2020届甘肃省兰州市一模数学(理科)试卷及答案

2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）3-的相反数是( )A ．3-B ．3-C ．3±D ．32．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )A ．438.410km ⨯B ．53.8410km ⨯C ．60.38410km ⨯D ．63.8410km ⨯4．（4分）下列运算正确的是( )A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b +=+C ．527()a a =D ．2(2)(2)4a a a -+--=-5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD的长度为( )A ．πB ．2πC ．22πD ．4π 6．（4分）若函数k y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =+的大致图象为()A ．B ．C ．D ．7．（4分）如图，将线段AB 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B ''，则点B 的对应点B '的坐标是( )A ．(4,1)-B ．(1,2)-C ．(4,1)-D ．(1,2)-8．（4分）不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( ) A ．10 B ．7 C ．6 D ．09．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为()A．4.5112y xy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112y xx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210ax bx++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()A．23B．59C．49D．1312．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接GM．有如下结论：①DE AF=；②2AN AB=；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果）13．（4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为 ． 14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF=，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．16．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)k y x x=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（4分）先化简，再求值：2222421121x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =．18．（4分）解分式方程：31133x x-=--． 19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车的士 私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择B 类的人数有 人；（2）在扇形统计图中，求A 类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A ，B ，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．23．（8分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：ABE CDF ∆≅∆；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB⊥交AB 于点E ．（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线；（2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求EF AC的值．25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =．（1）求直线的解析式；（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连接CM ，以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角三角形CMN ，连接NB ．（1）如图1，图2，若ABC ∆为等腰直角三角形，问题初现：①当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则线段BN ，AM 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；深入探究：②当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，90ACB ∠≠︒，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP CM ⊥交线段BN 于点P ，且45CBA ∠=︒，42BC =，当BM = 时，BP 的最大值为 ．2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）3-的相反数是( )A ．3-B ．3-C ．3±D ．3【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：3-的相反数是3．故选：D ．2．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，因此选项B 的图形符合题意，故选：B ．3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )A ．438.410km ⨯B ．53.8410km ⨯C ．60.38410km ⨯D ．63.8410km ⨯【解答】解： 科学记数法表示：384 5000 3.8410km =⨯故选：B ．4．（4分）下列运算正确的是( )A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b +=+C ．527()a a =D ．2(2)(2)4a a a -+--=-【解答】解：22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意；5210()a a =，故选项C 不合题意；2(2)(2)4a a a -+--=-，故选项D 符合题意．故选：D ．5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD的长度为( )A ．πB ．2πC ．22πD ．4π【解答】解：连接OC 、OD ，AC Q ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．OC AC ∴⊥，OD BD ⊥，45A ∠=︒Q ，45AOC ∴∠=︒，4AC OC ∴==，4AC BD ==Q ，4OC OD ==，OD BD ∴=，45BOD ∴∠=︒，180454590COD ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴¶CD 的长度为：9042180ππ⨯=， 故选：B ．6．（4分）若函数kyx=与2y ax bx c=++的图象如图所示，则函数y kx b=+的大致图象为()A．B．C．D．【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知0k<，根据二次函数的图象确知0a>，0b<，∴函数y kx b=+的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．7．（4分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B''，则点B的对应点B'的坐标是()A ．(4,1)-B ．(1,2)-C ．(4,1)-D ．(1,2)-【解答】解：将线段AB 先向右平移5个单位，点(2,1)B ，连接OB ，顺时针旋转90︒，则B '对应坐标为(1,2)-， 故选：D ．8．（4分）不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( )A ．10B ．7C ．6D ．0【解答】解：()5231131722x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩①②…， 解不等式①得： 2.5x >-， 解不等式②得：4x …，∴不等式组的解集为： 2.54x -<…，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0123410++++=，故选：A ．9．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【解答】解：BD Q 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥， 13522ABD EBD ABC ︒∴∠=∠=∠=，90AFB EFB ∠=∠=︒， 9017.5BAF BEF ∴∠=∠=︒-︒，AB BE ∴=， AF EF ∴=， AD ED ∴=， DAF DEF ∴∠=∠，18095BAC ABC C ∠=︒-∠-∠=︒Q ， 95BED BAD ∴∠=∠=︒， 955045CDE ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为( ) A ． 4.5112y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ B ． 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解答】解：设绳长x 尺，木长为y 尺， 依题意得 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故选：B ．11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210ax bx++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()A．