专题1.2 勾股定理章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题1.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【北师大版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 (1)【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 (3)【题型3 在网格中判断直角三角形】 (6)【题型4 勾股数的探究】 (9)【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】 (13)【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】 (16)【题型7 勾股逆定理的应用】 (19)【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】 (23)【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形的是（ ）A ．a =5,b =3,c =3B ．a =13,b =15,c =14C ．a =6,b =4,c =5D ．a =7,b =24,c =25【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：A 、32+32=18≠52，故不能组成直角三角形，故不合题意；B +=41400≠，故不能组成直角三角形，故不合题意；C 、42+52=41≠62，故不能组成直角三角形，故不合题意；D 、72+242=625=252，故不能组成直角三角形，故不合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a +b )(a−b )=c2，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为a2=b2+c2，即可判断.【详解】解：∵(a+b)(a−b)=c2，∴a2−b2=c2，∴a2=b2+c2，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解题的关键.【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则△ABC的形状是________三角形．【答案】直角【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案．【详解】解：∵S1=2，S2=3，∴BC2=2，AC2=3，∵AB2=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序号）．【答案】①②③【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵三角形三个内角之比为5:6:1，=90°，∴三角形最大的内角为180°×6561∴该三角形为直角三角形，故①正确；∵2+=2，∴该三角形为直角三角形，故②正确；∵92+402=412，∴该三角形为直角三角形，故③正确；∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的逆定理是解题的关键．【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C 到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有______个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2cm；【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C 也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A．4B．2C．1D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【答案】ΔABC为直角三角形，理由详见解析.【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.【详解】解：如图所示.图1图2如图1，在ΔABC中，AC=5，BC=3，AB2=32+52=34因为AC2+BC2=52+32=34=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.如图2，在RtΔACD中，AC2=CD2+AD2=12+12=2.在RtΔBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.在RtΔABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.所以AC2+CB2=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.【题型3在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A．2.5B．3C．D【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,则AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．【详解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,∴AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，BC=2.5．∴AD=12故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为_________．【答案】45°【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接AC，由题意，AC=，BC=AB∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．【变式3-2】（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)求证：∠BCD=90°．【答案】(1)周长为：32(2)见解析【分析】（1）借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；（2）在△ABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定．【详解】（1）解：根据勾股定理可知AB=3BC=CD=AD=5∴四边形ABCD的周长为+面积为：8×8−12×3×3−12×5×5−12×5×3−12×3×5=32．（2）证明：连接BD，∵BC=CD=DB=∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB=________．【答案】135°【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．【详解】解：延长AP至C，连接BC，CP=CB=BP∵2+2=2，即CP2+CB2=BP2，∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°−45°=135°，故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．【题型4勾股数的探究】【例4】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如(3,4,5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2−1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【答案】(1)5，12，13；7，24，25(2)证明见解析【分析】（1）根据x2+y2=z2，即可得出5，12，13、7，24，25是勾股数；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【详解】（1）∵52+122=169,132=169，∴52+122=132，∴5，12，13是勾股数；∵72+242=625,252=625，∴72+242=252，∴7，24，25是勾股数；故答案为：5，12，13；7，24，25；（2）证明：∵x=2n，y=n2−1，∴x2+y2=(2n)2+(n2−1)2=4n2+n4−2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2=z2，即x，y，z为勾股数．∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形．【点睛】此题考查勾股逆定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股逆定理的证明，根据勾股定理得出勾股数是解题的关键．【变式4-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）A．B．6，8，10C．D．2，3，4【答案】B【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．【详解】解：A+=7=5，7≠5，故此选项错误；B、62+82=100，102=100，且100=100，故此选项正确；C、12+=3=3，3=3D、22+32=13，42=16，13≠16，故此选项错误．故答案为：B．【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2=c2．【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m>n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22−1232−1232−2242−1242−22…(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)m2+n2，2mn，m2−n2(2)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据给出的数据总结即可；（2）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理逆定理进行判断．【详解】（1）解：观察可得a=m2+n2，b=2mn，c=m2−n2，故答案为：m2+n2，2mn，m2−n2；（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，b2+c2=m4−2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，∴a2=b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理的逆定理，熟练掌握：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【答案】（1）见解析；（2）a=9730b，a＝31，b＝4；（3）见解析7【分析】（1）根据勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一条直角边长为2mn，因为m，n为正整数，所以2mn也为正整数，即可得证；（2）首先根据勾股定理求出a关于b的代数式，再根据被开方数需大于等于0，即可求得a、b的范围，且a、b 均为正整数，将b的可能值：1，2，3，4分别代入，即可求得符合条件的正整数a、b；（3）观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，而252=152+202，故存在．【详解】（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）•（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2，∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数，∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a=9730b7，由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，∴a＞1，0＜b＜5，∵a和b均为正整数，∴b的可能值为：1，2，3，4，当b＝1时，a=97307=1277，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a=1577，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a=97907=1877，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a=971207=2177=31==∵2+2=240，4=240，∴2+2=4，∴b＝4符合题意，∴a=9730b7，a＝31，b＝4；（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625，∴152+202＝252．∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【点睛】本题目考查勾股定理，难度一般，也是中考的常考知识点，熟练掌握勾股定理的应用以及二次根式的相关性质是顺利解答此题的关键．【题型5利用勾股定理的逆定理证明】【例5】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4．求证：∠ACB=90°．【答案】见解析【分析】根据勾股定理得出BC2，AC2，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【详解】证明：∵CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4，∴BC2=BD2+CD2=12+22=5，AC2=AD2+CD2=42+22=20，∵AB=AD+BD=4+1=5，∴AB2=25=AC2+BC2=20+5，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理与其逆定理的区别是解题的关键．【变式5-1】（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．【答案】直角三角形，理由见解析【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵a=n2−1,b=2n,c=n2+1∴a2=(n2−1)2=n4−2n2+1，b2=(2n)2=4n2，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答的关键．【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析【分析】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，【详解】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC2,b+e=BC2求解即可．．∵绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等∴a+b=c∴a+b+d+e=c+d+e∴(a+d)+(b+e)=c+d+e∵a+d=AC2,b+e=BC2∴c+d+e=AB2∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．【变式5-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD=ED=12．(1)求证：△CDE≌△BDA；(2)证明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)84【分析】（1）根据SAS证明△CDE≌△BDA即可；（2）结论：△ACE是直角三角形；首先根据△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根据勾股定理的逆定理即可证明；（3）由全等三角形的性质得出S △ABC =S △ACE ，所以计算△ACE 的面积，即可得出△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵AD 是边BC 上的中线，∴BD =CD ，在△BDA 和△CDE 中，AD =BD ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△CDE≌△BDA （SAS ），（2）结论：△ACE 是直角三角形；理由：由（1）知：△CDE≌△BDA ,∴CE =AB =7，∵AD =ED =12，∴AE =24，∵AE 2+CE 2=242+72=625，AC 2=252=625，∴AE 2+CE 2=AC 2，∴∠E =90°，∴△ACE 是直角三角形；（3）∵△CDE≌△BDA ，∴S △CDE +S △ADC =S △ADC +S △BDA ，∴S △ABC =S △ACE ，∵S △ACE =12AE·CE =12×24×7=84，∴S △ABC =84．【点睛】此题是三角形的综合题，考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理的运用，三角形的面积计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键．【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB =5，BC =4，AC =3，将三角形纸片沿AD 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，则△BDE 的周长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判断出∠C=90°，利用翻折不变性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB2=BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，∴BE=2，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的长．【答案】AC=256【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答．【详解】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，∴BD2＋CD2=32＋42=25=BC2．∴∠BDC=90°．∴∠ADC=180°−∠BDC=90°．∴AD2＋CD2＝AC2．设AC=x．∵AB=AC，BD=3，∴AD=x−3．∴(x−3)2＋42＝x2．解得x=256．∴AC=256．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键在于熟练掌握定理，灵活运用．【变式6-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足(a+2b−11)2+|2a−b−2|=10c−25−c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积．【答案】△ABC是直角三角形，它的周长是12，面积是6【分析】首先把原等式变形为(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，利用非负数的性质，建立三元一次方程组，求得a、b、c的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，进一步求得周长和面积即可．【详解】解：由题意得(a+2b−11)2+|2a−b−2|+c2−10c+25=0，∴(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，∴a+2b−11=02a−b−2=0c−5=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，它的周长是3+4+5=12，面积是12×3×4=6．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解三元一次方程组，勾股定理逆定理以及三角形的周长和面积的计算方法；注意解题的思路与方法的灵活性．【变式6-3】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为边AC 上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_________．【答案】12013【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB =90°，再作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B ′F ⊥AB 时，线段FE +EB 的值最小，最小值为B ′F ，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：∵在△ACB 中，AC =12,BC =5,AB =13，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，如图，作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，∴B ′C =BC =5,BB ′=2BC =10,B ′E =BE ，∴FE +EB =FE +B ′E ，由两点之间线段最短可知，当点B ′,E,F 共线时，FE +B ′E 最小，最小值为B ′F ，由垂线段最短可知，当B ′F ⊥AB 时，B ′F 的值最小，又∵S △ABB ′=12AB ⋅B ′F =12AC ⋅BB ′，∴12×13B ′F =12×12×10，解得B ′F =12013，即FE +EB 的最小值为12013，故答案为：12013．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．【题型7 勾股逆定理的应用】【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB 旁有一座山，从山另一边的C 处到公路上的停靠站A 的距离为AC =15km ，与公路上另一停靠站B 的距离为BC =20km ，停靠站A 、B 之间的距离为AB =25km ，为方便运输货物现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到C 处，且CD ⊥AB ．(1)请判断△ABC 的形状？(2)求修建的公路CD 的长．【答案】(1)直角三角形(2)12km【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC 2+BC 2=AB 2得到△ABC 是直角三角形．（2）利用△ABC 的面积公式可得，CD ⋅AB =AC ⋅BC ，从而求出CD 的长．【详解】（1）解：△ABC 是直角三角形．理由：∵AC =15km ，BC =20km ，AB =25km ，∴ 152+202=252，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形．（2）解：∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =AC⋅BC AB =15×2025=12(km)．答：修建的公路CD 的长是12km ．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【变式7-1】（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC 区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A 飞向点B ，已知点C 为其中一个着火点，且点C 与点A ，B 的距离分别为600m 和800m ，又AB =1000m ，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．(1)求△ABC 的面积．(2)着火点C 能否受到洒水影响？为什么？【答案】(1)240000m 2(2)受影响【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，再利用面积公式计算即可；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响．【详解】（1）解：∵AC =600m ，BC =800m ，AB =1000m ，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴S △ABC =12×AC ×BC =240000m 2；（2）如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∴S △ΔABC =12AC ⋅BC =12CD ⋅AB ，∴600×800=1000CD ，∴CD =480，∵飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响，∴着火点C 受洒水影响．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式7-2】（2023春·广西桂林·八年级统考期中）一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC ＝15米，AD ＝13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？【答案】电线杆和地面垂直，理由见解析【分析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．【详解】解：电线杆和地面垂直，理由如下：连接BD在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴电线杆和地面垂直．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．【答案】北偏东40°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【详解】由题意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），又∵AB=100海里，∵602+802=1002，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=50°，∴∠BOD=40°，则B舰艇的航行方向是北偏东40°，故答案为：北偏东40°．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解决问题的关键．【题型8勾股定理及其逆定理的综合】【例8】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为________．【答案】24【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根据阴影部分的面积S等于S△ABC−S△ABD，即可．【详解】∵AD⊥BD，∴AB2=AD2+BD2，∵AD=4，BD=3，∴AB=5，∵AC=13，BC=12，∴AC2=169，BC2=144，AB2=25，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，设阴影部分的面积S，∴S=S△ABC−S△ABD=12×AB×BC−12×AD×BD，∴S=24，∴设阴影部分的面积为：24．故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．【变式8-1】（2023春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：∠FEC=90°．【答案】见解析【分析】由正方形的性质和已知求得AF=1，FD=3，由中点的性质得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，FC，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论．AB，【详解】证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF=14∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，∵E为AB的中点，∴AE=EB=2，在Rt△AEF中，EF=在Rt△DFC中，FC===5，在Rt△EBC中，EC==∴EC2+EF2=FC2，∴△EFC是以EC、EF为直角边的直角三角形，∴∠FEC=90°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理解答是证明此题的关键．【变式8-2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米．(1)求△ABD的面积；(2)求小路DE的长．【答案】(1)120平方米(2)14.4米【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可；（2）设DC =x 米，利用勾股定理求解出DC =18米，AC =30米，再利用等积法求解即可．【详解】（1）∵BD 2=102=100，AD 2=242=576，AB 2=262=676，∴BD 2+AD 2=AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB =90°，∴S △ABD =12BD ⋅AD =12×10×24=120（平方米）；（2）设DC =x 米，则AC =(x +12)米，由（1）知∠ADB =90°，由勾股定理得x 2+242=(x +12)2，解得x =18，∴DC =18米，AC =30米，∵DE ⊥AC ，∴S △ACD =12AC ⋅DE =12DC ⋅AD ，∴30DE =18×24，∴DE =14.4（米）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理证明是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，已知正方形OABC 的边长为8，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点D 是x 轴上一点，坐标为(2，0)，点E 为OC 的中点，连接BD 、BE 、ED ．(1)求点B 的坐标；(2)判断△BED 的形状，并证明你的结论．【答案】(1)(8，8)(2)△BED 是直角三角形【分析】（1）根据正方形的性质可得OA=OC=8，进而求出点B的坐标；（2）求出BD、BE、ED的平方，根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】（1）解：正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，所以OA=OC=8，因此，点B的坐标为(8，8)．（2）解：△BED是直角三角形；点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，∴OD=2，OE=CE=4，DA=6，∴ED2=OD2+OE2=20，EB2=BC2+CE2=80，DB2=BA2+AD2=100，∴ED2+EB2=DB2，∴△BED是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理及逆定理，解题关键是根据正方形性质写出点的坐标，利用坐标求出线段的平方．。

