2017-2018学年高中数学 第9课时 诱导公式的组合运用练习 新人教A版必修4

滚动复习9一、选择题(每小题5分，共40分) 1．sin(－16π3)的值为( D ) A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin(－16π3)＝－sin 16π3＝－sin(5π＋π3)＝－(－sin π3)＝32，故选D.2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( D )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈(π2，π)，则sin(π＋α)＝( A )A ．－1－k 2B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k解析：∵cos α＝k ，α∈(π2，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.4．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( C ) A.32B.12 C.22D ．1解析：因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P (32，32)，所以sin α＝22.5．化简sin(α＋π2)·cos(α－3π2)·tan(π2－α)的结果是( C )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析：因为sin(α＋π2)＝cos α，cos(α－3π2)＝cos[π＋(π2－α)]＝－sin α，tan(π2－α)＝sin (π2－α)cos (π2－α)＝cos αsin α，所以原式＝cos α·(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，选C.6．若|sin α|＝cos(π2＋α)，则角α的集合为( D )A ．{α|2k π≤α≤π＋2k π，k ∈Z }B ．{α|2k π≤α≤π2＋2k π，k ∈Z }C ．{α|2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈Z }D ．{α|π＋2k π≤α≤2π＋2k π，k ∈Z }解析：本题考查三角函数的诱导公式以及三角函数值符号的判定．∵|sin α|＝cos(π2＋α)＝－sin α，∴sin α≤0，∴角α的集合为{α|π＋2k π≤α≤2π＋2k π，k ∈Z }，故选D.7．已知cos29°＝m ，则sin241°tan151°的值是( B )A.1－m 2mB.1－m 2C.m 2－1m D ．－1－m 2解析：本题考查诱导公式以及平方关系式的应用．∵sin241°＝sin(180°＋61°)＝－sin61°＝－cos29°，tan151°＝tan(180°－29°)＝－tan29°，∴sin241°tan151°＝sin29°＝1－cos 229°＝1－m 2，故选B.8．k 为整数，化简sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)的结果是( B )A ．±1B ．－1C ．1D ．tan θ解析：当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. 综上，原式的值为－1.二、填空题(每小题5分，共15分)9．sin315°－cos135°＋2sin570°的值是－1.解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．原式＝sin(360°－45°)－cos(180°－45°)＋2sin(360°＋210°)＝－sin45°＋cos45°＋2sin210°＝－22＋22＋2sin(180°＋30°)＝－2sin30°＝－2×12＝－1.10．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝－ 3.解析：本题考查利用三角函数的诱导公式解决求值问题．由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 11．给出下列四个结论，其中正确的结论序号是③④.①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan(π2＋α)＝－1tan α；④若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1.解析：由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(2k π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan(π2＋α)＝sin (π2＋α)cos (π2＋α)＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1.所以④正确．三、解答题(共45分)12．(15分)化简：cos (π－θ)cos θ[sin (3π2－θ)－1]＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin (π2＋θ)－sin (3π2＋θ). 解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ.13．(15分)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin (－α－3π2)cos (3π2－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)的值． 解：原式＝－sin (π＋π2＋α)cos (π＋π2－α)sin αcos α·tan 2α ＝－sin (π2＋α)cos (π2－α)sin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α. ∵方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2. 又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45.∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.14．(15分)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角．(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝1； (2)若cos(π2＋A )sin(3π2＋B )tan(C －π)<0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，∴A ＋B 2＝π2－C 2，∴cos A ＋B 2＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.∴cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. (2)∵cos(π2＋A )sin(3π2＋B )tan(C －π)<0，∴－sin A ·(－cos B )·tan C <0，即sin A cos B tan C <0. 又A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos B tan C <0， 即cos B <0，tan C >0或tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。

