中考专题4-6

专题4运动变化问题名师专题讲座运动变化问题正是利用它们变化图形的位置引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题．这类问题注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，这类问题的解题关键在于如何“静中取动”或“动中求静”．运动变化问题也是历年中考的热点问题，解决此类题目应抓住题目中的不变条件，对动点的移动情况进行分析，找出自变量与因变量之间的互动关系，并探究函数关系式，然后进行分析、推理、计算等，直至问题得到解决．历年考题评析【例1】如图，已知在梯形ABCD 中，AD ／／BC ，AB=CD=5，23,cos ,55AD B BC ==P 是边BC 上的一个动点，∠APQ=∠B ，PQ 交射线AD 于点Q ．设点P 到点B 的距离为x,点Q 到点D的距离为y ．(1)用含x 的代数式表示AP 的长．(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．(3) △CPQ 与△ABP 能否相似?如果能，请求出BP 的长；如果不能，请说明理由．(2008年浦东新区中考模拟题)【名师点拨】此题P 点运动导致线段长度要用变量表示，对于动点本身来讲，这是利用了函数的思想；对于图形关系变化来讲，这又是分类讨论的思想和数形结合的运用．因此，此题充分体现了运动变化问题在许多领域里都会出现．【例2】如图，已知在矩形ABCD 中，AD=8 cm ，CD=4 cm ，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1 cm 的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2 cm 的速度移动，当B 、E 、F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t(秒)．(1)求证：△BCF ∽△CDE ．(2)求t 的取值范围．(3)联结BE ，当t 为何值时，∠BEC=∠BFC(2008年卢湾区中考模拟题)【名师点拨】此题是两点运动的情况，需要理解“当B 、E 、F 三点共线时，两点同时停止运动”这一关键条件．第(3)小题实际上是求出特定条件下的t 值．【例3】已知：在正方形ABCD 中，M 是边BC 的中点(如图所示)，E 是边AB 上的一个动点，MF ⊥ME ，交射线CD 于点F ，AB=4，BE=x ，CF=y ．(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．(2)当点F 在边CD 上时，四边形AEFD 的周长是否随点E 的运动而发生变化?请说明理由．(3)当DF=1时，求点A 到直Q例1题B A 例2题F D C B A例3题D CB线EF 的距离．(2008年上海中考抽样卷)【名师点拨】 此题动点未在图形中进行标注，因为E 点位置并不确定，所以需要将函数变量的思想运用到周长求解、距离的计算中．【例4】如图，在直角三角形ABC 中，直角边AC=3 cm ；BC=4 cm ．设P ，Q 分别为AB ，BC 上的动点，在点P 自点A 沿AB 方向向点B 做匀速移动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 做匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm ，当Q 点到达C 点时，P 点就停止移动．设P,Q 移动的时间为t(秒)．(1)写出△PBQ 的面积S(2cm )与时间t (秒)之间B 的函数表达式，并写出t 的取值范围．(2)当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形?(3) △PBQ 能否与直角三角形ABC 相似?若能，求t 的值；若不能，说明理由．(2008年黄浦区中考模拟题) 【名师点拨】 此题中做匀速运动的两点之间的位置关系是解题的关键.【例5】 如图，斜边长12cm ，∠A=30︒的直角三角尺ACB 绕点C 顺时针方向旋转90︒至''A BC ∆的位置，再沿CB 向左平移使点'B 落在原三角尺ACB 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为（ ）cm 。

（2007年虹口区中考模拟题） 【名师点拨】 图像旋转、平移问题是中考的热点，也是难点，关键要对图形进行仔细观察．【例6】如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，两个正方形重叠的阴影部分面积为S ，那么S 与t 的函数图像大致是 ( )(2007年长宁区中考模拟题)Q例4题CBAB'A'C例5题BADCBAtttt例6题【名师点拨】此题是关于面积问题的考查，建议最好采用特殊值法来判断图像．因为两个正方形重叠的阴影部分面积有一段时间没有发生变化，而且始末两个时刻点的阴影部分面积均应为0．【例7】 已知△ABC ，AB=AC=2，∠A=90°,取含45°角的直角三角尺，将45°的顶点放在BC 中点O 处(见图(a))，并绕点O 处顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB,AC 交于点E 、F 时(见图(b))，设CF=x ，BE=y ．(1)求y 与x 的函数解析式，并写出x 的范围．(2)三角尺绕点0旋转过程中，△OEF 能否成为等腰三角形?如果能，求出相应的x 值；如果不能，请说明理由．(3)如果以O 为圆心的圆与AB 相切，探究三角尺绕点O 旋转的过程中，EF 与圆O 的位置关系．