三角函数本章复习教案苏教版必修4

三角函数的图象与性质【教材分析】１．教材背景学生已经学习了三角函数，他们对于正弦函数、余弦函数、正切函数有了根本的了解〔包括图像、性质等等〕；但是并没有对它们进行细致整理、消化。

因此需要把三角函数进行系统复习，学生在复习中能进一步熟悉函数图像及性质，同时深化三角函数的整体意识。

也借助这一阶段的复习，让学生对高考数学有个初步认识和了解：概念优先，计算为重，突出思维方法，培养学习习惯。

因此，安排相对集中的复习课，突出思想方法，突出用数学语言表达数学思维的培养，也是高考的重要内容之一。

２．本课的地位和作用本节内容是函数内容的深化，具有非常高的实用价值，在三角函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理、换元等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解三角函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣，走进高考。

【重难点分析】重点：教学重点是掌握三角函数的图象和性质，并能灵活应用到达高考要求。

难点：对于三角函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。

因此，弄清楚图象之间的异同和平移变换是本节的难点之一【目标分析】１．知识技能目标掌握三角函数的概念、图象和性质。

２．过程性目标通过自主回忆与探索，让学生经历“温故→应用→提升〞的训练过程，完善认知结构，领会数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。

３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明开展中的重要作用。

四、【学情分析】１．有利因素学生已经学习了三角函数的定义、图象、性质，已经掌握了三角函数的一些解题方法和思想方法，对于本节课的学习会有很大帮助。

２．不利因素本节内容思维量较大，题型较多较难，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理、换元等能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度。

【教法学法】根据对教材、重难点、目标、考纲要求及学生情况的分析，本着教法为学法效劳的宗旨，确定以下教法、学法：启发式教学法、类比复习法，并利用多媒体辅助教学。

第1章 三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________． 思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．(1)25或－25 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z[(1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. (2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． [解] (1)依题意，点P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限． 当点P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当点P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34， tan α＝73. (2)设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10.∴10s in α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解] 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2. (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由sin θ＋cos θ＝3＋12，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.三角函数的图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1ω>0，A >0,0<φ<π2的周期为π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，且f (x )的最大值为3.(1)写出f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T ＝2πω求ω，由f (x )的最大值为3求A ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求φ. (2)把ωx ＋φ看作一个整体，结合y ＝sin x 的单调区间与对称性求解．(3)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求出ωx ＋φ的X 围，利用单调性求最值．[解] (1)∵T ＝π，∴ω＝2πT＝2.∵f (x )的最大值为3，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝3＋1，∴cos φ＝32. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令2x ＋π6＝k π，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，1(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π. (2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.3．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋fx ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2. 故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 数形结合思想【例4】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．思路点拨：识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 [解] 显然A ＝2.由图象过(0,1)点，则f (0)＝1，即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个， ∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数X 围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解] 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.。

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析： 例1、 （教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、 （教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

x33π 56π3O例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为值为，周期为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问 题可以借助于三角函数模拟呢？ 五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2； ②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25； ③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2； ④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值． 活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值． 解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0. ∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43. 点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( ) A ．3≤m≤9 B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16. 于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22， 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)， 即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.log(sinx－cosx)．例4已知函数f(x)＝12(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z . (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tan α的值．解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角， 故cos α＝35，tan α＝43. 2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点(π3，0)对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1) C ．y ＝f(12x －1) D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B C C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( )A ．y ＝3sin(2x ＋7π12)B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y，正割函数sec α＝r x ，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。