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2015高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计 新人教A 版必修4教学设计[情景1]问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？[设计意图]以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
[师生互动]生：cos W F s θ= （其中θ是F 和S 的夹角）。
师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。
从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。
[情景2]1、定义向量数量积。
弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？[设计意图]使学生从感性到理性去认知数量积的定义。
通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义。
同时加深对投影的认识。
[师生互动]1、仿照物理问题建构“数学模型”。
引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a 与b ，把数量cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b •，即a b •=cos a b θ（其中θ是a 与b 的夹角）。
cos (cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。
2、规定：零向量与任何向量的数量积为0。
3、（1）数量积运算结果的符号取决于a 与b 的夹角θ（[]0,θπ∈）的大小；（2）两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号a b •不能写成a b 或a b ⨯的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上。
4、探究其性质：（1）0a b a b ⊥⇔•=（a 与b 都是非零向量）；设置情景：若0a b •=，则向量a 与b 至少有一个是零向量？类比,a b R ∈时，若0ab =0a ⇔=或0b =。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（说课稿）一、课题介绍选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义．对于这节课，我将以“教什么、怎么教、为什么这样教”为思路，从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析及板书设计分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学过程，敬请各位老师指正．二、教材分析(一) 本节在教材中的地位和作用平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.(二) 目标分析教学中以知识技能的培养为主线,渗透情感态度与价值观,并把这两者充分体现在教学过程中.教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,结合教学内容的要求及本节的地位与作用,本节课应实现如下教学目标:1、知识目标:理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.2、能力目标:通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.3、情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.(三) 教学的重点与难点本节课注重培养学生的创新精神和探究能力,因而确定重点、难点为:重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质.难点:平面向量数量积性质的探究.三、教法分析本节课主要通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以导学讲评教学方法为主，结合了探究式教学法、讲练结合法、谈话法等展开教学．在活动中，教师着眼于“导”，尽力激发学生的求知欲望，引导他们解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力．四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.五、教学过程教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.如果再把教学过程中“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释及探究来组织和推动教学.因此，我的教学过程如下：(一) 创设情境，引入新课(二) 合作探究1、结合物理中功的定义，思考θcos S F S F W =⋅=是怎样得出来的，从而引出数量积的定义:已知两个非零向量b a 与，把数量θcos b a 叫做b a 与的数量积(或内积)，记作b a ⋅，即有θcos b a b a =⋅，然后分析定义强调应该注意的问题，得到一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即00=⋅a (a 为任意向量)．再结合位移方向上的力做功引出投影的定义: ()θθcos cos b a 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.让学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积.2、结合数量积的正负，提出两个向量夹角的三个特殊值来研究，当︒︒︒=901800、、θ时，(1) 0=⋅⇔⊥b a b a ; (2) b a b a b a =⋅同向时，与当;b a b a b a -=⋅反向时，与当,特别地,a a a a a a ⋅==⋅或2. (3) b a b a ≤⋅.(三) 例题讲解知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过一个例题来强化学生对知识的理解.例 已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．目的：巩固所学知识，解决情景中问题.例题注重分析，并将结果回到情景中，培养学生理论联系实际的思想.(四) 课堂练习为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解后，我设计了一个练习题,通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况，从而对讲解内容作适当的补充提醒.(五) 课时小结让学生回顾本节课主要内容并小结.使学生明确本节课的重点与难点，培养学生归纳总结的能力.(1)平面向量数量积、 投影的定义以及数量积的几何意义.(2)平面向量数量积的几个重要结论.目的：通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．(六) 作业布置目的：使学生继续加深对数量积概念的理解及应用，为后续学习打好基础.五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用.为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版，第一版是通过复习物理知识引入新课,第二版是新课的讲解，第三版是数量积性质的探究，第四版是例题和练习题，这样的排版使学生一目了然.总之,这节课是本着教师只是学生学习的引导者,知识是由学生自主构建的原则设计的.以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位老师批评指正.。
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥b⇔a·b=0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •. 5°|a ·b |≤|a ||b |. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠AC B=90°, 从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+k b与a-k b互相垂直?解:a+k b与a-k b互相垂直的条件是(a+k b)·(a-k b)=0,即a2-k2b2=0.∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.3.∴k=±43时,a+k b与a-k b互相垂直.也就是说,当k=±4点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a、b满足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范围.解:∵|a|2=a2=9,∴|a|=3.又∵a·b=-12,∴|a·b|=12.∵|a·b|≤|a||b|,∴12≤3|b|,|b|≥4.故|b|的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,试问四边形ABCD的形状如何？解:∵AB+BC+CD+DA=0,即a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上两式可得a2=c2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD是平行四边形.,即a=-c.故AB=CD又a·b=b·c=-a·b,即a·b=０,∴a⊥b,即AB⊥BC.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21 )=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
