(新课改省份专用版)202x高考数学一轮复习 1.1 集合学案

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．常用数集及其符号表示1．判断题(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B ＝C.(×)(3)任何集合都有两个子集．(×)2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.知识点二集合间的基本关系3．(必修1P12习题1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：因为22不是自然数，所以a∉A.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.知识点三集合的基本运算1．集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B ＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析：由题意知A∩B＝{0,2}．6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是(3，＋∞)．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.1．集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n－1个真子集、2n－1个非空子集、2n－2个非空真子集．3．注意补集的两个性质∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．考向一集合的概念【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}，B ＝{|a －2|,2}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．【解析】 (1)解法1：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为3×3＝9，故选A.解法2：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为4∈A ，即4∈{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}， 所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a ＋2a ＋3＝0，a 2＋3a ＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋2a＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,2}，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．【答案】(1)A(2){4}(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)A．{1} B．{－2}C．{－1，－2} D．{－1,0}(2)已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( C ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：(1)若x ＝－1，则2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1；若x ＝0，则2－x ＝2∈A ，此时不符合要求；若x ＝2，则2－x ＝0∈A ，此时不符合要求．所以B ＝{1}．(2)当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，得k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误；因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．考向二 集合的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．ABB ．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}．因此BA .故选B.(2)由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.【答案】(1)B(2)[2 018，＋∞)本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是(－∞，1]．解析：A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(B)A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 解析：(1)解法1：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，故选B.解法2：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，取c ＝1，得B ＝{x |0<x <1}，则A ⊆B 成立，可排除C 、D ；取c ＝2，得B ＝{x |0<x <2}，则A ⊆B 成立，可排除A ，故选B.(2)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34. 考向三 集合的基本运算 方向1 集合的交、并、补运算【例3】 (1)(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}【解析】(1)由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C.(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．【答案】(1)C(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是() A．[3,6) B．[1,2)C．[2,4) D．(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(∁U A )∩B ＝∅，则p 应该满足的条件是( )A ．p >1B ．p ≥1C ．p <1D ．p ≤1【解析】 (1)集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |4x >2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m2<2，解得2≤m <4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．(2)∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |x >p }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又(∁U A )∩B ＝∅，∴p ≥1.【答案】 (1)C (2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，则(∁U B )∩A ＝( D )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1]∪(0,3)C ．[0,3)D ．(0,3)解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，集合B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}．因为全集U ＝R ，所以∁U B ＝{x |－1<x <3}，所以(∁U B )∩A ＝(0,3)，故选D.2．(方向2)设A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为1<a ≤2.解析：依题设得：⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2<1，(3－a )2≥1， 即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2. 3．(方向2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝－1，n ＝1.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.考向四 集合的新定义问题【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B 中的所有元素之和为()A．15 B．16C．20 D．21【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】 D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(B)A．7 B．10C．25D．52解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：y－1012 3x0(0，－1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，－1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3) 所以A*B中的元素共有10个．易错点：忽略空集是任何集合的子集出错勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．典例 已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)【易错分析】 集合B 为不等式2m －1<x <m ＋1的解集，但m 取值不同，解集也不同．当m ＋1≤2m －1时，集合B 为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B ＝∅和B ≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．【解析】 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2. 综上，得m ≥－1.【答案】 D易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．(2019·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14 解析：由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14，故选D.。