23B．59C．49D．13【解答】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，∴乙获胜的概率为49，故选：C．12．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接GM．有如下结论：①DE AF=；②24AN AB=；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④【解答】解：Q四边形ABCD是正方形，AD AB CD BC∴===，90CDE DAF∠=∠=︒，CE DF⊥Q，90DCE CDF ADF CDF∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE∴∠=∠，在ADF∆与DCE∆中，90DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADF DCE ASA ∴∆≅∆，DE AF ∴=；故①正确；//AB CD Q ， ∴AF ANCD CN=， :1:2AF FB =Q ，::1:3AF AB AF CD ∴==， ∴13AN CN =， ∴14AN AC =，AC =Q ，∴14=，AN AB ∴=；故②正确； 作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =， 由CMD CDE ∆∆∽，可得CM =， 由GHC CDE ∆∆∽，可得CH =， 12CH MH CM ∴==，GH CM ⊥Q ， GM GC ∴=， GMH GCH ∴∠=∠，90FMG GMH ∠+∠=︒Q ，90DCE GCM ∠+∠=︒， FEG DCE ∴∠=∠， ADF DCE ∠=∠Q ，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ， //AF CD Q ，∴13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆∽， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ， ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，故选：C ．二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果） 13．（4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为 4x =- ．【解答】解：631(1)(1)1x x x -=+--，63(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x +-=+--+，331(1)(1)xx x -=+-，311x -=+， 13x +=-， 4x =-，经检验4x =-是原方程的根； 故答案为4x =-；14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为485．【解答】解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图， AB CD ⊥Q ，132AE BE AB ∴===， 设O e 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =， 在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，Q ¶¶AB BF=， OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，① 在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，② 解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485．15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 16 个小立方块．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：故答案为：1616．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)ky x x=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 1(1)3(1)n n n +--- ．（用含n 的式子表示）【解答】解：过1A 作11A D x ⊥轴于1D ， 12OA =Q ，1260OA A α∠=∠=︒， ∴△1OA E 是等边三角形，13)A ∴， 3k ∴3y ∴=和3y =，过2A 作22A D x ⊥轴于2D ， 212360A EF A A A ∠=∠=︒Q ， ∴△2A EF 是等边三角形，设23(,A x ，则223A D =Rt △22EA D 中，2230EA D ∠=︒，21ED x∴=， 212OD x x=+=Q ，解得：11x =（舍)，21x =+21)2EF x ∴=====，221)A D ==，即2A 的纵坐标为1)； 过3A 作33A D x ⊥轴于3D ， 同理得：△3A FG 是等边三角形，设3(A x ，则33A D =， Rt △33FA D 中，3330FA D ∠=︒，31FD x∴=，3122OD x x=++=Q ，解得：1x =（舍)，2x =2GF x ∴====33A D =，即3A ；⋯(n A n ∴为正整数）的纵坐标为：(1)n +-；故答案为：(1)n +-；三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17．（4分）先化简，再求值：2222421121x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =． 【解答】解：原式222(2)(1)1(1)(1)2x x x x x x x +-=-++-+g22211x x x x -=-++ 21x =+ 当8x =时， 原式29=18．（4分）解分式方程：31133x x-=--． 【解答】解：原方程可整理得：31133x x --=--， 去分母得：3(3)1x --=-， 去括号得：331x -+=-， 移项得：133x -=---， 合并同类项得：7x -=-， 系数化为1得：7x =， 经检验7x =是分式方程的解．19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．【解答】解：如图所示，Rt ABC ∆即为所求．20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．【解答】解：设AC x =米，则(10)BC x =-米， 在Rt ACD ∆中，45CDA CAD ∠=∠=︒， 所以CD AC x ==，在Rt ECB ∆中，8CE CD DE x =+=+． 所以tan BCCEB CE∠=，即103tan308x x -=︒=+ 解得，810334.5931x +=≈-．答：楼高AC 约为34.59米．21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【解答】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②… 由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …，当40x =时，15y =，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择B类的人数有人；（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．【解答】解：（1）本次调查的市民有20025%800÷=（人)，B∴类别的人数为80030%240⨯=（人)，故答案为：800，240；-+++=，（2）AQ类人数所占百分比为1(30%25%14%6%)25%∴类对应扇形圆心角α的度数为36025%90A⨯=（人)，︒⨯=︒，A类的人数为80025%200补全条形图如下：⨯++=（万人），（3）12(25%30%25%)9.6答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．23．（8分）如图，在ABCDY中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG AE=，连接CG．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，OB OD =，OA OC =， ABE CDF ∴∠=∠，Q 点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，12BE OB ∴=，12DF OD =，BE DF ∴=，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CDABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）解：当2AC AB =时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： 2AC OA =Q ，2AC AB =， AB OA ∴=，E Q 是OB 的中点，AG OB ∴⊥， 90OEG ∴∠=︒，同理：CF OD ⊥， //AG CF ∴， //EG CF ∴，由（1）得：ABE CDF ∆≅∆， AE CF ∴=， EG AE =Q ， EG CF ∴=，∴四边形EGCF 是平行四边形，90OEG ∠=︒Q ，∴四边形EGCF 是矩形．24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB ⊥交AB 于点E ．（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线； （2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求EFAC的值．