第四章 指数函数与对数函数 教材分析

第四章指数函数与对数函数4.1指数第1课时根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ； 当n 为大于1的偶数时，a ≥0.1.481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．±32．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6m D.5－m 3．下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若x 3＝－5，则x ＝________. n 次方根的概念问题【例1】 (1)27的立方根是________．(2)已知x 6＝2 019，则x ＝________. (3)若4x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________．n 次方根的个数及符号的确定(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：①6(－3)2n ；②5a 2；③6(－5)2n ＋1；④9－a 2，其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个利用根式的性质化简求值【例2】 化简下列各式：(1)5(－2)5＋(5(－2))5；(2)6(－2)6＋(62)6；(3)4(x ＋2)4.正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性．2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． 有限制条件的根式的运算[探究问题]1．当a >b 时，(a －b )2等于多少？ 提示：当a >b 时，(a －b )2＝a －b . 2．绝对值|a |的代数意义是什么？ 提示：|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________. (2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [思路点拨] (1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简． (2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．注意n a n 同(na )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．1．思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个．( )(2)当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( ) (3)(π－4)2＝π－4.( ) 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±1023.(π－4)2＋3(π－3)3＝________.4．已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值．第2课时 指数幂及运算1．分数指数幂的意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n＝na m中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a m n＝0，无研究价值．②若a<0，a m n＝na m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(a－1)0＝1 D．(－a2)3＝a62．425等于()A ．25 B.516 C.415 D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3 B.13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.根式与分数指数幂的互化【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0)．根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3a 2；(2)a －4b23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】 化简求值：指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 提示：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.2．已知a ＋1a 的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 【例3】 已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. [思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值1．在本例条件不变的条件下，求解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()(4)a m n可以理解为mn个a.()2．把根式a a化成分数指数幂是() A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a323．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5 B．23 C．25 D．274.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质思考1：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律．1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x D ．y ＝3－x 2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝x 134．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．