专题1.3 轴对称章末重难点题型【人教版】【考点1 轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答．【解答】解：第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．【解答】解：第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（）个．①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形．故轴对称图形有6个．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【考点2 生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例2】（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点评】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．【变式2-1】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式2-2】（2019秋•润州区校级月考）如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．【变式2-3】（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．【考点3 轴对称的性质与运用】【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【例3】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．【解答】解：如图所示：∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线．∴MP＝MP1．同理可得：NP＝NP2．∵P1P2＝5cm，∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．故答案为5cm．【点评】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．【变式3-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝．【分析】要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN 的关系，利用已知∠AOB＝40°可求出∠EPF，答案可得．【解答】解：如图，∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴ME＝PE，PF＝NF，∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N，∵∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝40°∴∠EPF＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为100°．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论．【变式3-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P 关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．【分析】由轴对称的性质可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度．【解答】解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，故答案为：120°．②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：4【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【考点4 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例4】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC 的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【解答】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【变式4-1】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+F A＝20．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝5，AC ＝3，求AE 、BE 的长．【分析】（1）连接BD ，CD ，由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质，即可得DE ＝DF ，又由DG ⊥BC 且平分BC ，根据线段垂直平分线的性质，可得BD ＝CD ，继而可证得Rt △BED ≌Rt △CFD ，则可得BE ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得AE ＝AF ，然后设BE ＝x ，由AB ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．【变式4-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD ⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，{BP =CP DP =EP， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），∴BD ＝CE ；（2）解：在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，{AP =AP DP =EP， ∴Rt △ADP ≌Rt △AEP （HL ），∴AD ＝AE ，∵AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，∴6+AD ＝10﹣AE ，即6+AD ＝10﹣AD ，解得AD ＝2cm ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【考点5 关于坐标轴对称的点的坐标】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握：关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【例5】（2019秋•邛崃市期末）在平面直角坐标系中，点P 与点M 关于y 轴对称，点N 与点M 关于x 轴对称，若点P 的坐标为（﹣2，3），则点N 的坐标为（ ）A ．（﹣3，2）B ．（2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）【分析】作出相关对称后可得点P 与点N 关于原点对称，那么依据点P 的坐标为（﹣2，3），可得点N 的坐标．【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点N的坐标为（2，﹣3），故选：C．【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．【变式5-1】（2019秋•潮州期末）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，解得：a＝﹣1，故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【变式5-2】（2019秋•河东区期末）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．A和B重合D．以上都不对【分析】根据题意表示出A、B的正确坐标，再根据坐标的关系确定A，B两点原来的位置关系．【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），∴A点的正确坐标为（b，a），∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a），∴B点的正确坐标为（b，﹣a），∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称，故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【变式5-3】（2019秋•阳信县期末）已知点P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点和点Q（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）∴P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．【解答】解：∵P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b）；∴﹣1﹣2a＝﹣3，b＝﹣5；∴a＝1，∴点A的坐标是（1，﹣5）；∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）；故选：B．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．【考点6 轴对称变换（点的坐标规律）】【例6】（2019秋•长白县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b）B．（﹣a，﹣b）C．（a，﹣b）D．（a，b）【分析】图观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【变式6-1】（2020•盐城模拟）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（）A．（﹣2018，﹣3）B．（﹣2018，3）C．（﹣2016，﹣3）D．（﹣2016，3）【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，发现2019次变换后的正方形在x轴下方，进而可求出结果．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），∴AB＝BC＝2，∴C（3，3），一次变换后，点C1的坐标为（2，﹣3），二次变换后，点C2的坐标为（1，3），三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），…，∵2019次变换后的正方形在x轴下方，∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016．∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．【变式6-2】（2020春•岳阳期末）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C 的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣3），当n为偶数时为（2+n，3）是解此题的关键．【变式6-3】（2020•九江模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，平行四边形顶点A 的坐标为（）A．（﹣0.4，1.2）B．（﹣0.4，﹣1.2）C．（1.2，﹣0.4）D．（﹣1.2，﹣0.4）【分析】先求得A的坐标，然后根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换重复一轮的规律，即可得出经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标．【解答】解：∵平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．∴A（0.4，1.2），将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A（﹣0.4，1.2），所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A（﹣0.4，﹣1.2），第三次轴对称变换，A（0.4，﹣1.2），第四次轴对称变换，A（0.4，1.2），即A点回到原处，即每4次轴对称变换重复一轮，∵2018÷4＝54…2，∴经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图象变换﹣对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数以及关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出每一次的坐标，得出规律是解题的关键．【考点7 轴对称变换（作图）】【例7】（2020春•贵港期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为．（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；故答案为（﹣x，y），（3）如图，△A2B2C2为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）点P 在直线MN 上，当△P AC 周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC 关于直线MN 对称的图形△A 'B 'C '；（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC 的面积；（3）根据两点之间线段最短，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小．【解答】解：（1）如图，△A 'B 'C '即为所求；（2）△ABC 的面积为：12×3×2＝3； （3）因为点A 关于MN 的对称点为A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小． 所以点P 即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．【变式7-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A 1B 1C 1．（2）在直线MN 上找点P ，使|PB ﹣P A |最大，在图形上画出点P 的位置，并直接写出|PB ﹣P A |的最大值．【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；（2）由于P A＝P A1，则|PB﹣P A|＝|PB﹣P A1|，而|PB﹣P A1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB﹣P A|的最大值．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，|PB﹣P A|的最大值为3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，【变式7-3】（2020春•五华区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A′的坐标，根据平移的性质可得点C′的坐标；（2）根据题意可得△ABC关于y轴对称的图形即为△DEF；（3）根据全等三角形的判定即可得点P．【解答】解：（1）∵A（﹣4，3），C（﹣2，5），∴A′（﹣4，﹣3），C'（1，3）；故答案为：﹣4，﹣3；1，3；（2）如图所示：即为所求；（3）△ABC与△PBC全等，这样的P点有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定、作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质以及全等三角形的判定定理．【考点8 设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【例8】（2020春•抚州期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．【变式8-1】（2020•宁波模拟）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．【变式8-2】（2020春•禅城区期末）观察设计：（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及图形的面积解答即可．（2）根据条件画出图形即可．【解答】解：（1）都是轴对称图形，面积都是4个小正方形的面积和．（2）符合题意他图案如图所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-3】（2020春•兰州期末）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）。