【解答】（1）证明：DE DB ⊥Q ，O e 是Rt BDE ∆的外接圆BE ∴是O e 的直径，点O 是BE 的中点，连接OD （1分）90C ∠=︒Q90DBC BDC ∴∠+∠=︒又BD Q 为ABC ∠的平分线 ABD DBC ∴∠=∠ OB OD =Q ABD ODB ∴∠=∠ 90ODB BDC ∴∠+∠=︒ 90ODC ∴∠=︒（4分）又OD Q 是O e 的半径 AC ∴是O e 的切线（5分）（2）解：设O e 的半径为r ，在Rt ABC ∆中，22222912225AB BC CA =+=+= 15AB ∴=（7分）A A ∠=∠Q ，90ADO C ∠=∠=︒ADO ACB ∴∆∆∽． ∴AO ODAB BC=∴15159r r-= ∴458r =4524BE r ∴==，（10分） 又BE Q 是O e 的直径 90BFE ∴∠=︒ BEF BAC ∴∆∆∽∴4534154EF BE AC BA ===（12分）25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =． （1）求直线的解析式；（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,2)A ，(4,0)B -代入y kx b =+，得：240b k b =⎧⎨-+=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为122y x =+． （2）如图1，设平移后抛物线的解析式为2()(0)y x m m =->，则平移后抛物线的对称轴为直线x m =，点C 的坐标为2(0,)m ． //CD x Q 轴，∴点C ，D 关于直线x m =对称，∴点D 的坐标为2(2,)m m ．Q 点D 在直线122y x =+上， 21222m m ∴=⨯+，解得：11m =-（舍去），22m =，∴平移后抛物线的解析式为2(2)y x =-，即244y x x =-+．（3）存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似． 设点P 的坐标为2(,44)a a a -+，则|2|PQ a =-，244EQ a a =-+．90PQE ∠=︒Q ，∴分两种情况考虑，如图2所示．①当EQP AOB ∆∆∽时，PQ EQ BO AO=，即2|2|4442a a a --+=， 化简，得：1|2|2a -=，解得：132a =，252a =，∴点P 的坐标为3(2，1)4或5(2，1)4；②当PQE AOB ∆∆∽时，PQ EQAO BO =，即2|2|4424a a a --+=， 化简，得：|2|2a -=， 解得：10a =，24a =， ∴点P 的坐标为(0,4)或(4,4)．综上所述：存在这样的点P，使以点E，P，Q为顶点的三角形与AOB∆相似，点P的坐标为3(2，1)4，5(2，1)4，(0,4)或(4,4)．26．（10分）在ABC∆中，ABC∠为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若ABC∆为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是AM BN⊥，数量关系是；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，90ACB∠≠︒，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP CM⊥交线段BN于点P，且45CBA∠=︒，42BC=BM=时，BP的最大值为．【解答】解：问题初现：（1）①AM与BN位置关系是AM BN=．⊥，数量关系是AM BN理由：如图1，ABC∆∆为等腰直角三角形，Q，CMNCAB CBA=，CM CN∠=∠=︒=，4590ACB MCN∴∠=∠=︒，AC BC=，=，CM CNACM BCN∴∠=∠，且AC BCSASACM BCN∴∆≅∆()=．∴∠=∠=︒，AM BNCAM CBN45∠=∠=︒Q，CAB CBA45∴∠=︒+︒=︒，即AM BN⊥ABN454590故答案为：AM BN=⊥；AM BN深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM BN⊥，数量关系是AM BN=．理由如下：如图，Q，CMN∆为等腰直角三角形，∆ABC=，45CAB CBA=，CM CN∠=∠=︒∴∠=∠=︒，AC BC90ACB MCN=，=，CM CN∴∠=∠，且AC BCACM BCNSASACM BCN∴∆≅∆()45CAM CBN∴∠=∠=︒，AM BN=．45CAB CBA∠=∠=︒Q，454590ABN∴∠=︒+︒=︒，即AM BN⊥类比拓展：（2）如图，过点C作CE AB⊥于点E，过点N作NF CE⊥于点F，则//FN ABMCN∆Q是等腰直角三角形CM CN∴=，90MCN∠=︒90ECM FCN∴∠+∠=︒，且90ECM CME∠+∠=︒FCN CME∴∠=∠，且CM CN=，90F CEM∠=∠=︒()CNF CME AAS∴∆≅∆FN EC∴=，EM CF=42BC=Q，CE AB⊥，45CBA∠=︒4CE BE∴==，FN BE CE∴==，且//FN BA∴四边形FNBE是平行四边形，且90F∠=︒∴四边形FNBE是矩形90CEM ABN∴∠=∠=︒90PMB MPB∴∠+∠=︒CM MP⊥Q90CME PMB∴∠+∠=︒CME MPB∴∠=∠，且90CEM ABN∠=∠=︒CEM MBP∴∆∆∽∴BP MB EM CE=第31页（共31页） 2(4)1(2)144BM BM BP BM -∴==--+ ∴当2BM =时，BP 有最大值为1． 故答案为：2，1。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，{|21}(,0)x B x =<=-∞， 则(,1)A B =-∞U ． 故选：D ．2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )A ．5BC ．13D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，得22||13z z z ===g ． 故选：C ．3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )A ．3B C ．D ．5【解答】解：Q 平面向量,a b rr 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=rr r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r故选：B ．4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．BCD ．-【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =， 所以抛物线的方程为：24y x =， 所以焦点(1,0)F ， 所以2222MF k ==， 故选：A ．5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x =+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22cos(2)cos2()||||()()x xf x ln x ln x f x x x--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； 又cos2(1)1cos201f ln =+=<，可排除D ． 故选：A ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．2【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by xx a=±，圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有2ba=，即2b a =， 则22225c a b a =+=，即5c a =， 则双曲线的离心率5ce a==． 故选：B ．7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得1234535x ++++==，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =++++=，0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，所以线性回归方程为0.0420.026y x =-， 由0.0420.0260.5x ->，得13x …，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确； 在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确． 故选：C ．9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减； 因为12ln π<<，1201e -<<，所以12()()a f ln b f e π-=<=，2221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211(log )(log )(266c f f ==-∈，3)，所以c a <， 故选：A ．10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 【解答】解：将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数11()sin()26f x x π=+．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象，令123x k ππ+=，k Z ∈，则223x k ππ=-，k Z ∈， 当1k =时，43x π=， 则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3π，0) 故选：D ．11．（5分）若1)n x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．56【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，则展开式的通项公式为8848331888811()()k kk k n kk k k k k k k T C C C x C x x x-----+=====， 当2k =时，对应的有理项为，2828C =， 当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=， 当8k =时，对应的有理项为，8x -，则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=， 故选：A ．12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，令2()x e h x x =，则3(2)()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）24e =；又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，24e m ∴>．