方阵最小多项式的求法与应用

§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010110201A 试计算EA A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即AE f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：设nn CA ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为kss k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中si k n ii ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式； 3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。

()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。

（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。

矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。

最小多项式是代数数论的基本概念之一。

A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

方阵最小多项式的性质探讨摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式 概念1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。

命题1：方阵的零化多项式是存在的。

证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由22,,,,n E A A A 这21n +个向量一定线性相关。

则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a , 使得22010n n a E a A a A +++=， 作多项式2201()n n f x a a x a x =+++,且()0f x ≠，有()0f A =,即()n M F 中的任意向量A 来讲，零化多项式是存在的。

概念2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。

由命题1的证明进程，咱们明白最小多项式是存在的。

只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。

可是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,那个估量是比较粗糙的，咱们能够估量得更精准些。

命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。

也就是说能够把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过n 。

下面介绍几个最小多项式的性质：命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。

命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x).命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。

求矩阵的最小多项式例题矩阵的最小多项式是指一个多项式，使得它是一个给定矩阵的最小次数的首一多项式，使得其为零矩阵的根。

在线性代数中，矩阵的最小多项式有着重要的作用。

下面我们来看一个求矩阵的最小多项式的例题。

例题：求矩阵A的最小多项式，其中A为3阶方阵，元素为：$$A=begin{bmatrix}2 & -1 & 0-1 & 2 & -10 & -1 &2end{bmatrix}$$解析：首先我们需要知道最小多项式的定义，即为首一多项式，使得其为零矩阵的根。

因此我们可以根据此定义来求解。

我们首先列出$A^{2}$，$A^{3}$：$$A^{2}=begin{bmatrix}3 & -3 & 1-3 & 4 & -31 & -3 &3end{bmatrix}$$$$A^{3}=begin{bmatrix}0 & 0 & 00 & 1 & -30 & -3 &7end{bmatrix}$$接下来，我们将$A$，$A^{2}$，$A^{3}$带入到一个3阶的多项式：$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$中，得到如下：$$f(A)=A^{3}+aA^{2}+bA+cI=begin{bmatrix}0 & 0 & 00 & 1 & -30 & -3 & 7end{bmatrix}+abegin{bmatrix}3 & -3 & 1-3 & 4 & -31 & -3 & 3end{bmatrix}+bbegin{bmatrix}2 & -1 & 0-1 & 2 & -10 & -1 & 2end{bmatrix}+begin{bmatrix}1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}$$我们需要求的是$f(x)$为零矩阵的根，即矩阵的最小多项式。

矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。

极小多项式是一个线性代数和抽象代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。

计算极小多项式的过程相对复杂，需要一定的数学知识和技巧。

下面将介绍如何计算极小多项式，并提供一个示例来帮助理解。

1.构造行列式首先，考虑一个n阶方阵A，我们需要构造一个关于A的多项式。

定义一个矩阵多项式的行列式D(t)： D(t) = det(tI - A)其中，I是单位矩阵，t是一个未知数。

方阵(tI - A) 称为伴随矩阵。

2.寻找零化多项式下一步是找到一个次数最低的非零多项式p(t)，使得p(A) = 0。

根据伴随矩阵的定义，我们可以得到一个定理：p(t)必须是D(t)的因子。

所以，我们需要计算D(t)的因子来找到极小多项式。

这可以通过对D(t)进行因式分解来实现。

关于如何因式分解多项式的具体步骤，可以参考线性代数教材或内容。

3.确定极小多项式一旦我们找到了一个次数最低的非零多项式p(t)使得p(A) = 0，那么极小多项式就是p(t)。

以下是一个例子，用于帮助理解如何计算极小多项式：假设我们有一个2阶方阵A： A = [1 2] [3 4]首先，我们构造伴随矩阵： (tI - A) = [t-1 -2] [-3 t-4]然后，计算行列式： D(t) = det(tI - A) = (t-1)(t-4) - (-2)(-3) = t^2 - 5t + 6将D(t)进行因式分解：D(t)=(t-2)(t-3)因此，极小多项式是p(t) = (t-2)(t-3)通过验证，我们可以发现p(A) = 0。

以上是计算极小多项式的基本步骤和示例。

实际上，更复杂的方阵需要更复杂的计算方式来得到极小多项式。

有关更详细的计算方法和示例，可以参考相关专业的线性代数和抽象代数教材。

怎么计算极小多项式举例计算一个矩阵的极小多项式可以通过以下步骤进行：步骤1：确定矩阵首先，我们需要确定我们要计算极小多项式的矩阵。

矩阵通常用一个方阵表示，方阵是一个行数和列数相等的矩阵。

举例：考虑一个3x3的矩阵A，如下所示：A=[123][456][789]步骤2：计算特征多项式接下来，我们需要计算该矩阵的特征多项式。

特征多项式通过矩阵A 减去单位矩阵I并求行列式得到。

特征多项式的公式如下所示：p(λ) = det(A - λI)其中，λ是一个常数，A是待计算的矩阵，I是单位矩阵。

举例：我们计算矩阵A的特征多项式。

A-λI=[1-λ23][45-λ6][789-λ]det(A - λI) = (1-λ)[(5-λ)(9-λ) - 6*8] - 2[(4)(9-λ) - 6*7] + 3[(4)(8) - 5(7)]步骤3：计算特征值现在，我们需要解特征多项式的方程，以计算特征多项式的根（也称为特征值）。

特征多项式的根对应于矩阵的特征向量，这些特征向量描述了矩阵的不变子空间。

举例：我们解特征多项式的方程，计算特征值。

将特征多项式置为0，然后解方程：(1-λ)[(5-λ)(9-λ)-6*8]-2[(4)(9-λ)-6*7]+3[(4)(8)-5(7)]=0求解方程，我们得到三个特征值λ1=15,λ2=-1,λ3=-3步骤4：计算矩阵的幂接下来，我们需要计算从1到矩阵的阶数的所有矩阵幂。

这些幂值将用于计算矩阵的Jordan标准型。

举例：我们计算矩阵A的幂值。

A^2=A*A=[123][123][456][456][789][789]A^2=[303642][668196][102126150]同样地，我们可以计算A的其它幂值。

步骤5：计算矩阵的Jordan块现在，我们需要计算矩阵的Jordan块，这些块是由特征值的重数决定的，它们描述了通过矩阵的相似变换所表示的不变子空间。

举例：我们计算矩阵A的Jordan块。