江西省南昌二中2020届高三(6月份)高考数学(理科)校测试题(一)

江西省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}240A x x x =-≤，(){}2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.{}02x x ≤< B.{}2x x < C.{}04x x ≤≤D.{}4x x ≤2.复数12i1iz +=-，则z =（）C.5D.23.已知1a =，3b =，且()()722a b a b +⋅-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3 D.5π64.已知实数x ，y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+-的最小值为（ ）A.0B.2C.6D.305.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ） A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6.在数列{}n a 中，23a =，35a =，且212n n n a a a ++=-，则6a =（ ） A.9B.11C.13D.157.已知()2na b +的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则()21nx -展开式中3x 的系数为（ ） A.80B.40C.40-D.80-8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（ ）A.3B.3-C.7D.7-9.在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π210.已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为[],n m ，值域为[]4,2-，则m n -的最大值是（ ） A.πB.2π3C.4π9D.2π911.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.3C.512.若对任意的x ∈R ，都存在[]0ln 2,2x ∈，使不等式02002640xe x x x x x m +--++≥成立，则整数m 的最小值为（ ）（提示：ln 20.693≈） A.3B.4C.5D.6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知函数2(1)3x ++，若(2)5f a +=，则a =___________．14.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.15.在数列{}n a 中，11a =，且()131nn n a a +=+-，则数列{}n a 的前2n 项和为______.(用含n 的式子表示)三、解答题（题型注释）B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知44cos c b a B =+. （1）求sin A ；（2）若6c =，AD 为BAC ∠的角平分线，D 在BC 上，且AD =b .17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 的右顶点到直线0x y -的距离为3.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P ，且斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点).18.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E 为AC 的中点，且2AC BE =.（1）证明：BC ⊥平面PAB ；（2）若PA AB BE ==，求二面角--A PB E 的余弦值.19.某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为23.记i X ，()1,2,3,,i Y i n =分别表示甲，乙第i 次射击的得分.（1）若3n =，记乙的累计得分为Y ，求3Y >的概率. （2）①求数学期望()1E X ，()1E Y ，()2E X ；②记()11a E X =，()21a E Y =，()32a E X =，….证明：数列{}3n a -为等比数列. 20.已知函数()()ln f x x x a a R =--∈. （1）讨论()f x 的零点个数； （2）若()()ln 1x ag x ex x a x -=-+-，(]1,1a e ∈-，求()g x 的极小值()h a 的值域.21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 22.已知函数()|2||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数,a b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值.四、新添加的题型23.已知抛物线():20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______.参考答案1.A【解析】1.解一元二次不等式得集合A ，求对数型复合函数的定义域得集合B ，然后由交集定义得结论．因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}20}2B x x x x =->=<，所以{}02A B x x ⋂=≤<. 故选：A ． 2.D【解析】2.根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可.因为()()()()2121121221311122i i i i i i iz i i i ++++++-+====--+，所以1322i z =--，则2z ==. 故选：D 3.A【解析】3.由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．因为()()722a b a b +⋅-=-，所以22722a ab b +⋅-=-.因为1a =，3b =，所以32a b ⋅=， 32cos ,213a b a b a b ⋅<>===⨯，则向量a 与b 的夹角为π6. 故选：A ． 4.B【解析】4.画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.由401203x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-= 故选：B 5.C【解析】5.不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形． 故选：C ． 6.B【解析】6.由已知212n n n a a a ++=-可得数列为等差数列，从而通过23,a a 求出公差和首项后可得数列的第6项．因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列. 因为23a =，35a =，即11325a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以61511a a d =+=.故选：B ． 7.A【解析】7.由两个二项式系数相等根据组合数的性质求出n ，写出展开式的通项公式，得出3x 所在项数，从而可得其系数．由题意3722n n C C =，所以372n +=，解得5n =，则()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-⋅，由53r -=得2r ，所以3x 的系数为()23522801C ⋅⋅=-.故选：A ． 8.D【解析】8.由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 9.B【解析】9.把四面体ABCD ，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出答案.如图，把四面体ABCD ，1的长方体， 取AB 的中点G ，连接GE ，GF .因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，112GF AC ==， 同理//GE BD ，112GE BD ==. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥， 所以GEF △是等腰直角三角形，则π4EFG ∠=， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4. 故选：B 10.C【解析】10.解不等式π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，找解集中的最大区间即可． 因为π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π11sin 362x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则满足条件的π36x -的最大范围是()7πππ2π32π666k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得()2ππ2ππ3339k k x k -≤≤+∈Z ， 故m n -的最大值是ππ4π939+=. 故选：C ． 11.D【解析】11.由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。

2020届江西省南昌二中高三高考校测（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4-【答案】B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 【考点】等比数列的通项公式及性质． 6．已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则⋅=a b （ ）A ．-B ．C ．32-D ．32【答案】D【解析】先由题意，求出()232,4a bx -=-，再由向量垂直的坐标表示列出方程求出x =，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为向量()3,0a =，(),2b x =-， 则()232,4a b x -=-；又()2a a b ⊥-，则()20aa b ⋅-=，)2040x +⨯=，解得x ；所以()33·3022a b =⨯+⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．75【答案】B【解析】利用循环结构依次推理计算即得结果. 【详解】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的n ，m ，s 的值，即可得出跳出循环时输出n 的值.解：输入20n =，80m =，100s ≠，21n =，79m =，100s ≠， 22n =，78m =，100s ≠， 23n =，77m =，100s ≠， 24n =，76m =，100s ≠， 25n =，75m =，100s ，输出25n =， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，属于基础题.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【答案】A【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题． 9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x=,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A ．3B ．1C ．12D ．3 【答案】B【解析】画图分析可知O 到面ABC 的距离为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可. 【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:143x y C -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆22:(3)1E x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，求得圆E 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值. 【详解】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==1(F ，2F ，0)，圆E 半径为1r =，(0,3)-E ，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE -=-(当且仅当A ，E ，B 共线 且B 在A ，E 之间时取等号)，21111433AB AF AE AF AF AE EF +-++=+++37==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e---【答案】A【解析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x a f x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21Ma --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1【解析】求出导函数，根据0x =处的导数值为1，即可求得参数的值. 【详解】因为x y axe =，故可得()xy eax a ='+，又x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直， 故01x y a ='==.故答案为：1. 【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，属基础题.14．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边CD 的中点，13DF DA →→=，若·4AE BF →→=-，则cos DAB ∠=___________.【答案】14【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13DF DA →→=，∴12AD DE AD AB AE →→→→→=+=+，23BF AF AB AD AB →→→→→=-=-，∴2212212()()23323AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⋅=+⋅-=--⋅222123434cos 323BAD =⨯-⨯-⨯⨯⨯∠ 688cos 4BAD =--∠=-，所以1cos 4DAB ∠=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15．如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm .【答案】43π 【解析】由题意可求球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为32883234433243h ππ-==，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，水面高度为3此时正六棱柱容器中水的体积为2134643323288323V ππ=⨯⨯=-， 若将铁球从容器中取出，则水面高度3234433243h ππ==，则水面下降4443(43)33ππ=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.16．在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，则n S 为___________. 【答案】13(1)3n- 【解析】将122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+化为1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和. 【详解】解：由11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，可得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--⋅+，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项､2为公差的等差数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS -==--.故答案为：13(1)3n-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和求和公式，构造等比数列是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且()f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（2. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()f A =，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度（单位：C ︒）21 23 24 27 29 32死亡数y （单位：株）61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i i i x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930i i y y =-=∑，()621ˆ236.64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）回归方程0.2303ˆ0.06xy e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）190.【解析】（1）根据公式，结合已知数据，分别求得ˆˆ,ba ，则问题得解； （2）根据相关指数的计算公式，结合已知数据，求得2R ，再进行比较即可； （3）将35x =代入回归方程，即可求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得，()()()121557ˆ 6.6384nii i nii xx y y bxx ==--==≈-∑∑∴ˆa=33−6.63⨯26=−139.4， ∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆy=6.6x −139.4． (Ⅱ) （i ）线性回归方程ˆy=6.6x −138.6对应的相关指数为： ()()6221621ˆ236.641110.06020.93983930ii i i i i yyR y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye =比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好． （ii ）由（i ）知，当温度35C x ︒=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆye e ⨯==≈⨯≈， 即当温度为35︒C 时该批紫甘薯死亡株数为190. 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解、相关指数的求解，以及用回归直线方程进行估算，属综合中档题.19．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面是边长为4的正方形，14AA =，且1AA ⊥面ABCD ，点P 为1DD 的中点，点Q 在BC 上，3BQ QC =，1DD 与面ABCD 所成角的正切值为2.（1）证明：//PQ 面11A ABB ；（2）求证：1AB ⊥面PBC ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6.【解析】（1）取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出//PQ BE ，故而//PQ 面11A ABB ；（2）由1AA ⊥面ABCD 可得1AA BC ⊥，由相似三角形可得1AB BE ⊥，故而1AB ⊥平面PEBC ，求出1B 到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积. 【详解】（1）证明：取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H .1AA ⊥面ABCD ，11//AA D H ，1D H ∴⊥面ABCD .1D DA ∴∠为1DD 与面ABCD 所成角. ∴12AA DH=，又14AA =， 2DH ∴=.112A D ∴=.111()32PE A D AD ∴=+=， 334BQ BC == 又//,//EP AD EP BQ ，∴四边形PQBE 为平行四边形，//PQ BE ∴，又PQ ⊂/面11A ABB ，BE ⊂面11A ABB ， //PQ ∴面11A ABB .（2）1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，1ABAA A =，BC ∴⊥面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥.