一类非线性偏微分方程的数值解法
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的系数 由 ＿ 『 时刻 的 ｕ值 表示 ， 把 隐格 式 化 为 显式 格 式． 由于 已经从
初 值条 件 中知道 ＝１ 时 的全 部 １ ／ ， 的值 ， 就 可 以递推 得 出所有 的 １ ０ １
×１ ０ １个 ｕ值 （ 算 法 的网格 表示 见 图 １ ） ． 固定 某个 ， 令
）
）
ｄ
［ （ （ ｉ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ （ ｉ ， ＋１ ）＋Ｍ （ ｉ 一１ ， ＋１ ） ） ＋（ １—０ ） （ “ （ ｉ ＋１ ， ）一 ２ ｕ （ ｉ ， ）＋ （ ｉ 一１ ， ） ） ］
初 步差 分 为 ： Ｍ （ ｉ ， Ｊ ＋１ ）一Ｍ （ ｉ ， Ｊ ） （ ６ ）
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ３ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编号 ： １ ６ ７ ４— ７ ０ ４ ６ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ ８ ０—０ ５
一
类非 线 性 偏 微 分 方 程 的数 值 解 法
王 刚
（ 河 南城 建 学院 ， 河 南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ３ ６ ）
摘 要 ： 利 用有 限差 分 法 ， 给 出了数 值 求解 一类 非线性 偏微 分 方程 的 算 法 ，并 分析 了算
“ （ ， ）＝ 咖（ ， ） （ ４ ）
则有 ｕ （ １ ， １ ）＝ （ ０， ０ ） ， ｕ （ １ ０ １ ， １ ０ １ ）＝ （ １ ，１ ） ． 这 样 相邻 两 点 间 的距 离 ｈ：１ ／ １ ０ ０ ． 对于式（ ３ ） 的左 端
项， 有 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２一ｌ １— ３ ０
Ｗ ：“ （ ｉ ， Ｊ＋ １ ）一ｕ （ ， ）
图１ 算 法 的 网格 图
（ ， ＋ １ ） ＝ ｕ （ ， Ｊ ． ） ＋ ３ ｈ ｕ ２ （ ， ） 杀 “ （ ， ） ＋ Ｏ （ ｈ ）
代入 式 （ ７ ） ， 有
： ９ （ Ｍ 。 （ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ ３ （ ， ＋１ ）＋ ， （ ｉ —ｌ ， ． 『 ＋ １ ） ）
法 的 稳 定 性 ． 考 虑 推 广 的 热 方 程 娑 ： Ｏｘ （ 特别 是 ． 厂 为 各 项 次 数都 为 奇 数 的 ｏｔ
多项 式 函数 ） ， 用Ｒ ｉ ｃ ｈ ｔ ｍｙ ｅ ｒ 线 性化 方 法把 向前 差 分 所 得 的 非 线 性 方 程 组 转 化
为线 性方程 组 ， 再 用经典 的数值 解 法计 算得 到 结 果 ， 最 后 由热 方程 数 值 解 法 的 稳定 性分析 ， 证 明 了算 法在 函数 为奇数 次 的单 项式 时的稳 定 性． 关键 词 ： 非 线性偏微 分 方程 ； 数值 解 ； 算法； 稳 定性
———］ —一
一 ［ （ ｕ （ ｉ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ （ ， ＋１ ）＋Ⅱ （ ｉ 一 １ ， ＋１ ） ）
一
凡
（ ７ ）
求 解差 分 方 程 ， 就 要 解 一 个 非 线 性 方 程 组． 为 了避 免 这 一 情 况， 采用 Ｒ ｉ ｅ ｈ ｔ ｍ ｙ ｅ ｒ 方法 把式 （ ７ ） 右端 线性 化 ． 线 性 化 的 目标 是使 得 在某 一相 同时刻 ＋１ ， 关 于 的不 同 Ｕ值 构 成线 性 方 程组 ， 其 中
第 ２ ２卷 第 １期
２ ０ １ ３年 １月