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出可行域，如图：由2z x y =-可得1122y x z =-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点A 时z 最大由20220y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法， 若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯， 若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，则共有44444444444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：134415．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．【解答】解：因为cos 20B B -=， 所以2sin()26B π+=即sin()16B π+=， 所以13B π=，因为1b =，由余弦定理可得，222221()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…， 解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号， 所以13abc a c ++=++„， 又1a c b +>=， 所以2a b c ++>， 故23a b c <++„， 故答案为：(2，3]．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图： 取34O O 的中点E ，△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633O E ， 263322133O F == 22161(213)216O F =-=所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+， 可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-； （2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，则2(12)1(2482)(13521)(121)122n nn S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--1222n n +=+-．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)． 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u uu r u u u r r r g g ，0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13123n >==⨯r ．1BD ∴与该平面所成角的正弦值为13．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624P P ξξ==⨯===⨯+⨯=，111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111(80)4624P ξ==⨯=， 故ξ的分布列为ξ 0 20 40 60 80 P1241451214124ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为14030060002⨯⨯=（元)． 20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，c a b =，所以椭圆的方程为22186x y +=，（2）设直线MN 的方程为2x my =+， 联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=， 所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+， 所以12121122OAM OANOMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．令t =，则t所以OMAN S t t==+四边形因t2t t +…所以OMAN S 四边形„，当且仅当t =0m =时取等号． 即四边形OMAN面积的最大值 21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． 【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上单调递减，1(a ，)+∞上单调递增，③当1a =时，2(1)()0x f x x-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，④当1a >时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，（2）证明：当2a =-时，要证：1()2x f x e x x<--，只要证2x lnx e +<， 令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1()x g x e x'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<故存在0(0,1)x ∈使得001x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减， 故000000011()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+， 因为0(0,1)x ∈，0012x x +>， 所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…． 【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<， 等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩…，解得11x -<„或12x <<或24x <„， 所以原不等式的解集为{|14}x x -<<， 由题意可得1m =-，4n =； （2）证明：由（1）可得41x y +=，由0x >，0y >，可得11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…， 当且仅当123y x ==时等号成立，故119x y+…，即9x y xy +…．。

2020年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．133．已知平面向量,满足),3(),2,1(t -=-=，且)(+⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．42 C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．27．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若n x x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ． 5612．若函数2)(mx e x f x -=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷一、选择题1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．2．若∠A与∠B互为余角，∠A＝40°，则∠B＝（）A．140°B．40°C．50°D．60°3．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝（）A．50°B．75°C．80°D．50°或80°6．若点P（a﹣1，2a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0B．0＜a＜1C．a＜0D．a＞17．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 8．一次函数y＝3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：两匹马和一头牛的总价比一万钱还多半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价比一万钱又少半头牛的价格．问一匹马和一头牛的价格分别是多少钱？设一匹马的价格为x钱，一头牛的价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．10．如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（）A．5B．6C．7D．811．已知抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+c（a，c是常数）经过不重合的两点A（2，1），B（m，1），则m＝（）A．﹣4B．﹣2C．0D．112．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，CE，BF相交于点G，AB＝2，则CG＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．分解因式：x3y﹣9xy＝．14．如图，点A是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y 轴上的一动点，则△ABC的面积为．15．如图，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，∠ABC＝100°，则劣弧AC的长为．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则菱形ABCD的面积等于．三、解答题：本大题共12小题，共86分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：﹣2sin60°﹣（）﹣1+（π﹣3.14）0．18．先化简，再求值：4a（a﹣1）﹣（1+2a）2，其中a＝﹣．19．解方程：﹣1＝0．20．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，BE＝6，求DF的长度．21．兰州市某学校利用网络平台进行疫情防控知识测试．洪涛同学对九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下．