在梯形11A ABB 中，Rt BAE Rt ∆≅△11AA B ，111190B AE AEB B AE AB A ∴∠+∠=∠+∠=︒，1AB BE ∴⊥，又BEBC B =，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，1AB ∴⊥面PEBC .设1AB BE M ⋂=，2AE =，4AB =，25BM ∴=，112A B =，14AA =，125AB ∴=，·4525AE AB AM BE ∴===， 1165B M AB AM ∴=-=， 又334BQ BC ==， ∴11111165·3256332Q PBB B PBQ PBQ V V S B M --∆===⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1，O 为坐标原点.（1）过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求MON △的面积； （2）设P 为曲线C 上任意一点，点()2,0N ，是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22（2）直线l 存在，其方程为1x =，定值为2.【解析】（1）利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程，由题意可得直线MN 的方程为1y x =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON △的面积；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，并设点()00,P x y ，求出以PN 为直径的圆的方程，将x a =代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得，曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等， 所以曲线C 的方程为：24y x =.过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，则124y y +=，124y y ⋅=-，则1212MAN S y y =-==△；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设点()00,P x y ， 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=， 将直线x a =代入，得()()20020y y y a a x -+--=，则()()()()2000424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y ， 则340y y y +=，()()3402y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数2()ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间.[,](,)m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()'g x ，分类讨论()'g x 的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】（1）2()ln 2f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x'-++=+-=，令()0f x '=，得112x =，212x -=（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）2()ln 2cos g x x x x x =+--，当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 因为1()22f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)1cos10g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭， 所以存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10g x =.当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又22102g πππ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为(1)1cos10g =->，所以()0>g x ，故不存在零点.当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，1(2)24sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=. 当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2ln 0224g ππππ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，(2)ln 2cos 20g =->，(3)ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一2(2,3)x ∈，使得()20g x =.当[3,)x ∈+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，0(2,3)x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．第 1 页 共 6 页 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。

姓名，年级：时间：南昌二中2020届高三校测(一）文科数学试卷命 题：高三数学备课组第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合}10|{≤<∈=x R x A ，B={-1，0,1｝，则=⋂B A C U )( A ．{}1- B ．{1} C ．{1,0}- D ．{0,1} 2．若复数2i z =-,i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4- 3．已知实数.a b ，则“2ab ≥"是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=,则ω的最小值为A ．32B ．2C ．52D ．35．已知数列}{n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =A ．35B ．33C ．31D ．29 6．已知向量(3,0)a =,(,2)b x =-，且(2)a a b ⊥-，则a b =A ．23-B ．23C ．32-D ．327．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧,大僧三个更无争。

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”。

如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．358．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60， 另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后,重新求得 样本的平均数为x ,方差为2s ，则A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点,O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是 A ．3B ．1C ．12D ．3411．已知1F ，2F 分别是双曲线C :22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为 A ．7B ．8C ．63+D ．233+12．若函数()()1,{21,x x e x af x x x a-+⋅≤=-->有最大值，则实数a 的取值范围是A ．211,22e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭B ．21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)2-+∞ D ．2112,22e ⎛⎤--- ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直，则a =_____． 14．如图在平行四边形ABCD 中,AB=4，AD=3，E 为边CD 的中点,13DF DA =,若4AE BF ⋅=-则cos DAB ∠= 。

江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 复数，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A．0B．2C．6D．30(★★) 5. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形(★★) 6. 在数列中，，，且，则（）A．9B．11C．13D．15(★★★) 7. 已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（）A．80B．40C．D．(★★) 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（）A．3B．C．7D．(★★) 9. 在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）A．B．C．D．(★★) 11. 设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（）A．3B．C．5D．(★★★★) 12. 若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（）（提示：）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 已知函数，若，则___________．(★★) 14. 辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.(★★★) 15. 在数列中，，且，则数列的前项和为______.(用含的式子表示)三、双空题(★★★) 16. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是______；若直线过点，则______.四、解答题(★★★) 17. 在△ 中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求；（2）若，为的角平分线，在上，且，求.(★★) 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积( 为坐标原点).(★★★) 19. 在三棱锥中，平面，为的中点，且.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.(★★★) 20. 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第次射击的得分.（1）若，记乙的累计得分为，求的概率.（2）①求数学期望，，；②记，，，….证明：数列为等比数列.(★★★) 21. 已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）若，，求的极小值的值域.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线的参数方程为 ( 为参数).（1）求曲线，的普通方程；（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.(★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.。

江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理第I 卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合4{log 1}M x x =<，{2}M N =，则集合N 可以是（）A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}2.若复数z 的其共轭复数z 满⾜i iz311+=+，则复数z 为（） A.i 42-- B. i42+- C. i 44- D. i 44+3. “数摺聚清风，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出⼊怀袖，扇⾯书画，扇⾻雕琢，是⽂⼈雅⼠的宠物，所以⼜有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的⽰意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取⼀点，则此点取⾃扇⾯（扇环）部分的概率是（）A ．14B ．12C ．58D ．434．设52-=a ，5log 2b =，8log 5c =,则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥??+≥??-≥?表⽰的平⾯区域内，则22m n +的最⼩值为（）A.25105 C.49 D.23 6. 函数()()2cos ln1xf x x x=+-的部分图象⼤致为（）A.B.C.D.7. 明代数学家程⼤位（1533~1606年），有感于当时筹算⽅法的不便，⽤其毕⽣⼼⾎写出《算法统宗》，可谓集成计算的⿐祖．如图所⽰的程序框图的算法思路源于其著作中的“李⽩沽酒”问题．执⾏该程序框图，若输出的y 的值为2，则输⼊的x 的值为（） A ..74 B. 5627 C. 2 D. 164818.=?-=?==?AC AB BE AD AC E DC BD AC AB ABC ，则4的中点，若是2中，,,( )A. 0B. 2C. 4D. 89. 已知数列{}n a 为等差数列, n S 是其前n 项和, 255,35==a S .数列?+11n n a a 的前n项和为n T ,若对⼀切*∈n N 都有n T m >+12恒成⽴,则m 能取到的最⼩整数为( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 210. 在棱长为2的正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 是正⽅形11BB C C 的中⼼，M 为11C D 的中点，过1A M 的平⾯α与直线DE 垂直,则平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯⾯积为（） A.24 B. 26 C.52D. 10211.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离⼼率的取值范围是A ． (30,] B ．（3,1]C ．(32,] D ．（2,1]12.已知函数()??≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,，⽅程()a x f =恰有两个不同的实数根)(,2121x x x x <,则221x x +的最⼩值与最⼤值的和( )A. e +2B. 2C. 36-+eD. 34-+e第II 卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 宣传费⽤x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 45 24 a 50根据上表可得回归⽅程?9.6 2.9y x =+a 为．14．定义在R 上的函数)(x f 满⾜对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+.设2x x x f x g ++=sin )()(，若202010=)(g ，则=-)(10g ．15. 已知22024a x dx π=-?，若2020(1)-=ax 220200122020()++++∈b b x b x b x x R ，则20201222020222+++b b b 的值为______. 16.⾼三年级毕业成⼈礼活动中，要求A,B,C 三个班级各出三⼈，组成33?⼩⽅阵，则来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率为 .三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答. (⼀)必考题：共60分.17. （本⼩题满分12分）如图，在ABC ?中，点P 在边BC 上， .4,2,3=+==PC AC AP C π. (1) 求APB ∠的⼤⼩；(2)若25的⾯积为ABC ?，求PAB ∠sin 的值.18. （本⼩题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧⾯PAD 为等边三⾓形且垂直于底⾯ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平⾯PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底⾯ABCD 所成⾓为o 45，求⼆⾯⾓M AB D --的余弦值．19. （本⼩题满分12分）已知点F 1，F 2为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，F 1，F 2都在圆E ：22302yx y +--=上，椭圆C 和圆E 在第⼀象限相交于点P ，且线段PF 1为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为M ，N ，过定点Q 的直线l: x ＝ty ﹣2（t +1）与椭圆C 分别交于点A ，B ，且点A ，B 位于第⼀象限，点A 在线段BQ 上，直线OQ 与NA 交于点C ．记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2．求证：k 1k 2为定值．20. （本⼩题满分12分） 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公⽄，第三代杂交⽔稻的综合优势可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯，创建⼀个新产品，已知该产品的质量以某项指标值([70,100])k k ∈为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k产品等级废品合格良好优秀良好机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值k 的频率分布直⽅图（如图）．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中利⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，并采集相关数据进⾏分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的分布列及数学期望；（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中⾄少有1件为合格或合格以上等级”为事件A ，求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如表所⽰(14):t << 质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k利润y （元) t e -t 2t 4t 3tt 考数值：20.7ln ≈，3 1.1ln ≈，5 1.6)ln ≈．21. （本⼩题满分12分）已知函数()ln f x kx x =-，()k R ∈(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个零点1212,()x x x x <证明：ek x e x ->(⼆)选考题：共10分请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答.如果多做，则按所做的第⼀题计分.选修4-4：坐标系与参数⽅程 22．（本⼩题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，曲线C 的直⾓坐标⽅程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴，建⽴极坐标系，直线l 的极坐标系⽅程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标⽅程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23. （本⼩题满分10分）已知函数21++-=x a x x f )((1) 当1=a 时，求不等式4≤)(x f 的解集；(2)当1-南昌⼆中 2020 届⾼三校测(三)数学(理)试卷参考答案C AD A A A C D B B C C27a = -1820 -11140⼩题详解：10. 【解析】由如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平⾯1A MCN 即为平⾯α．