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结构力学力法

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结构力学第六章 力法

结构力学第六章 力法
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此

结构力学——力法

结构力学——力法

超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P


0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33


X X X
1 2 3

结构力学 第七章 力法

结构力学 第七章 力法

§7-3 力法的基本概念
1 0
力1.确法定步基骤本:体系111X111
1P
11
0
力法 方程
2.写出位移条件,力11法 X方1程 1P 0
34..作 求单 出位系弯数1 矩和图自11 由,荷l项载3 /弯3E矩I 图;1P ql 4 / 8EI
5.解力法方程X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
11
1 2EI
l2 2
2l 3
1 EI
l3
7 6
l3 EI
EI
l
2 X1
12
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
l 荷载作用下超静定 结构内1力1 分布与刚度的12
21
1 EI
l2 2
l
1 2
l3 EI
绝对值无关只与各杆X刚2=1
l度内Mq1的力21 分比XX1=布1值1 与有关.l
22
M2 X 2
X5
X4
X9
X6
X 10
638 10
§7-4 力法的典型方程
1.力法的典型方程
q 2EI EI l
q
1 X2
变形条件:
2EI
l
EI
2 X1 l
12
0 0
l
1.力法的典型方程
q
2EI
EI
l
q 2
1 X2
X1
变形条件:
12
0 0
1 11 X1 12 X2 1P 0
2 21 X1 22 X2 2P 0
M3 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
MP
X1
X2
X3

结构力学：第七章 力法

结构力学：第七章 力法

A
B
两铰拱，一次超静定结构。
A
B
一次超静定桁架
A
B
曲梁，静定结构。
A
B
静定桁架
§7-2 超静定次数的确定
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1 X2 X3 X1 X2 X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束
§7-2 超静定次数的确定
（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。
以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这 种分析方法称为位移法（displacement method）。
3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量
如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未 知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力 的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。
思考：多余约束是多余的吗？
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
q
q
A
B
A
B
C
l
A
B
q l2 8
超静定结构的优点为:
0.5l
A
ql 2 64
0.5l
q l2
32
B
C ql 2
64
1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
§7-1 超静定结构概述
二、超静定结构的类型
超静定梁 超静定刚架 超静定拱
A
C
D
B
A
CD
B
F E
以五个支座链杆为多余约束
其它形式的静定刚架：
AA
CC KK DD

结构力学(力法、虚功原理)