(2007年长宁区中考模拟题)【名师点拨】此题是旋转问题，注意渗透了函数和圆的相关知识在里面，因此综合考查各知识点的内部联系，分析线段之间的各种关系，关键把握住角度之间关系和相似关系，这是解决此类问题的通法． 、【例8】如图，二次函数215442y x x =-+-的图像与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，联结AC ．(1)求证：△AOC ∽△COB ．(2)过点C 作CD ∥x 轴交二次函数215442y x x =-+-的图像于点D ，若点M 在线段AB 上以每秒1个单位的速度由A 向B 运动，同时点N 在线段CD 上也以每秒1个单位的速度由点D 向点C 运动，联结线段MN ，设运动时间为t 秒(0<t ≤6)①是否存在时刻t ，使MN=AC?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②是否存在时刻t ，使MN ⊥BC?若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．(2007年虹口区中考模拟题)【名师点拨】此题是关于二次函数的图像问题，涉及求证相似三角形、线段相等和线段垂直等知识，需要仔细分析动点的运动过程，在图形上面表示出这一过程，防止出现判断上的失误．例7题(c)(b)(a)FEO O BB CCAAFEO C BA例8题【例9】如图(a)所示，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ，设运动时间为t (秒)．(1)设四边形PCQD 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式及自变量的取值范围．(2)是否存在时刻t ，使得PD ／／AB?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)通过观察、画图或折纸等方法猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB?若存在，请估计t 的值在括号内的哪个时间段内(0≤t ≤1；1<t ≤2；2<t ≤3；3<t ≤4)；若不存在，请简要说明理由．(2007年奉贤区中考模拟题)【名师点拨】这是一道涉及路程和时间的运动变化问题，要从动态的角度去考虑，利用行程问题中的等量关系去确定线段的长度，再结合相似形以及列方程的方法去解决实际问题．题中由PD ∥AB 得出相似形和平行线分线段成比例两种情况是关键．专题训练提高1．在三角形ABC 中，∠B=60°,BA=24 cm ，BC=16 cm,现有动点P 从点A 出发，沿射线AB 向点B 方向运动；动点Q 从点C 出发，沿射线CB 也向点B 方向运动．如果点P 的速度是每秒4cm ，点Q 的速度是每秒2 cm ，它们同时出发，求：(1)几秒钟以后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半?(2)这时P 、Q 两点之间的距离是多少?2．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从点D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．(2)当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?例9题QPD CBA M QPDCBA (b)(a)第2题Q P D CBA3．如图，在△ABC 中，已知AB=BC=CA=4 cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1 cm/s;点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2 cm ／s ，设它们运动的时间为x 秒．(1)求x 为何值时，PQ ⊥AC ．(2)设△PQD 的面积为y ，当0<x<2时，求y 与x 的函数关系式．(3)当0<x<2时，求证：AD 平分△PQD 的面积．4．如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点0移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式．(2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似?(3)当t 为何值时，△APQ 的面积为245个平方单位?5．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点(P 与A 、D 不重叠)，Q 是BC 边上的任意一点．联结AQ 、DO ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于点E ，作PF ／／AQ 交DQ 于点F ．(1)求证：△APE ∽△ADQ(2)设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积PEF S ∆关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，PEF S ∆取得最大值?最大值为多少?(3)当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小?(给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明)O 第3题Q P D CBA 第4题FE第5题QP DCBA6．