证明如下：由正⽅体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共⾯，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平⾯DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平⾯1A MCN ，所以平⾯1A MCN 即平⾯α，且四边形1A MCN 即平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯．因为正⽅体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对⾓线123AC =，22MN =，所以其⾯积1S ==. 11.【解析】b a >，所以离⼼率212c b e a a ??==+>，圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆⼼，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，⽽焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2ba≤，所以213c b e a a ??==+≤，所以双曲线M 的离⼼率的取值范围是(2,3]．12. 【解析】函数()≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,的图像为：则[](],ln ,,,,2213211且02x x e e x x =-∈-∈-所以(]e e x x x x x ,,ln 32222211-∈+-=+ 令()(]()x x x x g e e x x x x g 111则13-=+-=∈+-=-/,,,ln ,所以()()()()33421--+====e e g x g g x g max min ,，选C.15. 【解析】由积分的⼏何意义知221(2)24a ππ==，220200122020(12)-=++++x b b x b x b x 中，01b =，令12x =，则2020120220200222++++=b b b b ，∴202012220201222+++=-b b b ． bTFO16. 【解析】⾸先，第⼀⾏队伍的排法有33A 种；第⼆⾏队伍的排法有2种；第三⾏队伍的排法有1种；然后，第⼀⾏的每个位置的⼈员安排有111333C C C 种；第⼆⾏的每个位置的⼈员安排有111222C C C 种；第三⾏的每个位置的⼈员安排有111??种.所以来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ==. 17. 【解析】（1）32π（6分）（2）38573（12分）18. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=?得BC ∥AD ，⼜12BC AD =，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平⾏四边形，CE ∥BF ．⼜BF ?平⾯PAB ，CE ?平⾯PAB ，故CE ∥平⾯PAB ．（5分）（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的⽅向为x 轴正⽅向，AB 为单位长，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，(1,0,3)PC =-，(1,0,0)AB =，设()(),,01M x y z x <<，则()1,,,(,1,3)BM x y z PM x y z =-=--，因为BM 与底⾯ABCD 所成的⾓为45°，⽽()0,0,1=n 是底⾯ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM =?n ，()21zx y z =-++，即()22210x y z -+-=．①⼜M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则 ,1,33x y z λλ===-．②由①②解得21216x y z ?=+==-??(舍去)，21216x y z ?=-?=??=．所以26(1,1,)2M -，从⽽26(1,1,)2AM =-．（9分）设()000,,x y z =m 是平⾯ABM 的法向量，则0,0,AM AB ??=?? =m m 即0000(22)260,0,x y z x ?-++=??=?? 所以可取(0,6,2)=-m ．于是 10cos ,?==m n m n m n ，因此⼆⾯⾓M AB D --（12分）19. 【解析】（1）在圆E 中，令y ＝0可得x ＝3±，所以由题意可得c ＝3，由圆的⽅程可得圆的半径为47，所以由题意可得|PF 1|＝27，连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2，⼜有|F 1F 2|＝2c ＝23，则|PF 2|＝,211244922121=-=-F F PF 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝1，所以椭圆的⽅程为：42x +y2＝1；（4分）（2）Q （﹣2，2），设A （x ，y ），B （x '，y '），直线l 的⽅程：x ＝ty ﹣2（t +1），联⽴椭圆的⽅程整理得：（4+t 2）y 2﹣4t （t +1）y +4t （t +2）＝0∴038,0<<->?t ，y +y '＝2414t t t ++)(，yy '＝2424t t t ++)(，（6分）设点C （﹣c ，c ），由A ，C ，N 三点共线点：22-=--x yc c ，所以c ＝22-+-y x y ，（8分）则k 1k 2＝()()()()()22222222222222////////-+--=-++-=+-+-+-?+=+-?+y t y t yy y x x yy y x y y x yx y c c x y()()[]422++-+-=///y y yy t t yy ＝??+++-++?+++-441424242424222t t t t t t t t t t t )()()()(＝41-，所以k 1k 2为定值41-．（12分） 20. 【解析】（1）由频率分布直⽅图得指标值不⼩于85的产品中，[85k ∈，90)的频率为0.0850.4?=， [90k ∈，95)的频率为0.0450.2?=，[95k ∈，100]的频率为0.0250.1?=，∴利⽤分层抽样抽取的7件产品中，[85k ∈，90)的有4件，[90k ∈，95)的有2件，[95k ∈，100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的所有可能取值为0，1，2，(0)7C P X C ===，1225374(1)7C C P X C ===，2125371(2)7C C P X C ===，（4分）()0127777E X =?+?+?=．（5分）（2）设事件A 的合格率为P （A ），则根据概率分布直⽅图得：⼀件产品为合格或合格以上等级的概率为1(0.040.02)50.7p =-+?=，∴事件A 发⽣的概率P （A ）973030703 33...=??=C ．（7分）（3）由频率分布直⽅图可得该产品的质量指标值k 与利润y （元)的关系与表所⽰(14)t <<，0.30.40.30.40.150.3 1.25t t y e t t t t e t =-++++=-+，(14)t <<，则0.3 1.25t y e '=-+，令0.3 1.250t y e '=-+=，解得256t ln =，∴当25(1,)6t ln ∈时，0y '>，函数0.3 1.25t y e =-+单调递增，当25(6t ln ∈，4)时，0y '<，函数0.3 1.25t y e t =-+，单调递减，（10分）∴当256t ln =时，y 取最⼤值2562532550.3 1.25(2523)0.561064ln e ln ln ln ln -+?=-?+?--=，∴⽣产该产品能够实现盈利，当251.46t ln ==时，每件产品的利润取得最⼤值为0.5元．（12分）21. 【解析】（Ⅰ）由题设可得定义域()0,x ∈+∞，()11kx f x k x x-'=-= 01当0k ≤，()1<恒成⽴，()f x 在()0,+∞上单调递减； 02当0k >，()11k x k f x k x x -'=-=， 10,x k ??∈，()0f x '<，故()f x 在10,k ??单调递减；1,x k ??∈+∞ ，()0f x '>，故()f x 在1,k ??+∞单调递增.（5分）（Ⅱ）⽅法⼀：()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则ln xk x=有两解，令()ln x g x x =，()21ln xg x x-'=， ()()()()0,e ,0,e,,0x g x x g x ''∈>∈+∞<，则()()max 1g x g e e==，()()120,,,x e x e ∈∈+∞，（7分）由题意可得，11ln 0..........(1)kx x -=22ln 0. (2)kx x -=1221211ln ln 1ln 1ln ek x e x x ek x ek x x -∴>?->-?+->⼜()()120,,,x e x e ∈∈+∞, 所以1ln 1,x <故121ek x e x ->转化为：只需证明2ln 11x ek +->,设()22ln 1F x x ek =+-（9分）由(2)式可得22ln x k x =，()22222ln ln 1ln 1x F x x ek x e x =+-=+-； ()2222221ln (1ln )1x x e x F x e x x x -+-'=+=，()()()22221ln ,x ,x x e x e ?=+-∈+∞， ()2210ex x ?'=->，(),x e ∈+∞恒成⽴，()()20,x e e ??∴>=>∴()20F x '>，故()F x 在(),e +∞上单调递增，()()211ln F x F e x >=>，即2212ln ln 1ln x x e x x +->，整理可得121ek xe x ->.（12分）⽅法⼆：由（1）知，()f x 有两个零点12,x x ，则0k >且1()1ln 0f k k=+<，得10k e<<，则1e k >，12x x <21x e k∴>>，⼜11ek e e k <<，（7分）且()()0ek ek ekf e ke ek k e e =-=-<，⼜1()0f x =，即1()()ekf e f x <，⼜()f x 在1(0,)k上单调递减，（9分）111(0,),(0,)ek e x k k ∈∈10ek x e ∴<<，⼜2x e >，121ek ek x ee x e-∴>=，所以原命题成⽴.（12分）22. 【解析】（1）将22(1)(1)3x y -++=改为222210x y x y +-+-=，化为极坐标⽅程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（4分）（2）将3θ=代⼊22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，（6分）以为211)480?=+=->，所以⽅程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C相交，公共弦的长为12ρρ-==（10分）23. 【解析】(1)当1=a 时，21++-=x x x f )(-≤--<<-≥+=212123112x x x x x ,,,（2分）令4≤)(x f ，解得2325-≤≤x ，即解集为：??∈23，25-x （5分）(2)当1-≥-++<<-++-≤-++=1121121212-21）1（-x a x a x a x a x a x a x f ),()(,)(),()(，（7分）)(x f 的图像与x 轴围城的三⾓形⾯积等于6，2-=∴a （10分）。

江西省南昌二中2020届高三数学第四次考试卷理科考试时间：120分钟 试卷满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率p n (k )=C kn P k (1―P )n ―k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题甲：“,,a b c 成等差数列”是命题乙：“2a c b b+=”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．的椭圆称为“优美椭圆”．设22221y x a b +=(a ＞b ＞0)为“优美椭圆”F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°3.设a>0，b>0，a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，则x 1+x 2与y 1+y 2的大小关系是（ ）A.x 1+x 2≤y 1+y 2B.x 1+x 2≥y 1+y 2C.x 1+x 2<y 1+y 2D.x 1+x 2>y 1+y 24．设5)(lim 1=→x f x ，而⎩⎨⎧>+≤-=)1(,4)1(,2)(2x bx x ax x f 则直线0=++c by ax 的斜率是 ( ) A ．7arctan B ．7tan arcc C ．)7arctan(- D ．)7tan(-arcc5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．566．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为（ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在7.设),(a -∞为221)(--=x x x f 反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( ) A. 2≤a B. 2≥a C. 2-≤a D. 2-≥a８．设x x x f sin )(=,若1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >， 则下列不等式必定成立的是（ ）A ．2221x x >B ．021>+x xC ．21x x >D ．21x x <９．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ． 6种B ．5种C ．4种D ．3种10．一个动圆圆心在x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（ ）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，－2）11. 锐角△ABC 中，若A=2B ，则ba 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（1，3 ） C ．（2,2 ） D ．（,23 ）12．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x, y, 5, 6, 4，已知这组数据的平均数为5，方差为2，则||x y -的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分．把答案填在题中横线上．1３．已知向量k 与且),5,(),0,2(==的夹角为π43，则实数k 的值为 ．14．设命题P ：不等式a x x >++1的解集为R ；Q ：方程01612=++ax x 有两个不等负实根；，若P 或Q 为真，P 且Q 为假，则实数a 的取值范围为__________．15. 设n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++Λ,则=++++n a a a a 2420Λ .16．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列21，41，81，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知函数x x x f cos 26sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=π. （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，求函数)(x f 的值域. ； （3）求函数)(x f y =的对称中心．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）对于点集A={(x ，y)|x=m,y=－3m+2，m ∈N *},B={(x,y)|x=n,y=a(n 2－n+1),n ∈N *}，是否存在这样的非零整数a ，使A ∩B ≠φ？若存在，求出a 的值集，若不存在说明理由．20．（本小题满分12分）已知当x ≥1时，不等式x ln x ≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，n n a a a S +++=Λ21，并有n S 满足2)(1a a n S n n -=． （1）求a 的值；（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）令2112+++++=n n n n n S S S S p ，n T 是数列{}n p 的前n 项和，求证：23n T n -<．在y 轴的负半轴上任取一点A (0,m),过点A 作抛物线2y ax = (0)a >的切线，切点为C ，交X 轴于点B,F 为抛物线的焦点．(1)证明点B 为线段AC 的中点； (2)是否存在实数FAFC AC λμλμ⋅u u u r u u u u r u u u r 、使得（＋）＝0.[参考答案]一、选择题：ACBCC ACCBB DD二、填空题：13.-5; 14. 21≤a 或1≥a ；15．);13(21+n ；16.n ⎪⎭⎫ ⎝⎛81. 三、解答题17．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ， x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.（3）由ππk x =-6，得ππk x +=6，所以对称中心为)0,6(ππk +（k )Z ∈. 18．解：（1）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．1)0(==∴ξP ，4)1(==ξP ，2)2(==ξP ．则随机变量ξ的分布列为： 因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 19．解：由⎩⎨⎧+-=+-=)1(232x x a y x y 02)3(2=+-+⇒x a ax 09230)2(4)3(22≤--⇒≥---=∆⇒a a a a a,37213721+≤≤-⇒a 又,+∈N a 1-=∴a ，或1=a ,或.2=a 当1-=a 时,1=x +∈N 或3=x +∈N , 当1=a 时,,21+∉±=N x当2=a 时,+∉=N x 0 或+∉-=N x 21，.1-=∴a 20．解：设[).,1),1(ln )(+∞∈--=x x k x x x f 当.1ln )(,),1(k x x f x -+='+∞∈时（i ）当k ≤1时，[)+∞>',1)(,0)(在函数x f x f 单调递增.因为f (1) = 0，所以当x ≥1时，f (x )≥0，即x ln x ≥k (x －1)（ii ）当k ＞1时，由f ′(x ) = 0，得ln x = k －1，即x = e k －1.当111,0)1(,)(,0)(,),1(--<<=<'∈k k e x f x f x f ex 则且单调递减时时，f (x )<0，即)1(ln -<x k x x ，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(].1,∞-21. 解：（1）021111=-==a a a S ，即0=a （2）()2111----=-=n n n n n a n na S S a 121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 112233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=Λ ∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜14．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．159．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝二、填空题13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝；该段曲线的函数解析式是．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为．三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B【分析】先求出集合A，从而找出正确选项．解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}∴A∩B＝{x|x≥2}＝B．故选：C．2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i【分析】把z1＝6﹣8i，z2＝﹣i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴＝．故选：B．