专题07 相似章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 比例线段的概念】【方法点拨】解（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是a mb n=，或写成::a b m n =．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段,,,a b c d 中，如果a b 和的比等于c d 和的比，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：bd c a=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

【例1】（2018秋•兴庆区校级期中）下列四组线段中，不成比例线段的是（ ） A ．2cm ，5cm ，10cm ，25cm B ．4cm ，7cm ，4cm ，7cmC ．2cm ，cm ，cm ，4cmD ．cm ，cm ，2cm ，5cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【答案】解：A．2×25＝5×10，四组线段中能成比例，不符合题意；B．4×7＝4×7，四组线段中能成比例，不符合题意；C．×4≠×2，四组线段不能成比例，符合题意；D．×5＝×2，四组线段中能成比例，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．【变式1-1】（2018秋•长清区校级月考）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（）A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【答案】解：A．4×12≠5×12，所以不成比例，不符合题意；B．1×15＝3×5，所以成比例，符合题意；C．2×13≠8×12，所以不成比例，不符合题意；D．0.02×5≠0.3×0.7，所以不成比例，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【变式1-2】（2019•杨浦区一模）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：2【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．【答案】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴b：c＝3：2．故选：D．【点睛】本题考查了比例中项的概念．在线段a ，b ，c 中，若b 2＝ac ，则b 是a ，c 的比例中项． 【变式1-3】（2018秋•浦东新区月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ） A ．0.8cmB ．8cmC ．80cmD ．800cm ．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm ，根据比例尺的定理列出方程，解之可得． 【答案】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm ， 根据题意，得：＝，解得：x ＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 【考点2 黄金分割】【方法点拨】解黄金分割：把线段AB 分成两条线段,()AC BC AC BC >，且使AC 是AB BC 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC AB =≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。

【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。

英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。

题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。

因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。

这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。

下面给出常见的考题类型。

【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。

（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。

(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点总结归纳单选题1、如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）D．3√1+π2A．3√1+πB．3√2C．3√4+π222、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 的形状（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1､S2､S3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4､S5､S6．其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14，则S3+S4=（）A．86B．64C．54D．484、在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．236、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B =90°，则下列等式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．a 2+c 2=b 2D ．c 2−a 2=b 27、如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）A ．√6B ．2√2C ．2√3D ．3√28、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（ ）A．4B．8C．9D．7填空题9、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．10、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为__________．11、在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．12、腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_____．13、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．解答题14、【特例感知】（1）如图（1），∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D 到直线AB的距离．【类比迁移】（2）如图（2），∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=7√2，AB=6，求△ABC的内心与外心之间的距离．15、如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.（1）试说明B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.(带解析)人教版初中数学勾股定理_00D参考答案1、答案：C解析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=32π，∴AC=√32+(32π)2=3√4+π2，故选C．小提示：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．2、答案：A解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a ，b ，c 都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．故选A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．3、答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2， 同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2，∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S3=S2-S1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．4、答案：A解析：解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．点睛：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．5、答案：B解析：根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵S△AFB=12AB⋅BF，∴6=12×3⋅BF，∴BF=4，∴AF=√AB2+BF2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴SΔAED=12AD⋅ED=12×5×53=256，故选：B．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．6、答案：C解析：根据勾股定理解题．解：如图，由勾股定理得，a2+c2=b2，故选：C．小提示：本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7、答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．8、答案：D解析：先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.解：楼梯的水平宽度=√52−32=4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.小提示：本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.9、答案：9．解析：在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝√BC2−AC2＝√172−82＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝√CD2−AC2=√100−64＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，所以答案是：9．小提示：本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．10、答案：√192解析：连接DE ，根据题意可得ΔDEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG 的长．解：连接DE ，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，DE=12AC ． ∵ΔABC 是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2．∵EF ⊥AC ，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=√3．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G 是EF 的中点，∴EG=√32． 在RtΔDEG 中，DG=√DE 2+EG 2=√22+(√32)2=√192． 故答案为√192．小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．11、答案：157解析：过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，由勾股定理可求AB=5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，∵将ΔADC沿直线CD翻折，∴AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，∴BC=4，∵DH⊥AC，DF⊥BC，∠ACD=∠BCD=45°，∴DF=DH，∠DCF=∠FDC=45°，∴DF=CF，∵AB2=AC2+BC2=9+16=25，∴AB=5，∵SΔABC=12×AC×BC=12×AC×DH+12×BC×DF，∴12=7DF ，∴DF =127，∴DF =CF =127，EF =97， ∴DE =√DF 2+EF 2=√14449+8149=157， 所以答案是：157．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出DF 的长是本题的关键．12、答案：6或2√5或4√5．解析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．解：①如图1当AB =AC =5，AD =4，则BD =CD =3，∴底边长为6；②如图2．当AB=AC=5，CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC=√22+42=2√5，∴此时底边长为2√5；③如图3：当AB=AC=5，CD=4时，则AD=√AC2−CD2=3，∴BD=8，∴BC=4√5，∴此时底边长为4√5．故答案为6或2√5或4√5．小提示：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．13、答案：34解析：首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.×60=30（cm），根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD=12∴CF=√CD2+DF2=34（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.小提示：此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；；（2）AB+BC=2BE，理由见解析；（3）√5．14、答案：（1）125解析：（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF= DE解决问题；（2）如图②中，结论：AB+BC=2BE．只要证明ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，推出AF=CE，RtΔBDF≅RtΔBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：AN=6+10−82=4，推出ON=5−4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtΔOMN中，理由勾股定理即可解决问题；解：（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．图①∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=√BD2+CD2=√42+32=5，∵1 2·BC·DE=12·BD·DC，∴DE=125，∴DF=DE=125．故答案为125（2）如图②中，结论：AB+BC=2BE．图②理由：作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE，∵∠DFA=∠DEC=90°，∴ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，∴AF=CE，∵BD=BD，DF=DE，∴RtΔBDF≅RtΔBDE(HL)，∴BF=BE，∴AB+BC=BF−AF+BE+CE=2BE．（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．图③∵BD=7√2，∴正方形BEDF的边长为7，由（2）可知：BC=2BE−AB=8，∴AC=√62+82=10，由切线长定理可知：AN=6+10−82=4，∴ON=5−4=1，设内切圆的半径为r，则12×r×10+12×r×6+12×r×8=12×6×8解得r=2，即MN=2，在RtΔOMN中，OM=√MN2+ON2=√22+12=√5．故答案为√5．小提示：本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．15、答案：（1）证明见解析；（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由见解析．解析：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．（1）由折叠的性质，得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E，∴B′E=BF．（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由如下：由（1）知B′E=BF=c，由折叠的性质，得∠A′=∠A=90°，A′E=AE=a，A′B′=AB=b．在△A′B′E中，∠A′=90°，所以A′E2+A′B′2=B′E2，所以a2+b2=c2．小提示：本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．21。

