，140.5分（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．【解析】【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）根据题意计算出2χ，进而由0.001α=的独立性检验得出答案.【小问1详解】3040506070505x ++++==，435875y ==，又(1,2,3,,5)i x i =⋅⋅⋅的方差为()52112005i i x x =-=∑，所以()()()551152152282055087ˆ 1.0752001000iii ii i i i x x y y x y x ybx x===-⋅-⋅-⋅-⨯⨯====⨯-∑∑∑，ˆˆ87 1.075033.5ay bx =-=-⨯=，故ˆ 1.0733.5y x =+，当100x =时，140.5y =，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．【小问2详解】零假设为0H ：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：()()()()()()22222025130353011012.2216555601609n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为12.2210.828>，所以依据0.001α=的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21.已知椭圆Γ：()22211x y a a+=>的上、下顶点分别为A ，B ，点Q 在线段AB 上运动（不含端点），点()1,0P -，直线PQ 与椭圆交于C ，D 两点（点C 在点P 左侧），PD 中点M 的轨迹交y 轴于E ，F 两点，且2EF =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）记直线AC ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k -的最小值．【答案】（1）2214x y +=（2）2．【解析】【分析】（1）根据中点坐标关系即代入椭圆求解D 点轨迹，即可由2EF =求解24a =，（2）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，根据两点斜率公式可求解1k ，2k ，即可根据二次函数的性质求解最值.【小问1详解】设PD 中点()00,Mxy ，则()0021,2D x y +，因为点Q 在线段AB 上，所以点()0021,2D x y +只能在右半椭圆上运动，所以0021x a <+≤，即01122a x --<≤，由点D 在椭圆Γ：2221x y a +=上，所以()202022141x y a++=，令00x =，得0y =022y =，解得24a =，故椭圆Γ的方程为2214x y +=．【小问2详解】设CD ：()1y k x =+，1k <，()11,C x y ，()22,D x y ．由()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222418410k x k x k +++-=，则2122841k x x k -+=+，()21224141k x x k -=+，又111111111y kx k k k k x x x -+--===+，221k k k x -=+，()()(21121212211111141x xk k k k k x x x x k k ⎛⎫--=--=-=- ⎪+-⎝⎭+，令()10,2t k =+∈，得122k k t -==，当43t =即13k =时取等号，所以12k k -的最小值为2．【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.设()ln xf x x=（1）求证：()21x f x x <-；（2）若()()2ln 1f x n x<-恒成立，求整数n 的最大值．（参考数据ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）将问题转化成求证，1ln 10x x+->，构造函数()1ln 1x g x x =+-，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得出()g x 的单调区间，从而求出()g x 的最小值，即可证明结果；（2）通过取值12x =，得出2n ≤，再利用（1）结果，证明2n =时，()22222ln 11x x x ->-，再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果.【小问1详解】要证：2ln 1x x x x <-，（0x >，1x ≠），只要证：1ln 1x x x <-，又当01x <<时，ln 0,01x x x <<-，当1x >时，ln 0,01x x x >>-，即1x x -与ln x 同号，故只要证：1ln 1x x >-，即证：1ln 10x x+->，令()1ln 1x g x x =+-，（0x >，1x ≠），则()22111x g x x x x -'=-=，当01x <<时，()0g x '<，1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，故原不等式得证．【小问2详解】因为()0,1x ∈，当12x =时，有()1ln 32ln 22ln 2n -<-，则()()()1112,322ln 2ln 3ln 22 1.386 1.0990.69320.2870.693n <≈=∈-⨯-⨯⨯⨯，所以整数2n ≤．当2n =时，由（1）可得()22222ln 11x x x ->-，下证：222ln 1x x x x <-，()0,1x ∈，只要证：11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．令()12ln h x x x x =-+，()0,1x ∈，因为()()222221212110x x x h x x x x x --+'=--=-=-<，所以()h x 在()0,1上单调递减，故()()10h x h >=，所以得证,综上所述，整数n 的最大值为2．【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.。

浙江省台州市2020年（春秋版）高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A . ﹣200B . ﹣160C . ﹣120D . ﹣404. （2分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·大理模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·怀化模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的x为4，则运行的次数与输出x的值分别为（）A . 5.730B . 5.729C . 4.244D . 4.2437. （2分） (2017高一下·彭州期中) 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn ，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：① 、都在函数的图像上；② 、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数,则此函数的“友好点对”有（）对．A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2018高一下·淮南期末) 若直线：经过圆：的圆心，则的最小值为（）A .B . 5C .D . 1010. （2分）已知向量=(2cosα,2sinα)，=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（）A . 相交但不过圆心B . 相交过圆心C . 相切D . 相离11. （2分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=12. （2分） (2016高二上·大庆期中) 双曲线方程为 =1，那么k的取值范围是（）A . k＞5B . 2＜k＜5C . ﹣2＜k＜2D . ﹣2＜k＜2或k＞5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·上海期中) 设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为________14. （1分）(2017·广元模拟) 已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．15. （1分）(2017·大连模拟) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．16. （1分）有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；其中是真命题的有：________ ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·山东开学考) 已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3，T2=3，求Tn．18. （5分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,，两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．19. （10分）(2016·赤峰模拟) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3．（1）求证：SB⊥平面SAD；（2）求二面角D﹣SC﹣B的余弦值．20. （10分）(2019·湖北模拟) 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.21. （15分）(2012·四川理) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（1）用a和n表示f（n）；（2）求对所有n都有成立的a的最小值；（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．22. （10分）(2017·石家庄模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

浙江省台州中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学文科台州中学-学年高三上学期期中考试数学文试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1i i+等于( )A.1+B.―1―C.1―D.―1+2．设U =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A C B=（ ）A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >3．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154．如右程序框图，输出的结果为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．165．若m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ）.A 若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m . .B 若m//n n,,m ==γβγα ，则βα//. .C 若βαγα⊥⊥,，则γβ//. .D 若αβ//m ,m ⊥，则βα⊥. 6. 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）7.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x +1)的最小值是( ) A. 1 B. －1 C. 2k ＋1 D. －2k ＋18. “1a =”是“对任意的正数，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量,,OA a OB b ==其中(3,1),(1,a b ==,O C a b λμ=+且01λμ≤≤≤，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）10．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的直线l 交抛物线于点、，交其准线于点C ，若||2||BF BC =，且3||=AF ，则此抛物线的方程为（ ） A ．x y 232=B ． x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。