3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）【分析】题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选：C．5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x＝1时log a（x+c）＝log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x＝0时log a（x+c）＝log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．6．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25＝17．故选：B．9．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，0），此时z max＝3×2+2×0＝6，故选：C．10．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．解：设直线l的方程为y＝x+t，代入+y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4×≤．故选：C．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【分析】由条件可设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），由向量的坐标表示可得C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，运用最大值为d+r，最小值为d﹣r，计算可得所求．解：平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2，由•＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）•（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝20；该段曲线的函数解析式是y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．．【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（10，20）求出φ，得到函数的解析式．解：由题意以及函数的图象可知，A＝10，b＝20，T＝2（14﹣6）＝16，所以ω＝＝，函数经过（10，20）所以20＝10sin（×10+φ）+20，所以φ＝，所以函数的解析式：y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：20；y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是{a|a＜﹣1}．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．解：∵y＝e x+ax，∴y'＝e x+a．由题意知e x+a＝0有大于0的实根，由e x＝﹣a，得a＝﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故答案为：{a|a＜﹣1}．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则两式相减得+＝0．∵x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴x1﹣x2+2（y1﹣y2）＝0，x+2y﹣3＝0故答案为：x+2y﹣3＝0．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为﹣．【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以+＝2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解∵圆心O是直径AB的中点，∴+＝2，∴（+）•＝2•，∵||+||＝3≥2，∴||•||≤，即（+）•＝2•＝﹣2||•||≥﹣，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可求得函数解析式；（2）用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期上的图象．解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2．又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2，同时2×+φ＝2kπ+，k∈Z，φ＝2kπ+，k∈Z，因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为x∈[0，π]，所以2x+∈[，]，列表如下：2x+π2πx0πf（x）120﹣201描点、连线得图象：18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，FG∥BC，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，FG⊂平面BCD，∴FG⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG＝F，∴AD⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴AD⊥EG，∵EG∥AC，∴AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝＝＝；（2）X的可能取值为200，300，400，P（X＝200）＝＝＝，P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝1﹣﹣＝；所以X的分布列为：X200300 400P数学期望为EX＝200×+300×+400×＝350．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，则原点到直线的距离为d＝＝c，即为a＝2b，e＝＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|＝，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝．x1x2＝，由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得＝﹣4，解得k＝，从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝＝，解得b2＝3，则有椭圆E的方程为+＝1．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），根据y＝f'（x）的两个零点﹣3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；解：（Ⅰ），令g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c，因为e x＞0，所以y＝f'（x）的零点就是g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又因为a＞0，所以﹣3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x＝﹣3是f（x）的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以．∵f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），∴f（0）＝5为函数f（x）的极大值，∴f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值取f（﹣5）和f（0）中的最大者．而＞5，所以函数f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值是5e5．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线C2：ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．所以该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）首先把x2+y2﹣2x＝0转换为（x﹣1）2+y2＝1，利用点（1，0）到直线的距离d＝，则说明圆心在直线上，所以|AB|＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．解：（I）当p＝2时，不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4∵∴不等式的解集为（II）根据f（x）≥1得|x﹣p|≥1⇒x≤p﹣1或x≥p+1，∵f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），故，所以，∵m＞0，n＞0，∴，当且仅当m＝3，n＝4时取等号，∴m+2n≥11．。

2020年江西省高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤4}2．复数z＝，则||＝（）A．B．C．D．3．已知||＝1，||＝，且（+2）•（﹣）＝﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+3y﹣4的最小值为（）A．0B．2C．6D．305．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．在数列{a n}中，a2＝3，a3＝5，且a n+2＝2a n+1﹣a n，则a6＝（）A．9B．11C．13D．157．已知（a+b）2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则（2x﹣1）n展开式中x3的系数为（）A．80B．40C．﹣40D．﹣808．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x ＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣79．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝4sin（3x﹣）的定义域为[n，m]，值域为[﹣4，2]，则m﹣n的最大值是（）A．πB．C．D．11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点Q（0，b）．已知点P在双曲线C的左支上，且P，Q，F不共线，若△PQF的周长的最小值是8a，则双曲线C 的离心率是（）A．3B．C．5D．12．若对任意的x∈R，都存在x0∈[ln2，2]，使不等式+4x+m≥0成立，则整数m的最小值为（）（提示：ln2≈0.693）A．3B．4C．5D．6二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数f（x）＝log2（x+1）+3，若f（a+2）＝5，则a＝．14．辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为．15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M（0，4），则抛物线C的方程是；若直线l过点F，则k＝．16．在数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝3a n+（﹣1）n，则数列{a n}的前2n项和为．（用含n的式子表示）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若c＝6，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且AD＝，求b．18．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C的右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（2，0），且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积（O为坐标原点）．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E为AC的中点，且AC＝2BE．（1）证明：BC⊥平面PAB．（2）若PA＝AB＝BE，求二面角A﹣PB﹣E的余弦值．20．某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会．甲、乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n次（射击次数由参与比赛的两人决定），其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”．比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束．已知甲、乙每次击中气球的概率均为．记X i，Y i（i＝1，2，3，…，n）分别表示甲、乙第i次射击的得分．（1）若n＝3，记乙的累计得分为Y，求Y＞3的概率．（2）①求数学期望EX1，EY1，EX2；②记a1＝EX1，a2＝EY1，a3＝EX2，…．证明：数列{a n﹣3}为等比数列．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论f（x）的零点个数；（2）若g（x）＝e x﹣a﹣xlnx+（1﹣a）x，a∈（1，e﹣1]，求g（x）的极小值h（a）的值域．（二）选考题[选修4-4，坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（m为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）已知点M（2，1），若曲线C1，C2交于A，B两点，求||MA|﹣|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，且实数a，b满足a2+b2＝2m，求3a+4b的最大值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|x＜2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|x≤4}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：因为A＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x＜2}，所以A∩B＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝，则||＝（）A．B．C．D．【分析】结合复数的基本运算进行化简，然后结合模长公式即可求解．解：因为，所以，则．故选：D．3．已知||＝1，||＝，且（+2）•（﹣）＝﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由（+2）•（﹣）＝﹣和已知条件算出•，再由夹角公式易求向量与的夹角．解：因为，所以．因为，，所以，则，由于向量夹角在[0，π]，则向量与的夹角为．故选：A．4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+3y﹣4的最小值为（）A．0B．2C．6D．30【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z＝x+3y﹣4得y＝﹣x+，根据平移直线确定目标函数的最小值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+3y﹣4得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，⇒B（3，1）；代入z＝x+3y﹣4得z的最小值为2．故选：B．5．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．解：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C．6．在数列{a n}中，a2＝3，a3＝5，且a n+2＝2a n+1﹣a n，则a6＝（）A．9B．11C．13D．15【分析】利用数列的递推关系式推出数列是等差数列，求出公差，然后求解a6即可．解：因为a n+2＝2a n+1﹣a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，所以数列{a n}是等差数列．因为a2＝3，a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以a6＝a1+5d＝11．故选：B．7．已知（a+b）2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则（2x﹣1）n展开式中x3的系数为（）A．80B．40C．﹣40D．﹣80【分析】根据题意写出通项公式，列方程求得n的值，继而可写出2x﹣1）n展开式中x3的系数．解：（a+b）2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以＝，由题意可得3+7＝2n，解得n＝5，则（2x﹣1）5的展开式中x3的系数为．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x ＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【分析】由已知结合函数的对称性可得f（x+2）＝f（﹣x+2），从而可把f（5）转化到已知区间上，代入可求．解：由题意可得f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（5）＝f（3+2）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（23﹣1）＝﹣7．故选：D．9．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A．B．C．D．【分析】由于四面体ABCD对棱相等，所以补成一个长方体，取AB的中点G，根据GF ∥AC，在三角形GEF中计算角的大小即可．解：如图，把四面体ABCD补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF．因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，，同理GE∥BD，．因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则，即异面直线EF与AC所成的角为，故选：B．10．已知函数f（x）＝4sin（3x﹣）的定义域为[n，m]，值域为[﹣4，2]，则m﹣n的最大值是（）A．πB．C．D．【分析】根据f（x）的值域求出x的范围，再由f（x）的定义域为[n，m]，求出m﹣n 的最大值．解：∵，∴，∴满足条件的的最大范围是，解得，故m﹣n的最大值是．故选：C．11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点Q（0，b）．已知点P在双曲线C的左支上，且P，Q，F不共线，若△PQF的周长的最小值是8a，则双曲线C 的离心率是（）A．3B．C．5D．【分析】求出双曲线的右焦点坐标，利用已知条件推出a的表达式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线的右焦点为F（c，0），F′为双曲线的左焦点，点Q（0，b），P为双曲线左支上的动点，且△PQF周长的最小值为8a，|QF|＝．因为P在双曲线上，所以|PF|＝2a+|PF′|，则|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PF′|+2a≥|QF′|+2a＝2a+，因为Q（0，b），F（c，0），△PQF周长的最小值为8a，则2＝6a，c2＝5a2，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：D．12．若对任意的x∈R，都存在x0∈[ln2，2]，使不等式+4x+m≥0成立，则整数m的最小值为（）（提示：ln2≈0.693）A．3B．4C．5D．6【分析】设，由题意在x0∈[ln2，2]上有解，即在x0∈[ln2，2]上有解．设g（x）＝x2+2x﹣e x﹣m+4，利用导数可得g'（x）在[ln2，2]上单调递减．得到∃x1∈（ln2，2），g'（x1）＝0，可得g（x）在[ln2，x1）上单调递增，在（x1，2]上单调递减．结合g（2）﹣g（ln2）＝10﹣e2﹣（ln2）2﹣2ln2＞0，问题转化为g（ln2）≤0，得到m≥（ln2）2+2ln2+2，由此可得m的最小值是4．解：设，由题意可知f（x）≥0对x∈R恒成立，则在x0∈[ln2，2]上有解，即在x0∈[ln2，2]上有解．设g（x）＝x2+2x﹣e x﹣m+4，∴h（x）＝g'（x）＝2x﹣e x+2，则h'（x）＝2﹣e x，∵x∈[ln2，2]，∴h'（x）≤h'（ln2）＝2﹣e ln2＝0，则g'（x）在[ln2，2]上单调递减．∵g'（ln2）＝2ln2＞0，g'（2）＝6﹣e2＜0，∴∃x1∈（ln2，2），g'（x1）＝0，则g（x）在[ln2，x1）上单调递增，在（x1，2]上单调递减．∵g（ln2）＝（ln2）2+2ln2+2﹣m，g（2）＝12﹣e2﹣m，∴g（2）﹣g（ln2）＝10﹣e2﹣（ln2）2﹣2ln2＞0，则g（ln2）≤0，即（ln2）2+2ln2+2﹣m≤0，故m≥（ln2）2+2ln2+2，∵m∈Z，∴m的最小值是4．