结构力学(力法、虚功原理)
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88

结构力学第六章力法

结构力学第六章力法

弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C

结构力学第7章力法

结构力学第7章力法力法是结构力学中的一种分析方法，通过力法可以计算结构系统中各个构件的受力情况。

力法分为两种，即静力法和动力法。

静力法是力法的一种基本形式，它假设结构系统处于静止状态，通过平衡条件来计算结构中构件的受力。

在应用静力法时，我们根据不同的受力情况选择适当的计算方法。

常见的静力法有三种，即图解法、解析法和力平衡方程法。

图解法是最直观、易于理解和应用的方法之一、在图解法中，我们首先绘制结构的荷载图和支座反力图。

然后，根据等效荷载和支座反力，我们可以通过直观的力平衡图来计算结构中各个构件的受力情况。

解析法是一种较为精确的力法方法。

在解析法中，我们可以通过力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。

通过将力平衡方程应用于不同的构件，我们可以得到方程组，并解得未知力的数值。

常见的解析法有支反推移法、拆解法和替换法。

支反推移法是一种常见的解析法，它通过将处于平衡状态的内力反向传递来计算结构中各个构件的受力。

该方法适用于简单、对称的结构系统。

拆解法是一种适用于复杂结构的方法，它将结构系统拆解为多个简单结构，在每个简单结构中应用平衡条件计算受力。

替换法是一种常用于桁架结构的方法，它通过将构件按照等效的支座反力进行替换，然后计算受力。

力平衡方程法是一种广泛应用于结构力学中的方法。

在力平衡方程法中，我们通过应用力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。

在计算过程中，我们需要考虑结构的平衡条件、力的合成和分解等因素。

常见的力平衡方程法有梁静力法、杆件静力法和平面结构静力法等。

动力法是力法的另一种形式，它适用于分析结构在动力作用下的响应。

动力法通过求解结构的动力方程，计算结构的振动、位移和应力等。

常见的动力法有等效荷载法、阻尼振动法和模态分析法等。

等效荷载法是一种常用的动力法，它将随机振动转化为与之等效的静力荷载，然后用静力法来计算结构的受力情况。

阻尼振动法是一种考虑结构阻尼特性的动力法，它在动力方程中引入阻尼项，计算结构的振动衰减情况。

8第八章-结构力学力法


x1 = −15pa 88 x2 = −3pa 88
例2 解： 、取基本结构： 1 取基本结构： 2、δ11x1 + ∆1P = 0 求系数。 3、求系数。
δ11 = ∑ ∫
1 ×a = 4a (1+ 2) Ni l 2(− 2)2 2a + 4× = EA EA 3EA EA
2
2
∆1P = ∑ ∫ N N l= 1× pa ×2 + (−
△ 1 △ 11
x1
δ 11
x1=1
4、解方程： 解方程：
x1 = −∆1P
q
5 、 作 M图 ：
3 δ11 = 8 ql(↑)
x= 1 1
M = x1 M1 + MP
method） 第八章 力 法（Force method） §8-3 力法的基本概念 取另外一种基本结构： 取另外一种基本结构：
∆1P =
δ31x1 +δ32x2 +δ33x3 + ∆3P = 0 δ11x1 +δ12x2 +⋯ +δ1n xn + ∆1P = 0 ⋯ ⋯ 可写出其一般形式： 可写出其一般形式：δ21x1 +δ22x2 +⋯ +δ2n xn + ∆2P = 0
δ δij
δn1x1 +δn2 x2 +⋯ +δnn xn + ∆nP = 0 ⋯
、 、 令 δ11、δ12、δ13分别是 x1 =1的位移。
δ21、δ22、δ23，δ31、δ32、δ33 同理。 同理。
method） 第八章 力 法（Force method） §8-4 力法的典型方程 于是得： δ11x1 +δ12x2 +δ13x3 + ∆1P = 0 于是得： δ21x1 +δ22x2 +δ23x3 + ∆2P = 0

结构力学第8章力法

(b)
式(b)既是两次超静定结构在荷载作 用下的力法方程。
2.n次超静定结构的力法方程
（力法典型方程）
由两次超静定结构的力法方程推广，得：
11 x1 12 x2 1i xi 1 j x j 1n xn 1P 0
…………….. ……………..
21 x1 22 x2 2i xi 2 j x j 2 n xn 2 P 0
例8-2-1 使用力法计算图(a)所示超
静定梁，并作弯矩图。
B A L
(a)
Байду номын сангаас：
(1)判定梁的超静定次数，并确定相应 的力法基本体系。见图(b)。
x 1 A x 2 B
(b)基本体系
(2)写力法方程。
11 x1 12 x2 1 p 0
21 x1 22 x2 2 p 0
力法基本体系
q
A BA
q
B x 1
(a)原结构
(b)基本体系
图8-1-1
如图8-1-1(a)所示为有一个多余约束的 几何不变体系。取B支座链杆为多余约 束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。
设想x1是已知的，图(b)所示体系就是 一个在荷载和多余力共同作用下的静定 结构的计算问题。换句话说，如果x1等 于原结构B支座的反力，则图(b)所示体 系就能代替原结构进行分析。
要避免将必要约束拆掉，即最后 不应是几何可变体系或几何瞬变 体系。
例8-1-1 试确定图(a)、(b)所示结
构的基本未知量。
x2 x1 x3 x2 x1 x3
x3 x2
x1
(a)
(a1)
(a2)
x2 x1 x2 x1