如图，在直角坐标系中，0是原点，A、B、C三点的坐标分别为A(18，O)、B(18，6)、C(8，6)，四边形OABC是梯形，点P,Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿Array OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时另一点也停止运动．(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．(2)试在(1)中的抛物线上找一点D，使得以0、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．(3)设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．第6题专题5几何计算问题名师专题讲座几何计算问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题，在近年中考试卷中占有相当的分量．这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求熟练掌握三角形、四边形、相似形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想．解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上，挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决．历年考题评析【例1】已知：如图，在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E ，∠BED=60°，DE=OE=2．(1)求CD 的长．(2) ⊙O 的半径．【名师点拨】此题注意添加辅助线，充分利用圆和三角形的性质会使计算变得简单.【例2】如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ；AB=AD=DC=4，对角线A ⊥AB ．求梯形ABCD 的周长．(2008年崇明县中考模拟题)【例3】已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC=8,AD=10.（1）求OE 的长.(2) ∠B 的正弦值.【例4】如图，已知△ABC 是等腰三角中点，且DE 上AC ，垂足为点E(1)求证：D 的正弦值．(2008年卢湾区中考模拟题)C例1题BA C 例2题B D A例3题D A例4题B AC例5题【名师点拨】此题关键是运用添加辅助线的方式找到线与线之间的关系．【例5】如图，在等腰三角形ABC 中，AB=2，∠A=90°，点E 为腰AC 中点，点F 在 底边C 上，且FE ⊥BE ．(1)求△CEF 的边CE 上的高h ．(2)求△CEF 的面积．(3)求sin ∠CEF 的值．(2008年黄浦区中考模拟题)【名师点拨1此题利用等腰直角三角形的性质求高、面积和角的正弦值．【例6】如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别是点D 、点E ，点F 是边BC 的中点．AE=6，AD=8，AC=12．(1)求BE 的长．(2) ∠BEF 的正切值．(2008年闵行区中考模拟题)【名师点拨】此题利用相似三角形、直角三角形的性质计算，注意弄清线段的关系．【例7】如果一段斜坡的坡角a=30°，那么这段斜坡的坡比i=____________ (2007年闸北区中考模拟题)【例8】如果某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a (米)，那么他上升的高度为( )A ．3a (米) B．3a (米(米) D ．10(米) (2007年上海中考抽样卷)【名师点拨】知道坡角求坡比、知道坡度求高度，这都是最常考的几何计算问题，需要掌握．【例9】如图，半径为30 km 的圆A 是环保部门划定的生态保护区，B 、C 是位于保护区附近相距100 km 的两个城市．如果在B 、C 两城之间修一条笔直的公路，经测量∠ABC=45°，∠ACB=30°．问：此公路是否会穿过保护区，请说明理由．(2007年长宁区中考模拟题)【名师点拨】联系生活实际、与三角比综合考查，这也是几何计算题的常考方式．CF例6题A C 例9题DA【例10 】 正五边形的中心角等于______________度． (2007年上海中考抽样卷)【例11 】 正n 边形的中心角为24°，则n=____________ （2007年闸北区中考模拟题）【名师点拨】正多边形中心角与边数的关系也是中考填空题里常常涉及的几何计算问题．【例12 】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，P 是边AB 上一点，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，引知AB=BC=，BE=5．求DE的长．(2007年上海中考抽样卷)【名师点拨】解直角三角形的相关计算问题往往会渗透到几何计算题中，这是每年中考都会涉及的热点问题，应经常训练．【例13 】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，P 是边AB 上一动点，PE ⊥CD ，垂足为点E ，PM ⊥AB ，交边CD 于点M ，AD=1，AB=5，CD=4．(1)求证：∠PME=∠B ．