导数在研究函数性质中的应用

§3.2导数在研究函数中的应用一、知识梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二、自我检测：1．(2009·广东改编)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间为______________．2.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为______________．3.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的________条件．4.(2010·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.探究点一函数的单调性例1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．变式迁移2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．。

导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。

在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。

切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。

利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。

2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

在函数的极值点上，导数等于零。

根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。

此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。

3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。

4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。

通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。

5.近似计算：导数还可以用于近似计算。

在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。

通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。

总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。

通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。

利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。

本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。

首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。

对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。

具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。

通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。

其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。

如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。

通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。

同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。

如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。

再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。

如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。

通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。

另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。

最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。

通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。

临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。

拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。

通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。

综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。

它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。

在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。

因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。

导数在研究函数单调性中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它是有关函数特性的一种数学工具。

本文将介绍这一概念在研究函数单调性中的应用。

首先，我们需要了解什么是函数单调性。

函数单调性是指函数在给定的区间内是严格单调递增或者严格单调递减的性质。

因此，这一性质被广泛用于数学上的研究以及实际应用中。

而对于如何判断函数的单调性，导数就起着重要的作用。

一般来说，函数在一个给定区间内，若函数在此区间内的导数恒大于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递增的；反之，若函数在此区间内的导数恒小于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递减的。

此外，当函数在给定区间内的导数恒等于零时，则可以断定该函数在此区间内的单调性不确定。

除此之外，导数还可以作为函数的一种视角，来分析函数的极值问题。

实际上，当函数的导数恒等于零时，就有可能函数拥有极值点；当函数的导数在给定区间内都大于零，则可以断定该函数在此区间内无极值；反之，若函数的导数在给定区间内小于零，则该函数在此区间内有且只有一个极值点。

另外，导数也可以用来衡量函数的变化，包括函数的变化率、函数的变化速度等。

例如，若函数的导数等于零，则函数没有变化，也就是函数没有变化率；若函数的导数大于零，则函数在此区间内是增长函数，函数增长越快，导数越大，即函数变化率越大；反之，若函数的导数小于零，则函数在此区间内是减少函数，函数减小越快，导
数越小，即函数变化率越小。

总之，导数作为函数单调性研究的重要工具，可以帮助我们分析函数性质，衡量函数的变化。

因此，正确理解和掌握导数知识，对分析函数研究以及应用具有重要意义。

（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。

导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。

导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。

本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。

一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。

具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。

通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。

这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。

二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。

通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。

具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。

而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。

通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。

三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。

当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。

具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。

这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。

四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。

通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。

具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。

通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。

这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。

导数在函数的研究中有着广泛的应用。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。

函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。

首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。

注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。

在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。

具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。

函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。

在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。

2.接下来，求出函数的导函数。

导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。

3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。

当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。

4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。

5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。

导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。

如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。

通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。

当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。

函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。

例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。

导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标1.理解导数的定义以及导数的几何意义。

2.理解导数的运算规则。

3.掌握常见函数的导数计算方法。

4.能够应用导数分析函数的变化规律和局部特性。

二、教学内容1.导数的定义和几何意义。

2.导数的运算规则。

3.常见函数的导数计算方法。

4.导数在函数分析中的应用。

三、教学过程1.导入与导入(5分钟)教师可以提出一个问题，如一辆汽车在其中一时刻的速度如何计算？引导学生思考，在不同时间点的速度是否一样？为什么？通过讨论，引出导数的定义。

2.导数的定义和几何意义(20分钟)教师通过示意图和实例，介绍导数的定义：若函数 f(x) 在点 x0 处的导数存在，记作 f'(x0) 或 dy/dx ，x=x0，定义为函数 f(x) 在该点处的切线的斜率。

然后，通过几何意义的解释，引导学生理解导数表示函数在其中一点局部的变化率和斜率的关系。

3.导数的运算规则(30分钟)教师通过示例引导学生研究导数的运算规则，让学生自己发现和总结。

例如，一次幂函数的导数等于原函数的系数，常数倍规则，和差规则等。

然后，对这些规则进行总结和讲解，使学生深刻理解导数的运算规则。

4.常见函数的导数计算方法(30分钟)教师以常见函数为例，引导学生计算其导数。

例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

需要强调一些特殊函数的导数计算方法，例如乘积、商、复合函数的导数计算方法。

5.导数在函数分析中的应用(30分钟)教师通过实际问题的分析，让学生应用导数来分析函数的变化规律和局部特性。

例如，求函数的极值点、拐点，讨论函数的增减性、凸凹性等。

通过具体例题引导学生掌握应用导数解决实际问题的方法。

6.练习与巩固(15分钟)教师提供一些练习题，让学生巩固所学知识。

练习题包括导函数的计算和实际问题的应用。

教师可以设置不同难度的题目，逐渐提高学生的解题能力。

四、教学评价1.在课堂实践中，教师可以通过学生的回答问题、作业完成情况以及小组讨论的情况来评价学生对导数的理解和应用水平。

高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案目录：一、教材分析二、教学目标三、教学重难点四、教学方法五、教学过程一、教材分析本节课的内容是高中数学选修模块中导数在研究函数中的应用部分。

这部分内容是在学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则和导数的应用基础上进行讲解的。

教材通过引入实际问题，引导学生利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题，培养学生的数学应用能力。