故选：B．二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数f（x）＝log2（x+1）+3，若f（a+2）＝5，则a＝1．【分析】直接把变量代入解析式即可求解．解：由题意可得f（a+2）＝log2（a+3）+3＝5，解得a＝1．故答案为：1．14．辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为．【分析】基本事件总数n＝，这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m＝，由此能求出这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率．解：六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，基本事件总数n＝，这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m＝，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为：．故答案为：．15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M（0，4），则抛物线C的方程是x2＝4y；若直线l过点F，则k＝．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的性质结合|MA|＝|MB|，转化求解抛物线方程；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义，，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p＝6，即y1+y2＝6﹣p．因为点M（0，4）在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则．因为，，所以（y1﹣y2）（y1+y2+2p﹣8）＝0，因为y1≠y2，所以y1+y2＝8﹣2p，则8﹣2p＝6﹣p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y．因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx+1，联立，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，从而，因为y1+y2＝6﹣p＝4，所以4k2+2＝4，解得．故答案为：x2＝4y；．16．在数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝3a n+（﹣1）n，则数列{a n}的前2n项和为．（用含n的式子表示）【分析】通过，推出数列是首项为，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后推出a2n﹣1+a2n的表达式，即可求解数列的和．解：因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，则，故．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若c＝6，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且AD＝，求b．【分析】（1）由4c＝b+4a cos B，根据正弦定理即可求出，进而可求出；（2）可设A＝2θ，从而根据题意可求出，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式即可求出b的值．解：（1）∵4c＝b+4a cos B，∴4sin C＝sin B+4sin A cos B，∴4sin（A+B）＝sin B+4sin A cos B，∴4cos A sin B＝sin B．∵sin B≠0，∴，故；（2）设A＝2θ，则，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝θ，∵，∴，则，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴，即，解得b＝3．18．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C的右顶点到直线x﹣y+＝0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（2，0），且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【分析】（1）通过椭圆C的右顶点到直线的距离为3，求出a，结合离心率求出c，然后求解b，得到椭圆方程．（2）由题意可知直线l的方程为x＝2y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得2y2+2y﹣1＝0，通过韦达定理以及弦长公式，转化求解三角形的面积即可．解：（1）因为椭圆C的右顶点到直线的距离为3，所以，解得．因为椭圆C的离心率为，所以，所以，所以．故椭圆C的方程为．（2）由题意可知直线l的方程为x＝2y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得2y2+2y﹣1＝0，则y1+y2＝﹣1，，从而．故△OAB的面积．19．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E为AC的中点，且AC＝2BE．（1）证明：BC⊥平面PAB．（2）若PA＝AB＝BE，求二面角A﹣PB﹣E的余弦值．【分析】（1）推导出AE＝BE＝CE，从而∠BAE＝∠ABE，∠BCE＝∠CBE，进而AB ⊥BC．PA⊥BC．由此能证明BC⊥平面PAB．（2）以B为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，过点P作平行于PA的直线为之轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣E的余弦值．解：（1）证明：因为E为AC的中点，且AC＝2BE，所以AE＝BE＝CE，所以∠BAE＝∠ABE，∠BCE＝∠CBE，所以∠BAE+∠BCE＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC．因为∠BAE+∠BCE+∠ABC＝180°，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB．（2）解：由（1）可知AB，BC，PA两两垂直，则可以以B为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，过点P作平行于PA的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．设PA＝2，则B（0，0，0），，P（0，2，2），故，．设平面PBE的法向量，则，不妨设x＝1，则．因为BC⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为，所以．设二面角A﹣PB﹣E为θ，由图可知θ为锐角，则二面角A﹣PB﹣E的余弦值为．20．某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会．甲、乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n次（射击次数由参与比赛的两人决定），其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”．比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束．已知甲、乙每次击中气球的概率均为．记X i，Y i（i＝1，2，3，…，n）分别表示甲、乙第i次射击的得分．（1）若n＝3，记乙的累计得分为Y，求Y＞3的概率．（2）①求数学期望EX1，EY1，EX2；②记a1＝EX1，a2＝EY1，a3＝EX2，…．证明：数列{a n﹣3}为等比数列．【分析】（1）由题意可知Y≥3，且每次射击得分为（1分）的概率均为，利用独立重复实验以及对立事件的概率求解即可．（2）①由题意可得X1的可能取值为1，2．求出概率得到分布列然后求解期望；Y1的可能取值为1，2，3．求出概率，得到分布列，求解期望；X2的可能取值为1，2，3，4．求解概率，得到分布列，然后求解期望；②由题意推出．然后转化判断数列{a n﹣3}是首项为，公比为的等比数列．解：（1）由题意可知Y≥3，且每次射击得分为（1分）的概率均为，则，故．（2）①由题意可得X1的可能取值为1，2.，．则甲第一次得分X1的分布列为X112P故．由题意可得Y1的可能取值为1，2，3.；；．则乙第一次得分Y1的分布列为Y1123P故．由题意可得X2的可能取值为1，2，3，4.；；；．则甲第二次得分X2的分布列为X21234P故．②由题意可知．则，即．因为，所以数列{a n﹣3}是首项为，公比为的等比数列．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论f（x）的零点个数；（2）若g（x）＝e x﹣a﹣xlnx+（1﹣a）x，a∈（1，e﹣1]，求g（x）的极小值h（a）的值域．【分析】（1）求出，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．（2）通过g（x）＝e x﹣a﹣xlnx+（1﹣a）x，求出g'（x）＝e x﹣a﹣lnx﹣a＝e x﹣a﹣x+x﹣lnx ﹣a．通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．解：（1）因为f（x）＝x﹣lnx﹣a，所以，则当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a．①当a＜1时，f（x）无零点；②当a＝1时，f（x）有一个零点；③当a＞1时，因为f（e a）＝e a﹣2a＞0，，f（1）＝1﹣a＜0，所以f（x）有两个零点．（2）因为g（x）＝e x﹣a﹣xlnx+（1﹣a）x，所以g'（x）＝e x﹣a﹣lnx﹣a＝e x﹣a﹣x+x﹣lnx﹣a．由（1）可知当a∈（1，e﹣1]时，f（x）有两个零点x1，x2（不妨设x1＜x2），同时x1，x2也是F（x）＝e x﹣a﹣x的两个零点，且在定义域内f（x）与F（x）的符号完全相同，所以g（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，所以g（x）的极小值为．因为x2满足，所以a＝x2﹣lnx2，则．因为a＝x2﹣lnx2∈（1，e﹣1]，所以x2∈（1，e]，所以．（二）选考题[选修4-4，坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（m为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）已知点M（2，1），若曲线C1，C2交于A，B两点，求||MA|﹣|MB||的值．【分析】（1）根据曲线C1和C2的参数方程，消去参数即可得到其普通方程；（2）先求出曲线C1的标准参数方程，然后将方程代入曲线C2中，由根与系数的关系得到t1+t2和t1t2，再根据||MA|﹣|MB||＝|t1+t2|求出||MA|﹣|MB||的值．解：（1）由曲线C1的参数方程（t为参数），消去t，得y＝3x﹣5．由曲线C2的参数方程（m为参数），消去m，得y2＝4x+4．（2）曲线C1的标准参数方程为（t为参数），代入y2＝4x+4，整理得，∴，，∵t1+t2＜0，t1t2＜0，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，且实数a，b满足a2+b2＝2m，求3a+4b的最大值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）＜6，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值m，然后由，利用柯西不等式求出3a+4b的最大值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|＝，∵f（x）＜6，∴或或，∴或或2⩽x＜3，∴﹣1＜x＜3，∴不等式的解集为（﹣1，3）．（2）由（1）知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴，∴m＝，∴a2+b2＝2m＝3，∴，当且仅当时取等号，∴3a+4b的最大值为．。

2020年江西省高考数学模拟试卷(理科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={−1,0，1}，B={x|x−x2=0}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. (0,1)D. {0,1}2.已知复数z=4+3i1+i，则|z|=()A. 5√22B. 52C. √10D. 2√53.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ =()A. 12B. √32C. 1D. 24.已知实数x ，y 满足不等式组{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则z=x−y的最大值为()A. −2B. −1C. 1D. 25.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形6.已知数列{a n}满足：a1=−1，a n+1=a n+1，则a100=()A. 100B. 99C. 98D. 977.若(x−1x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A. −462B. 462C. 792D. −7928.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 29.在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π210.若f(x)=2sin(2x+θ)(0<θ≤π)图象关于(π2,0)对称，则f(x)在[−π4,π6]上的最小值是()A. −1B. −12C. −√3 D. −√3211. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(4,0)，点Q(0,−3)，P 为双曲线左支上的动点，且△PQF 周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 43C. 32D. 5212. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ，若存在m ，n ，使得f′(m)=f′(n)=0，且m ∈(0,1e ]，则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC. 4e 2D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 设函数f(x)={x,x ≥1(x −1)2,x <1，则_______，若f(a)=4，则实数a =________14. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为________． 15. 已知抛物线C ：y 2=4x 与点M(0,2)，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则k =______．16. 已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足{a n+1=2a n +b n +c nb n+1=a n +2b n +c n c n+1=a n +b n +2c n，且a 1=8，b 1=4，c 1=0，则数列{na n }的前n 项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，c =3，cosB =14．(1)求b 的值； (2)求sin C 的值； (3)求△ABC 的面积．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√55，且右准线方程为x=5．(1)求椭圆方程；(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．20. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．21. 已知函数f (x )=lnx −ax +2a 2(a >0),g (x )=|f (x )|.(1)当a ∈(0,2)时，求g (x )的最小值；(2)当a ∈(2,+∞)时，证明：函数f (x +2a )的最小零点等于g (x +2a )+x 的极小值点．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =√t −√ty =3(t +1t ),(t 为参数，t >0).求曲线C 的普通方程．23.已知函数f(x)==|x−1|+|x−a|+|x−3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；(2)当a=2时，求函数f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．解方程求出集合B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={−1,0，1}， B ={x|x 2=x}={0,1}， ∴A ∩B ={0,1}． 故选D ．2.答案：A解析：本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键． 根据复数的运算法则，进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可． 解：z =4+3i 1+i =(4+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−i 2=72−12i ，则|z|=√(72)2+(−12)2=√504=5√22， 故选：A ．3.答案：C解析：解：向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=2×1×12=1． 故选：C ．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可． 本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．4.答案：C解析：本题考查二元一次不等式(组)与平面区域，范围与最值问题，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．解：解：作出实数x ，y 满足不等式组{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0对应的平面区域如图：设z =x −y ，得y =x −z 表示，斜率为1纵截距为−z 的一组平行直线，平移直线y =x −z ，当直线y =x −z 经过点A 时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大， {2x +y −2=03x −y −3=0，解得A(1,0) 此时z max =1−0=1． 故选C ．5.答案：C解析：本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项． 解：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形 可以画出五边形但不是正五边形； 故选：C ．6.答案：C解析：本题主要考察数列的递推关系以及等差数列的通项公式，属于基础题．解：∵a n+1=a n+1，∴a n+1−a n=1，所以这是一个公差为1的等差数列，又a1=−1，所以a n=a1+(n−1)·d=−1+(n−1)·1=n−2，所以a100=100−2=98．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．先由条件求得n=12，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n=12，解：(x−1x通项为T r+1=(−1)r C12r x12−2r，令12−2r=2，解得r=5，∴展开式中含x2项的系数是(−1)5C125=−792，故选D．8.答案：A解析：本题考查的是分段函数在函数奇偶性中的运用，结合奇函数图像性质即可求解，属于奇函数概念的简单运用．解：已知f(x)是奇函数，根据奇函数的性质，即f(−1)=−f(1)，，又因为当x>0时，f(x)=x2+1x所以f(1)=2，即f(−1)=−f(1)=−2，故选A．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取BD中点O，连结EF、EO、FO，推导出EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF是异面直线EF与AB所成角，由此能求出异面直线EF与AB所成角的大小．解：取BD中点O，连结EF、EO、FO，∵在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，∴EO=//12AB，FO=//12CD，∴EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF是异面直线EF与AB所成角，∵EO=FO，且EO⊥FO，∴∠OEF=π4，∴异面直线EF与AB所成角的大小为π4．故选：B．10.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．求出函数的解析式以及利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解：函数f(x)=2sin(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π2,0)对称，∴2×π2+θ=kπ，k∈Z，则θ=−π+kπ，k∈Z，∵0<θ≤π，∴θ=π，∴f(x)=−2sin2x∵−π4≤x≤π6，∴−π2≤2x≤π3，，，∴f(x)最小值为−√3，此时2x=π3即x=π6，。