信息一：疫情防控知识测试题共10道题目，每小题10分；信息二：两个班级的人数均为40人；信息三：九年级1班成绩频数分布直方图如图，信息四：九年级2班平均分的计算过程如下，＝80.5（分）；信息五：统计量平均数中位数众数方差班级九年级1班82.5m90158.75九年级2班80.575n174.75根据以上信息，解决下列问题：（1）m＝，n＝；（2）你认为哪个班级的成绩更加稳定？请说明理由；（3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．22．为了参加学校组织的志愿服务活动，八年级1班需要在A，B，C，D四名学生中随机选派2名学生参加，请用列表或画树状图的方法求出恰好选派A和C两位同学都参加的概率．23．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y ＝（x＜0）的图象交于点C（﹣2，2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接CD．求△BCD的面积．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O 的切线与AB相交于点E．（1）求证：DE⊥AB；（2）若BE＝2，BC＝6，求⊙O的直径．25．如图是一座现代化大型单塔双面扇形斜拉桥，主桥采用独塔双面索斜拉设计，主桥桩呈“H”形，两侧用钢丝绳斜拉固定．问题提出：如何测量主桥桩顶端至桥面的距离AD？方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，在桥面B处测得∠ABC＝26.57°，再沿BD方向走21米至C处，在C处测得∠ACD＝30.96°．问题解决：根据上述方案和数据，求银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD．（结果精确到1m，参考数据：sin26.57°≈0.447，cos26.57°≈0.894，tan26.57°≈0.500，sin30.96°≈0.514，cos30.96°≈0.858，tan30.96°≈0.600）26．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED ＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.3 2.5y/cm00.390.75 1.07 1.33 1.45x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9y/cm 1.53 1.42 1.17 1.030.630.35请你补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是cm．27．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE，与AD交于点F，连接OE，使得OE＝OD．在AD上截取AH＝CD，连接EH，ED．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB＝1，BC＝3，求EH的长．28．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE 绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE 的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．2．若∠A与∠B互为余角，∠A＝40°，则∠B＝（）A．140°B．40°C．50°D．60°【分析】根据余角的和等于90°列式进行计算即可求解．解：∵∠A与∠B互为余角，∠A＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°．故选：C．3．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】得到从左往右看组合几何体得到的平面图形中包含的2列正方形的个数即可．解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选：C．4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．解：A、＝2，此选项错误；B、是最简二次根式，此选项正确；C、＝2，此选项错误；D、＝，此选项错误；故选：B．5．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝（）A．50°B．75°C．80°D．50°或80°【分析】根据等腰三角形的性质，∠B＝∠C＝50°，然后根据三角形内角和定理就可推出∠A的度数．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°∴∠C＝50°∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°故选：C．6．若点P（a﹣1，2a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0B．0＜a＜1C．a＜0D．a＞1【分析】根据第二象限点的特征列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围．解：∵点P（a﹣1，2a）在第二象限，∴，解得：0＜a＜1，则a的取值范围是0＜a＜1．故选：B．7．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3∴x2+2x+1＝1+3∴（x+1）2＝4故选：D．8．一次函数y＝3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．解：∵一次函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，∴此函数的图象经过一三四象限，不经过第二象限．故选：B．9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：两匹马和一头牛的总价比一万钱还多半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价比一万钱又少半头牛的价格．问一匹马和一头牛的价格分别是多少钱？设一匹马的价格为x钱，一头牛的价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设一匹马值x钱、一头牛值y钱，根据两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱：一匹马加上两头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，列方程组求解．解：设一匹马值x钱、一头牛值y钱，由题意可列方程组．故选：C．10．如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝EF，∴＝，即＝，解得，EF＝5，故选：A．11．已知抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+c（a，c是常数）经过不重合的两点A（2，1），B（m，1），则m＝（）A．﹣4B．﹣2C．0D．1【分析】根据二次函数的对称性求得线段AB的中点坐标，然后利用对称轴方程即可求解．解：∵A（2，1），B（m，1），∴线段AB的中点坐标为（，1），∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴＝﹣1解得m＝﹣4．故选：A．12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，CE，BF相交于点G，AB＝2，则CG＝（）A．B．C．D．【分析】易证△AFB≌△BEC（SAS），从而可证明∠EGB＝90°，所以tan∠ECB＝＝，设BG＝x，CG＝2x，由勾股定理可求出x的值，从而可求出CG的长度．解：在正方形ABCD中，BC＝AB＝2，∠A＝∠EBC＝90°，∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴AF＝BE＝1，在△AFB与△BEC中，，∴△AFB≌△BEC（SAS），∴∠FBA＝∠ECB，∵∠ECB+∠BEC＝∠FBA+∠BEC＝90°，∴∠EGB＝90°，在Rt△CBE中，tan∠ECB＝＝，在Rt△BCG中，设BG＝x，CG＝2x，由勾股定理可知：x2+4x2＝4，解得：x＝，∴CG＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．分解因式：x3y﹣9xy＝xy（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式x2﹣9利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：x3y﹣9xy，＝xy（x2﹣9），＝xy（x+3）（x﹣3）．14．如图，点A是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y 轴上的一动点，则△ABC的面积为2．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果．解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB，而S△OAB＝|k|＝2，∴S△CAB＝2，故答案为：2．15．如图，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，∠ABC＝100°，则劣弧AC的长为π．【分析】连接OA和OC，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式求出即可．解：连接OA、OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝100°，∴∠D＝80°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝160°，∴劣弧AC的长为＝π，故答案为：π．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则菱形ABCD的面积等于32．【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED＝90°，CE＝DE，于是可判断∠DAE＝30°，∠D＝60°，再利用勾股定理得出AE的长，进而得出答案．解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝2DE，AB＝AD＝DC＝BC＝8，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴ED＝4，∴AE＝＝4，∴菱形ABCD的面积为：4×8＝32．