指数函数的图象的应用【例2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？提示：定义域相同．2．如何求y ＝2x 2＋1的值域？提示：可先令t ＝x 2＋1，则易求得t 的取值范围为[1，＋∞)，又y ＝2t 在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t ≥2，所以y ＝2x 2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域 ――→指数函数的值域原函数的值域1．若本例(1)的函数换为“y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1”，求其定义域． 2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x ≤2”，再求函数的值域．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝a f (x )的值域的求解方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．3．形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域为R ，所以函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．1．思考辨析(1)y ＝x 2是指数函数．( ) (2)函数y ＝2－x 不是指数函数．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( )2．如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是()A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________．4．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？第2课时 指数函数的性质的应用利用指数函数的单调性比较大小【例1】 比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a >1和0<a <1两种情况分类讨论.1．比较下列各值的大小：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.利用指数函数的单调性解不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎨⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.2．若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围． 指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y ＝2－x ，y ＝2|x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为(－∞，＋∞)增区间为(0，＋∞)减区间为(－∞，0)减区间为(－∞，＋∞)2．结合探究1，分析函数y ＝2|x |与函数y ＝|x |的单调性是否一致？ 提示：y ＝2|x |的单调性与y ＝|x |的单调性一致．3．函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反． 【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨] 令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性 ―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――→同增异减函数f (x )的单调性把本例的函数改为“f (x )＝2－x 2＋2x ”，求其单调区间．函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函数．()(2)若0.1a>0.1b，则a>b.()(3)a，b均大于0且不等于1，若a x＝b x，则x＝0.()(4)由于y＝a x(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．()2．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 3．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5 4．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19. (1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小； (2)求函数g (x )＝ax 2－2x (x ≥0)的值域．4.3 对数 4.3.1 对数的概念1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是a >0，且a ≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x ＝log a N时，不存在N≤0的情况．1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3 C．9 D．273．在b＝log a(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5 C．0<a<1 D．1<a<54．ln 1＝________，lg 10＝________.指数式与对数式的互化【例1】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5；(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19；(2)⎝⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log1327＝－3; (4)log x64＝－6.利用指数式与对数式的关系求值【例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.