2020年江西省南昌二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则下列结论正确的是A. B. C. D.2.已知复数，，则A. B. C. D.3.已知命题若，则a2，下列说法正确的是A. 命题p是真命题B. 命题p的逆命题是真命题C. 命题p的否命题是“若，则a2”D. 命题p的逆否命题是“若a2，则”4.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是A. B.C. D.5.已知函数c为常数，其中，的图象如图所示，则下列结论成立的是A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B.C. D.8.周易历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤瘙椺0000震瘙椻0011坎瘙椾0102兑瘙楃0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“瘙棦”表示的十进制数是A. 18B. 17C. 16D. 159.若x，y满足约束条件，则的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 710.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A. 2B.C.D.11.若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.记M的最大值和最小值分别为和若平面向量，，满足则A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则______；该段曲线的函数解析式是______．14.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是______．15.已知为椭圆内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为______．16.如图所示，半圆的直径，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值2．求的解析式；作出在上的图象要列表．18.如图，在三棱锥中，，，平面平面BCD，点E、与A、D不重合分别在棱AD，BD上，且．求证：平面ABC；．19.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用单位：元，求X的分布列和数学期望．20.已知椭圆E：的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为．求椭圆E的离心率；如图，AB是圆M：的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．21.已知函数的导函数的两个零点为和0．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若的极小值为，求在区间上的最大值．22.在极坐标系中，已知曲线：，：．求曲线，的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；若曲线，交于A，B两点，求两交点间的距离．23.设函数．当时，解不等式；若的解集为，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，；，又．故选C．先求出集合A，从而找出正确选项．注意描述法所表示集合的元素．2.答案：B解析：解：，，．故选：B．把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：B解析：解：已知命题p：若，则，如，则，命题p为假命题，不正确；命题p的逆命题是：若，则，为真命题，B正确；命题p的否命题是：若，则，不正确；命题p的逆否命题是：若，则，不正确．故选：B．举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．本题考查了命题的真假判断，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题是关键，是基础题．4.答案：C解析：解：与的终边相同的角可以写成，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选C．题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．本题考查了终边相同的角的概念，解答的关键是明确终边相同的角相差的整数倍，同时注意角度值和弧度制不能混用．5.答案：D本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：函数单调递减，，当时，，即，即，当时，，即，即，故选：D．6.答案：B解析：解：若对任意的实数都有成立，则函数在R上为减函数，函数，故，解得：，故选：B．由已知可得函数在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7.答案：A解析：【分析】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8.答案：B本题考查的知识点是进制之间的转换，有理数的混合运算，解本题的关键是二进制与十进制间的转换关系，属于基础题．由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为．故选：B．9.答案：C解析：解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由，则，平移直线，由图象可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，此时，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：设直线l的方程为，代入，消去y得，由题意得，即．弦长．故选：C．设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得的表达式，利用t的范围求得的最大值．本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．11.答案：C本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．由题意，求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，，故在，上是增函数，在上是减函数，作其图象如右图，令得，或；则结合图象可知，；解得，；故选C．12.答案：A解析：解：平面向量，，满足，由，，可得，，，，设，，，可得，即为，化为，则C在以圆心，半径的圆上运动，且表示点A与点C的距离，显然最大值为；最小值为；且表示点与点C的距离，显然最大值为；最小值为．故选：A．由条件可设设，，，由向量的坐标表示可得C在以圆心，半径的圆上运动，且表示点A与点C的距离，且表示点与点C的距离，运用最大值为，最小值为，计算可得所求．本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及点和圆的位置关系，考查向量的几何意义，以及运算能力，属于中档题．13.答案：20 ，．解析：解：由题意以及函数的图象可知，，，，所以，函数经过所以，所以，所以函数的解析式：，．故答案为：20；，．通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出，利用函数经过求出，得到函数的解析式．通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏．14.答案：解析：解：，．由题意知有大于0的实根，由，得，，．．故答案为：．先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法．15.答案：解析：解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为、，则两式相减得．，，，故答案为：．设弦的两端点坐标为、，代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的点斜式方程，点差法的应用，考查计算能力、转化思想，属于中档题．16.答案：解析：解圆心O是直径AB的中点，，，，，即，当且仅当时，等号成立，故最小值为．故答案为：．根据图形知：O是线段AB的中点，所以，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．17.答案：解：因为函数的最小正周期是，所以．又因为当时，取得最大值2．所以，同时，，，，因为，所以，所以因为，所以，列表如下：x012001描点、连线得图象：解析：由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，即可求得函数解析式；用五点法即可作函数在一个周期上的图象．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，用五点法作函数在一个周期上的图象，考查了数形结合思想，属于基础题．18.答案：证明：因为，，且A、B、E、F四点共面，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：平面ABC；在线段CD上取点G，连结FG、EG使得，则，因为，，所以，又因为平面平面BCD，所以平面ABD，所以，又因为，且，所以平面EFG，所以，故AD．解析：本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．利用及线面平行判定定理可得结论；通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得，则，利用线面垂直的性质定理可知，结合线面垂直的判定定理可知平面EFG，从而可得结论．19.答案：解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则；的可能取值为200，300，400，，，；所以X的分布列为：X 200300 400P数学期望为．解析：本题考查了概率、随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．20.答案：解：Ⅰ经过点和的直线方程为，则原点到直线的距离为，即为，；Ⅱ由Ⅰ知，椭圆E的方程为，由题意可得圆心是线段AB的中点，则，易知AB与x轴不垂直，记其方程为，代入可得，设，，则，由M为AB的中点，可得，得，解得，从而，于是，解得，则有椭圆E的方程为．解析：Ⅰ求出经过点和的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；Ⅱ由Ⅰ知，椭圆E的方程为，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以时，，即，当，或时，，即，所以的单调增区间是，单调减区间是，．Ⅱ由Ⅰ知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．的单调增区间是，单调减区间是，，为函数的极大值，在区间上的最大值取和中的最大者．而，所以函数在区间上的最大值是．解析：Ⅰ求导数，根据的两个零点和0以及a的符号，即可解得不等式，，从而得到函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ及所给已知条件可求出，再利用导数即可求得函数在闭区间上的最大值；本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．22.答案：解：已知曲线：，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线：转换为直角坐标方程为．所以该曲线为以为圆心，1为半径的圆．首先把转换为，利用点到直线的距离，则说明圆心在直线上，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，不等式化为不等式的解集为；证明：根据得或，的解集为，故，所以，，，，当且仅当，时取等号，．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．Ⅰ通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；Ⅱ表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．。

2020年江西省南昌二中高三（6月份）高考数学校测试题一、单选题1．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x （小时）、货船距石塘的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为A ．6πB ．3π C ．4π D ．2π 3．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则A B =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1 C ．[]1,2D ．()3,2-4．已知关于,x y 的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．05．若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．2π B ．23π C ．2πD ．π7．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 BC D 8．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，则图中阴影部分BC 1M 在平面BCC 1B 1上的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ）A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>10．已知直线34y x =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 111．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∀∈都有()()12f t f t +=，且(]x 0,4∈时，()()´f x fx x>，则()2016f 、()42017f 、()22018f 的大小关系是（ ）A ．()()()42017220182016f f f <<B ．()()()42017220182016f f f >>C ．()()()22018201642017f f f <<D ．()()()22018201642017f f f >>12．已知正项等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且（3n ﹣1）2S n 2﹣n （3n ﹣1）S n T n ﹣2n 2T n 2＝0对任意的n ∈N *恒成立，则5282a b b +＝（ ）A ．49B ．1011 C ．8188D ．913二、填空题13．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点(,)3b π，则b =____.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 2=1（a >0）经过抛物线y 2=8x 的焦点，则该双曲线的离心率是____．15．在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为___________. 16．已知数列{}n a 的通项公式是12n na ，数列{}nb 的通项公式是31n b n =-，集合{}{}1212,,...,,,,...,,n n A a a a B b b b n N *==∈,将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ，则数列{}n c 的前45项和45S =_______．三、解答题17．为了落实习总书记在改革开放40周年庆祝大会上的讲话精神，实现“更高质量、更有效率”的可持续发展，继续深化改革，某工业基地对在生产同一产品的甲、乙两个厂区，选择了乙厂区进行改革试点，一段时间后，工业基地为了检查甲、乙两个厂区的生产情况，随机地从这两厂区生产的大量产品中各抽取100件作为样本，得到关于产品质量指标值的频数分布表（已知合格产品的质量指标值应在区间 2.552.70]（，内，否则为不合格产品）：（1）将频率视为概率，由表中的数据分析，若在某个时间段内甲、乙两个厂区均生产了2000件产品，则在此时间段内甲、乙两个厂区生产出的不合格产品分别为多少件？（2）根据样本数据写出下面22⨯列联表中a b c d ,,,的值，判断是否有85%的把握认为“该工业基地的产品质量与改革有关”，并说明理由.18．已知函数()2πsin ()sin [sin π)]2f x x x x x ωωωω=+-⋅-+（其中0ω>）的最小周期为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x m +=在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，求实数m 的取值范围. 19．解下列不等式：（1）(1)(2)(3)0x x x x -+->; （2）()()2223210x x x x ---+<；（3）22320560x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩；（4）333x x -+（5）1121lg 1lg x x+>+-；（6）|2||3|5x x -++>； （7）5|23|11x x <++≤； （8）12230x x -+-<.20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =Q 方程(()2211x y +-=，且圆心Q 在椭圆上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知直线1:1l y =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过直线1l 上一动点P 作与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为弦CD 中点，MAB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形．（1）证明：A 1C 1//平面ACD 1；（2）求异面直线CD 与AD 1所成角的大小； （3）已知三棱锥D 1﹣ACD 的体积为23，求AA 1的长． 22．已知函数()ln (1)1()f x x a x a a R =+-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：当1a =时，()0xe f x ->.23．在极坐标系中，直线:cos 3l ρθ=，P 为直线l 上一点，且点P 在极轴上方以OP 为一边作正三角形OPQ （逆时针方向），且OPQ △面积为（1）求点Q 的极坐标；（2）写出OPQ △外接圆的圆心C 的极坐标，并求OPQ △外接圆与极轴的相交弦长.参考答案1．A由题意可以得出各段过程中y 随x 变化而变化的趋势，即可得答案.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y 随x 增大而增大；停留一段时间内，y 随x 增大而不变；解除故障到河口这段时间，y 随x 增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y 随x 增大而减少. 故选A本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题. 2．C根据条件求出a b ⋅，然后再根据数量积的定义求解可得两向量的夹角． ∵25a b -=， ∴()2222445a ba ab b -=-⋅+=，又1,2a b ==， ∴14425a b -⋅+⨯=， ∴1a b ⋅=．设向量,a b 的夹角为θ，则2cos θ||a b a b ⋅==⋅， 又0θπ≤≤， ∴θ 4π=．故选C ．求两向量的夹角时应先求出两向量的数量积，然后再根据公式求解，但在解题中要注意两向量夹角的取值范围，否则出现错误． 3．B解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得AB .由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.。