故答案为：32．三、解答题：本大题共12小题，共86分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：﹣2sin60°﹣（）﹣1+（π﹣3.14）0．【分析】直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝2﹣2×﹣2+1＝2﹣﹣2+1＝﹣1．18．先化简，再求值：4a（a﹣1）﹣（1+2a）2，其中a＝﹣．【分析】原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝4a2﹣4a﹣1﹣4a﹣4a2＝﹣8a﹣1，当a＝﹣时，原式＝2﹣1＝1．19．解方程：﹣1＝0．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：1﹣2x+1＝0，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．20．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，BE＝6，求DF的长度．【分析】证△ABE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质即可得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴DF＝BE＝6．21．兰州市某学校利用网络平台进行疫情防控知识测试．洪涛同学对九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下．信息一：疫情防控知识测试题共10道题目，每小题10分；信息二：两个班级的人数均为40人；信息三：九年级1班成绩频数分布直方图如图，信息四：九年级2班平均分的计算过程如下，＝80.5（分）；信息五：平均数中位数众数方差统计量班级九年级1班82.5m90158.75九年级2班80.575n174.75根据以上信息，解决下列问题：（1）m＝85，n＝70；（2）你认为哪个班级的成绩更加稳定？请说明理由；（3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出m和n的值；（2）根据方差的意义即方差越小，越稳定，即可得出答案；（3）根据中位数、平均数和众数得出的数据分别进行分析，即可得出答案．解：（1）∵九年级1班共有40名学生，最中间的数是滴20、21个数的平均数，∴中位数m＝＝85（分）；∵在九年级2班中，70分出现了17次，出现的次数最多，∴众数：n＝70分；故答案为：85，70；（2）∵九年级1班的方差是158.75，九年级2班的方差是174.75，∴九年级1班的方差大于九年级2班的方差，∴九年级1班的成绩更加稳定；（3）九年级1班的成绩排名更靠前，理由如下：∵九年级1班的平均数是82.5分，九年级2班的平均数是80.5分，∴九年级1班的平均数高于九年级2班的平均数；∵九年级1班的中位数是85分，九年级2班的中位数是75分，∴九年级1班的中位数高于九年级2班的中位数；又∵九年级1班的众数是90分，九年级2班的众数是70分，∴九年级1班的成绩排名更靠前．22．为了参加学校组织的志愿服务活动，八年级1班需要在A，B，C，D四名学生中随机选派2名学生参加，请用列表或画树状图的方法求出恰好选派A和C两位同学都参加的概率．【分析】根据题意利用列表法或树状图法求出概率即可．解：根据题意，画出树状图：所有可能的结果为12种，恰好有A和C两位同学的有2种，所以P（恰好为A和C两位同学）＝．23．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y ＝（x＜0）的图象交于点C（﹣2，2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接CD．求△BCD的面积．【分析】（1）把C点坐标分别代入y＝﹣x+b和y＝中求出k、b，从而得到两函数解析式；（2）利用B、D的纵坐标相同和反比例函数图象上点的坐标特征确定D点坐标，从而得到BD的长，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）把C（﹣2，2）代入y＝﹣x+b得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；把C（﹣2，2）代入y＝得k＝﹣2×2＝﹣4，∴反比例函数解析式y＝﹣；（2）∵BD∥x轴，∴D点的纵坐标为1，当y＝1时，﹣＝1，解得x＝﹣4，则D（﹣4，1），∴BD＝0﹣（﹣4）＝4，∴△BCD的面积＝×4×（2﹣1）＝2．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O 的切线与AB相交于点E．（1）求证：DE⊥AB；（2）若BE＝2，BC＝6，求⊙O的直径．【分析】（1）连接AD，OD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到DE＝＝，根据全等三角形的性质得到＝＝，设AE＝a，AD＝3a，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，OD，∵AC是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝CO，∴OD∥AB，∴DE⊥AB；（2）解：∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠AED＝90°，∵BE＝2，BC＝6，∴BD＝CD＝3，∴DE＝＝，∵∠AED＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∴△AED∽△ADC，∴＝＝，设AE＝a，AD＝3a，∵AE2+DE2＝AD2，∴5a2+5＝9a2，∴a＝（负值舍去），∴AE＝，∴AB＝AE+BE＝，∴⊙O的直径为．25．如图是一座现代化大型单塔双面扇形斜拉桥，主桥采用独塔双面索斜拉设计，主桥桩呈“H”形，两侧用钢丝绳斜拉固定．问题提出：如何测量主桥桩顶端至桥面的距离AD？方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，在桥面B处测得∠ABC＝26.57°，再沿BD方向走21米至C处，在C处测得∠ACD＝30.96°．问题解决：根据上述方案和数据，求银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD．（结果精确到1m，参考数据：sin26.57°≈0.447，cos26.57°≈0.894，tan26.57°≈0.500，sin30.96°≈0.514，cos30.96°≈0.858，tan30.96°≈0.600）【分析】先根据题意得出∠ABD、∠ACD的度数及BC的长，再利用锐角三角函数的定义，在Rt△ABD中用AD表示BD，在Rt△ACD中用AD表示CD，最后由BD﹣CD＝BC列出AD的方程，求得AD便可．解：根据题意得，∠ABD＝26.57°，∠ACD＝30.96°，BC＝21米，在Rt△ABD中，∠ABD＝26.57°，∴tan∠ABD＝，∴BD＝，在Rt△ACD中，∠ACD＝30.96°．∴tan∠ACD＝，∴CD＝，∵BD﹣CD＝BC，BC＝21，∴2AD﹣，∴AD＝63（米）．答：银滩黄河大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD为63米．26．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED ＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.3 2.5y/cm00.390.75 1.07 1.33 1.451.50（答案不唯一）x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9y/cm 1.53 1.42 1.17 1.030.630.35请你补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：当0≤x≤1.8时，y 随x的增大而增大，当1.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是0.50或1.50（答案不唯一）cm．【分析】（1）通过取点、画图、测量可得；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）观察图象即可求解；（4）画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求．解：（1）通过画图得：当x＝2.5时，y≈1.50cm，故答案为：1.50（答案唯一）；（2）画出该函数的图象如下：（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势是：当0≤x≤1.8时，y随x的增大而增大，当1.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（其中1.8是概略数值，答案不唯一）；故答案为：当0≤x≤1.8时，y随x的增大而增大，当1.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）当AE＝2CD时，即x＝2y，则y＝x，画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求，两个函数交点的横坐标为：0.50或1.50，故CD＝y＝0.50或1.50，故答案为：0.50cm或1.50cm（答案不唯一）．27．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE，与AD交于点F，连接OE，使得OE＝OD．在AD上截取AH＝CD，连接EH，ED．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB＝1，BC＝3，求EH的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，得出OA＝OD，则AC＝BD，得出平行四边形ABCD是矩形；（2）由SAS证得△AEH≌△CED，得出EH＝ED，∠AEH＝∠DEC，证明∠HED＝90°，由等腰直角三角形的性质与勾股定理即可得出结果．解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE＝AC＝OA，∵OE＝OD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵平行四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠ADC＝90°，CD＝AB＝1，∵AH＝CD，∴AH＝1，∵∠AEC＝∠ADC＝90°，∴∠DCF+∠DFC＝∠EAF+∠AFE＝90°，∵∠AFE＝∠DFC，∴∠DCF＝∠EAF，在△AEH和△CED中，，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH＝ED，∠AEH＝∠DEC，∵∠AEH+∠HEC＝∠AEC＝90°，∴∠CED+∠HEC＝∠HED＝90°，∴EH2+ED2＝DH2，∴2EH2＝DH2，∴EH＝DH＝（AD﹣AH）＝×（3﹣1）＝．