求对数式log a N(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤(1)设log a N＝m；(2)将log a N＝m写成指数式a m＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝a b，则m＝b，即log a N＝b.2．计算：(1)log9 27；(2)log 43 81；(3)log354625.应用对数的基本性质求值[探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？提示：因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.2．若方程log a f(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程log a f(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)提示：若log a f(x)＝0，则f(x)＝1；若log a f(x)＝1，则f(x)＝a.【例3】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13 C．100 D．±100(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式a log a N＝N求解；(2)利用log a a＝1，log a1＝0求解．1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值．1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c 的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质a log a N＝N与log a a b＝b的作用(1)a log a N＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)log a a b＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．1．对数的概念：a b＝N⇔b＝log a N(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．3．对数恒等式a log a N＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.1．思考辨析(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．() 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0 B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3 D．log55＝1与51＝53．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________. 4．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23 (3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.4.3.2 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定． 2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c b log ca .1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6 D ．12．计算log510－log52等于() A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 3．log23·log32＝________.对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．(变结论)在本例1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m n log a b ，log a b ＝1log ba 等．2．求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a ＝3b ，则ab 等于多少？提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴ab ＝log 23. 2．对数式log a b 与log b a 存在怎样的等量关系？ 提示：log a b ·log b a ＝1， 即log a b ＝1log ba .【例3】 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．1．思考辨析(1)log2x2＝2log2x.()(2)log a[(－2)×(－3)]＝log a(－2)＋log a(－3)．()(3)log a M·log a N＝log a(M＋N)．()(4)log x2＝1log2x.()2．计算log92·log43＝()A．4B．2 C.12 D.143．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.ba B.a＋ba C．ab D．a＋b4．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.4.4对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．对数函数的图象及性质提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为( ) A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________． 对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)； ⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________.