结构力学力法汇编

第七章力法§7-1 超静定结构概述1. 超静定结构基本特性(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。

2. 超静定结构类型图7.13. 求解原理(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。

(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。

(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。

4. 基本方法力法：以多余约束力作为求解的基本未知量位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量§7-2 超静定次数的确定超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。

确定方法：超静定结构去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。

强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。

图7.2图7.3图7.4图7.5图7.6§7-3 力法基本概念下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。

图7.7(1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构；(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，∆1=0(3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ∆δ∆∆∆，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。

(4) 柔度系数δ11与自由项∆1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得EI l l l l EI 332211311=⋅⋅⋅⋅=δ, EIql l ql l EI P 84321311421-=⋅⋅⋅-=∆, ql X P 831111=-=δ∆ (5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。

§7-4 力法典型方程由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。

下面讨论一般情况下力法方程的形式。

图7.83次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。

当∆1=0，∆2=0，∆3=0时，原结构与基本结构等价。

根据叠加原理，得到力法典型方程，如下011331221111=+++=P X X δX Δ∆δδ，注意，一般为0，有不为0的情况022*********=+++=P X X δX Δ∆δδ033333223113=+++=P X X δX Δ∆δδ选取不同的力法基本结构，如下图示图7.9依叠加原理，得到力法方程如下，013132121111=+++=P X X X δΔ∆δδ023*********=+++=P X X X δΔ∆δδ033332321313=+++=P X X X δΔ∆δδ形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。

依此类推，n 次超静定结构，有n 个多余约束力时，力法典型方程为2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ∆∆δδδ∆∆δδδ∆∆δδδ02121212222111211=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nP P P n nn n n n n X X X ∆∆∆δδδδδδδδδ , 0}{}]{[=+P X ∆δ 为线性代数方程组，由位移互等定理，ji ij δδ=。

物理含义：(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；(2) 柔度系数ij δ，j 方向单位力引起的i 方向的位移，主系数δii >0，副系数ji ij δδ=。

(3) 自由项iP ∆，荷载单独作用在基本结构上，引起的i 方向的位移。

柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。

§7-5 力法计算步骤与示例例7-1 用力法求解图示刚架，并作M 图。

图7.10力法基本未知量为X 1、X 2，基本结构如图示，列出力法方程022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ 作出1M 、2M 、M P 图，如图示。

下面计算柔度系数与自由项EI l l l l EI 6322121311=⋅⋅⋅=δ, EI l l l l EI 4212132112=⋅⋅⋅==δδ, EIl l l l EI l l l EI 652132211322=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ EI Fl l Fl l EI P 9656522212131-=⋅⋅⋅-=∆, EIFl l Fl l EI P 1622212132-=⋅⋅⋅-=∆ 力法方程成为(消去公因子l 3/EI )0965416121=-+F X X , 0161654121=-+F X X 解出，F X 1141=, F X 8832-=(与假设方向相反) 计算最后杆端弯矩，如Fl l F M BC 883883=⋅=(上侧拉)，Fl l F l F l F M AB 88151148832=⋅-⋅+⋅=(左侧拉) 作出最后的M 图，如图示。

结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。

图7.11力法计算步骤(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。

(2) 列出力法典型方程2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ∆∆δδδ∆∆δδδ∆∆δδδ(3) X 1=1单独作用在基本结构上，作出1M 图X 2=1单独作用在基本结构上，作出2M 图，依此类推荷载单独作用在基本结构上，作出M P 图(4) 计算柔度系数与自由项主系数δii >0，i M 自乘；δij =δji ，i M 与j M 图乘；自由项，∆iP ，i M 与M P 图乘。

(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。

(6) 由叠加原理，P M M X M X M +++= 2211，计算最后的杆端弯矩。

(7) 作出M 图。

例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。

图7.123次超静定，未知量X 1、X 2、X 3，力法方程为00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ∆δδδ∆δδδ∆δδδ03113==δδ, 03223==δδ, 03=P ∆, 02333≠==EAl l EA F N δ, 则力法第3个方程成为，0333=X δ 得，X 3=0. 力法的前两个方程成为， 0022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ EI l l EI δ332121111=⋅⋅⋅⋅=, EI l 322=δ, EIl EI 613112112112=⋅⋅⋅⋅==δδ EIl b l Fab P 6)(1+-=∆, EIla l Fab P 6)(2+-=∆, 可解出，221l Fab X =, 222l b Fa X = 结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。

例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA =C 。

图7.13 利用对称性，取对称的基本结构，未知量X 1，力法方程，01111=+P X ∆δ，求δ11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，EAa a EA a a a EA )223(211]2)21(2)22(2)22[(12222211+=⋅⋅+⋅-+⋅-+⋅⨯=δ EA Fa a F a F a F EA P -=-+--+-⨯=]2)2)(21(2)22)(22(2)22)(22[(121∆ F F X P 172.02231111=+=-=δ∆(拉力) 按叠加法求出最后轴力值，NP N N F F X F +=11。

例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I =1⨯10-4 m 4, 链杆A =1⨯10-3m 2，E =C 。

利用对称性。

切开竖向链杆，未知量X 1，力法方程为，01111=+P X ∆δ。

EEA EA EI EA F dS EI M N 52221211110189.1212152)25(12)232(242112⨯=⋅⋅+⋅-⋅⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⨯=+=∑∑⎰δEEI EA F F dS EI M M NP N P 6111P 10333.5)285(8043212)0(⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⨯=+=∑∑⎰此项为∆ 9.441111-=-=δ∆P X kN(压力)。

最后，弯杆P M M X M +=11，链杆NP N N F F X F +=11讨论：(1) 无链杆时，简支梁，M max =80kN.m 。

有链杆时，M max =15.4kN.m ，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A →0，加劲梁→简支梁。

A ↑，M max ↓，∣M min ∣↑，当A=1.7⨯10-3m 2时，M max =∣M min ∣，最合理；(3) A →∞，刚性支座，相当于两跨连续梁。

图7.14§7-6 对称性的利用对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。

1. 选取对称的基本结构图7.15选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ∆δδδ∆δδδ∆δδδ作出1M 、1M 、1M 、M P 图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有03113==δδ，03223==δδ力法方程可分成正对称与反对称两组022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ，03333=+P X ∆δ ∇ 正对称荷载下，M P 正对称，有，∆3P =0，X 3=0.∇ 反对称荷载下，M P 反对称，有，∆1P =0，∆2P =0，X 1=0，X 2=0.结论：(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；(2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。

例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI =C ，试用力法求解。