(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理知识点题库单选题1、有下面的判断：①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm3、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF 的长度为()A ．5B ．3√5C ．2√5D ．3√24、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．235、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B =90°，则下列等式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．a 2+c 2=b 2D ．c 2−a 2=b 26、如图，点P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P 表示的实数是（ ）A ．-2B ．-2.2C ．-√10D ．-√10+17、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算8、数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my填空题9、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，D为BC的中点，AD=2√5，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．10、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=_______．11、在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．12、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10，BC=3，求AC的长，若设AC=x，则可列方程为________________．13、在△ABC中，AB=√34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．解答题14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．15、如图，在△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．(带解析)人教版初中数学勾股定理_004参考答案1、答案：B解析：根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；②根据勾股定理可得②正确；③根据勾股定理的逆定理可得③正确；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．共2个正确．故选B．小提示：本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．2、答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..3、答案：C解析：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，设CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴16+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AF=CF=5，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴EH=AE−AH=2，∵FH=4，∴EF2=42+22=20，∴EF=2√5；故选C．4、答案：B解析：根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵S△AFB=12AB⋅BF，∴6=12×3⋅BF，∴BF=4，∴AF=√AB2+BF2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴SΔAED=12AD⋅ED=12×5×53=256，故选：B．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、答案：C解析：根据勾股定理解题．解：如图，由勾股定理得，a2+c2=b2，故选：C．小提示：本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6、答案：D解析：在三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数. 在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=√32+12=√10，∴AP=AB=√10，∴OP=AP-OA=√10-1，则P表示的实数为-√10+1．故选D．小提示：本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、答案：A解析：解：利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．8、答案：C解析：分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．小提示：考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．9、答案：2√5解析：根据中点的含义先求解BD,作点C关于AB对称点C′，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,于是得到∠C′BC= 90°，再证明BC′=BC=4，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵AC=BC=4，D为BC的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=2，∠CBA=45°，作点C关于AB对称点C′，CC′交AB于O，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,∴∠C′BC=90°，∴BC′⊥BC，点C关于AB对称点C′，∴AB垂直平分CC′，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√42+22=2√5.所以答案是：2√5．小提示：此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．10、答案：1.5解析：解：在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=5∵将△ABC折叠得△AB′E∴AB′＝AB，B′E＝BE∴B′C＝5－3＝2设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2∴（4－x）2＝x2＋22解得x=1.5所以答案是：1.511、答案：157解析：过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，由勾股定理可求AB=5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，DF ⊥BC 于F ，∵将ΔADC 沿直线CD 翻折，∴AC =CE =3，∠ACD =∠BCD =45°，∴BC =4，∵DH ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACD =∠BCD =45°，∴DF =DH ，∠DCF =∠FDC =45°，∴DF =CF ，∵AB 2=AC 2+BC 2=9+16=25，∴AB =5，∵S ΔABC =12×AC ×BC =12×AC ×DH +12×BC ×DF ，∴12=7DF ，∴DF =127，∴DF =CF =127，EF =97， ∴DE =√DF 2+EF 2=√14449+8149=157，所以答案是：157．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出DF的长是本题的关键．12、答案：x2+32=(10−x)2解析：设AC=x，则AB=10-x，再由AC2+BC2=AB2即可列出方程．解：∵AC=x，且AC+AB=10，∴AB=10−x，在Rt△ABC中，由勾股定理有：AC2+BC2=AB2，即：x2+32=(10−x)2，故可列出的方程为：x2+32=(10−x)2，所以答案是：x2+32=(10−x)2．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．13、答案：9或1解析：△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=√(√34)2−32=5，CD=√AC2−AD2=√52−32=4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为9或1．小提示：本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．14、答案：（1）证明见解析；（2）4√3解析：（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴AC=2DC=8，AD=√AC2−DC2=√82−42=4√3小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15、答案：84解析：先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴ΔABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在RtΔACD中，CD=√AC2−AD2=15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴SΔABC=12BC·AD=12×21×8=84．因此ΔABC的面积为84．故答案为84．小提示：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形．。

专题12 勾股定理重难点题型分类-高分必刷题（解析版） 专题简介：本份资料包含《勾股定理》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含八类题型：已知两边求第三边、已知一边和一特殊角求其它边长、折叠模型、最短爬行路径问题、勾股定理与图形面积关系、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用题、勾股定理与其它章节的综合题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一 已知两边，求第三边⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2222bc a b a c 1. （广益）直角三角形斜边上的中线长是5.6，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ）A. 13B. 12C. 10D. 5【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，∴其斜边长为2×6.5＝13，∴另一条直角边长＝＝12．故选：B ．2. （长郡）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为 ．【解答】解：AC ＝＝＝，则AM ＝，∵A 点表示﹣1，∴M 点表示﹣1，故答案为：﹣1． 3.（长郡）如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若5OA AB ==，8OB =，则点A 的坐标是 。

【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，∵OA ＝AB ＝5，OB ＝8，∴OD ＝OB ＝4． 在直角△OAD 中，由勾股定理得：AD ＝＝＝3．故点A 的坐标是（4，3）．4.（周南）一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A 'B ＝AB ﹣AA ′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝，解得CC ′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．题型二 已知一边和一特殊角求其它边长⎪⎩⎪⎨⎧∆∆211453:2:13000：：三边之比角的三边之比角的Rt Rt 5.（博才）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，已知4,3,45AB BD C ==∠=︒，则AC 的长为（ ）A.B. C. 4D.【解答】解：在Rt △ABD 中，∵AB ＝4，BD ＝3，∴AD45C ∠=︒，∴AD= 6.（广益）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB=．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，∠A ＝45°，∴BC ＝4×＝4在Rt △EDC中，∵∠EDC ＝60°，DE ＝6，∴CE ＝DE •sin ∠EDC ＝6×＝3，∴BE ＝CE ﹣BC ＝3﹣4．故填空答案：3﹣4． 7.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长。

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：若是直角三角形的两直角边分别222为 a ，b，斜边为 c ，那么 a b c２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法，用拼图的方法考据勾股定理的思路是：① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变② 依照同一种图形的面积不同样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：方法一：4S S正方形 EFGHS正方形 ABCD，41a b(b a)2c2 ，化简可证．2D C b a A a DaHc bc bc EGFc Eb a bc ca aA c Ba b B b C 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S1ab c2242ab c2大正方形面积为S(a222ab2b)a b ，所以a2 b 2c2方法三：S梯形1b) (a b)，( a2S梯形2S ADE S ABE21ab1c2 ，化简得证22３.勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色，所以在应用勾股定理时，必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，C90 ，则c a2b2，b c2a2， a c2b2② 知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③ 可运用勾股定理解决一些实责问题５.勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ，b， c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边① 勾股定理的逆定理是判断一个三角形可否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转变成形”来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c 2 作比较，若它们相等时，以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c ，时，以 a ，b ，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b，c 及 a2b2c2 可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，222，那么以 a ，b， c 为三边b ，c满足a c b的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c2中， a ，b， c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数② 记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子m 2n 2 ,2mn, m 2n2 (m n 的正整数）毕达哥拉斯发现的：2n 1,2n22n,2n22n 1（n1的整数）柏拉图发现的：2n,n 21, n21（n 1 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法添加辅助线（平时作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详尽计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思虑的用两边的平方和与第三边的平方比较而获取错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详尽的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接察看勾股定理例１.在ABC中， C 90 ．⑴已知 AC 6， BC 8．求 AB的长⑵已知 AB 17， AC 15，求 BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２ .⑴ 在ABC中，ACB 90， AB5cm ，例 5.如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2cm ，BC 3 cm， CD AB于D，CD＝两树相距 8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边一棵数的树梢，最少飞了m 。