判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 对数函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．【例3】(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()A B C D(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．1．把本例函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a >0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x 3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．第2课时 对数函数及其性质的应用比较对数值的大小【例1】 比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4； (3)log 0.57，log 0.67；(4)log 3π，log 20.8. 解对数不等式【例2】 已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如log a x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝log a x的单调性求解；(3)形如log a x＞log b x的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知log a 12>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y＝a f(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log12(2x－1)的单调性吗？提示：形如y＝a f(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log12(2x－1)由函数y＝log12t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>12，结合“同增异减”可知，y＝log12(2x－1)的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．如何求形如y＝log a f(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y＝log a x的单调性求函数y＝log a f(x)的值域．【例3】(1)已知y＝log a(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为() A．(0,1)B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝log 12(x2＋2x＋3)的值域是________．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log 12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log 12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式log a(3x＋1)<log a(7－5x)的解集；(3)若函数y＝log a(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．第3课时不同函数增长的差异三种函数模型的性质1．已知变量y ＝1＋2x ，当x 减少1个单位时，y 的变化情况是( ) A ．y 减少1个单位 B ．y 增加1个单位 C ．y 减少2个单位 D ．y 增加2个单位2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝2x D ．y ＝e －x3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________． 几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A ．y ＝2 019xB ．y ＝2019C ．y ＝log 2 019xD ．y ＝2 019x (2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.。

可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。

数学课程标准与数学教材教法研究- 1 -“指数函数”教材分析一、课程标准要求① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③ 知道指数函数ax y =与对数函数x y a log =互为反函数。

（a > 0, a ≠1）二、教材分析函数是高中数学学习的重点和难点，对数函数是函数的一个重要分支，对数函数的知识在数学和其它许多学科中有着广泛的应用。

“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识.1.概念分析对数函数：函数()0,1,0,log >≠>=x a a x y a 叫做对数函数（1）.概念的地位与作用本节内容是在前面学习了指数函数的性质和简单的对数运算的基础上，进一步研究对数函数，以及对数函数的图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后研究等比数列的性质打下坚实的基础。

（2）.概念的存在性教材根据函数的定义，对()1,0,log ≠>=a a y x a 这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，又根据自变量与因变量的表达形式，得出对数函数的定义，说明了对数函数的存在性。

（3）.概念的类与概念的定义对数函数是可定义概念。

定义方法是“属+种差”（4）.概念的理解补充说明1.10≠>a a 且。

由前面学习的对数定义可知对数必须满足且，那么在对数函数中这个条件仍必须满足。