(2)设A 、P 两点的距离为x ，EM=y ，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．(3)联结PD ，当△PDM 是以PM 为腰的等腰三角形时，求AP 的长．(2007年上海中考抽样卷)【名师点拨】几何计算问题与函数结合在一起，往往会加大难度，这时需要对图形进行观察，找准突破口，特别是角的关系、相似关系往往都与建立函数解析式关系密切，需要重点把握．【例14】如图，已知△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，如果2400,600.ABC AEF S S ∆∆==(1)求证：△AEC ∽△AFB ．(2)求角A 的正弦值．(2007年长宁区中考模拟题)【名师点拨】三角形中的求值问题是几何计算的永恒主题，利用相似关系是解三角形的最好手段.例12题C例13题C例14题【例15】在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AF ⊥BC 于点F ，点0在AF 上，⊙O 经过点F ，并分别与AB 、AC 边切于点D 、E ．(1)求△ADE 的周长．(2)求内切圆的面积．(2007年闸北区中考模拟题)【名师点拨】此题将几何计算与圆的知识结合考查，有一定的难度．需要仔细观察图形中线段之间的关系，利用勾股定理求边长，往往计算量较大，力求准确．【例16】如图，在△ABC 中，AC=6，点D 在边BC 上，且AB=AD ，M 是BD 的中点， N 是边AC 的中点．(1)求MN 的长．(2)联结DN ，如果∠ADN=∠C ，求AD 的长．(2007年闵行区中考模拟题)【名师点拨】利用“等腰三角形的三线合一”联结AM ，得到直角三角形，再利用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”这个性质，问题就迎刃而解了，另外找出题中出现的相似三角形也是关键．【例17】本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．(2006年上海市中考)【名师点拨】联结圆的半径是基本辅助线，再利用垂径定理构造直角三角形，利用列方程的代数方法解决几何计算问题是常见方法． 专题提高训练1.如图，在平形四边形ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE=12 cm ，CE=5cm ．求平形四边形ABCD 的周长和面积．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，BD ⊥DC于D ，∠C=60°，若AD=5cm ，求梯形的腰长．C例15题C 例16题例17题第1题DC第2题3．已知直线L 与⊙O 相切于点A ，直径AB=6，点P 在L 上移动，联结OP 交⊙O 于点C ，联结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．(1)若AP=4，求线段PC 的长．(2)若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．(答案要求保留根号)4．如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，点P 在AC 上(与点A 、C 不重合)，点Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长．(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．5.如图，△ABC 中，AB=14 cm ，5,9AD BD =，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD=12 cm ，求△ADE 的面积和周长．6．如图，正方形DMEF 内接于△ABC ，1,4.ADE ABC DMFE S S S ∆∆==正方形若，求第3题第4题BC第5题BC第6题B7.如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3分别为4、9、49，求△ABC的面积．8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，过BD上一点P作MN∥BC交AB,DC 于M、N若AM：MB=m：n．(1)计算PM、PN的长．(2)当a：b=m：n时,P M与PN有怎样的关系?(3)在什么条件下才能得到1()2MN a b=+.C第7题BC第8题专题6几何证明问题名师专题讲座几何证明问题主要考查学生对定义、定理的理解以及应用定义、定理进行逻辑推理的能力．通常要求证明线段之间的数量关系、角之间的数量关系、直线之间的位置关系，以及图形(三角形)之间的全等、相似关系、圆知识的证明等．证明时，既要掌握从结果出发进行分析，又要学会从条件出发进行联想，更要熟练掌握一些重要的定理，如等腰三角形的“三线合一”、角平分线及中垂线定理逆定理、三角形相似的判定与性质定理等．历年考题评析【例1】如图，AM 是△ABC 的中线，∠DAM=∠BAM ，CD ∥AB ．求证：AB=AD+CD. (2008年浦东新区中考模拟题)【名师点拨】此题需要添加辅助线，证明两个三角形全等，利用线段相等的关系进行转化.【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA=AD=DC ，点E 在边CB 的延长线上，并且BE=AD ，点F 在边BC 上．(1)求证：AC=AE.(2)如果∠AFB=2∠AEF ，求证：四边形AFCD 是菱形．