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

专题1.2 勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED D 的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到5AD ==，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：Q 在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，5AD \==，Q 四边形ABCD 是正方形，\正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F GS S S =+A B C DS S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，以AC 、BC 为直径作半圆1S和2S ，且122S S p +=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=，2222111()()()222228AC BC AC BC p p p p ´+´=´+=，解得，2216AC BC +=，则22216AB AC BC =+=，解得，4AB =，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于( )A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=，22231BC AB AC \=+=，231S BC \==．故选：B ．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．a =，b =，c =D ．4a =，5b =，3c =【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A 、222456+¹，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、(2(+2(=2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）a 、b 、c 为ABC D 三边，不是直角三角形的是( )A ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=B ．54a =，1b =，34c =C ．222a c b =-D ．8a k =，17b k =，15c k=【分析】利用勾股定理的逆定理判断B 、C 、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断A 选项．【答案】解：A 、::3:4:5A B C ÐÐÐ=Q ，\设3A x Ð=，则4B x Ð=，5C x Ð=，180A B C Ð+Ð+Ð=°Q ，即345180x x x ++=°，解得，15x =°，55157590x \=´°=°<°，故本选项错误；B 、2226810+=Q ，222a b c \+=，故本选项正确；C 、222a b c =-Q ，222a c b \+=，故本选项正确；D 、22281517k k k +=Q ，222a b c \+=，故本选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( )①如果0A B C Ð+Ð-Ð=，那么ABC D 是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ÐÐÐ=，则ABC D 是直角三角形；③，则ABC D 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC D 是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C Ð为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；③，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90°来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )A ．点A 、点B 、点CB ．点A 、点D 、点GC ．点B 、点E 、点FD ．点B 、点G 、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A 、213637AB =+=，2162541AC =+=，21910BC =+=，371041+¹，不可以构成直角三角形；B 、2161632AD =+=，293645AG =+=，2145DG =+=，32545+¹，不可以构成直角三角形；C 、2361652BE =+=，2252550BF =+=，2112EF =+=，50252+=，可以构成直角三角形D 、225934BG =+=，2361652BE =+=，29110GE =+=，341052+¹，不可以构成直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A ．20cmB ．13cmC ．14cmD ．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP 即可．【答案】解：如图展开，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C Ð=°，11052AC cm cm =´=，20BC cm =Q ，35PC BC =，12CP cm \=，由勾股定理得：13()AP cm ===，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A ．15 dmB ．17 dmC ．20 dmD ．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +´，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++´=，解得17x =．故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B ¢，则13138()AA cm ¢=+++=，6A B cm ¢¢=，根据两点之间线段最短，10AB cm ¢==．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A 厘米B ．10厘米C ．厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A ¢®，将圆柱展开，10PA cm ¢===，最短路程为10PA cm ¢=．故选：B ．【点睛】此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5），【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数\勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：2221c n n =++，21a n =+222b n n \=+，故答案为：222n n+【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26¼¼请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(1)n +，第二个是：(2)n n +，第三个数是：2(1)1n ++．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)¼可发现，23142-=，251122-=，271242-=请写出第5个数组： ．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：Q ①3211=´+，242121=´+´，2521211=´+´+；②5221=´+，2122222=´+´，21322221=´+´+；③7231=´+，2242323=´+´，22523231=´+´+；④9241=´+，2402424=´+´，24124241=´+´+；⑤11251=´+，2602525=´+´，26125251=´+´+，故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD 的长．【答案】解：90ACB Ð=°Q ，3AC cm =，4BC cm =，5AB cm \=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC CD cm AB==g ．在Rt ACD D 中， 1.8AD cm ==．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰ABC D 中，已知AB AC =，BD AC ^于D ．（1）若48A Ð=°，求CBD Ð的度数；（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得CBD Ð的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长．【答案】解：（1）Q 在等腰ABC D 中，AB AC =，BD AC ^，ABC C \Ð=Ð，90ADB Ð=°，48A Ð=°Q ，66ABC C \Ð=Ð=°，42ABD Ð=°，24CBD \Ð=°；（2）BD AC ^Q ，90BDC \Ð=°，15BC =Q ，12BD =，9CD \=，设AB x =，则9AD x =-，90ADB Ð=°Q ，12BD =，22212(9)x x \+-=，解得，22518x =，即22518AB =．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在ABD D 中，90D Ð=°，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．【分析】先设CD x =，则9BD BC CD x =+=+，再运用勾股定理分别在ACD D 与ABD D 中表示出2AD ，列出方程，求解即可．【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+．在ACD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AC CD \=-，在ABD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AB BD \=-，2222AC CD AB BD \-=-，即22221017(9)x x -=-+，解得6x =，22210664AD \=-=，8AD \=．故AD 的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，16AB cm =，正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ^于点D ，求BD 的长．【分析】根据正方形的面积公式求得12BC cm =．然后利用勾股定理求得20AC cm =；则利用面积法来求BD 的长度．【答案】解：Q 正方形BCEF 的面积为2144cm ，12BC cm \==，90ABC Ð=°Q ，16AB cm =，\20AC cm ==．BD AC ^Q ，\1122ABC S AB BC BD AC D ==g g ，\485BD cm =．【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2的线段；（3）请你在图3为直角边的直角三角形．【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的ABCD，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．【答案】解：ABCD是一个周长为+三角形，ABCD的面积111 342413135222=´-´´-´´-´´=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10（2）①，②【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，的三角形，一共可画这样的三角形 个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．=，【答案】解：（1）Q5\D即为所求，ABC如图1所示：（2）如图2所示：Q==，\D，DBCD，¼，ABC都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：2S c =Q 大正方形，2144()2S S S ab b a =+=´+-V 大正方形小正方形，2214()2c ab b a \=´+-，整理，得22222ab b ab a c +-+=，222c a b \=+．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上．（1）求证：90ABE Ð=°；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．【分析】（1）由全等三角形Rt ACB Rt BDE D @D 的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE D @D Q ，CAB DBE \Ð=Ð．90CAB ABC Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，1809090o o ABE \Ð=°-=．（2）由（1）知ABE D 是一个等腰直角三角形，212ABE S c D \=．又21()2ACDE S a b =+Q 梯形，212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c D D D =++=+梯形，\2211()22a b ab c +=+，即222a b c +=．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底´高2¸，和梯形的面积公式：（上底+下底）´高2¸证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将Rt ABC D 绕其锐角顶点A 旋转90°得到Rt ADE D ，连接BE ，延长DE 、BC 相交于点F ，则有90BFE Ð=°，且四边形ACFD 是一个正方形．（1）判断ABE D 的形状，并证明你的结论；（2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积；（3）求证：222a b c +=．【分析】（1）利用旋转的性质得出90BAE BAC CAE CAE DAE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，AB AE =，即可得出ABE D 的形状；（2）利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案；（3）利用四边形ABFE 面积等于Rt BAE D 和Rt BFE D 的面积之和进而证明即可．【答案】（1）ABE D 是等腰直角三角形，证明：Rt ABC D Q 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt ADE D ，BAC DAE \Ð=Ð，90BAE BAC CAE CAE DAE \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，又AB AE =Q ，ABE \D 是等腰直角三角形；（2）Q 四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，\四边形ABFE 的面积等于：2b ．（3）BAE BFEACFD S S S D D =+Q 正方形即：1122()()22b c b a b a =++-，整理：222()()b c b a b a =++-222a b c \+=．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出BAE BFE ACFD S S S D D =+正方形是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）ADE D 和ACB D 是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB Ð=°，求证：222a b c +=．【分析】连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S D D D D =+=+四边形即可求解．【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab D D =+=+Q 四边形．又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a D D =+=+-Q 四边形\221111()2222b abc a b a +=+-222a b c \+=【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC Ð=°．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC Ð的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，20AB cm =Q ，15BC cm =，\由勾股定理可得：25AC cm ===；（2）Q 在ADC D 中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC \+=，90ADC \Ð=°；（3）由（2）知，90ADC Ð=°，\四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm D D =+=´´+´´=，【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC Ð=°，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在Rt ADC D 中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC D 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD D 与Rt ABC D 的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，12AB =，9BC =，15AC \=，39CD =Q ，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC \D 为直角三角形，ACD ABCABCD S S S D D \=-四边形1122AC AD AB BC =´-´11153612922=´´-´´27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出ACD D 的形状是解答此题的关键．【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，12DC =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出90ACD Ð=°，然后根据四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，3AB =，4BC =，5AC \===，12DC =Q ，13AD =，222251225144169AC DC \+=+=+=，2213169AD ==，222AC DC AD \+=，ACD \D 是90ACD Ð=°的直角三角形，四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，1122AB BC AC CD =+g g 113451222=´´+´´630=+36=．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC ，构造出直角三角形是解题的关键．【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形ABCD 中，4AB BC CD AD ====，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 和CD 边上的点，且14CE BC =，F 为CD 的中点，问AEF D 是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出AE ，AF ，EF 的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：4AB BC CD AD ====Q ，4AB =，14CE BC =，1EC \=，3BE =，F Q 为CD 的中点，2DF FC \==，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，EF \==，AF ==，AE ==222AE EF AF \=+．AEF \D 是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，Q 旗杆垂直于地面，\旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，\旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC D 中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC D 中：90CAB Ð=°Q ，17BC =米，8AC =米，15AB \==（米)，Q 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD \=-´=（米)，6AD \===（米)，1569BD AB AD \=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A 、B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C 、D 两村的距离相等，如图，DA AB ^于点A ，CB AB ^于点B ，15DA km =，10CB km =，求土特产加工基地E 应建在距离A 站多少km 的地方？【分析】设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，再根据勾股定理得出2222DA AE BE BC +=+，进而可得出结论．【答案】解：设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，在Rt DAE D 中，222DA AE DE +=，在Rt EBC D 中，222BE BC CE +=，CE DE =Q ，2222DA AE BE BC \+=+，22221510(25)x x \+=+-，解得，10x =千米．答：基地应建在离A 站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 1.77)»【分析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB D Q 中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，1OB m \===；同理，Rt OCD D 中，2.6CD m =Q ， 2.40.5 1.9OC m =-=，1.77OD m \===»，1.7710.77()BD OD OB m \=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE D 的面积．【分析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB Ð=°，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =Q ，8BC cm =10AB cm\==Q 将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm \==，90DEB Ð=°1064BE cm\=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB D 中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE \D 的面积14362=´´=答：BDE D 的面积为26cm 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH Ð=°，3BF cm =，求FH 的长．【分析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，90FPH Ð=°，222FH PH PF \=+，222(9)3x x \=-+，5x \=，FH \的长是5cm ．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD ¢处，AD ¢交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA Ð=Ð，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \=，AD BC =，90B Ð=°，//AD BC ，DAC BCA \Ð=Ð．ADC D Q 与△AD C ¢关于AC 成轴对称ADC \D @△AD C ¢，DAC D AC \Ð=Т，D AC ACB \Т=Ð，AE EC \=；（2）2AB cm =Q ，4BC cm =，2CD cm \=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S D =g Q ，22.52 2.52AEC S cm D ´==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．。