第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算续表1．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M『解析』∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3}，∴a∉M.『答案』 D2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2 013}，N＝{x|0＜x≤2 013}，则M∪N＝() A．M B．NC．{x|x≤2 013} D．{x|0＜x＜2 012}『解析』M∪N＝{x|x≤2 013}．『答案』 C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝() A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}『解析』∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁U M＝{3，5，6}．『答案』 C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P『解析』∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，因此∁R P⊆Q.『答案』 C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}『解析』∵A∩B≠∅，∴a＜1，故选B.『答案』 B(1)(2013·洛阳模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________．『思路点拨』 (1)先确定a 值，再确定b 值，注意元素的互异性． (2)根据元素与集合的关系知，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，注意元素的互异性． 『尝试解答』 (1)当a ＝0，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{1，2，6}； 当a ＝2，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{3，4，8}； 当a ＝5，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{6，7，11}．∴当P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}时，P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}． 故集合P ＋Q 有8个元素．(2)∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝{－3，12，3}满足题意．故m ＝－32. 『答案』 (1)B (2)－32,1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 『解析』 (1)∵A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， 又A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，∴A *B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.『答案』 (1)D (2)(98，＋∞)(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．『思路点拨』 (1)0∈{a ，ba ，1}，则b ＝0，1∈{a 2，a ，0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 『尝试解答』 (1)由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 『答案』 (1)－1 (2)(－∞，3』,1．解答本题(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、V enn 图化抽象为直观．若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．『解析』 因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M . 又M ＝{－3，2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是{－1，0，23}．『答案』 {－1，0，23}(1)(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)∪(3，4)(2)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．『思路点拨』 (1)先化简集合B ，求出∁R B ，再借助数轴求A ∩∁R B . (2)根据A ∩B 结构特征求解．『尝试解答』 (1)解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3， ∴B ＝『－1，3』，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(3，4)．(2)∵A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}， 且A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，∴m＝－1，n＝1.『答案』(1)B(2)－11,1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．要注意六个关系式A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅、(∁U A)∪B ＝U的等价性．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}『解析』因为∁U A＝{2，4，6，7，9}，∁U B＝{0，1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7，9}．『答案』 B一种方法正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.(见学生用书第3页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10『解析』因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.『答案』 D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4『解析』由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．『答案』 D2．(2012·山东高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为()A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}『解析』∵∁U A＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}．『答案』 C。

一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。

[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合突破点一集合的概念与集合间的基本关系[基本知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系B AB一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(3)∅∈{0}．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．答案：{2,1,0}2．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．解析：由题意，知满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 答案：33．设集合M ＝{1，x ，y }，N ＝{x ，x 2，xy }，且M ＝N ，则x2 019＋y2 020＝________.解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1，由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以x2 019＋y2 020＝－1.答案：－14．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是________．解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．①当a ＝0时，A ＝{0}符合题意；②当a ≠0时，要满足题意，需有Δ＝ 4－4a 2＝0，即a ＝±1.综上所述，a ＝0或a ＝±1.答案：0或±1[典例感悟]1．(2019·厦门一中模拟)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z}，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z}，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A 设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.2．(2019·广州模拟)已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选A 依题意知a ≠0，则{0，－a }＝{0,1}，所以a ＝－1.故选A.3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A ＝{0}，B ＝{－1,0,1}，若A ⊆C ⊆B ，则符合条件的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：选C 由题意得，含有元素0且是集合B 的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C 共有4个．