二、教学目标1. 理解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。

2. 学会利用导数解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

三、教学重难点1. 重点：导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。

2. 难点：如何利用导数解决实际问题，找到合适的切线方程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究导数在研究函数中的应用。

2. 通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的作用。

3. 利用多媒体辅助教学，直观展示函数图像和切线方程。

4. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的基本概念、求导法则，引导学生关注导数在研究函数中的应用。

2. 知识讲解：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用，引导学生理解并掌握相关概念。

3. 实例分析：选取实际问题，让学生利用导数解决，体会导数在实际问题中的作用。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队协作能力。

7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

六、教学评价1. 学生对导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的理解程度。

2. 学生能否灵活运用导数解决实际问题。

3. 学生的小组协作能力和团队意识。

七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，发现问题时应及时调整教学策略。

教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，提高学生的实际问题解决能力。

导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。

如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。

2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。

通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。

3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。

如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。

4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。

例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。

5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。

例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。

6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。

例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。

7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。

总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

《导数在研究函数中的应用》复习课江苏扬州大学附属中学（225000）李令军［摘要］导数是高中数学和高等数学联系的纽带，导数的出现丰富了函数问题.高考对导数的考查主要是运用导数研究函数性质，运用导数解决含参数的问题，涉及的数学思想有数形结合、分类讨论、函数思想和化归思想.研究导数在函数中的应用题，能让学生进一步理解导数和函数的关系.［关键词］导数；函数；应用；复习课［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2018）17-0014-01本节课是高二《导数在研究函数中的应用》复习课第二课时，复习课之前，已经做了些针对性练习，应用大数据对学生出现的问题进行了分析，下面就复述本节课.一、问题展示问题1：导数帮助我们研究了函数中的哪些问题？问题2：如何用导数解决这些问题？解决这些问题时需要注意什么细节？二、课前预习1.已知函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，实数a的取值范围是（）.学生甲：此题是运用单调性求解参数范围，原函数递减，则它的导函数应该小于或等于0.教师：这位同学在求解参数范围时未使用分离参数的方法，请分析一下你的解题思路.学生乙：我采用的方法是先求出函数的单调区间，a≤0时，函数在[0,+∞)上单调递增，不符合题意，所以a>0，又因为函数在(0,2)上单调递减，所以导函数在(0,2)必然是负值.教师：主动求出单调区间，让(0,2)成为减区间的子区间，方法很好.2.过点(2,m)可作函数f(x)=x3-3x2图像的三条切线，则实数m的取值范围是（）.教师：函数的切线是由割线逼近而得，每一条切线都是由一个切点得到，过点(2,m)可作三条切线，就是函数图像上存在三个切点，设切点坐标(x0,x30-3x20)，切线斜率为f′(x0)=3x20-6x0，切线方程为y-(x30-3x20)=(3x20-6x0)(x-x0)，因为切线过点(2,m)，代入得m-(x30-3x20)=(3x20-6x0)(2-x0)，分离参数得m=(x30-3x30)+(3x20-6x0)(2-x0)，实数m的范围就是转化为方程有解，转化为直线y=m与右式函数图像有三个交点，即m的范围是右式函数的极小值到极大值.三、问题探究【例题】已知函数f()x=12x2-a ln x.（1）求f()x的单调区间；（2）当a>0时，求函数f()x在区间[]1,2上的最小值；（3）已知g(x)=23x3，在（2）的条件下，若对任意的x1∈[1,2]，均存在x2∈[0,3]，使得不等式f(x1)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围.分析：f′(x)=x-ax=x2-ax，当a≤0，f′(x)>0，f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a).教师：这位同学解题思想正确，函数f(x)单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a)，就需要讨论a与区间[1,2]的关系，讨论三种情形，a在区间左侧、区间中间和区间右侧，但是这位同学未能将a的具体范围化简好，也没有将f(x)的最小值进行合并，f(x)min=ìíîïïïïïïïï12,0<a<1a2-a ln a,1≤a≤42-a ln2,a>4对任意的x1∈[1,2]，均存在x2∈[0,3]，使得不等式f(x1)>g(x2)恒成立.此题是根据恒成立问题与存在性问题求解参数，左式“任意”，需要研究左式最小值，最小值都比右式大，那么左式的所有值都比右式大.右式“存在”，若研究右式最大值比左式小，那么右式的所有值都比左式小，不符合题意.当0<a<1时，左式最小值为12，满足题意，当1≤a≤4时，f(x)的最小值为a2-a ln a，a2-a ln a>0，化简得1≤a<e，当a>4时，f(x)的最小值为2-a ln2>0，此不等式不成立.综上所述，a的取值范围是0<a<e.此问也可以考虑成左式f()x=12x2-a ln x>0恒成立问题，不需要讨论左式的最小值，转变成分离参数问题，a<x22ln x，在x∈(1,2]恒成立，只需要求解右式的最小值.（责任编辑黄桂坚）数学·教学研究Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。

由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。

下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。

首先，导数可以用来求函数的最值。

在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。

通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。

例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。

在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。

其次，导数可以用来求函数的图像特征。

函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。

通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。

我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。

例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。

进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。

此外，导数还可以用来进行近似计算。

在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。

然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。

也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。

这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。

例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。

最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。

函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。

通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。

例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。

总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。

通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。