专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S aS c ====23333=4c a a c S a==△2323=4h a S a△ 5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c =13∶5∶12 B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c=8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）图1-1A．CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CD,GH D.AB,CD,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2值为图1-2题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(8，0)、C（0,1）、D为OA的中点，P是BC边上一点. 若△POD为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD、EFGH、MNKT的面积分别为a、b、c. 若a+b+c=15，则b=图2-3（3）如图2-4所示，在矩形ABCD的对称轴l上找一点P，使得△P AB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有个；图2-4题3. （1）尺规作图：如图1，请在x轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A（4，2），点B在x轴上，若∠OAB=90°，试求点B的坐标；（3）如图3，已知点A（4，2），点P在x轴上，若△OAP为等腰三角形，试求点P的坐标．题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A,B两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF表示楼体, AB=150m, CD=10m, ∠A=30°, ∠B=45°(A,C,D,B四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，3≈1.7）图5-1题6. 如图6-1所示，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC中，试求出AB边上的高．专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S a S c ====23333=4c a a c S a==△2323=4h a S a△5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c =13∶5∶12 B ．a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b +c )(b -c ) D ．a :b :c =8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）图1-1A ．CD ,EF ,GHB .AB ,EF ,GHC .AB ,CD ,GH D .AB ,CD ,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1+S 2值为图1-2【答案】（1）D ;（2）B ；（3）68.【解析】解：（1）A ：22213512=+，所以A 正确； B ：a 2-b 2=c 2，即a 2 = b 2+c 2，所以B 正确； C ：a 2=(b +c )(b -c )，即b 2 =a 2+c 2，所以C 正确； D ：82+162≠172，故D 错误.（2）由图可知：AB 2=8；CD 2=20；EF 2=5；GH 2=13； ∴AB 2 +EF 2 =GH 2 故答案为B ； （3）如图1-3所示.因为四边形ABCD 是正方形，所以∠ACD=∠CAD=45°，图1-3因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，即S1=36；如图1-4，图1-4由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，所以AE=CF=EF，因为正方形边长为12，所以AC=122，所以EF=42,即S2=32，故S1+S2=68.题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(8，0)、C（0,1）、D为OA的中点，P是BC边上一点. 若△POD为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1【答案】(3,1)、(2－3,1)、(2+3,1)；【解析】解：因为D是OA的中点，A(8，0)，所以OD=4，①当OD为底时，P在线段OD的垂直平分线上，即P点横坐标为2，即P点坐标为（2,1）；②当OD为腰时，分别以O、D为圆心，以OD的长为半径画弧，与线段BC的交点即为P，如图2-2所示.图2-2∵OP1=2，OC=1，在Rt△COP1中，由勾股定理得：CP1=3，即P1(3,1)；过D作DH⊥BC与H，∵DP2=OD=2，在Rt△DHP2中，由勾股定理得：HP1=3，即P2(2－3,1)；同理，得P3(2+3,1).（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD、EFGH、MNKT的面积分别为a、b、c. 若a+b+c=15，则b=图2-3【答案】5.【解析】解：设八个直角三角形的面积为S，a=4S+b，c=b－4S，∵a+b+c=15，∴4S+b+b+ b－4S=15，解得：b=5.（3）如图2-4所示，在矩形ABCD的对称轴l上找一点P，使得△P AB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有个；图2-4【答案】5.【解析】解：因为P在ABCD的对称轴上，所以PB=PC，即△PBC为等腰三角形（l与BC交点除外）当AB为底时，P是AB的垂直平分线与l的交点，有一个；当AB为腰时，分别以A、B为圆心以AB的长为半径画弧，与直线l的交点有4个，均符合要求综上，符合条件的P点有5个. 如下图2-5所示.图2-5题3. （1）尺规作图：如图1，请在x轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A（4，2），点B在x轴上，若∠OAB=90°，试求点B的坐标；（3）如图3，已知点A（4，2），点P在x轴上，若△OAP为等腰三角形，试求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图3-4所示，图3-4找到点A(4,2)，连接OA，由勾股定理得：OA=25，以O为圆心，以OA的长为半径画弧，交于x正半轴于点M，即为所求.（2）如图3-5所示，图3-5过A点作AC⊥x轴于C，设B点坐标为（m，0）则OC=4，CA=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2+AB2=OB2,在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2 =20,在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+CB2=AB2，即4+（m-4）2=AB2∴20+4+（m-4）2=m2解得：m=5，即B点坐标为（5,0）；（3）①以O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点P1，P2，如图3-6所示，图3-6由（1）知，P1（25，0），P2（－25，0）；②以A为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点P3，如图3-7所示，图3-7由对称性可得：P3（8,0）；③当OA为底时，作OA的垂直平分线交x轴于点P4，过A作AH⊥x轴于H，如图3-8所示，图3-8设P4坐标为（m，0），则AP4=OP4=m，HP4=4－m，AH=2，在Rt△AHP4中，由勾股定理得：m2=(4－m)2+22，解得：m=52，即P4（52，0）.综上所述，△OAP为等腰三角形时，P点坐标为（25，0），（－25，0），（8,0），（52，0）.题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A,B两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF表示楼体, AB=150m, CD=10m, ∠A=30°, ∠B=45°(A,C,D,B四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【答案】见解析.【解析】解：(1)设楼高为x m, 则CF=DE=x,∵∠A=30°,∠B=45°,∠ACF=∠BDE=90°,∴AF=2CF=2x,在Rt△ACF中,根据勾股定理得AC3,∵∠BDE=90°,∠B=45°,∴BD=x,3x+x=150－10,解得x370(m),即楼高为3－70(m).(2)x370≈70(1.73－1)=70×0.73=51.1(m)<3×20(m)，∴我支持小华的观点,这楼不到20层.题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）图5-1【答案】见解析.【解析】解：在线段AB之间找一点F，使BF=2.5 m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，如图5-2图5-2∵AB=3.2 m，CA=0.7 m，BF=2.5 m，∴CF=AB－BF+CA=1.4 m，∵∠ECA=60°，∴GF= CA=≈2.38m，∵2.38<3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．题6. 如图6-1所示，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC中，试求出AB边上的高．【答案】见解析.【解析】解：（1）（5,1）、（1,5）、（7，7）；（2）求得△ABC的面积为：9－1.5－2－1.5=4，由勾股定理得，线段AB10，所以AB455 10=.。

2023年上学期人教版八年级下册《勾股定理》全章知识梳理和题型归纳培优资料
●●1、互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
●●2、互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解题技巧提炼
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【例题1】（2022秋•长春期末）已知三角形的两边分别为5和12，要使它是直角三角形，第三边的长应为．
解题技巧提炼
勾股定理的作用是已知直角三角形的两边求第三边பைடு நூலகம்所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理.
【变式1-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
所以＝，即．
【变式2-3】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4 ab，即（a+b）2＝c2+4 ab，所以a2+b2＝c2．

专题1.4勾股定理章末重难点题型【考点1 赵爽弦图求值】【方法点拨】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.【例1】（2020春•大悟县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．4【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab =12×8＝4， ∴大正方形的面积为：4×12ab +（a ﹣b ）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C ．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．【变式1-1】（2020春•湛江期末）如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求ab 即可．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，即a 2+b 2＝9，a ﹣b ＝1，所以ab =12[（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）2]=12（9﹣1）＝4，即ab ＝4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则12ab ＝2； 所以ab ＝4故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．【变式1-2】（2019春•番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于（ ）A．2B．4C．6D．8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．【变式1-3】（2020春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a +b ＝5．故答案为：5．【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a 2+b 2和ab 的值是关键．【考点2勾股定理的验证】【方法点拨】勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.【例2】（2020春•南岗区校级月考）下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A 、∵12ab +c 2+12ab =12（a +b ）（a +b ）， ∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、∵4×12ab +（b ﹣a ）2＝c 2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D 、∵4×12ab +c 2＝（a +b ）2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．【变式2-1】（2019春•临海市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a 、b 、c 的式子表示） ， ．【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图所示：①S＝c2+12ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+12ab×2＝a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．【变式2-2】（2019秋•鼓楼区期中）如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．【解答】解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a +b ）（a +b ）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即12ab +12ab +12c 2． 两者列成等式化简即可得：a 2+b 2＝c 2；（2）画边长为（a +b ）的正方形，如图，其中a 、b 为直角边，c 为斜边．【点评】本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．【变式2-3】（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +（a ﹣b ）2，所以4×12ab +（a ﹣b ）2＝c 2，即a 2+b 2＝c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2＝c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【解答】解：（1）梯形ABCD 的面积为12（a +b ）（a +b ）=12a 2+ab +12b 2， 也利用表示为12ab +12c 2+12ab ， ∴12a 2+ab +12b 2=12ab +12c 2+12ab ， 即a 2+b 2＝c 2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h ， ∴h =125，故答案为125；（3）∵图形面积为：（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，∴边长为a ﹣2b ，由此可画出的图形为：【点评】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．【考点3勾股定理的应用（求面积）】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例3】（2020春•柳州期末）如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（）A．9B．5C．53D．45【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．【变式3-1】（2020春•西华县期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（）A．169cm2B．196cm2C．338cm2D．507cm2【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2019秋•南海区期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2018C．2019D．2020【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．【变式3-3】（2020春•无为县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（）A．直角三角形纸片的面积B．最大正方形纸片的面积C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：D ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【考点4勾股定理的应用（面积法求斜边高）】【方法点拨】解决此类问题要善于利用等积法求解.【例4】（2020春•安陆市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长是（ ）A ．5B ．7C ．125D ．245【分析】首先利用勾股定理计算出AB 的长，再根据三角形的面积公式计算出CD 的长即可．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB =√42+32=5，∵12×AC ×BC =12×CD ×AB ， ∴12×3×4=12×5×CD ，解得CD =125．故选：C ．【点评】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．【变式4-1】（2020春•开原市校级月考）如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD =52，则△ABC 的面积是（ ）A ．18B ．36C ．72D ．125【分析】先作辅助线，AE ⊥CD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，然后根据勾股定理，可以得到CF 的长，再根据等积法可以得到AE 的长，然后即可计算出△ABC 的面积．【解答】解：作AE ⊥CD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，∵AC ＝CD ＝5，AD ＝6，CF ⊥AD ，∴AF ＝3，∠AFC ＝90°，∴CF =√AC 2−AF 2=4，∵CD⋅AE 2=AD⋅CF 2， ∴5AE 2=6×42，解得．AE =245，∵BD =52，CD ＝5，∴BC =152， ∴△ABC 的面积是：BC⋅AE 2=152×2452=18，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2019秋•南海区期末）如图，三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是 ．【分析】作CP ⊥AB 于P ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式求出PC ．【解答】解：作CP ⊥AB 于P ，由垂线段最短可知，此时PC 最小，由勾股定理得，AB =√BC 2+AC 2=√42+32=5，S △ABC =12×AC ×BC =12×AB ×PC ，即12×3×4=12×5×PC ， 解得，PC =125，故答案为：125．【点评】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式4-3】（2020春•大冶市期末）在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（ ）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或84【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．【解答】解：（1）△ABC 为锐角三角形，高AD 在△ABC 内部．BD =√AB 2−AD 2=9，CD =√AC 2−AD 2=5∴△ABC 的面积为12×（9+5）×12＝84；（2）△ABC 为钝角三角形，高AD 在△ABC 外部．方法同（1）可得到BD ＝9，CD ＝5∴△ABC 的面积为12×（9﹣5）×12＝24． 故选：C ．【点评】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论．【考点5勾股定理的应用（方程思想）】【方法点拨】解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类 问题通用方法.【例5】（2019秋•通州区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°．点D 为BC 边上一点，线段AD 将Rt △ABC 分为两个周长相等的三角形．若CD ＝2，BD ＝6，求△ABC 的面积．【分析】由题意得出AC +CD +AD ＝AD +BD +AB ．得出AC ＝AB +4，设AB ＝x ，则AC ＝4+x ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB ＝6，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意可知，△ACD 与△ADB 的周长相等，∴AC +CD +AD ＝AD +BD +AB ．∴AC +CD ＝BD +AB ．∵CD ＝2，BD ＝6，∴AC +2＝6+AB ，BC ＝CD +BD ＝8，∴AC ＝AB +4，设AB ＝x ，则AC ＝4+x ．在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，∴x 2+82＝（x +4）2．∴x 2+64＝16+x 2+8x ．∴x＝6．∴S=12×6×8=24．【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积；熟练掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解题的关键．【变式5-1】（2019秋•宜宾期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．【分析】设AD＝x，根据CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，构建方程即可解决问题．【解答】解：设AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x=7 5，∴AD=7 5．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．【变式5-2】（2020春•林州市期末）已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=√BD2+DE2=5．所以CE＝BE＝5．设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．【变式5-3】（2019秋•大丰区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t ﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，则由勾股定理得到：AC=√AB2−BC2=√102−62=8（cm）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=25 4，∴当t=254时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=32 3，∴当t=323时，P在△ABC的角平分线上．【点评】考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【考点6勾股定理的逆定理（判断直角三角形）】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例6】（2020春•官渡区期末）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13B．∠A+∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：5D．a＝6，b＝12，c＝10【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】解：A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C=52+3+5×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．【变式6-1】（2019秋•晋江市期末）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3C．a：b：c＝7：24：25D．a：b：c＝4：5：6【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式6-2】（2020春•下陆区校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【变式6-3】（2020春•碑林区校级期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：如图所示：格点C的个数是8，故选：C．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．【考点7勾股定理的逆定理（求面积）】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例7】（2020春•嘉陵区期末）如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用S＝S△ABC+S△ACD求解即可．四边形ABCD【解答】解：∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AC•BC+12AD•CD=12×5×12+12×3×4＝36．答：四边形ABCD的面积是36．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形是解题关键．【变式7-1】（2020春•南丹县期末）如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．【解答】解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√202−122=16，∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积=12×7×12＝42．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．【变式7-2】（2020春•阜平县期末）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5（cm）∴S△ABD=12AB•AD＝6（cm2）．在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，∴S△DBC=12BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．【变式7-3】（2020秋•黔西县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B ＝90°，求：（1）∠A+∠C的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根据四边形内角和为360°可得∠A+∠C的度数；（2）利用△ACD和△ABC的面积求和即可．【解答】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√400+225=25，∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；（2）四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACB=12×24×7+12×20×15＝234．【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【考点8勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.【例8】（2020春•平江县期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．故选：D．【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．【变式8-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝20时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，故选：B．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．【变式8-2】（2019秋•昌平区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．【变式8-3】（2020春•当涂县期末）三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数．【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．【解答】解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．故答案为6，8，10（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…【考点9勾股定理的实际应用（梯子问题）】【例9】（2020春•盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√2．42+0．72=2.5（米），∴A′B＝2.5米，在Rt△A′BD中，BD=√A′B2−A′D2=√2．52−1．52=2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．【变式9-1】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，。