第四章指数函数与对数函数指数函数与对数函数是一对密切配合的函数，它们互为反函数，是最基本、应用最广泛的两类函数，是进一步学习数学的基础．利用代数运算和函数图象数形结合地研究指数函数、对数函数的性质，不仅能使学生理解这两个函数所蕴含的运算规律，掌握通过图象直观（定性）和数学运算（定量）获得函数性质的方法，而且有助于学生进一步理解函数概念，感受函数所蕴含的数学基本思想和方法．通过利用指数函数和对数函数建立数学模型解决实际问题的训练，可以使学生进一步掌握用函数刻画运动变化现象的思想方法，理解函数模型是刻画客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，积累数学活动经验．在“预备知识”主题中，学生经历了梳理二次函数知识，学习用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，进而用二次函数的性质研究一元二次不等式的解的过程，从中感悟了数学知识之间的关联，认识了函数的重要性．在“函数概念与性质”一章的学习中，学生经历了分析具体实例、归纳共同特征、抽象概括函数的一般概念的过程，知道了函数不仅可以理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，更一般地，函数是两个实数集之间的对应关系，感悟了数学抽象的层次性；在已有的通过图象直观研究函数性质的经验基础上，进一步学习了用代数运算揭示函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质的方法；通过“函数”的学习，学生初步理解了研究一类函数的内容、过程（定义、表示——图象与性质——应用）和方法，本章将在这些学习的基础上展开．一、本章内容安排1．关于指数、对数的内容安排在数学史上，对数的发明早于指数，引入对数主要是为了解决大数运算的简化问题，在信息化、智能化高度发展的今天，计算工具唾手可得．因此学习对数的主要目的已不再是简化运算，而是为了让学生在建立对数的概念，研究对数的运算性质以及在不同底的对数之间相互转换中领悟数学思想，发展理性思维．从学生的认知基础看，他们从数的乘方运算中已经对a n的含义积累了较丰富的经验．首先是在小学学习自然数及其运算中，知道了乘法是一个数“自相加的缩写”，乘方是一个数“自相乘”的缩写．初中阶段，在“有理数”一章中学习了乘方概念：“求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．”再在整式的乘除运算中，通过正整数指数幂的运算性质和除法运算，定义了0指数幂，在“使正整数指数幂的运算性质在整数范围内也成立”的原则下，通过定义1n na a -=()Z,0n a ∈≠ （其实是利用正整数指数幂定义负整数指数幂），把指数范围从自然数推广到全体整数．顺理成章地，在本章中我们将先把指数幂从整数指数幂扩充到有理数指数幂，再扩充到实数指数赛，建立实数指数等的概念，并研究其运算性质．从而为研究连续变量的指数函数做好准备，同时也为从指数幂中导出对数概念（对于a =N ．已知底数a 和幂N 的值，求指数），并利用指数幂的运算性质研究对数的运算性质，进而研究对数函数等做好准备．因此，本章中指数、对数内容的构建，一脉相承地以“运算”为基本线索，从已学的整数指数幂出发，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程．在学习指数幂及其运算性质的基础上，再学习对数及其运算的性质．这样安排不仅符合学生的认知规律，而且也符合数学知识发生发展的内在逻辑．2．关于指数函数、对数函数内容的安排从数学知识发展的内在逻辑看，在实数范围内，明确指数幂含义的基础上，等式=的三个量，，中，一个为常量、一个为自变量、一个为因变量，就得到幂函数、指数函数和对数函数．另外，我们还可以这样考虑：指数函数=a 在R 上是严格单调的．也就是说，任意两个不同实数12x x ，，都有12x x a a ≠．这就使我们想到可以研究“反过来的函数”一指数作为幂的函数，即以a 为底的对数函数．不过，纯粹地从数学内部构建指数函数、对数函数的内容体系，看上去逻辑严谨、简清明快，但与课程目标、数学发展的历史及学生的学习心理等都不吻合．我们知道，指数函数和对数函数有着丰富的现实背景．“指数爆炸"“对数增长”的现象普遍存在．《课程标准（2021年版）》强调“函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用” ．在学生的已有经验中，无论是函数的一般概念还是一类函数的学习，都是从现实世界中的运动变化现象出发展开的．综合以上因素，从抽象现实世界中一类运动变化现象的规律出发得出指数函数、对数函数的概念，然后在研究函数概念与性质的一般方法指引下，利用研究一次函数、二次函数、幂函数的经验，展开对指数函数、对数函数的研究．这样的内容安排方式是切实可行的根据以上分析，可以得到本章内容的如下基本结构：二、本章核心内容的理解与育人价值的认识数学的育人价值蕴含于内容之中，解析数学内容的本质与挖掘内容的育人价值是相辅相成的．本章包含实数指数幂及其运算性质、对数及其运算性质、指数函数和对数函数，以及二分法与求方程的近似解、函数与数学模型等内容．下面我们从内容本质的分析入手讨论这些内容的育人价值．1．实数指数幂及其运算性质在理解指数幂的本质时，有些基本问题需要我们认真思考．例如：对指数幂的研究与数系的扩充有怎样的内在一致性？又有怎样的不同？我们该如何利用关于数及其运算的已有知识及其蕴含的数学思想完善指数幂的知识体系？教学中如何发挥指数幂这一内容的育人价值？我们知道，数系扩充，一是扩充数的范围，二是在新的范围内定义数的运算．对于指数a，从最原始的“自然数的自相乘”出发，先是随着数从自然数扩充到有理数、实数而把底数扩充到正实数，其意义是“实数a 的自相乘”．然后，我们把指数从自然数扩充到有理数再到实数．在把指数从自然数扩充到有理数时，扩充的原则仍然是“使幂的算术运算性质（指数律）仍然成立”．初中已经把指数范围从自然数推广到全体整数，接着要做的是扩展到分数．根据引进分数的经验，显然是要先定义单位分数指数幂，即1na 的意义．联系到平方根、立方根具有的性质，我们首先把根式的概念推广，即先定义n 次根式，把使n =a 成立的叫做a 的n 次方根，其中n >1且*N n ∈．当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数，当n 是偶数时，正数的n 次方根是两个互为相反数的数，写成a >0），负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，0=．对培养学生的理性思维很有用，特别是在归纳地定义 根据n次方根的意义，可得n =a ．一脉相承地，我们希望整数指数幂的运算性质对分数指数幂也适用．由11n n na a ==．可见，规定1n a mna （a 是正数，m ，n N +∈ ，且n >1）也是自然的．