28．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE 绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE 的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E 的纵坐标相同，则E的坐标为（4，），即可求解；（3）①证明DM⊥x轴，即可求解；②分0≤t≤2、2＜t≤4两种情况，分别求解即可．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+①；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E 的纵坐标相同，而点B（0，），即点E、B关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，故点E的坐标为（4，）；△ACE的面积S＝S△COE+S△OAE＝OC•|x E|+OA•|y E|＝5×4+×5×＝；（3）①∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，∵对角线DM与AC的夹角为45°，∴∠DMC＝90°，即DM⊥x轴，即点D、M的横坐标相同，由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+5②，联立①②并解得：x＝1或5（舍去5），故x＝1，故点D（1，4），∴点M的坐标为（1，0）；②设正方形MFDN平移后为M′F′D′N′，如图1，2所示；由A、D的坐标得，DA＝＝4，∵点F是AD的中点，故DA＝2，即正方形MFDN的边长为2，∴正方形MFDN的面积为S1＝（2）2＝8；（Ⅰ）当0≤t≤2时，如图1所示，设M′F′交x轴于点H，∵t秒时，正方形平移的距离为t，∴MM′＝t＝M′H，∴S＝S△M′MH＝MM′•M′H＝（t）2＝t2；（Ⅱ）当2＜t≤4时，如图2所示，设N′D′交x轴于点H，∵t秒时，正方形平移的距离为t，则DD′＝t，∴AD′＝AD﹣DD′＝4﹣t＝HD′，∴S＝S1﹣S△AD′H＝8﹣×AD′×HD′＝8﹣×（4﹣t）＝﹣t2+8t﹣8，综上，S＝．。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62.（-1+i）（2i+1）=（）A. 1-iB. 1+iC. -3-iD. -3+i3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A. 8B. 4C. 2D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. -3 C. D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A. B. C. D.6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D. 1107.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. a＜c＜b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A. 168B. 169C. 336D. 3389.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A. （-∞，1）B. [0，1]C. [1，+∞）D. （0，1]10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或“小”）．15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．（1）求A的余弦值；（2）求b和c．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天调练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积．21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．（1）写出曲线E的直角坐标方程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．（1）求+的最小值；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】用列举法写出集合B．本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．故选：C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e==，则c=a=2，则b==2，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B．4.答案：D解析：【分析】根据条件即可得出，从而求出．考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．【解答】解：∵，的夹角为，=-3，||=2；∴；∴．故选：D．解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p=1-=．故选：D．基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=×10×11=55．故选：B．7.答案：A解析：解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由sin=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：∵y=，∴y′==．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则y′=．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．10.答案：D解析：【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．【解答】解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，，∴cos＜＞=．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．故选：D．11.答案：C解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，故选：C．可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1求得a，c．即可得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．12.答案：A解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜，解得-＜a＜；所以实数a的范围是（-，）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，由此求出实数a的范围．本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．13.答案：3解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．先求a2，再求a1．本题考查了数列的递推公式，属基础题．14.答案：大解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义，然后推出结果．本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的可行域是解题的关键．15.答案：解析：解：∵sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得cosα，sinα的值，则tanα可求．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．16.答案：1解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，∵sin A≠0，∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，∵B+C=π-A，∴sin A=，∵A∈（0，），∴cos A==；（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），又∵b+c=10，a=，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．∴抛物线的方程为y2=2x；（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得ky2-2y-2k=0．设A（），B（），则，y1y2=-2．∵，．∴====．∴．解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴V P-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.答案：解：（1）当a=-1时，．∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离d==≤=解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，∴m的取值范围是-3≤m≤1．解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