2.4.1.平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标.1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一.平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.知识点二.平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.类型一.向量数量积的运算性质例1.给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0，其中正确结论的序号是________. 答案.④解析.因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确； 向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0，故④正确.反思与感悟.向量的数量积a·b 与实数a 、b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________.(填序号) 答案.③解析.(a ·b )·c 表示与向量c 共线的向量，(c ·a )·b 表示与向量b 共线的向量，而b ，c 不共线，所以①错误；由[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝0知，(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确. 类型二.平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1.已知向量垂直求参数值例2.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 答案.2解析.由题意，将b·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.反思与感悟.由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于(..)A.－92B.0C.3D.152答案.C解析.因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6). 因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1) ＝2(2k －3)－6＝0， 解得k ＝3.故选C.命题角度2.由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3.已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________.答案.(0，1)∪(1，＋∞)解析.∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k >0，∴k >0.但当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k 的取值范围为k >0且k ≠1.反思与感悟.由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3.设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解.设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12).1.下面给出的关系式中正确的个数是(..)①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案.C解析.①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ，故选C. 2.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是(..)A.60°B.30°C.135°D.45° 答案.C解析.∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.3.已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为(..) A.1 B.0 C.2 D.3 答案.D解析.由题意得(a －m b )·a ＝0，a 2＝m a ·b ， ∴m ＝|a |2a ·b ＝|a |2|a ||b |cos 60°＝32×12＝3，故选D.4.已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是(..) A.32 B.12 C.－32D.－12答案.C解析.∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， 即|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴3＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.5.已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的投影.解.(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝9，即16－4a ·b －3＝9， ∴a ·b ＝1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝7，即|a ＋b |＝7. 设a 与a ＋b 的夹角为α，则向量a 在a ＋b 上的投影为|a |cos α＝|a |×a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ＋b |＝57＝577.1.数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .课时作业一、选择题1.已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是(..) A.0 B.a C.b D.c 答案.B解析.b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a .2.已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于(..) A.0 B.2 2 C.4 D.8 答案.B解析.|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2. 3.已知a⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于(..) A.32 B.－32C.±32D.1答案.A解析.∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.4.设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角θ的余弦值是(..)A.34B.537C.2537D.53737 答案.D解析.∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝(3e 1＋4e 2)·e 1|3e 1＋4e 2||e 1|＝537＝53737.5.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为(..)A.4B.－4C.94D.－94答案.B解析.∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6.设向量a 与b 满足|a |＝2，b 在a 方向上的投影为1.若存在实数λ，使得a 与a －λb 垂直，则λ等于(..) A.12 B.1 C.2 D.3 答案.C解析.∵b 在a 上的投影为1，|a |＝2， ∴a ·b ＝2×1＝2，又∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝0， ∴λa ·b ＝|a |2，故2λ＝4，λ＝2，故选C. 7.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为(..)A.0B.π6C.π3D.π2答案.D解析.∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b＝a ·a －⎝⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b ·(a ·b )＝a ·a －a ·a ＝0.∴a ⊥c .故选D.8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE →·BD →等于(..)A.－3B.0C.－1D.1 答案.C 二、填空题9.已知平面内三个向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝3，且a ＋b ＋c ＝0，则向量a ，b 夹角的大小是________. 答案.π3解析.∵a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝c 2， 即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2， ∴1＋2a ·b ＋1＝3，a ·b ＝12，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.10.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________.答案.2π3解析.由题意可知，|a ＋x b |2≥|a ＋b |2， 即a 2＋2a ·b ·x ＋b 2·x 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2， 设a 与b 的夹角为θ，则4＋4cos θ·x ＋x 2≥4＋4cos θ＋1， 即x 2＋4cos θ·x －1－4cos θ≥0， 因为对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立， 所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0， 即(2cos θ＋1)2≤0，所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.11.已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.答案.233解析.∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， (a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，|a ＋2b |＝ a 2＋4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， |a －2b |＝ a 2－4a ·b ＋4b 2＝ a 2＋4b 2， ∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°， 化简得32a 2－2b 2＝0，所以|a ||b |＝233.12.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________. 答案.4解析.方法一.由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0， ∴(a －b )·(－a －b )＝0， 即a 2＝b 2.则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 方法二.如图，作AB →＝BD →＝a .BC →＝b ，则CA →＝c ，∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ， 又∵a －b ＝BD →－BC →＝CD →， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ， 所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.13.