专题1.2 勾股定理的应用【八大题型】【北师大版】【题型1 勾股定理之大树折断模型】 (1)【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 (3)【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 (5)【题型4 勾股定理之方向角问题】 (8)【题型5 勾股定理之梯子问题】 (12)【题型6 勾股定理之范围影响问题】 (14)【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 (19)【题型8 勾股定理应用之其他问题】 (22)【题型1 勾股定理之大树折断模型】【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上　24　米处折断．【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解．【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10故102+x2＝（50﹣x）2解得x＝24（米）故烟囱应从底部向上24米处折断．故答案为24．【变式1-1】（2022•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处与根部的距离CB是x米，则斜边为（8﹣x）米．利用勾股定理解题即可．【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD5（m），即AD＝9m，则AC=15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：这棵树原来的高度是19米．【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是　13　尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是　12　m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动　（12―．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=12（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝8（m），∴AD m），∴BD＝AB﹣AD＝（12m．故答案为：（12―【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，=5（cm）．则AD＝10×12又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：将台阶展开，如下图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．，高为5，【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π则蚂蚁爬行的最短距离为　13　．【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．=12，高为5，【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π×6π所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A．（cm B cm C cm D cm【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【题型4 勾股定理之方向角问题】【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB=10（海里）．故选：B．【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A 出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC300，答：此时两艘海舰相距300海里．【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性质可求解∠CBD＝32°，进而可求解．【解答】解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，∵152+202＝252，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；（2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠AON＝45°，∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作FD⊥PE于D，OF＝16×2＝32，∵∠NOF＝60°，∴∠FOD ＝90°﹣60°＝30°，∴FD =12OF =12×32=16，∴16÷80＝0.2（小时），∵0.2＜0.5，∴能在半小时内回到海岸线．【题型5 勾股定理之梯子问题】【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 2.2　米．【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.4米，∴AB 2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB ＞0，∴AB ＝2.5（米），在Rt △A ′BD 中，∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝2米，A 'B ＝AB ＝2.5米，∴BD 2+A ′D 2＝A ′B 2，即BD 2+22＝2.52（米2），∵BD ＞0，∴BD ＝1.5（米），∴CD ＝BC +BD ＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案为：2.2．【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．=4.5，所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和2.3米比较即可得到答案．【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为：2（米），2米＜2.3米，故这位同学不能拿到衣服；1.5﹣0.8＝0.7（米），2.4（米），2.3米＜2.4米，故如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，此时这位同学能拿到衣服．【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：=24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．【题型6 勾股定理之范围影响问题】【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，=120（m），∴CD=150×200250∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED50（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，OA＝40米，∴AH=12∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【变式6-2】（2022•内江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，∵ED140（km），∴EF＝280km，∵台风的速度为28千米/小时，∴280÷28＝10（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为10小时．【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED100（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，（小时）．∴200÷28=507小时．答：台风影响该海港持续的时间为507【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是　312.5　米．【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．∴BD=400m，设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店与车站之间的距离为312.5米，故答案为：312.5．【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　7.5　米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝　78km　．【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解即可．【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．在直角三角形ABD中，∵AB＝3km，AD＝5km，∴BD4km设CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即x2＝32+（4﹣x）2，解得：x=258，∴BC＝BD﹣CD＝4―258=78km．故答案为：78km．【题型8 勾股定理应用之其他问题】【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案．【解答】解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：EF=0.6（m），EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，∴卡车能通过此门．【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s 后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．【解答】解：超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC＝60m，AB＝100m，由勾股定理可得BC=80m，∴汽车速度为80÷4＝20m/s＝72km/h，∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），BC＝70﹣20+10＝60（米），故终止点与原出发点的距离AB==100（米），答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：①该屏幕的长＝　16　寸，宽＝　12　寸；②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏2.2，结果精确到0.1）【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论；②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值；（2）根据题意得出PQBC =12.4，EFFG=34，得PQ=512BC，FG=43EF．再由S矩形EFGH＝S矩形MNPQ即可得出BC2EF2=165，进而可得出结论．【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3，∴设长为4x，则宽为3x，∵电视机屏幕为20寸，∴（4x）2+（3x）2＝202，解得x＝4，∴4x＝16，3x＝12，∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸；故答案为：16；12．②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）．∵162.4=a1，解得a=203．∴黑色带子的宽的和＝12―203=163．∴屏幕浪费比=163×1616×12=49； （2）由题意：PQ BC =12.4，EF FG =34，得：PQ =512BC ，FG =43EF ．∵S 矩形EFGH ＝S 矩形MNPQ ，∴BC •512BC ＝EF •43EF ．∴BC 2EF 2=165，∴BCEF 1.8．答：这种屏幕的长宽比约为1.8．。