河 南 城 建 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｎａ ｎ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｕｒ ｂａ ｎ Ｃｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ２ ＮＯ ．１
１ ］×［ ０ ，１ ］中 ， 采 用有 限差 分 的方法解 这 个偏微 分 方程 ，重点 研究 差 分 格式 ． 选用 加权 隐格 式 ， 把 ［ ０ ，
１ ］×［ ０ ，１ ］均分成 １ ０ ０×１ ０ ０的小块 ． 直接 采 用 最 简单 的分 割方 式 ，时 间 和位 置 的不 同 步 长对 方 法 的 稳定 性带 来 的影 响在后 面讨 论 ， 记 为
中 图分类 号 ： Ｘ １ ３ ２ 文献标 识 码 ： Ａ
一
般 的热方 程
ａ ａ Ｏ ｔ—ａ
的数值 解法 比较 容易 ． 对 于在科 技 和经济 领域 中经 常 出现 的更一 般 的方程
（ ２ ）
并没 有现 成 的数值 解法 ． 本文 重点 研究 此类 方程 的统 一而 又较 为稳 定 的解法 ．
＋（ １— ０ ） （ ｕ （ ｉ ＋ １ ， ）一２ ｕ （ ｉ ， ． 『 ）＋ ｕ （ ｉ 一１ ， ） ）
＝ Ｏ ｈ ［ ３ 。 （ １ ， ） （ １ ， ） 一 ６ ｕ ２ （ ） 杀 （ ）
＋ ３ ｕ （ ｉ 一 １ ， ） 导ｕ （ ｉ 一 １ ， ） ］ ＋ ［ Ｍ （ ｉ ＋ １ ， ） 一 ２ ｕ （ ， ） ＋ Ｍ （ ｉ 一 １ ， ） ］
１ 算 法
考 虑线性 偏微 分方 程 ：
ｃ
（ ， ０ ）＝ （ ， １ ）＝ １十 １ ｎ ２ ７ ｒ
，
（ ３ ）
咖（ ０ ， ）＝６（ １ ， ￡ ）＝ １
．
要求方 程 的显式 解非 常 困难 ， 所 以尝 试求 这个 方 程 的 数值 解 ． 根 据 初 边 值条 件 ， 把 问题 限 制 在 ［ ０ ，
作 者简 介 ： 王 刚 （ １ ９ ７ ０一） ， 男， 河 南泌 阳人 ， 河 南城 建 学 院讲师 。
第２ ２卷 第 １ 期
王 刚 ： 一 类 非 线 性 偏 微 分 方 程 的 数 值 解 法
８ １
Ｏ ｕ
（ ５ ）
对 于式 （ ３ ） 的右端 项 ，有
ｃ
川
ｏ ｘ
初 值条 件 中知道 ＝１ 时 的全 部 １ ／ ， 的值 ， 就 可 以递推 得 出所有 的 １ ０ １
×１ ０ １个 ｕ值 （ 算 法 的网格 表示 见 图 １ ） ． 固定 某个 ， 令
）
）
ｄ
［ （ （ ｉ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ （ ｉ ， ＋１ ）＋Ｍ （ ｉ 一１ ， ＋１ ） ） ＋（ １—０ ） （ “ （ ｉ ＋１ ， ）一 ２ ｕ （ ｉ ， ）＋ （ ｉ 一１ ， ） ） ］
初 步差 分 为 ： Ｍ （ ｉ ， Ｊ ＋１ ）一Ｍ （ ｉ ， Ｊ ） （ ６ ）
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ３ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编号 ： １ ６ ７ ４— ７ ０ ４ ６ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ ８ ０—０ ５
一
类非 线 性 偏 微 分 方 程 的数 值 解 法
王 刚
（ 河 南城 建 学院 ， 河 南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ３ ６ ）
摘 要 ： 利 用有 限差 分 法 ， 给 出了数 值 求解 一类 非线性 偏微 分 方程 的 算 法 ，并 分析 了算
“ （ ， ）＝ 咖（ ， ） （ ４ ）
则有 ｕ （ １ ， １ ）＝ （ ０， ０ ） ， ｕ （ １ ０ １ ， １ ０ １ ）＝ （ １ ，１ ） ． 这 样 相邻 两 点 间 的距 离 ｈ：１ ／ １ ０ ０ ． 对于式（ ３ ） 的左 端
项， 有 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２一ｌ １— ３ ０