于是，在条件a 是正数，m ，n N +∈ ，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式；与负整数指数幂的意义相仿，可规定1mn mn a a -==a是正数，m ，n N +∈ ，且n >1）；与0的整数指数幂的意义相仿，可规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．这样，指数幂a 中指数的取值范围就从整数拓展到了分数，在上述定义下，容易证明：当a >0．b >0时，对于任意有理数m ，n ，均有：（1）a m ·a n =a mn ； （2）()nm mn a a =； （3）（ab ）n =a n b n ；接下来的任务是认识无理数指数幂的意义，需要解决的问题仍然是：当是无理数时，a 的意义是什么？它是否为一个确定的数？如果是，它有什么运算性质？解决的方法是，借鉴初中学习中用有理数逼近无理数的经验，通过有理数指数幂认识无理指数幂，因为中学阶段无法彻底解决这个问题，教科书采取举例的办法，引导学生利用计算工具计算，的不足近似值和过剩近似值，感受无理数指数幂a α（a >0，α为无理数）是一个确定的实数，并指出整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂．总之，数系的扩充，是通过“添加一种新的数将数的范围扩充，再在‘使已有的运算律保持不变’的思想指导下，在新的范围内定义运算”而实现的；指数幂的研究，并不涉及数的范围的扩充，而是要明确指数幂的意义及其运算的性质．实际上指数幂a ，除为正整数外，它的意义不明显，与对有理数、无理数的研究重点有所不同，对指数幂a ，我们不太关心到底是多少，重点是对它有什么“与众不同”的性质的考察．a 的最重要的性质是a ·a =a ；（a >0，，∈R ），再加上()nm mn a a =；（a >0，m ，n ∈R ），（ab ）n =a n b n ；（a >0，m ，n ∈R ）等少数几个性质，a 就完全确定了．从更一般的角度看，上述推广充满着理性精神，数学概念的延伸与拓展中体现了数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和数学知识发生发展过程的逻辑连贯性，可以使学生体会到数学对象的内涵、结构、内容和方法的建构方式，从而使学生体悟到“数学的方式"，领会数学地认识问题、解决问题的思想方法，这对学生理解数学概念的发生发展过程，发展“四基”"四能"进而提升数学素养等都具有非常积极的意义．2．对数及其运算性质对数的发明与指数无关，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求，其关键是利用对应关系k q k →；建立起如下对应法则：（1）m n q q m n →+ ；（2）m n q q m n ÷→-；（3）()n m q m n →；（4m n →÷ ．利用上述对应法则降低运算层级，达到简化运算的目的．那么，在研究“指数a 的意义及其运算性质”的基础上研究“对数的意义及其运算性质”，其育人价值如何体现呢？我们认为，先借鉴已有经验，抽象出“对数”这一研究对象；再从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题．只要让学生完整经历“现实背景——概念（定义、表示）——性质——运算性质——应用”过程，鼓励学生采用独立思考、自主探究、合作交流等方式展开学习，就能充分发挥对数的育人功能，具体而言是：（1）通过数学内外的问题，抽象出数学问题：在a=N（a>0，且a≠1）中，已知a，N，则=？（以下默认a>0，且a≠1．）这是一个从具体到抽象的过程，对培养发现和提出问题的能力、发展数学抽象素养都有作用．（2）定义数学对象：就像为了解决“在n x=a中，已知n，a，=？”一样，通过引入符号loga N表示x a N=（a>0，且a≠1）中的，并把它叫做以a为底N的对数，相应的把a叫做对数的底数，N叫做真数，从而得到一个数学研究对象．如何理解对数这个概念？有人认为，“对数是对求幂的逆运算”“对数是指数的逆运算”，这些说法都不太准确．事实上，从运算角度看，对于乘方运算，设其结果是，即=．如果问题是“已知，，求”，则=logxz．所以，乘方运算的逆运算有两种，一种是开方运算，另一种是对数运算．另外，在实数范围内，就像方程10=100存在唯一实数解=2一样，10=3也存在唯一实数解，我们把它记作g3，而且可以证明1g3是无理数．从这个意义上讲，log a N是一个确定的数，没有什么运算的含义，就是表示数的一种方式，与用－1表示1的相反意义的量是类似的．可以想象，“对数”这个词与前述的对应关系xa x→有一定关系，即log a N是与x a N=中的相对应的那个数，简称为“对数”．这样就给出了理解对数概念的三个角度："乘方运算的逆运算”“数的表示”和“对应”．从上所述可见，引入对数概念的过程反映了人类理性思维的力量．（3）研究log a N的性质，从对数的定义出发，与x a N=相联系：由定义可得log a Na N=：又由a0=1和a1=a可知，log1a=0，log a a= 1对任意正数a都成立，这些是从对数的定义推出的N涉及的要素a，N的特殊关系（N=a）、特殊取值（N=1）入手而发现最基本性质，是从loga的．（4）研究对数的运算性质，“引入一类新的数，就要研究它的运算性质"，这是代数的基本任务．这里要联系指数幂的运算性质，而且只要把它们“反过来”，用对数符号表示就可以了：og a（M·N）=og a M og a N，og a M b=上述性质表明，利用对数可以把乘法、除法和乘方（含开方）运算分别转化为加法、减法和乘法，从而实现“简化运算”．（5）研究不同底的对数之间的关系，得出换底公式．由定义，任意不等于1的正数都可作为对数的底数，如果要针对每一个底数分别计算相应的对数，那么“简化运算”就是一句空话，于是自然提出，能否把以其他数为底的对数都转化为以某个数为底的对数？数学史上，数学家就是这样干的：由于数系是十进制，因此以10为底的对数（常用对数）在数值计算上a为底的对数了．显然，这个过程对学生领会转化与化归思想、培养发现和提出问题的能力很有好处．至于应用，信息技术的迅速发展使对数计算尺、对数表等体现对数应用的计算工具都不再重要，但利用对数函数建立数学模型解决实际问题则具有永久的生命力．3．指数函数刻画了哪类运动变化现象我们知道，基本初等函数都有现实背景，每一类函数都对应着现实世界中一类运动变化现象，是对这类现象变化规律的数学表达，掌握基本初等函数的概念与性质理解这些函数中所蕴含的运算规律，其目的就是要运用这些函数建立适当的数学模型解决各种各样的实际问题．