专题1.2 全等三角形章末重难点题型【人教版】【考点1 全等形的概念】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：全等的两个图形是①和③，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【考点2 全等形的应用（格图中求角度）】【方法点拨】解决此类问题要善于找出格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2】（2020春•平阴县期末）如图是由4个相同的小正方形组成的格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．【答案】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．【变式2-1】（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【答案】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．【变式2-2】（2019秋•江汉区期末）如图，是一个3×3的正方形格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【变式2-3】（2019秋•莆田期末）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．【分析】利用“SAS ”判断△AEF ≌△LBA 得到∠7＝∠EAF ，则∠1+∠7＝90°，同样方法得到∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，从而得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【答案】解：在△AEF 和△LBA 中{EF =AB ∠AEF =∠ABL AE =BL，∴△AEF ≌△LBA （SAS ），∴∠7＝∠EAF ，∴∠1+∠7＝90°，同理可得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．故答案为315°．【点睛】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．【考点3 全等三角形的性质（线段的和差）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.【例3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【答案】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式3-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE ＝2，则AD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式3-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【考点4 全等三角形的性质（角的计算）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解. 【例4】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．【变式4-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．【答案】解：设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC ＝24°，则∠BEA的度数为（）A ．54°B ．63°C ．64°D ．68°【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE ＝54°，进而得出答案．【答案】解：∵△ABC ≌△AED ，∠D ＝135°∴∠C ＝∠D ＝135°，AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠ABC ＝15°，∠D ＝∠C ＝135°，∴∠BAC ＝30°，∵∠EAC ＝24°，∴∠BAE ＝54°，则∠BEA 的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE ＝54°是解题关键．【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC 度数的值为 ．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，从而可以得到∠ABD ＝∠ADB ，再根据AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，即可得到∠DAE 的度数，从而可以得到∠BAC 的度数．【答案】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝130°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点5 判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例5】（2019秋•海港区期末）如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】利用“SSS”可判断△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，则∠BAC＝∠CDB，然后可根据“AAS”判断△ABE≌△DCE．【答案】解：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），∴∠BAC＝∠CDB，∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE（AAS）．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2020春•高新区期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【答案】解：①在△AEO 与△ADO 中，{AE =AD∠1=∠2OA =OA(公共边)，∴△AEO ≌△ADO （SAS ）；②∵△AEO ≌△ADO ，∴OE ＝OD ，∠AEO ＝∠ADO ，∴∠BEO ＝∠CDO ．在△BEO 与△CDO 中，{∠BEO =∠CDOOE =OD ∠BOE =∠COD(对顶角相等)，∴△BEO ≌△CDO （ASA ）；③∵△BEO ≌△CDO ，∴BE ＝CD ，BO ＝CO ，OE ＝OD ，∴CE ＝BD ．在△BEC 与△CDB 中，{BE =CD ∠BEC =∠CDB CE =BD，∴△BEC ≌△CDB （SAS ）；④在△AEC 与△ADB 中，{AE =AD ∠AEC =∠ADB CE =BD，则△AEC ≌△ADB （SAS ）；⑤∵△AEC ≌△ADB ，∴AB ＝AC ．在△AOB 与△AOC 中，{AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB ≌△AOC ．综上所述，图中全等三角形共5对．故选：A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共线，AE ∥DF ，BE ∥CF ，AC ＝BD ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．6对C ．8对D ．10对【分析】由AC ＝BD 可得AB ＝AC ，由AE ∥DF 可得∠EAB ＝∠FDC ，由BE ∥CF 可得∠EBC ＝∠FCB ，根据等角的补角相等得出∠EBA ＝∠FCD ，利用ASA 得△ABE ≌△DCF ，进一步得其它三角形全等．【答案】解：∵AC ＝BD ，∴AB ＝AC ．∵AE ∥DF ，∴∠EAB ＝∠FDC ．∵BE ∥CF ，∴∠EBC ＝∠FCB ，∴∠EBA ＝∠FCD ．在△ABE 与△DCF 中，{∠EAB =∠FDC AB =DC ∠EBA =∠FCD，∴△ABE ≌△DCF （ASA ）．进一步得△EBC ≌△FCB ，△ECD ≌△FBA ，△AEC ≌△DFB ，△EBD ≌△FCA ，△AED ≌△FDA ，共6对．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．【变式5-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．则图中共有（ ）对全等三角形．A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据全等三角形的判定即可求出答案．【答案】解：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，∠BAC ＝∠DCA ，在△ABD 和△CDB 中，{∠ABD =∠CDBBD =DB ∠ADB =∠CBD，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），同理：△ABC ≌△CDA （ASA ）；∴AB ＝CD ，BC ＝DA ，在△AOB和△COD中，{∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD AB=CD，∴△AOB≌△COD（AAS），同理：△AOD≌△COB（AAS）；∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，在△ABE和△CDF中，{∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），同理：△AOE≌△COF（AAS），△ADE≌△CBF（AAS）；图中共有7对全等三角形；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【考点6 格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS判断即可．【例6】（2019秋•沙河口区期末）如图，在4×4方形格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出4个，AC不可以，故可求出结果．【答案】解：如图所示，△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，以及格点的概念等知识点，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的三条对应边分别相等．【变式6-1】（2020春•太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示可作3个全等的三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【变式6-2】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．【变式6-3】（2020秋•南充期中）如图为正方形格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示：故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【考点7 全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例7】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【答案】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【答案】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【答案】解：∵BF＝CE，∴BE＝CF．①AE＝DF时，在△ABE和△DCF中，{AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①正确；②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，{AB=DC ∠B=∠C BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式7-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD ≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．1【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．【答案】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），若①③④为条件，不能证明△AFD ≌△CEB ，若②③④为条件，能证明△AFD ≌△CEB （AAS ），故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．【考点8 全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例8】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【答案】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，{OM =ON OP =OP， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．【变式8-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【答案】解：∵在△ONC和△OMC中{ON=OM CO=CO NC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式8-2】（2019秋•西宁期末）如图，P A⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，P A＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵P A⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，而P A＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．【变式8-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【考点9 全等三角形的判定与性质（基础证明）】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例9】（2020春•工业园区期末）已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．【分析】根据HL 证明Rt △ABC 与Rt △ADC 全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE ＝∠DAE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△ADE ，进而解答即可．【答案】证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt △ABC 与Rt △ADC 中{AB =AD AC =AC， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在△ABE 与△ADE 中{AB =AD ∠BAE =∠DAE AE =AE，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式9-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE ＝AF ，CE ＝CF ，求证：CB ＝CD ．【分析】先证明△AEC ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠CAF ，利用角平分线的性质解答即可．【答案】证明：连接AC ，在△AEC 与△AFC 中{AC =AC CE =CF AE =AF，∴△AEC ≌△AFC （SSS ），∴∠CAE ＝∠CAF ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∴CB ＝CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．【变式9-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，BH ＝EG ，AH ＝DG ，∠C ＝∠F ．（1）求证：△ABH ≌△DEG ；（2）求证：CE ＝FB ．【分析】（1）由HL 可证明△ABH ≌△DEG ；（2）证明△ABC ≌△DEF （AAS ）．得出BC ＝EF ，则可得出结论．【答案】（1）证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，∴∠DEG ＝∠ABH ＝90°，在Rt △ABH 和Rt △DEG 中，∵{BH =EG AH =DG，∴Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．（2）∵Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．∴AB ＝DE ，在△ABC 和△DEF 中，∵{∠ABC =∠DEF =90°∠C =∠F AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．∴BC ＝EF ，∴CE ＝FB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式9-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，CE 的延长线交AB 于点G ．求证：EF ＝EG ．【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD 和△ACD 全等，可得∠BAD ＝∠CAD ，再证明△ABE 和△ACE 全等，即可得结论；（2）结合（1）根据△ABE 和△ACE 全等可得BE ＝CE ，再证明△BEG ≌△CEF ，即可得结论．【答案】解：（1）证明：∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC AD =AD BD =CD，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAE AE =AE，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图，由（1）知，△ABE ≌△ACE ，∴BE ＝CE ，∠ABE ＝∠ACE ，在△BEG 和△CEF 中，{∠GBE =∠FCE BE =CE ∠GEB =∠FEC，∴△BEG ≌△CEF （ASA ），∴EG ＝EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【考点10 全等三角形的判定与性质（推理论证）】【例10】（2020春•高明区期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】根据△ABD ≌△ACD 即可得到BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确；通过△CDE ≌△DBF 即可得到DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①④正确．【答案】解：∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD （AAS ），∴BD ＝CD ，故②正确，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，故③正确，在△CDE 与△DBF 中，{∠C =∠CBF CD =BD ∠EDC =∠BDF，∴△CDE ≌△DBF （ASA ），∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确，∵AE ＝2BF ，∴AE ＝2CE ，∴AC ＝AE +CE ＝3CE ＝3BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式10-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）．【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS＝AR，∠BAP＝∠P AS，可证QP∥AR，可求解．【答案】解：如图，连接AP，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR＝AS，∴①正确；②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QP A，∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QP A＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式10-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB 交AC 于点M ，交C 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD ＝DN ；③△ACN ≌△ABM ；④BE ＝CF ．其中正确的结论有 ．（填序号）【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE 和△ACF 全等，即可得∠1＝∠2；②没有条件可以证明CD ＝DN ，即可判断；③结合①和已知条件即可得△ACN ≌△ABM ；④根据△ABE ≌△ACF ，可得BE ＝CF ，【答案】解：①在△ABE 和△ACF 中，{∠E =∠F ∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠EAB ＝∠F AC ，∴∠EAB ﹣∠BAC ＝∠F AC ﹣∠BAC ，∴∠1＝∠2．∴①正确；没有条件可以证明CD ＝DN ，∴②错误；∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，在△ACN 和△ABM 中，{∠C =∠B AC =AB ∠CAB =BAC，∴△ACN ≌△ABM （ASA ），∴③正确；∵△ABE ≌△ACF ，∴BE ＝CF ，∴④正确．∴其中正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【变式10-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③F A 平分∠DFE ，④AE 平分∠F AB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠F AE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△F AE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【答案】解：延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ，∴∠D ＝∠ABG ＝90°，在△ADF 和△ABG 中{AD =AB ∠D =∠ABG DF =BG，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，。