[方法技巧]1．与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2．判断集合间关系的常用方法含有n (n ∈N *)个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．[针对训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．(2019·贵阳高三检测)设集合P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x 2<1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析：选B 依题意得Q ＝{x |－1<x <1}，因此Q ⊆P .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]突破点二 集合的基本运算[基本知识]1．集合的三种基本运算(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( )(2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x >0，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x≤0.( )(3)设集合U ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁U B )＝{1}．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝____________.答案：{1,8}2．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}，B ＝{x |x <－1}，则A ∩(∁R B )＝____________. 解析：因为B ＝{x |x <－1}，则∁R B ＝{x |x ≥－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}3．(2019·合肥模拟)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝________.解析：由题意，知A ∪B ＝{1,2,3}．又B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}． 答案：{3}4．(2019·淮南二中调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若 (∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a >3. 答案：(3，＋∞)[典例感悟]1．(2019·衡水模拟)已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪181<3x<27，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2,4}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{0,4}解析：选C 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－4<x <3}，故A ∪B ＝{x |－4<x ≤4}，集合C 表示非负偶数，故(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.2.(2019·太原阶段性测评)设集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{－1,0}D ．{－1,0,1}解析：选 B 由题意得图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁R B )．∵B ＝{x |y ＝x 2－1}＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁R B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∩(∁R B )＝{0}，故选B.3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1,2}，Q ＝{－1,0,1}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1,2；b 的取值只能为－1,0,1.z ＝a b的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个不同的元素．[方法技巧]1．集合基本运算的求解策略耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}． 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.3．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(2,5) B ．[2,5) C ．(－2,2]D ．(－2,2)解析：选C 解一元二次不等式x 2－3x －10<0，得－2<x <5，∴A ＝{x |－2<x <5}．由y ＝ln(x －2)可知x －2>0，即x >2，∴B ＝{x |x >2}，因此∁R B ＝{x |x ≤2}，则A ∩(∁R B )＝(－2,2]．故选C.4．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.。

一轮复习学案 §1.1.集合的概念 ☆学习目标： 1．理解集合、子集的概念,元素的性质，集合的表示方法，集合语言、思想； 2．能利用集合、元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．☻知识梳理：1. 集合：某些指定的对象集在一起成为一个集合．10. 集合的元素：集合中的对象称元素， ① 若a 是集A 的元素，记作a A ；若b 不是集合A 的元素，记作b A ；② 集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A 是一给定的集，x 是某一具体对象，则a A ∈或a A ∉两者 成立；互异性：同一集合中不应 同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合与元素的排列顺序 ．20. 集合的表示：一个集合可用列举法、描述法或图示法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；如：描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内；如：图示法：如：30.常用数集及其记法：自然数集，记 ；正整数集，记 ；整数集，记 ； 有理数集，记 ；实数集， 记 ；复数集，记 ．2. 子集：若集A 的任一元素都是集B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A B ；10. 集合相等：两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A B ； 20. 真子集：若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；30. 性质：① A A ； Φ A ； ② 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A C ； ③ 若Card A n =，则集合A 有 个子集（其中有 个真子集）．3．全集与补集：10. 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； 20. 若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； 30. 简单性质：①S C (S C A ) A ； ②S C S= ，ΦS C = ．☆ 案例分析：例1.(1) (08湖北)若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则 ( )A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件(2) (08陕西)已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，， 则集合()U A B ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 (3) (08山东)满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(4) 已知集合P={(x ，y)||x|+|y|=1}，Q={(x ，y)|x 2+y 2≤1}，则 （ ）A.P ⊆QB.P=QC.P ⊇QD.P ∩Q=Q例2. 已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值.例3. ①若{}2|10,A x x ax x R =++=∈， {}1,2B =，且A B A = ，求a 的范围.②设{}2120P x x x =+-≥，{}132Q x m x m =-≤≤-，若Q P P = ，求m 的范围.例4. 已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}, 如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是 否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算必备知识预案自诊知识梳理1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:、、.(2)元素与集合的关系有或两种,用符号或表示.(3)集合的表示方法:、、.(4)常见数集的记法.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示V enn图子集对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B 的真子集集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集Venn图符号语言A∪B=A∩B=∁U A=1.并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.2.交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.3.