南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．已知集合{|{|1}A x y B x a x a ==≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值 范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B.C. D.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95B.115C.94D.1143．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件;②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4πB.8πC.38πD.58π6．如图，在△ABC 中， 21,,33AD AC BP BD ==若AP AB AC λμ=+,则λμ的值为( )A. －3B. 3C. 2D. －27．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94- B.94C.274D. 274-8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小 的面的面积为（ ） A. 8B. 4C.D.10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60D ．10011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为（ ）D. 212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1a f =， 则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．设n= 26sinx π⎰dx ，则二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．14．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-≥113337y x y x x y 则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为__________．15．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________． 16．有下列命题：①等比数列{}n a 中，前n 项和为n s ，公比为q ，则n n n n n s s s s s 232,,--仍然是等比数列,其公比为n q ；②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是π34cm 3；③若数列{}n a 是正项数列，且221n a a a n =+++ n 3+()*∈N n ，则n n n a a a n 62132221+=++++ ； ④在ABC ∆中，1,2,1200===∠AC AB BAC ,D 是边BC 上的一点（包括端点），则的取值范围是[]2,5-.其中正确命题的序号是_____（填序号）三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ， 且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.18．（本小题12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)180,175（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD 中， 060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证： AD BD ⊥；（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.20．（本小题12分）设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为23E ⎛ ⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.21．（本小题12分）已知函数()2ln f x ax x x x =+-， ()2xg x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）当[)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （2）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ．①求a 的取值范围；②求证： 212x x e ≥．四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．南昌二中2017～2020学年度上学期第七次考试高三数学（理）试卷参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.60 14．164． 15. ()22139x y x +=≠± 16. ②③④ 一、单选题1．已知集合{|{|1}A x y B x a x a ==≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A. ][(),32,-∞-⋃+∞ B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合{|{|22}A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C.考点：集合间的关系.2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.95 B. 115 C. 94 D. 114【答案】A【解析】∵()()()424m 2n 4235m ni i n m i i +-=++-=+，∴425{ 423m n n m +=-=，解得： 710{ 1110m n ==，∴m n +=95故选：A3．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”能够推出“1ab >”,“1ab >”不能推出“1ab >”,本选项正确;②已知平面向量,a b , “1,1>>a b ”不能推出“1+>a b ”,本选项不正确; ③已知,a b ∈R ,“221a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件,正确; ④命题:P “0x ∃∈R ,使00e1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有e 1x x <+或ln 1x x >-”本选项不正确.正确的个数为2. 故选：C4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)-3log x 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个 【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()f x x =，所以当[]1,0x ∈-时， ()f x x =-，函数()3l o g y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。

— 高三理科数学(一)第5页(共4页) —2019-2020学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(一)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．169 14．3 15．:1 16． [1,) 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则21232,2,2b b q b q q ， 故222(2)(2)q q q ，解得2q ，故12,21,2.n n n n n n a S b（Ⅱ）12log 2n n n a b n ，故01221122232...(1)22n n n T n n ，12312122232...(1)22n n n T n n ，两式相减可得： 21(122...2)22n n n n n n n T n n S nb S ，即.n n n T S nb18．【解析】（Ⅰ）证明：C H 面ABCD C H BD ， 而BD A C ，故BD 面.A C H BD A H（Ⅱ）取AB 中点M ，则CD DM . 以D为原点，分别以,DM DC 为,x y 轴、以过D 并平行于C H 的直线为z 轴建立 空间直角坐标系，由于在'CC H 中'C H CH ,4,2CC AA CH ,所以C H ，则(0,0,0),1,0),(0,2,0),D A B C C ,故(0,2,0)(0,2,AB D CD ,1,0)CB C B B, 所以(D B BB BC，— 高三理科数学(一)第6页(共4页) —设1111(,,)n x y z为平面BB D 的一个法向量，则111111111100020x z n D B y y n BB y，令11z可得1(1,n ， 设2222(,,)n x y z为平面BB D 的一个法向量，则221222212200020x z n BC y y n BB y，令21z可得2(1,n ，故 1212121234cos ,sin ,55||||n n n n n n n n，即二面角''D BB C 的正弦值为4.5 19．【解析】（Ⅰ）1133333333333333221111(0),(1),(3)9436C C P X Y P X Y P X Y A A A A A A 故1117().943618P X Y（Ⅱ）,0,1,3,X Y 因为33332131(0)(0),(1)(1)32P X P Y P X P Y A A， 3311(3)(3)6P X P Y A，所以 1111(0)(0),(1)(0,1)(1,0)23363P Z P X Y P Z P X Y P X Y ，1111(2)(1),(3)(0,3)(3,0)22236P Z P X Y P Z P X Y P X Y ，11(4)(1,3)(3,1)226P Z P X Y P X Y ，11(6)(3)66P Z P X Y ，故111111012346 2.9349636EZ20．【解析】（Ⅰ）连接1PF ，由对称性可得o1290F PF ，且o260POF ，故1212,21)e 1.cPF PF c a PF PF c a（Ⅱ）设直线:1AB x my ，则直线1:1MN x y m，并设1122(,),(,)A x y B x y ， 将直线AB 与椭圆方程联立消去x 可得2222()210m a y my a ，则— 高三理科数学(一)第7页(共4页) —21212222221,m a y y y y m a m a，12222||y y m a，则12222||||AB y y m a .将直线MN 与221x y 联立并消去x 可得222120m y y m m ，解得221M my m ，则||||M N MN y y2212||||2ABM S AB MN m a ，令t，则222(11ABM at aS t t t t，当01即1a 时，ABM S 的最大值为a ，（当且仅当1t ，即m 时取到“=”）.当1即a 时，ABM S 关于t 单调递增，此时ABM S 最大值为21a a（当且仅当t ，即0m 时取到“=”）（不合题意）.综上，若ABM 面积最大时直线AB 与x 轴不垂直，则a的取值范围是. 21．【解析】（Ⅰ）由已知，()()2e sin x g x f x x a，则12,x x 为()g x 在π(,π)2的两个不同的零点，且π()2e (sin cos )sin()4x x g x x x x，故当π3π(,24x 时()0g x ，当3π(,π)4x 时()0g x ，所以当π3π(,)24x 时()g x 单调递增，当3π(,π)4x 时()g x 单调递减.故当()g x 在π(,π)2x 有两不同的实根时，π3π()0,(π)0,(024g g g ，解得π3π242e 2e .a— 高三理科数学(一)第8页(共4页) —（Ⅱ）不妨假设12x x ，则12π3ππ24x x，且π()sin()4x g x x 在π(,π)2单调递减，故12123ππ3π(0(24224x x x x g g而122121113π3π3π3π3ππ()()()()24222x x x x g x g x g x g x ，设3ππ3π()()()()224F x g x g x x ，则3π3π223ππ7ππ()()()sin()e sin()]e )2444x x x x F x g x g x x x x 因为π3π24x 时3π3π3π3π2424πsin()0,e e e e 04x x x ，故()0F x ，所以()F x 在π3π(,24单调递减，故有3π()()04F x F ，即113π()()2g x g x 成立， 即123π2x x ，从而1212π3π3ππ()((224422x x x x g g g ，即π1220(2e .2x x g a 综上所述120().2x x g a 22．【解析】（Ⅰ）消参后圆C 化为：224x y y ，故圆C 的极坐标方程为： 4sin .（Ⅱ）ππππ3(),(6,3π334sin cos()33P Q，故||6PQ23．【解析】（Ⅰ）62,2()2,2426,4x x f x x x x，故当2x 时，62412x x ；当24x 时，24 恒成立；当4x 时，26445x x .综上，()4f x 的解集为[1,5].（Ⅱ）由（Ⅰ）可知15a ，从而不等式可化为222(5)8a a a ，而222[2(5)8]34(4)(1)0a a a a a a a ， 所以不等式222|5|8a a a 成立.— 高三理科数学(一)第9页(共4页) —高三理科数学（一）选择填空详细解析1.B 【解析】{|1e 1},{|0}A x x B y y ，故[0,e 1).A B2.C 【解析】z 在复平面所对应的点的轨迹为以(1,1)C 为圆心、1为半径的圆，而||z 表示z 所对1 .3.C 【解析】o o o (2cos(19),2sin(19)),||1,||2,90B OA OB AOB ，故||AB4.C 【解析】可行域是以(0,2),(2,4),(1,0)A B C 为顶点的三角形内部及边界区域，故32x y 在点C 处取得最小值3.5.A 【解析】1103881081101010307.222a a a a a S a6.C 【解析】431(1)2n r rrn r r nT C x ，当0,3,6,...,30r 时为有理项，故n 的最大值为32.7.D 【解析】过A 作y 轴的平行线，交x 轴于点D，则1A D D B ，因此在xOy 坐标系中，o 1,90AD DB ADB ，由勾股定理得 3.AB8.A 【解析】由已知01a .因为()f x 的定义域为(1,) ，则11(,)32x 时不等式log 11a x 在恒成立，即11(,32x 时不等式20x a恒成立，故 1.2a 9. B 【解析】此算法原理为求数列(1)(21)(21)n n na n n的前n 项和n S .(1)11111111((1...(1)(1)4212143352121n n n n n a S n n n n ，故11(1(1))421n n S n ，令1041n S ，解得20.n10.D 【解析】设POF QOF ，则902OQF .由已知FPO 中，||sin PF c ，则||2sin QF c ，故QFO 中， ||||2sin 1πcos 2sin sin(902)sin sin(902)26QF OF c c ，故tan 33b a 11.C 【解析】设M 为边BC 的中点，并设角,,A B C 所对应的边分别为,,a bc ，则221()()()22b c AO BC AM MO BC AM BC AB AC AC AB ，故22222222b c a b c a ，所以2222cos 022a c b a B ac ac，从而ABC 为钝角. 12. C 【解析】将正四面体A BCD 补形成棱长为6的正方体APBQ ECFD ，则A BCD 的外— 高三理科数学(一)第10页(共4页) —接球球心O 即为正方体的中心，故球O的半径2R,且 与面,APBQ ECFD 平行， 到面,APBQ ECFD 的距离分别为2和4，此时O 到 的距离为1，故 被球O所截圆半径r ，从而截面圆的面积为26π.13. 169 【解析】42,178x y ，将(x y 代入回归直线可得83.5a ，故当鞋码为38时身高约为2.253883.5169().cm14. 3【解析】当n 为奇数时，1211n n n n a a n a a n ，则21n n a a （即奇数项的周期为2）；当n 为偶数时，1211n n n n a a n a a n ，则221n n a a n . 故357911131517()()()()4a a a a a a a a ；246810121416()()()()513212968a a a a a a a a ，从而17111468722S S S a a a 奇偶，故2019311 3.a a a15.:1【解析】因为11,sin 222ABC ABCS a a S bc A ，故2sin 2a bc A ，而222cos 2bc a A bc，故π2cos 3b c A A A c b，且取到最大值时π6sin A b c b B C c b c，故πsin )6B B ，解得2π3B ，从而π6C，故::1:a b c 16. [1,) 【解析】首先0a ，其次方程(e )(ln(1))0x a x b 的两根应为重根，设此根为(1)t t ，则e ,ln(1)t a b t ，故e ln(1)t a b t ，设函数1()e ln(1)()e 1t t f t t f t t，其中()f t 单调递增，且(0)0f ，故0t 为()f t 的极（最）小值点，则()(0)1f t f ，即[1,).a b— 高三理科数学(二)第5页(共4页) —2019-2020学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(二)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13．2π3 14．2π+115．12 16．3 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．【解析】（Ⅰ）因为11(1)n n n a na a ，*n N ，① 所以11(2)(1)n n n a n a a ，2n ，②①-②得：11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a ，2n 且*n N所以1120n n n a a a ，2n 且*n N ，即1121n n n n a a a a a a 所以数列 n a 为等差数列；（Ⅱ）因为211a a ，所以数列 n a 的公差为1，因为对任意*n N ，都有12311111433n S S S S ，所以111433S ，即1334S ，所以11a 或2． 当11a 时，22a ，此时11S ，23S ，所以121114133S S ，这与题意矛盾，所以11a ． 当12a 时，1n a n ，此时(3)02n n n S ，111123S ，所以123111113n S S S S恒成立．因为1211()33n S n n ，所以1231111211111111111(1)34253621123n S S S S n n n n n n 211111114(1)32312393n n n 综上所述，整数1a 的值为2． 18．【解析】（Ⅰ）由于四边形BCEF 和ADEF 均为菱形，所以//AD BC 且AD BC ， 故四边形ABCD 为平行四边形．又AD CD ，及由对称性知，90ADC BCD ，所以四边形ABCD 为正方形． N 为EF 中点，所以1EN ，得1EC ，CN ，于是222NE CN CE ， 所以CN NE ，所以CN BC ．所以BC 平面CDN ，从而MN BC ．由对称性知CN DN 且M 为CD 的中点，所以MN CD ．— 高三理科数学(二)第6页(共4页) —所以MN 平面ABCD ．（Ⅱ）设AB 的中点为G ，以M 为原点，以,,MG MC MN 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．MN，则(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(1,A B C N F ．有(0,CN ，(0,2,0)AB，(AF．设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z ，由00n AB n AF，得200y x y．取n，由sin 3n CN n CN得直线CN 与平面ABF所成角的正弦值为3． 19．【解析】（Ⅰ）'()e e ()e x x x f x x a x a ，令'()0f x ，则x a ． 当(,)x a 时，'()0f x ；当(,)x a 时，'()0f x ． 所以()f x 的单调递增区间是(,)a ，单调递减区间是(,)a ．（Ⅱ）当(2,)x 时，(1)e (2e e )0xxx a 恒成立，等价于当(2,)x 时，(1)e e 2exx x a恒成立，即min(1)e e 2e x x x a对(2,)x 恒成立． 令(1)e ()e 2e x x x g x ，(2,)x ．2e (e 2e )'()(e 2e)x x x x g x ．令()e 2e xh x x ，(2,)x ，'()e 2e 0x h x ，所以()e 2e x h x x 在(2,) 上单调递增 又因为2(2)e 4e 0h ，2(3)e 6e 0h ，所以'()g x 在(2,) 上有唯一零点0x ，且000e 2e ,(2,3)xx x ． 所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(,)x 上单调递增，所以00min 00(1)e ()()(2,3)e 2ex x x g x g x x ，故整数a 的最大值为2．