已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________.答案. 2.1解析.(12a ＋b )·(2a －3b )＝a 2＋12a ·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 三、解答题14.已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解.(1)∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1.又∵向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1.又∵|a |＝2，|b |＝1，∴cos θ＝－12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.四、探究与拓展15.已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ. 解.假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2， ∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)， ∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0， ∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。
第二章 平面向量 2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理 一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向； (2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量： (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b |a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ．2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0. 对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零． 对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc . 则a ·b ＝(λc )·b ＝λ(c ·b )＝λ(b ·c )， ∴(a ·b )·c ＝λ(b ·c )c ＝(b ·c )λc ＝(b ·c )a . 若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a .自测自评1．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(－5，8)，则(a ＋b )·b 等于(C ) A ．－34 B ．34 C ．55 D ．－55解析：a ＋b ＝(－3，5)，∴(a ＋b )·b ＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C. 2．已知a ·b ＝12，且||a ＝3，||b ＝5，则b 在a 方向上的投影为4．3．设i ，j 是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i －j )·(－3i ＋2j )等于(A ) A ．－92 B.92C ．－8D ．8解析：(2i －j )·(－3i ＋2j )＝－6i 2＋7i ·j －2j 2＝－6|i |2＋7|i ||j |cos 60°－2|j |2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝－20．基础提升 1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 23．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若()CA →＋CB →·()CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()AC →2＋AC→·CB →＝16，故选D. 巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②； ∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. ∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角， ∴()a ＋λb ·()λa ＋b <0.又()a ＋λb ·()λa ＋b ＝λa 2＋()λ2＋1a ·b ＋λb 2，∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋212，＋∞.9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状． 解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ()π－C ＝ －||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ()π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ()π－B ＝－||c ||a cos B .∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD →|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ，∴|CD →|＝|AD →|.∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB →|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.解析：(1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD →·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9.(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律．3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。
平面向量数量积的物理背景及其含义
班级姓名设计人日期
♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒
温馨寄语
你要知道科学方法的实质，不要去听一个科学家对你说些什么，而要仔细看他在做什么。
——爱因斯坦
学习目标
．熟练掌握向量数量积的定义形式.
．掌握向量投影的形式.
．掌握向量数量积的重要性质及运算律，并能进行相关计算.
学习重点
利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等
学习难点
平面向量数量积坐标运算的灵活应用
自主学习
．平面向量数量积的有关概念
()向量的数量积.
①前提：，为非零向量.
②结论：称与的数量积(θ为向量与的夹角).
③表示： .
()投影.
叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. ()数量积的几何意义.
数量积•等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
．向量数量积的性质和运算律
()向量数量积的性质.
设，为非零向量.
①
②与同向时，；与反向时，•.
③.
()向量数量积的运算律.
①• (交换律)；
②(λ)•＝＝•(λ)(结合律)；。
2. 4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平而向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平而向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向暈垂貢的条件.教学重点：平回向量的数量积定义教学难点：平而向量数量积的定义及运算律的理解和平而向量数量积的应川教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：己知非零向量齐与'作0A = a 9 OB = b,则Z/ 0B= 0（ 0 W 乃）叫匂与b的夹角.说明：（1）〃 =0 时, 0 =兀时,(2)(3)(3)(4)JT〃=丝时,2注意在两向量的夹允定义，两向暈必须是同起点的•范围0。
£共180。
两向量共线的判定练习1•若沪(2, 3), 戻(4，T+y),且a// by则尸(C )A.6B.5C.7D.8A•-3 〃•一1 C. 1 D. 3B（l, 3）, CQ, 5）三点共线，则/的值为（B ）力做的功：W = |F|-|s|cos6, 0是尸与s的夹角.〃二、讲解新课：1.平而向量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角是（）, 则数量|a| \b\cos。
叫a与的数量积，记作a・b,艮睛a-b- \a\\b\ cosO, 0 W 0W乃）・并规定0向量为任何向量的数暈积为0.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为止？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号山cos。
的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积氷b,而"方是两个向屋的数量的积，书写时要严格区分.符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若麻0, Q. 5-Z F O,则H0；但是在数量积中，若曲0,且击0,不能推出E0.因为其中cosO有可能为0.(4)已知实数臼、b、c(/?^0),则ab=bc =>臼二c.但是a-b -方・c井如右图:a-b = | c?| | Z?| cosp = \b\ |0A|, b・c 二\ b\ \ c\cosa = | => a-b= b-c但日 H c(5)在实数中,W (a-Z?) c = a(b-c),但是(a-6) c h a(b-c)显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与臼共线的向量，而一般臼与c不共线.2.“投影”的概念：作图定X： 1*1 cosO叫做向量力在a方向上的投影•投影也是一个数量,不是向量;当e为锐角吋投影为正值；当e为钝角吋投影为负值；当&为直角吋投影为o；当e = o。