Ｗ ：“ （ ｉ ， Ｊ＋ １ ）一ｕ （ ， ）
图１ 算 法 的 网格 图
（ ， ＋ １ ） ＝ ｕ （ ， Ｊ ． ） ＋ ３ ｈ ｕ ２ （ ， ） 杀 “ （ ， ） ＋ Ｏ （ ｈ ）
代入 式 （ ７ ） ， 有
： ９ （ Ｍ 。 （ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ ３ （ ， ＋１ ）＋ ， （ ｉ —ｌ ， ． 『 ＋ １ ） ）
法 的 稳 定 性 ． 考 虑 推 广 的 热 方 程 娑 ： Ｏｘ （ 特别 是 ． 厂 为 各 项 次 数都 为 奇 数 的 ｏｔ
多项 式 函数 ） ， 用Ｒ ｉ ｃ ｈ ｔ ｍｙ ｅ ｒ 线 性化 方 法把 向前 差 分 所 得 的 非 线 性 方 程 组 转 化
为线 性方程 组 ， 再 用经典 的数值 解 法计 算得 到 结 果 ， 最 后 由热 方程 数 值 解 法 的 稳定 性分析 ， 证 明 了算 法在 函数 为奇数 次 的单 项式 时的稳 定 性． 关键 词 ： 非 线性偏微 分 方程 ； 数值 解 ； 算法； 稳 定性
———］ —一
一 ［ （ ｕ （ ｉ ＋１ ， ＋１ ）一 ２ ｕ （ ， ＋１ ）＋Ⅱ （ ｉ 一 １ ， ＋１ ） ）
一
凡
（ ７ ）
求 解差 分 方 程 ， 就 要 解 一 个 非 线 性 方 程 组． 为 了避 免 这 一 情 况， 采用 Ｒ ｉ ｅ ｈ ｔ ｍ ｙ ｅ ｒ 方法 把式 （ ７ ） 右端 线性 化 ． 线 性 化 的 目标 是使 得 在某 一相 同时刻 ＋１ ， 关 于 的不 同 Ｕ值 构 成线 性 方 程组 ， 其 中
第 ２ ２卷 第 １期
２ ０ １ ３年 １月
河 南 城 建 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｎａ ｎ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｕｒ ｂａ ｎ Ｃｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ２ ＮＯ ．１
１ ］×［ ０ ，１ ］中 ， 采 用有 限差 分 的方法解 这 个偏微 分 方程 ，重点 研究 差 分 格式 ． 选用 加权 隐格 式 ， 把 ［ ０ ，
１ ］×［ ０ ，１ ］均分成 １ ０ ０×１ ０ ０的小块 ． 直接 采 用 最 简单 的分 割方 式 ，时 间 和位 置 的不 同 步 长对 方 法 的 稳定 性带 来 的影 响在后 面讨 论 ， 记 为
中 图分类 号 ： Ｘ １ ３ ２ 文献标 识 码 ： Ａ
一
般 的热方 程
ａ ａ Ｏ ｔ—ａ
的数值 解法 比较 容易 ． 对 于在科 技 和经济 领域 中经 常 出现 的更一 般 的方程
（ ２ ）
并没 有现 成 的数值 解法 ． 本文 重点 研究 此类 方程 的统 一而 又较 为稳 定 的解法 ．
＋（ １— ０ ） （ ｕ （ ｉ ＋ １ ， ）一２ ｕ （ ｉ ， ． 『 ）＋ ｕ （ ｉ 一１ ， ） ）
＝ Ｏ ｈ ［ ３ 。 （ １ ， ） （ １ ， ） 一 ６ ｕ ２ （ ） 杀 （ ）
＋ ３ ｕ （ ｉ 一 １ ， ） 导ｕ （ ｉ 一 １ ， ） ］ ＋ ［ Ｍ （ ｉ ＋ １ ， ） 一 ２ ｕ （ ， ） ＋ Ｍ （ ｉ 一 １ ， ） ］
１ 算 法
考 虑线性 偏微 分方 程 ：
ｃ
（ ， ０ ）＝ （ ， １ ）＝ １十 １ ｎ ２ ７ ｒ
，
（ ３ ）
咖（ ０ ， ）＝６（ １ ， ￡ ）＝ １
．
要求方 程 的显式 解非 常 困难 ， 所 以尝 试求 这个 方 程 的 数值 解 ． 根 据 初 边 值条 件 ， 把 问题 限 制 在 ［ ０ ，
作 者简 介 ： 王 刚 （ １ ９ ７ ０一） ， 男， 河 南泌 阳人 ， 河 南城 建 学 院讲师 。
第２ ２卷 第 １ 期
王 刚 ： 一 类 非 线 性 偏 微 分 方 程 的 数 值 解 法
８ １
Ｏ ｕ
（ ５ ）
对 于式 （ ３ ） 的右端 项 ，有
ｃ
川
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