补集的性质:A∩(∁U A)=∅;A∪(∁U A)=U;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.5.如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(∁U B),B∩(∁U A),∁U(A∪B).6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取任意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)对任意集合A,B,一定有A∩B⫋A∪B.()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.()2.(2020广东湛江测试,理1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A},则集合A∩B的子集个数为()A.1B.2C.4D.83.(2020山东济南一模,1)已知全集U=R,集合A={x|x2>x},则∁U A=()A.[0,1]B.(0,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)4.(2020山东潍坊二模,1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则A∩(∁U B)=()A.{1,4}B.{1,4,5}C.{4,5}D.{6,7}5.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=.关键能力学案突破考点集合的基本概念【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的真子集个数为()A.3B.4C.7D.8(2)(2020山东潍坊临朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=.思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,则集合M的子集个数是()A.2B.3C.4D.8(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.考点集合间的基本关系【例2】(1)设集合A={y|y=√x2-1},B={x|y=√x2-1},则下列结论正确的是()A.A=BB.A⊆BC.B⊆AD.A∩B={x|x≥1}(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},则下列结论正确的是()A.Q⊆PB.P⊆QC.P=QD.P∪Q=R思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn 图求解.对点训练2(1)已知集合A=x |x -2x≤0,x∈N,B={x|√x≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C,且C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.4D.8(2)集合M=x|x=n2+1,n∈Z,N=y y=m+12,m∈Z,则两集合M,N的关系为()A.M∩N=∅B.M=NC.M⊆ND.N⊆M考点集合的运算(多考向探究)考向1利用集合运算的定义进行运算【例3】(1)(2020新高考全国1,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}(2)(2020全国3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6(3)(2020全国2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}思考利用集合运算的定义进行运算的一般思路和求解的原则是什么?解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.2.求解原则:一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.对点训练3(1)(2020江西名校大联考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},则A∩B=()A.[-2,0]B.(-∞,0)C.[-2,0)D.[-4,4](2)(2019全国1,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁U A)=()A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x ∈N |x-3≤0},则A ∪B=( ) A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4} C.{2} D.{x|x ≤4}考向2 定义新集合运算法则进行集合运算【例4】设P ,Q 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“☉”:P ☉Q={x|x ∈P ∪Q ,且x ∉P ∩Q }.如果P={y|y=√4-x 2},Q={y|y=4x ,x>0},则P ☉Q=( )A.[0,1]∪(4,+∞)B.[0,1]∪(2,+∞)C.[1,4]D.(4,+∞)思考求解集合新定义运算的关键是什么?解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.对点训练4定义A*B={x|x=x 1+2x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若A={1,2,3},B={1,2},则A*B= ;(A ∩(A*B))∪B= .考点求集合中参数的值或取值范围【例5】(1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x 2},B={0,1,2},若A ⊆B ,则实数a 的值为( )A.1或2B.0或1C.0或2D.0或1或2(2)(2020全国1,理2)设集合A={x|x 2-4≤0},B={x|2x+a ≤0},且A ∩B={x|-2≤x ≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4 思考如何求集合表达式中参数的值或取值范围?解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn 图表示,根据Venn 图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.对点训练5(1)已知集合A={x|x 2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a },若A ∪B=R ,则实数a 的取值范围是 ( )A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.(-∞,1](2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 .变式发散1将本题(2)中的B 改为B={x|m+1≤x ≤2m-1},其余条件不变,该如何求解?变式发散2将本题(2)中的A 改为A={x|-3≤x ≤7},B 改为B={x|m+1≤x ≤2m-1},其余条件不变,又该如何求解?学生用书正文答案与解析 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算 必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 Venn 图法 (4)N N +(或N *) Z Q R2.A ⊆B (或B ⊇A ) A ⫋B (或B ⫌A ) A=B3.{x|x ∈A ,或x ∈B } {x|x ∈A ,且x ∈B } {x|x ∈U ,且x ∉A }考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.C 因为A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x ∈A },所以B={-1,1,3,5},所以A ∩B={1,3},所以A ∩B 的子集个数为22=4.3.A 由x 2>x ,得x>1或x<0,即A={x|x>1,或x<0},所以∁U A={x|0≤x ≤1}=[0,1].4.C 由题意得∁U B={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A ∩(∁U B )={4,5},故选C .5.(-∞,2) ∵集合A={x|x 2-2x<0}={x|0<x<2},且B={x|x<1},∴A ∪B={x|x<2}.关键能力·学案突破 例1(1)A (2)0或14 (1)因为A={x ∈Z |-x 2+x+2>0}={x ∈Z |-1<x<2}={0,1},所以集合A 的真子集个数为22-1=3.故选A .(2)因为A ∩B=A ∪B ,所以A=B ,则{a =b 2,b =2a 或{b =b 2,a =2a ,解得{a =0,b =0(舍去)或{a =14,b =12或{a =0,b =1,故a=0或14. 对点训练1(1)C (2)-32 (1)因为B={y|y=2x }={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A ∩B={1,2},因此,集合M 的子集个数是22=4.故选C .(2)由题意得m+2=3,或2m 2+m=3,解得m=1或m=-32.当m=1时,m+2=3,且2m 2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,而2m 2+m=3,故m=-32.例2(1)D (2)B (1)∵A={y|y=√x 2-1}={y|y ≥0},B={x|y=√x 2-1}={x|x ≥1,或x ≤-1},∴A ∩B={x|x ≥1},故选D .(2)由题得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x 2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P ⊆Q ,故选B .对点训练2(1)D (2)D (1)由x -2x≤0,得0<x ≤2,故A={1,2};由√x ≤2,得0≤x ≤4,故B={0,1,2,3,4}.满足条件A ⊆C ,且C ⊆B 的集合C 的个数为23=8,故选D .(2)∵M=x |x =n+22,n ∈Z ,N=y |y =2m+12,m ∈Z ,又n+2为整数,2m+1为奇数,且奇数是整数的一部分,∴N ⊆M ,故选D .例3(1)C (2)C (3)A (1)(数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C .