(2008年闵行区中考模拟题)【名师点拨】此题利用三角形全等证明线段相等，利用平行关系、线段关系证明菱形,均是基本的证明手段，注意得出这些结论时的条件不能缺少．【例3】如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG=ED ，延长CE 到点F,使得EF=EC.求证:AF ∥BG.(2008年上海中考抽样卷)【名师点拨】此题比较简单，需要添加一些辅助线，记住一点：不要乱加线，你所添加的线必定对证明结论有帮助．例1题D例2题D 例3题D【例4】如图，已知四边形ABCD 是梯形，DC ∥AB ，四边形ACED 是平行四边形，延长DC 交BE 于点G ，延长EC 交AB 于点H ．(1)求证：CE=HC ．(2)若CG=3，求BH 的长．(2008年卢湾区中考模拟题) 【名师点拨】此题利用平行四边形性质、平行线等分线段成比例证明和解题，属于基础性要求，关键需要把握对应线段之间的关系．【例5】如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，联结AE.(1)求证：BD=2AC.(2)若∠C=45°，求证：2.AC DC BC =⋅(2008年崇明县中考模拟题) 【名师点拨】此题涉及转化线段关系的方法，利用角的关系、利用相似关系均可以转化，注意得出这些关系必须具备的条件是解决这类问题的关键．【例6】下列命题中正确的是 ( )A.有一个内角是95°的两个等腰三角形相似B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C ．如果一条直线上有两点到另一条直线上的距离相等，那么这两条直线互相平行D.如果半径分别为3和1的两圆相切，那么两圆的圆心距一定是4 (2007年长宁区中考模拟题)【名师点拨】A 选项中的“有一个内角是95”’确定了这种等腰三角形只有一种情况；满足B 选项中的条件除了正方形，还有其他四边形；C 选项忽略两条相交直线的情况；D 选项忽略了内切的情况．【例7】下列说法中正确的是 ( ) A 正多边形一定是中心对称图形 B ．四条边都相等的四边形是正方形C.相似三角形的面积比等于相似比的平方D ．三角形的重心到顶点的距离是它到对边距离的2倍 (2007年虹口区中考模拟题)【名师点拨】反证法是几何证明中的常用方法，A 中的反例是五边形；B 中的反例是菱形；D 中说法是不准确的，只有在过重心的中线上才会存在这种关系．【例8】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点例4题BC 例5题B例8题E ．求证：(1)△ABC 是等边三角形．(2) 1.3AE CE(2007年上海中考抽样卷)【名师点拨】此题证明的关键点是找到角相等，利用中位线定理和30°角对应的直角边来找边的关系是中考时最常见的考查方式，需要掌握．【例9】如图，∠B=∠C=90°，E 在BC 边上，AD=AE ，AB=BC ．求证：CD=CE ． (2007年长宁区中考模拟题)【名师点拨】此题利用边、角的关系，证得正方形是突破口，添加辅助线是几何证明常见的手法，有时候正确添加辅助线能减少许多繁琐的证明过程．【例10】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC 点E 、F 、G 分别在AB,BC,CD 上，AE=GF=GC ．(1)求证：四边形AEFG 是平行四边形．(2)当∠FGC=2∠EF B 时，求证：四边形AEFG 是矩形．(2006年上海市中考)【名师点拨】此题还是考查平行四边形的判定，大家对平行四边形或者特殊的平行四边形的判定方法要灵活运用，由已知“AE=GF ”联想到应该用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，或者“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这两种方法．专题训练提高1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 中点．求证：BP=PC.例9题B DC第1题C例10题A2．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中：(1) ∠EAF 的大小是否有变化?请说明理由．(2) △ECF 的周长是否有变化?请说明理由．3．如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论.4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.(1)求证：DE=DF ．(2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明)5．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于点F ，联结FC(AB>AE).△AEF 与△ECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．第2题第3题D第4题第5题6.如图，△ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 中点，DE 交BA 的延长线于点F ．求证：AB ：AC=BF ：DF ．7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD 于点E ，且BC=BD ，对角线AC 、BD 相交于点G ，AC 、BE 相交于点F ．求证：2.FC FG FA =⋅C F E 第6题BDA 第7题。