专题强化练8 同角三角函数关系与诱导公式的综合运用一、选择题1.(2019广东中山一中高一下段考,)已知sin α·cos α=18,π4<α<π2,则cosα-sin α的值为( )A.√32B.-√32C.34D.-342.(2019福建福州长乐高中高一期末,)在△ABC 中,下列结论错误的是( ) A.sin(A+B)=sin C B.sinB+C 2=cos A2C.tan(A+B)=-tan C (C ≠π2)D.cos(A+B)=cos C3.(2019甘肃武威一中高一下段考,)化简2sin4√1-cos 24+√1-sin 23cos3的结果为( )A.-3B.-1C.1 D .34.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知tan θ=3,则sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)等于( )A.-32B.32C.0 D .235.(2019河北唐山高三二模,)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(2sin α,3),则cos α=( ) A.12B.-12C.√32D.-√326.(2019河南安阳高三一模,)9sin 2α+1cos 2α的最小值为()A.18B.16C.8 D .6 二、填空题7.(2020吉林长春第二中学高一期末,)若角A 是三角形ABC 的内角,且tan A=-13,则sin A+cos A= . 8.(2019江西临川第一中学等九校高三联考,)已知α∈(0,π),且cosα=-1517,则sin (π2+α)·tan(π+α)=.三、解答题9.(2020河南安阳第一中学高一月考,)已知f(α)=sin 2(π-α)·cos(2π-α)·tan(-π+α)sin(-π+α)·tan(-α+3π).(1)化简f(α);(2)若f(α)=18,且π4<α<π2,求cos α-sin α的值; (3)若α=-31π3,求f(α)的值.易错10.(2020山东日照高一上期末,)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=m 5. (1)求实数m 的值;(2)若m>0,求sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)的值.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34. ∵π4<α<π2,∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-√32.2.D 在△ABC 中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A 结论正确; sinB+C 2=sin (π2-A 2)= cos A2,B 结论正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C (C ≠π2),C 结论正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D 结论错误.故选D. 3.A √2+√1-sin 23cos3=√2+√cos 23cos3,因为sin 4<0,cos 3<0,所以原式=2sin4-sin4+-cos3cos3=-2-1=-3.4.B ∵tan θ=3, ∴sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=-3cosθcosθ-sinθ=-31-tanθ=32.故选B.5.A 易知sin α≠0,由三角函数定义得tan α=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cosα=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去). 6.B 由题意得,9sin 2α+1cos 2α=(sin 2α+cos 2α)·(9sin 2α+1cos 2α)≥9+1+2√9cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α=16,当且仅当sin 2α=34,cos 2α=14时,等号成立. 二、填空题 7.答案 -√105解析 由题得{sin 2A +cos 2A =1,sinA cosA =-13,π2<A <π,∴sin A=√1010,cos A=-3√1010, ∴sin A+cos A=-√105.8.答案817解析 sin (π2+α)·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α,因为α∈(0,π),且cos α=-1517,所以sin α=√1-cos 2α=√1-(-1517)2=817.三、解答题 9.解析 (1)f(α)=sin 2α·cosα·tanα(-sinα)(-tanα)=sin αcos α.(2)由f(α)=sin αcos α=18可知(cos α-sin α)2=cos 2α-2sin αcosα+sin 2α=1-2sin αcos α=1-2×18=34. 又∵π4<α<π2,∴cos α<sin α,即cos α-sin α<0, ∴cos α-sin α=-√32.(3)∵α=-31π3=-6×2π+5π3,∴f (-31π3)=cos (-31π3)·sin (-31π3)=cos (-6×2π+5π3)·sin (-6×2π+5π3)=cos 5π3·sin 5π3=cos (2π-π3)·sin (2π-π3)=cos π3·(-sin π3) =12×(-√32) =-√34. 易错警示 诱导公式在解题中的运用要注意两点:一是逐步诱导,如将sin(-π+α)化为-sin α分两步,先用公式sin[-(π-α)]=-sin(π-α),再用公式sin(π-α)=sin α,才能达到目的;二要层次清楚,先变角、再用公式.解题时要防止因逻辑混乱导致的错误.10.解析 (1)根据三角函数的定义可得cos α=√22=m5,解得m=0或m=3或m=-4.(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,因为m>0,所以m=3,所以cos α=35,sinα=-45,由诱导公式,可得sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)=-sinα·(-sinα)-cosαcosα=-sin 2αcos 2α=-169.。

三角函数的诱导公式1. 任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？3.你能求750°和930°的值吗？4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的，而对于900～3600范围内的三角函数值，能否转化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题.同名三角函数的诱导公式思考：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？根据三角函数定义：对比α，α，α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？思考：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上将α当作锐角时原函数值的符号.即函数同名，象限定号.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：例3 求下列各三角函数的值：1，求下列各式的值：例4 已知(π＋x)＝3（1）(2π－x)；（2）(π－x). 例5 化简：异名三角函数的诱导公式思考：若α为一个任意给定的角，那么απ-2的终边与角α的终边有什么对称关系？点P1（x ，y ）关于直线对称的点P2的坐标如何？ 设角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），则απ-2的终边与单位圆的交点为P 2（y ，x ），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？ 公式五思考2：απ+2与απ-2有什么内在联系？公式六证明下列等式三角形中的三角函数问题三角函数的化简求值.(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限（A）f(1)<f(2)<f(3) （B）f(2)<f(1)<f(3) （C）f(2)<f(3)<f(1) （D）f(3)<f(2)<f(1)三角函数的诱导公式练习一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.） 1、与－463°终边相同的角可表示为（ ） A ．k·360°＋436°（k ∈Z ） B ．k·360°＋103°（k ∈Z ）C ．k·360°＋257°（k ∈Z ）D ．