(2)满足x ,y ∈N *,y ≥x ,且x+y=8的元素(x ,y )有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A ∩B 中元素的个数为4.(3)∵A ∪B={-1,0,1,2},∴∁U (A ∪B )={-2,3}.故选A .对点训练3(1)C (2)C (3)B (1)由题得A={x|x 2-4x>0}={x|x<0,或x>4},B={x|x 2-4≤0}={x|-2≤x ≤2},则A ∩B={x|-2≤x<0},故选C .(2)由已知得∁U A={1,6,7}, 所以B ∩(∁U A )={6,7}.故选C .(3)因为A={2,4},B={x ∈N |x-3≤0}={0,1,2,3},所以A ∪B={0,1,2,3,4}. 例4B ∵P=[0,2],Q=(1,+∞),∴P ∪Q=[0,+∞),P ∩Q=(1,2], 因此P ☉Q=[0,1]∪(2,+∞).对点训练4{3,4,5,6,7} {1,2,3} ∵A={1,2,3},B={1,2},∴A*B={x|x=x 1+2x 2,x 1∈A ,x 2∈B }={3,4,5,6,7};(A ∩(A*B ))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.例5(1)D (2)B (1)因为当a=0时,A={x|0=x 2}={0},满足A ⊆B ;当a ≠0时,A={0,a },若A ⊆B ,则a=1或2.综上a 的值为0或1或2.故选D .(2)由已知得A={x|-2≤x ≤2},B={x |x ≤-a2}.因为A ∩B={x|-2≤x ≤1},所以有-a2=1,解得a=-2.对点训练5(1)B (2)(-∞,-1] (1)由题得集合A={x|x 2-3x+2≥0}={x|x ≤1,或x ≥2},B={x|x+1≥a }={x|x ≥a-1},又A ∪B=R ,∴a-1≤1,解得a ≤2,∴实数a 的取值范围是(-∞,2].(2)由题意知2m-1≤-3,m ≤-1,所以m 的取值范围是(-∞,-1].变式发散1解当B=∅时,有m+1>2m-1,则m<2.当B ≠∅时,有{m +1≤2m -1,2m -1<-3或{m +1≤2m -1,m +1>7,解得m>6.综上可知,m 的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).变式发散2解当B=∅时,满足B ⊆A ,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B ≠∅时,要使B ⊆A ,则有{m +1≥-3,2m -1≤7,m ≥2,解得2≤m ≤4.综上可知,m 的取值范围是(-∞,4].。

1.1集__合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． 『试一试』1．(2013·南通二模)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx －2x ＋1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x sin x ≥32，则A ∩B ＝________. 『解析』由题意知A ＝(－1,2)，B ＝⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z ，则A ∩B ＝⎣⎡⎭⎫π3，2. 『答案』⎣⎡⎭⎫π3，22．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为________．『解析』由题意知m ＋2＝5或m 2＋4＝5.解得m ＝3或m ＝±1.经检验m ＝3，或m ＝1符合题意．『答案』1或33．已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B ＝________. 『答案』∅1．判断集合关系的方法有三种 (1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图． 2．解决集合的综合运算的方法解决集合的综合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解． 3．数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题． 『练一练』1．(2014·南京学情调研)已知集合A ＝{x |x 2<3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为________． 『解析』由x 2<3x ＋4得－1<x <4，所以A ＝{x |－1<x <4}，故A ∩Z ＝{0,1,2,3}． 『答案』42．(2013·南通期末)已知A ，B 均为集合U ＝{2,4,6,8,10}的子集，且A ∩B ＝{4}，(∁U B )∩A ＝{10}，则A ＝________.『解析』因为(∁U B )∪B ＝U ，故A ＝A ∩(B ∪∁U B )＝(A ∩B )∪(A ∩∁U B )＝{4,10}． 『答案』{4,10}对应学生用书P21.(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集． 『解析』由题意知，所给集合的子集个数为23＝8. 『答案』82．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________. 『解析』由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2. 『答案』－1或03．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 『解析』因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.『答案』－32『备课札记』 『类题通法』1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性.『典例』 (1)(2013·南京二模)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0，x ∈R }，B ＝{x |x ≥a }，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.『解析』 (1)由A ∪B ＝B 可知A ⊆B .又A ＝『0,2』，所以实数a 的取值范围是(－∞，0』． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.『答案』 (1)(－∞，0』 (2)4『备课札记』 『类题通法』1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、V enn 图帮助分析． 2．当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况． 『针对训练』1．(2014·苏锡常镇一模)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0，x ∈R }，设函数f (x )＝2－x ＋a (x ∈A )的值域为B ，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝『0,1』，B ＝{f (x )|f (x )＝2－x ＋a ，x ∈A }＝⎣⎡⎦⎤12＋a ，1＋a .又因为B ⊆A ，即⎣⎡⎦⎤12＋a ，1＋a ⊆『0,1』，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≥0，a ＋1≤1，解得－12≤a ≤0.『答案』⎣⎡⎦⎤－12，0 2．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________． 『解析』∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. 『答案』『－1，＋∞)『典例』 (1)(2013·南京三模)如图，已知集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．(2)(2014·无锡期末)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x >14，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B＝________.『解析』 (1)A ∩C ＝{2,4,5,8}，又4,5在集合B 中，2,8不在集合B 中，故阴影部分表示的集合为{2,8}．(2)由⎝⎛⎭⎫12x >14得⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫122，解得x <2，即A ＝(－∞，2)．又由log 2(x －1)<2，得0<x －1<4，解得1<x <5，即B ＝(1,5)，从而A ∩B ＝(1,2)． 『答案』 (1){2,8} (2)(1,2)『备课札记』 『类题通法』集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 『针对训练』设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．『解析』A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 『答案』1或2以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有： 1创新集合新定义； 2创新集合新运算； 3创新集合新性质. 角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有________个． 『解析』具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.『答案』3角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为________． 『解析』因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}， A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， 所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}． 『答案』『0,1』∪(2，＋∞) 角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于________．『解析』∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ， ∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. 