兰州市2020年高考实战模拟考试理科数学第I 卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M 二｛一1,0,1,2,3｝，N 二｛x|x 2 -2x 0｝，则 Mf]N 二（ ）A {3}B .{2,3} C . {-1,3} D . {0,1,2}2.若复数z 满足z （1 -i ） =|1 - i |，则z 的实部为（ ）3.设向量：=(x -1,x)，^(x 2,x -4)，则“ :”是“ x = 2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件 D条件4. 若等比数列｛a n ｝的各项都是正数，且 a 1」a 3,2a 2成等差数列，则a9 a10 =（）2 a<^a 8A. 1 - .2 B . 3-2、、2 C. 12 D . 3 2、25. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A. 2014 B . 2015 C. 2016 D . 2017x 一06.已知M(-4,0)，N (0, -3)，P(x,y)的坐标x,y 满足 y_0，则 PMN 面积的取值范围是3x 4y 乞12A.2 -1B .2 -1 C . 1 D-.2 12）•既不充分也不必要I #■加门# =201725A . [12,24]B . [12,25] C. [6,12] D . [6 空] ，2 7.某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人,中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(8.某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是(1①该几何体的体积为 -6② 该几何体为正三棱锥; ③该几何体的表面积为④该几何体外接球的表面积为3二.ab 取得最大值时，坐标原点到直线 I 的距离是()C iD 与底面ABCD 所成的角分别为60和45，则异面直线BQ 和C i D 所成角的余弦值为(2 211.已知F 1,F 2为双曲线 仔-告=1(a 0,b 0)的左、右焦点，以 F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的a b一个交点为P , PF i 与双曲线相交于点 Q ，且|PQ^2|QF 1 |，则该双曲线的离心率为(A . 种B . A ；0种 C.八2八3八10十丄幕"18十丄 .A 2 A 18 种A .①②③B.②③④9.若直线 l : ax by 1 = 0(a 0,b 0)把圆 C : (x 4)22(y 1) =16分成面积相等的两部分，则当A . 4B . 8.17 C. 2 D8 171710.已知长方体 ABCD -ABQQ ,中，B ,C ,A. 5 B . 2 C.a, a-b <1 212. 已知a,b€R，定义运算“径”：a®b=《-，函数f(x) = (x—2)®(x —1), x壬R,b, a—b A1若方程f(x) —a =0只有两个不同实数根，则实数a的取值范围是( )A.[2-1]U(1，2) B • (—2,—1]U(1,2] C. [_2,—1]U[1,2] D • (—2,—1]U (1,2)第U卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)3 113. 若sin 二一sin ：=1 , cos：- -cos ，贝U cos(:; l：,)=.2 214. 观察下列式子：1, 1 2 1 , 1 2 3 2 1, 12 3 4 3 21，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n • N*，则1^|| n • 2 • 1 =________ .i i 1 i15・已知函数：① f (x)二2sin(2 x ):② f (x) = 2sin(2 x ):③ f (x)二2sin( x ):④3 6 2 31 H Ttf(x)=2sin( —x ) •其中，最小正周期为二且图象关于直线x 对称的函数序号是 ___________ .2 3 316.已知定义域为[0,=)的函数f (x)满足f (x) =2f(x 2)，当[0,2)时，f(x)二-2x24x , 设f (x)在[2n -2,2n)上的最大值为a“(n • N*),且数列｛an｝的前n项和为Sn，则Sn二_________________________________________三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在ABC 中，A, B,C 的对边分别为a,b, c，若tan A tanC = .. 3(tan AtanC-1).(1)求角B ;(2)如果b = 2，求ABC面积的最大值.18. 现如今，“网购” 一词不再新鲜，越越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求X的分布列(概率用算式表示)、数学期望和方差.0J50.050.0250.0100.0050.0012,072Z7063,841 5.024 6.6357.87910.828/ n{ad~bc^亠.一弭J)，其*n = a + A + C + rf)19.如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE _平面ABCD ,EF//AB，EG//AD，EF 二EG=1，AE=3.（1）求证：平面CFG _平面ACE ；（2）求平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为£（-2,0），点B（2 <2在椭圆C 上，直线y二kx（k=0）与椭圆C交于P,Q两点，直线AP, AQ分别与y轴交于点M ,N .（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由21. 已知函数f （x^ ax2 bx xlnx在（1, f （1））处的切线方程为3x-y-2 = 0.（1）求实数a,b的值；（2）设g（x） =x2 -x，若k Z，且k（x-2）：：： f （x） -g（x）对任意的x • 2恒成立，求k的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程I x = 2cos 日亠在平面直角坐标系中，已知点B（1,1），曲线C的参数方程为_ .（二为参数），以坐标原点0j =v3 si n 日为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为（4-、2,二），直线I的极坐标方程为4'cos一）二a，且l过点A ；过点B与直线l平行的直线为l1，l1与曲线C相交于两点M , N .(1) 求曲线C 上的点到直线I 距离的最小值； (2) 求|MN I 的值• 23. 选修4-5 :不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1| | x a |.(1 )当a =3时，解关于x 的不等式|x -1| |x ■ a | . 6 ； (2)若函数g(x)二f(x)—13 a |存在零点，求实数a 的取值范围试卷答案、选择题13.14.15. ② 16.12介-2所以 P(X ") =(3)5, P(X -1^C 51(|)1(3)4, P(X =2) 乂52(2)2(3)3 ,5 5 5 5 532 3 3 2 42彳3 2 5P （x =3）©3（5）3（5）2，p （x =4）心4（5）4（5）, p （x=5）飞）5三、解答题tan A + tanC17.解：(i)： tan A tanC =. ；3(tanAtanC-1)，即31 - ta nAta nC••• tan (A C) = - 3 又••• A B C =二 tan B = . 3由于B 为三角形内角，故B -3（n ）在:ABC 中，由余弦定理得 c a 2+c 2-b 21 cosB2ac 22 2••• a c _2ac /. ac 岂4，当且仅当a =c =2时等号成立11L ABC 的面积 SacsinB 4 22150汇50"20汇80=100 11.111 10.828 9（n ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为80 _ 2 200 一 50,1,2,3,4,5，则 X 〜B(5,2),52 2 26所以 E(x)=52, D(X)=5(1 ) = —555 519.解：(I)证明：连接 BD 交AC 于点0，则BD _ AC 设AB , AD 的中点分别为 M , N ，连接MN ，则MN // BD ,连接 FM , GN ，则 FM / GN 且 FM -GN ，所以 MN // FG ，所以 BD // FG 由于AE _平面ABCD ，所以 AE _ BD 所以FG _ AC , FG _ AE ，所以FG _平面ACE 所以平面CFG _平面ACE(n)解法一：••• EG // AD ，二 EG // BC•••平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角即为平面 EBCG 与平面ABCD 所成的锐二面角 连接 BE ,••• AE _ 平面 ABCD , AB _ BC • BE _ BC • . EBA 为平面EBCG 与平面ABCD 所成二面角的一个平面角•/ AE =3 , AB =2• BE 二、13则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0) , E(0,0,3) , G(0,1,3) 依题意AE =(0,0,3)为平面ABCD 的一个法向量，由于XB(5,2),5 • cos EBA = ABEB2 1313即平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为2J3 13解法二：建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz ,设n =(x,y, z)为平面CEG 的一个法向量，则nC^ = 0 即 -2x-y 3z "令 x=3 , n CG =0 -2x -2y 3z = 0则 y =0,z =2，所以 n =(3,0,2)设平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角为：•，则cos: 即平面CEG与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为等2 2笃y2=1(a b 0)a b所以 M(0, 一2 衣),N(0, 一2 永)1.1 2k 21-^1 2k 2所以,|MN H 2忌-2玉|A 2(1涵 1+2k 2 1 一 & 匚 2k 2x 2 (y 卡2 二 2(1 k f k )，即 x 2 y 2 平 y = 4 kk k令 y 二 0 得 x =2 或 x = -2 ,20.解：(I) 设椭圆C 的方程为•••椭圆的左焦点为F^-2,0),• 2,2鼻…a - - b4•••点B(2, .2)在椭圆C 上,解得，a 2 =8，2b -4 •所以椭圆 2 2C 的方程为—1 -1 •8 4(n)依题意点 A 的坐标为(一2血,0)，设 P(x °,y °)(不妨设 x °>0 ),则 Q(—x 。

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．。