《结构力学》第七章力法

A点的位移
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
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超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数 总次数也可由计算自由度得到。
（3 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
力法的基本原理
有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
只要满足
1 1
FAy FP1 FP2 FBy
1
M A FPi a i 1 FBy l
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？ 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？ M k Mds M k Mds k k FRi ci EI EI
h l 11 22 EI 3 EI l 12 6 EI 3 2 2h hl 33 3 EI EI 2 h hl 13 23 2 EI 2 EI
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
iP
注意： 用图乘法求 ij 和 iP 时应注意图乘条件 (6) 解方程求未知力 X i
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88
FP
FPa
FP （×Fpa）
由叠加原理求得
M M1 X1 M2 X 2 M P
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2： FP 原 结 构
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
M 1 , M P , FN 1 , FNP 如图示：
FN1 1 FNP 0
FN
55
FNP
10.67 12.2 11 , EI EA 533.3 1 P EI
FN 44.9
FN (kN )
当 A 1 10 3 m 2 , X 1 44.9 kN 内力 M M 1 X 1 M P , FN FN1 X 1 FN P 有无下部链杆时梁内 最大弯矩之比：
FP ab2 可 代 X1 2 得入 l 并 2 X FP a b 求 2 l2 解
FPab l FPa2b l2
FPab2 l2
例 2. 求解图示加劲梁。 横梁 I 1 104 m4 解：取基本体系如图(b) 典型方程：
11 X 1 1 P 0
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M i X i M P FN FN i X i FN P i i FQ FQ i X i FQP
i
(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移
例如求 K 截面竖向 位移：
K FP
（×Fpa）
Ky
1 a 5 3 1 1 3 15 FP a [ ( FP a FP a ) EI 1 8 6 88 2 EI 1 2 88 88 a 2 FP a 3 3 FP a 3 ] ( ) 2 16 1408EI 1
X3
X1
X2
b a

1 l b 2 a 3
例 3. 求解图示刚架由 EI 常 于支座移动所产生的 数 内力。 解：取图示基本结构 力法典型方程为： 方程的物理意义是否明确？
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 X X X a 31 1 32 2 33 3 3
1 11 1P 1 0
变形协调条件 力法典型方程
1 1 0
11 1P
或
δ11X1 1P 0
荷载弯矩图
单位弯矩图
自 乘
系数求法
互乘
ij — 位移系数
ΔiP — 广义荷载位移
系数和未知力等于多少？
X1
叠加作弯矩图 由叠加原理求得
M M1X1 MP
问题：如何建立如下基本结构的典型方程？
X3
X1
基本体系2
X3
X1
X2
基本体系3
X2
X3
X1
基本体系2
X2
i
i
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 b 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 a X X X 31 1 32 2 33 3 3
力法解超静定结构举例
例 1. 求解图示两端固支梁。
FP
解：取简支梁为基本体系
力法典型方程为：
EI
FP
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3P
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
例 2. 求解图示结构
解法1:
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系 一
基 本 未 知 力
有两个多于约束
解除约束代以未知力
F PP
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程 1 11 12 1 p 0 11 X 1 12 X 2 1 p 0 或 2 21 22 2 p 0 21 X 1 22 X 2 2 p 0
由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
基 本 体 系
单位和荷载弯矩图 M i , M P 为：
M 3 0 , FQ 3 0 由于 FN1 FN 2 FNP 0
所以
13 31 23 32 3 P 0
FP
M P图
FP ab l
又由于 2 2 M3 ds FN 3 ds 33 EI EA 2 FQ 3ds l k 0 GA EA 于是有
X3 0
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
11 X 1 12 X 2 1 P 0 典型方程改写为 21 X 1 22 X 2 2 P 0
图乘求得位移系数为 l 2 11 22 12 3 EI FP ab( l b) 1 P 6 EIl FP ab( l a ) 2 P 6 EIl
其中 1 , 2 , 3 为由于支座移动所产生的位移, 即 i FRi ci
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ、Δ2Δ、Δ3Δ等于多少？ b b b b 1 ( ) , 2 ( ) , 3 0 l l l l
最后内力（M图）：
结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。
FP
（×Fpa）
Ax
1 a2 2 3 1 1 3 2a 2 FP a [ FP a EI1 2 3 88 2EI1 2 88 3 1 15 a 1 FP a a 2 FP a a ] 0 2 88 3 2 4 2
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
FP
15 4 X 1 FP a, X 2 FP 88 11
（×Fpa）
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FPa
MP图
M 1图
M2图
FP
单位和荷载弯矩图
15 X 1 FP a , 88 3 X 2 FP a 88
问题：
能否取基本体系为
FP
( )
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
一个超静定结构可能有多种形式的基本结构， 不同基本结构带来不同的计算工作量。因此， 要选取工作量较少的基本结构。
可变体系不能作为基本结构
(2) 建立力法典型方程
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
力法
超静定结构
以力作为基本未知量，在自动满 足平衡条件的基础上进行分析，根 据变形协调，解决超静定问题，这 种分析方法称为力法。
几何不变
1.静定结构：
只靠平衡条件可解的
几何不变无 多余联系
内力 反力
2.超静定结构：
不能只靠平衡条件可解的