20．【解析】（Ⅰ）设y a bx ，有51145i i x x ，51145i i y y则51521()()51102()iii ii x x y y b x x，14422a y bx ，所以122y x ． （Ⅱ）（i ）员工甲经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到201203(103)(1e)107e x，因此估计他的创新灵感指数为1112(107e )7(1)22e y ．员工乙经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到104(104)(182010x，— 高三理科数学(二)第7页(共4页) —因此估计他的创新灵感指数为12862y ． 由于17(1)62e，故培训后乙的创新灵感指数更高． （ii ）该员工参加10次，20次音乐培训后的创新灵感指数估计分别为737e ，该员工参加10次，20次绘画培训后的创新灵感指数估计分别为112，6， 参加10次音乐培训的概率为224339 ，参加20次音乐培训的概率为122339 ，参加10次绘画培训的概率为212339 ，参加20次音乐培训的概率为111339，所以创新灵感指数的期望估计为432112116(7(76(59) 5.59e 92999eEY ． 21．【解析】（Ⅰ）由题意知(,0)F c ，则(,)24c Q ，将点Q 的坐标代入椭圆方程得2222451416c c a b①因为OQF的面积为8，所以1248c ，得1c ② 又222a b c ③，所以由①②③得，故椭圆的方程为22143x y ．（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，11(,)N x y ，则直线PM 的方程为010001()y y y y x x x x．令0y ，得011001y x y x x y y ，所以011001y x y x OG y y ．直线PN 的方程为010001()y y y y x x x x ．令0y ，得011001y x y x x y y，所以011001y x y x OH y y ．所以222201100110011022010101()()222y x y x y x y x y x y x OG OH OG OH y y y y y y ． 将2200334x y ，2211334x y ，代入2201102201()()2y x y x y y ，得22220110220133(3)(3)4428333344x x x x x x， 所以228OG OH ，当且仅当OG OH ，即011001100101y x y x y x y x y y y y 时取得等号．— 高三理科数学(二)第8页(共4页) —① 当011001100101y x y x y x y x y y y y 时，化简得1010()0y y x x ，根据题意知10x x ，若10y ，则与题意不符，所以00y ，此时02x 或02x② 当011001100101y x y x y x y x y y y y 时，化简得220110y x y x ，将2200334x y ，2211334x y 代入上式并化简，得01103(3)()04x x x x ，根据题意知10x x ，则013304x x ，即014x x ，而022x ，122x ，所以014x x 不成立，即011001100101y x y x y x y xy y y y 不成立．综上，22OG OH 的最小值为8，且此时点P 的坐标为(2,0)或(2,0) ．22．【解析】（Ⅰ）1:4C x 极坐标方程为cos 4 ，21cos :sin x C y的直角坐标方程为2220x y x ，所以2C 极坐标方程为2cos ．（Ⅱ）设(,)P ，射线l 的极坐标方程为π=(0,2 与1C ，2C 的交点,A B 的极坐标分别满足14cos，22cos．由2OP，得12+2cos 2cos 2 ．所以22cos 40，即(2cos 0 ．所以cos =，π= ，所以点P 的极坐标为π(,) ．— 高三理科数学(二)第9页(共4页) —高三理科数学（二）选择填空详细解析1．C 【解析】因为22020{|log (103)}{|52}M x y x x x x ，{|20201}{|1}x N y y x x 所以{|12}M N x x ，故答案选C ．2．A 【解析】因为22(1)11(1(1i i)i i i) ，要使1i 2z 是实数，所以复数i()z a a R ，故答案选A ．3．D【解析】因为sin c B，由正弦定理可得sin sin C B A ，sin 0B ，所以sin sin A C B b．又ABC的面积为2，所以21sin 222ab C a，得a又a bb，sin 2C，所以1cos 2C ． 所以根据余弦定理2222cos c a b ab C得c 3c ，故答案选D ．4．C 【解析】在等差数列 n a 中，由14,a x a y 可得3y xd ， 所以741172146315253y xS S a d a d x x y， 令25z x y ，作出可行域可知，在点(0,1) 处取得最小值， 故74min min ()205(1)5S S z ，故答案选C ．5．D 【解析】因为可判断函数()f x 是奇函数，可以排除答案A 和B ；当(0,π)x 时，有2'()cos (cos 1)sin (sin )2cos cos 1f x x x x x x x ，令'()0f x 可得1cos 2x或者cos 1x （舍去），所以函数()f x 在2π(0,)3单调递减，在2π(,π)3单调递增，故答案选D ． 6．D 【解析】因为奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x ，有函数的周期为4T ，所以4444(1log 80)(3log 5)(1log 5)5f f f，则24(1log 5f因为21log (1,0)，所以1log 4(25a，即45a ，故2a ，故答案选D ．7．A 【解析】由题意知()f x 的最小正周期2πT ，解得2 ，所以()sin(2)f x x ．又函数()f x 的图像关于直线π3x 对称，所以2πsin()13 ，得ππ6k ，k Z ，又ππ22 ，所以π6 ，故π()sin(2)6f x x ．将函数()f x 的图像向右平移π12个单位长度得到πππ()sin 2()sin(2)1263g x x x的图像．由11πππ2π22π232k x k— 高三理科数学(二)第10页(共4页) —（1k Z ）可得11π5πππ1212k x k（1k Z ），又()g x 在 ,t t 上单调递增， 所以π125π12t t解得π12t ，所以π012t ，所以t 的最大值为π12，故答案选A ．8．D 【解析】设PD x （03x ），则3PD x ，因为AB 平面PAD ，所以AB PD ． 又AC PD ，所以PD 平面ABCD ，则四棱锥P ABCD 可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O的表面积为2243(1)26πππx ，故答案选D ．9．C 【解析】由题意知1(,0)F c ，2(,0)F c ，设1,F M 关于渐近线by x a对称，则1F 到该渐近b ．连接1F M ，记1F M 与该渐近线交于点N ，则12F M b ，且N 为1F M的中点．连接2F M ，因为坐标原点O 是12F F 中点，所以2//ON F M ，则12F MF 为直角，所以12F MF 为直角三角形，由勾股定理得22244c c b ，故22234()c c a ，因此224c a ，得2e ，故答案选C ．10．D 【解析】由三视图可知甲为圆锥，乙为球．设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，则圆锥高2h R，母线长l ，因为甲与乙的体积之比为1:4，所以3244ππ33R r h ，即222R r，3l r ．所以221222ππ314π82S r rl r r r S R r，故答案选D ． 11．C 【解析】若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则有2525A A 种可能；若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题模块，则有214244A C A 种可能，故有432种可能，故答案选C ．12．B 【解析】设函数2()()1f x x g x x ，则 22'()2(1)()'()(1)f x x x f x x g x x 22(1)'()()(2)(1)x f x f x x x x 因为2(1)'()()2x f x f x x x ，所以'()0g x ，故()g x 在(0,) 上单调递减， 从而(1)(2)(3)g g g ，整理得2(2)3(1)5f f ，(3)2(1)7f f ，故①③正确．当01x 时，若(1)2f ，因为()g x 在(0,) 上单调递减，所以1()(1)2g x g ，即2()112f x x x ，即211()22f x x x ，故②正确，从而④不正确,故答案选B ．13．2π3【解析】因为22a b a b ，所以22(2)3a b a 和22(2)3a b a ，两式— 高三理科数学(二)第11页(共4页) —相减得b a ，代入可得212a b a ，所以1cos 2a b a b a b，又 0,a b ，故a 与b 的夹角为2π3．14．2π+1【解析】由已知不妨设AC ，则2AB ，如图，月牙形面积等于半圆AmB 的面积减去弓形I的面积，即2211π1π22AOB AOB S S S 月牙形，可见月牙形面积与AOB面积相等，而1=2AOB S，整个图形的面积21=π1π12S ，阴影部分面积为2=2AOB S ，由几何概型的概率计算公式得，所求概率为2π+1．15．12【解析】设AB 所在直线方程为x my t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ．由题意知10y ，20y ，联立方程组24x my ty x得2440y my t ．所以12124,4y y m y y t ．又因为OA OB ，所以12120x x y y ，即221212044y y y y ，解得1216y y ，所以4t ，即直线AB 恒过定点(4,0)M ．又(1,0)F ，所以3MF ．故121381222ABFS MF y y ，当且仅当0m 时，等号成立，故答案为12．16．3【解析】依题意得222a b c，则2cos ab C ，所以cos 2C，所以3ππ,44C A B， 所以22222(1tan )tan sin 2tan cos 2tan 1tan B B A B B B B．令21tan (1,2)t B，则有222(1tan )tan (2)(1)2(331tan B B t t t Bt，当且仅当时t 取等号，故2sin 2tan A B 的最大值是3 ，故答案为3 ．— 高三理科数学(三)第5页(共4页) —2019—2020学年度南昌市高三第二轮复习测试卷理科数学(三)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13. 576 14.5π2 15. 2π316. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.【解析】（Ⅰ） ,,a b c，1cos 2C ，22242242c c c c c 2c .又 4c ， 7.c（Ⅱ）在ABC 中， sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB，22ππsin sin sin 33AC BC，2sinAC ，π2sin 3BC.ABC 的周长 f AC BC AB π2sin 2sin 312sin cos 22π2sin 3 ，又 π0,3， ππ2π333, 当ππ32 即π6时， f 取得最大值2．18.【解析】(Ⅰ)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC 中，AE EC ，sin 0sin 2B A ， ，平面ABC 平面11A ACC ，且平面ABC 平面11A ACC AC ，由面面垂直的性质定理可得：1A E 平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，— 高三理科数学(三)第6页(共4页) —而AB BC ，故11A B BC ，且1111A B A E A ， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC .（Ⅱ）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点， 1EH EC EA 、、方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直 角坐标系E xyz. 11AA CA,3BC AB，据此可得：130,0,,,0,0,0,3,022A B A C，设平面1A BC 的法向量为,,m x y z，则：133,,,,330222233,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y， 据此可得平面1A BC的一个法向量为m，由1A E 平面ABC ，可得平面ABC 的一个法向量为 10,0,3A E，此时1cos ,5A E m.故平面ABC 与平面1A BC所成的锐二面角的余弦值为5. 19.【解析】(Ⅰ)方法一：如图因为AP AB AC所以四边形ACPB 是平行四边形所以BP AC ，由4AP AC 得4AP BP所以P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆易知24a1c ,所以方程为22143x y .方法二：设 ,P x y 由AP AB AC 得 1,AC AP AB BP x y再4AP AC44 22143x y4 发现是椭圆方程也可以直接得24a ,1c ）（Ⅱ）设 00,P x y ，过P 的斜率为k 的直线为 00y y k x x ，由直线与圆O 相切可得22200003230x k x y k y— 高三理科数学(三)第7页(共4页) —由已知可知12,k k 是方程（关于k ）22200003230x k x y k y 的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x两式相除：0012212023x y k k k k y , 又因为2200143x y 所以2200334y x ,代入上式可得：01212083yk k k k x 即：01211183k k k 为定值.20.【解析】（I ）2(22)'()exx x f x ，记2()22g x x x 令()0g x，得11x 函数()f x在(11 上单调递增；令()0g x，得11x x函数()f x在(,11) 上单调递减；（Ⅱ）记2()2e (1)42xh x m x x x ，由(0)0221h m m ，'()2e (2)242(2)(e 1)x x h x m x x x m ，由'()0h x 得2x 或ln x m ,因为(2,0]x ，所以2(2)0x ，①当21e m 时，ln (2,0)m ，且(2,ln )x m 时，'()0h x ，(ln ,0)x m 时，'()0h x ，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m ， 所以(2,0]x 时，()0h x 恒成立；②当2e m 时，2'()2(2)(e 1)x h x x ，因为(2,0]x ，所以'()0h x ， 此时()h x 单调递增，且22(2)2e e (1)4820h ， 所以(2,0]x 时，()(2)0h x h 成立；③当2e m 时，2(2)220em h ，(0)220h m ，所以存在0(2,0)x 使得0()0h x ，因此()0h x 不恒成立．综上，m 的取值范围是2(1,e ]．21.【解析】(Ⅰ)当日需求量n m X 时，日销售量n Z 为m ，当日需求量n m X 时，日销售量nZ 为n X ，故日销售量n Z 的期望值()n E Z 为： 当19n 时，1011()(16)(16);n n iii i n E Z i P n P当10n 时，10101()(16)ii E Z i P .（Ⅱ）— 高三理科数学(三)第8页(共4页) —1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i iiinii i n i i n i n E Z i P n P i P n P E ZP设每天进货量为n X ，日利润为n ,则 53[16]8316n n n n E E Z n E Z E Z n1112108[]383n n n n n n E E E Z E Z P P P .由 11250.8n n n E E P P P 又1234123550.66,0.53,88P P P P P P P4E 最大，所以应进货20件时，日利润均值最大.22.【解析】（Ⅰ） 由31x ty t消去t 得40 x y , 所以直线l 的普通方程为40 x y .由π4ππcos cos sin sin 2cos 2sin 44 ,得22cos 2sin . 将222,cos ,sin x y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222 x y x y , 即 22112 x y . （Ⅱ）设曲线C上的点为1,1 P ,则点P 到直线l的距离为d当πsin 14时, max d ,所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. 23.【解析】（Ⅰ）因为 13 f ，所以123 a a . ① 当0 a 时，得 123 a a ，解得23a ，所以203a ; ② 当102 a 时，得 123 a a ，解得2 a ，所以102 a ;③ 当12a 时，得 123 a a ，解得43 a ，所以1423a ;综上所述，实数a 的取值范围是24,33. （Ⅱ）因为1, a x R ,所以1212 f x x a x a x a x a31 a 31 a 2 .— 高三理科数学(三)第9页(共4页) —理科数学（三）选择填空详细解析1.A 【解析】 20A x x x 或，01B x x ，故(0,1)U C A B .故选A. 2.A【解析】因为复数i,z ai z a ，2.34z z a所以1a ，故选A.3.D 【解析】标准化212x y，通径122p . 4.D 【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选D. 5.A 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N ，41(12345678910111213141516)344N ，51(12345678910111213141516171819202122232425)655N 222211(1)(1)(12345)22nn n n n N n n n ．6.A 【解析】画出散点图知0,0b a ,故选A ．7.D 【解析】由等比数列的性质得：232,,n n n n n S S S S S 成等比数列，2232n n n n n S S S S S ，化简得 223n n n n n n S S S S S S .8.C【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a2020202020201110log log 2019log 2020;222b 120202019 1.c9.B 【解析】由条件知 πsin 26f x x，结合图像得B.10.C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D 中，四面体11A B D C 的四面与12条棱所成的角相等.∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个，故选C.11.B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴轴长为22a ，交点P 到两焦点的距离分别为 ,0m n m n ，焦距为2c ，则 222222m n mncos c -， 又122,2m n a m n a ，故:1212,m a a n a a ，222121cos 21cos 22a a c 22222212222212sin cos sin cos 11a a c c e e.12.D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1，— 高三理科数学(三)第10页(共4页) —在BMD 中，由正弦定理得o o o2sin 35.sin 35sin135DM DBDM 在AMD 中，由余弦定理得22ooo14sin 354sin 35cos55 1.AMAMD 为等腰三角形，故o 70.MAD13.576【解析】6232x x 展开式中含x 的项为 15565326332576C x C x x ，即x 的系数为576.14.5π2【解析】当直线过点 1,2 时，3z x y 取得最小值1，故2r d ，从而圆面积为5π2.15.2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d .16.12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD2212345613562456|||()()|AB BC CD DA AC BD AB AD 222213562456135624564()4()4()4() 22225656565656564[(2)(2)]3216()4()4()2256328()484880等号成立当且仅当1356,, 均非负或者均非正，并且2456,, 均非负或者均非正。