k·360°－257°（k ∈Z ） 2、下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且C 、1cos 1tan -==αα且D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -=3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34± 4、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 1、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ）A 、31+B 、31-C 、31--D 、31+-5、若A 、B 、C 为△的三个内角，则下列等式成立的是（ ）A 、A CB sin )sin(=+ B 、AC B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+D 、A C B cot )cot(=+ 6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．2－2B ．2－2C ．±（2－2）D ．227、αα＝81，且4π＜α＜2π，则α－α的值为（ ）A ．23 B ．23-C ．43D ．43-8、在△中，若最大角的正弦值是22，则△必是（ ）A 、等边三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形9、下列不等式中，不成立的是（ ） A 、︒︒>140sin 130sin B 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot10、已知函数2cos )(x x f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+πC 、)()(x f x f -=-D 、)()(x f x f =-11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m12、已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数）， (2011)5f = 则(2012)f =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不能确定 二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin . 14、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .15、=-︒)945cos( . 16、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、 化简：)(cos )tan()2tan()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--+⋅+.19、已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.20、已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值 .21、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+22、已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα参考答案一、选择题（每小题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案B AC B B A C B CD B B二、填空题（每小题4分，共16分） 13、1. 14、115-15、22- 16、1三、解答题（本大题共5道小题，共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、提示：[]1cos tan cot cos sin )cos (tan cot )cos (sin )(cos tan )2cot()cos ()sin (323232-=⋅-⋅⋅=-⋅⋅-⋅=+⋅+-⋅-⋅-=αααααααααααπααπαα原式18、提示：利用诱导公式，原式=219、提示：54sin -=α ，∴角α在第三、四象限，（1） 当α在第三象限，则34tan ,53cos =-=αα（2） 当α在第四象限，则34tan ,53cos -==αα20、提示：右边左边=-=+-=--=ααααααααααααcos sin cos sin cos sin sin 1cos 1sin cos cos sin 22故等式成立 21、提示：)(22,1)sin(Z k k ∈+=+∴=+ππβαβα)(22Z k k ∈-+=∴βππα,0tan tan tan )tan(tan )4tan(tan )24tan(tan )22(2tan tan )2tan(=+-=+-=+-+=++-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++ββββπββππβββππβββππββαk k k0tan )2tan(=++∴ββα。

专题三三角函数的诱导公式测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．）C.【答案】B.2.sin()6-的值是 ( )A.12B．12-C.2D．2-【答案】A【解析】231sin()sin(4)sin6662ππππ-=-+==，选A.3. 已知sin()0,cos()0θπθπ+<->，则θ是第（）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B4．已知α为锐角，且tan()30πα-+=，则sinα的值( )【答案】B【解析】由正切的诱导公式得tan()tan παα-=-，故tan()30tan 3παα-+=⇒=，由公式，因为α为锐角，所以B.5( )AC 【答案】Ａ6．sin 315cos 4952sin 210︒-︒+︒的值是（ ）A.1B.1-C.【答案】B7．【2017届山西省高三下名校联考】已知角终边上一点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】，所求，选C.8.）AD【答案】A故应选A.9）AD．【答案】A【解析】10．已知，且为第四象限角，则( ) A. B. C. D.【答案】B11.已知()tan2πα-=-，则）A ．3- B．3 D【答案】D【解析】根据()tan 2πα-=-可得tan 2α=，从而D ． 12.已知α为锐角，且，tan()6sin πα++()πβ+=1，则sin α=（ ） A【答案】C【解析】诱导公式化简为⎩⎨⎧=--=++01sin 6tan 05sin 3tan 2-βαβα，解得：得故选C. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.【解析114.已知cosα＝________． 【解析】cos α15．已知，则的值为__________．【答案】.16.化简=___________【答案】【解析】当是偶数时，，当是奇数时，，所以答案应为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知sin(3π＋θ)【答案】18【解析】因为sin(3π＋θ)＝－sinθsinθ18.18．已知cosα且α＜0,.【答案】原式fα的值.，求()(说明：用其他方法做的同样酌情给分)20．（1）化简；（2），①求的值；②求的值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】试题分析：（1）根据诱导公式，和同角的基本关系，即可化简结果；（2）由已知求出，利用把转化为含有的代数式，代入的值得答案．试题解析：（1）.（2）因为，即①可见与同号，为第一或第三象限角．又②Array联立①②可得：当为第一象限角时，当为第三象限角时，②.21.计算与化简（I）计算：（II）化简：【答案】（I）0；（II）1.【解析】试题分析：利用诱导公式进行计算问题，首先利用“α-”诱导公式处理负角，再把角化为2k πα+的形式，利用终边相同的角的同一三角函数值相等，大角化为小角，最后再利用“πα± ”和“2πα-”诱导公式化为锐角三角函数形式，计算出结果.22. 已知()()απαπ-=+cos sin 2，计算： （1）（2）αααα22cos 2cos sin sin-+．【答案】（1（2 【解析】由()()απαπ-=+cos sin 2可得sin 2cos αα-=-，2分 ∴tan 2α=．1分分（2分4分 另解：原式＝22cos(tan tan 2)ααα+-3分分。