『答案』－1『备课札记』 『类题通法』解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．『课堂练通考点』1．(2013·苏北四市二模)已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．『解析』由题意得a 2＝a ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，a 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，a 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝4，解得a ＝2. 『答案』22．(2013·新课标全国卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝________.『解析』n ＝1,2,3,4时，x ＝1,4,9,16，∴集合B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}． 『答案』{1,4}3．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是________． 『解析』根据已知，满足条件的集合B 为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 『答案』44.创新题设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)『解析』①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②. 『答案』①②5.创新题设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是________． 『解析』当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．『答案』36．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝________. 『解析』解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}； 集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域， 由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则∁U A＝{x|0≤x≤2}，所以(∁U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．『答案』(1,2』。

集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )．若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ，则A B (或BA )．若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B . 5．集合的运算及性质设集合A ，B ，则A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }，A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }． 设全集为U ，则∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }．A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A ，∩⊆， A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .A ∪∅＝A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ， A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U .自我检测1．(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A 解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2010·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R}，则M∩N等于( )A．{t|0≤t≤3} B．{t|－1≤t≤3}C．{(－2，1)，(2，1)} D．∅答案 B解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．5．(2011·福州模拟)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2011·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，求b －a 的值． 解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R}＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R}＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}． ∴P Q .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 (2011·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时， A ＝{x |－3<x <5}， B ＝{x |x <－1或x >5}． ∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (12分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； [8分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分] 【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x}表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论． 4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅的情况，然后取补集．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 B解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个， 即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 2．(2011·杭州模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P ＋Q 中元素的个数是8.3．(2010·北京)集合P ＝{x ∈Z|0≤x <3}，M ＝{x ∈Z|x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 B解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．4．(2010·天津)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R}，B ＝{x |1<x <5，x ∈R}．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}答案 C解析 由|x －a |<1得－1<x －a <1， 即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2} 答案 C解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·绍兴模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是________．答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1， n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________. 答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}． 8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____. 答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·烟台模拟)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0} ＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R.(9分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0} ＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图， 则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(5分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分)当a >0时，如图，若B ⊆A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分)综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分)11．(14分)(2011·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分) (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分) 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分) (2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}， A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为8.(14分)。