在《课程标准（2021年版）》中，对“函数与数学模型”提出了如下"内容和要求”：（1）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的两数类型刻画现实问题的变化规律；（2）结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义：（3）收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．其中，目标（1）需要在应用函数建立模型的过程中来实现，目标（3）要通过一定量的数学阅读来实现．而在面对实际问题时，能否选择合适的函数类型对其变化规律加以刻画，基础是对各类函数的特征有准确把握，对每类函数到底刻画了哪类现实问题的变化规律有深入了解；同时，对各类函数的增长差异要做到心中有数．由此可见，发展学生的数学建模素养，一是准确理解各类基本初等函数的概念、性质以及不同类型函数刻画了哪一类现实问题的变化规律，准确把握各类函数的增长差异；二是加强用函数建立数学模型解决实际问题的实践，前一个是数学知识基础，后一个是数学建模实践，两者缺一不可．下面我们讨论一下指数函数刻画的运动变化规律：现实中，呈指数变化的事例很多，函数表达式可以一般化地表示为=0x y a ．因为自变量往往与次数或时间有关，所以这种表达是有序的．如果以连续的时间变化为序，从一般意义上考察表达式()()01t f t a a a =>≠，，可以发现，对于任意给定的时间间隔t ，()()=t tt t f t t a a f t a++=．由此可知这一类运动变化现象有如下规律：对于相同的时间改变量t ，其函数值按确定的比例t a 在增长（a >1）或就减（01时，设a =1α，则指数函数可表示为=（1α）（α>0）；当00），这样的表达是更具实际意义的，它们表明了指数函数x y a =所刻画的事物变化规律是：按确定的增长率α=a －1（a >1）呈指数增长，或按确定的衰诚率α=1－a （0x a log a N[)()1.110,x y x =∈+∞x y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=73051217305121⎪⎭⎫ ⎝⎛R x ∈0，a ≠1）有意义，我们就可以在一般意义上给出刻画这类现象变化规律的函数定义：函数＝a （a >0，且a ≠1）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R ．2．对数函数概念的抽象因为学生在对数概念的学习中已经掌握了对数与指数之间的内在关联，所以对数函数概念的抽象应该在此基础上展开，这是对数函数概念抽象过程的“与众不同之处．指数函数xy ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=7305121给出了死亡生物体内碳14的含量随死亡时间的变化而衰减的规律．一个自然的问题是：已知死亡生物体内碳14的含量，如何判断它的死亡时间呢？进一步地，死亡时间是碳14含量的函数吗？根据指数与对数的关系可得＝y 573021log（0＜≤1）．根据指数函数的性质可知，对于任意一个∈（0，1］，通过对应关系＝y 573021log，在［0，＋∞）上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数．也就是说，函数＝y 573021log ，∈（0，1］刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律． 一般地，根据指数与对数的关系，由＝a （a ＞0，且a ≠1）可以得到＝og a （a ＞0，且a ≠1），也是的函数．通常，我们用表示自变量，表示函数．为此，将＝og a （a ＞0，且a ≠1）中的字母和对调，写成＝og a （a ＞0，且a ≠1），这样就得到了对数函数的定义．值得指出的是，从抽象研究对象的过程与方法看，指数函数与对数函数概念的抽象具有典型性，教师应该在教学过程中引导学生进行仔细揣摩，在发现现实世界中呈指数增长或衰减这类现象的变化规律的过程中，我们综合使用了表格、图象（散点图）、运算等数学方法，特别是通过运算得出精确表达的函数解析式．我们知道，函数的研究对象是现实世界中的确定性现象，如果某类确定性现象的变化规律可以用一个代数式来表达，那么得出这个表达式的数学方法就是加、减、乘、除、乘方、开方这样的初等数学运算，像“均匀变化”“均匀加速”之类的现象，因为其规律是“增加量保持不变"，所以利用减法运算；而指数爆炸、对数增长之类的现象，其规律是“增长率保持不变”，所以利用除法运算，另外，在发现规律的过程中，从特殊到一般、从定性（图象直观）到定量（用解析式表达数量关系）等也是基本的数学思想和方法．从更一般的角度看，函数是两个数集元素之间的对应关系，本质上反映了自变量与函数值之间的代数关联，而数学运算是发现和建立这种关联的基本手段，对于基本初等函数则尤其如此，实际上，对应于指数幂的运算法则，我们可以形式化地给出如下指数函数和对数函数的定义：指数函数是定义在实数集上，且满足()()()f x y f x f y += 的非常值连续函数；对数函数是定义在正实数集上，且满足()()()=f x f y f x y +的非常值连续函数．通过运算法则形式化地定义函数，这是理性思维的结果，更能说明函数的本质特征．例如，常常看到老师们争论=a 3是不是指数函数，如果从上述定义出发，因为()333x y x y a a a += ，满足定义，所以它是指数函数．这表明，采用上述定义就不会出现任何歧义，不过，形式化定义虽然纯粹，但脱离了一切现实背景，与学生的认知基础距离很远，学生很难真正理解其意义，不符合高中学生的认知水平．所以教材采用了从学生熟悉的现实青景出发，引导学生利用数学运算发现规律，让学生感梧数学运算在研究指数函数和对数函数中的作用，并将这种做法贯穿始终四、加强背景和应用，发展学生数学建模素养函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，备函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，在学习这些函数的过程中，加强背景与应用，既是为了使学生了解这些函数的更深刻地理解这些函数的本质，也是为了使学生明确这些函数分别描述了现实世界中哪一类变量关系和规律，从而为学生在面对具体问题时能正确选择函数类型、建立适当的数学模型解决实际问题打下坚实基础，同时，这也是为了把数学建模素养的培养落实在本章学习全过程的需要．本章教材编写中，对指数函数、对数函数的现实背景与应用给予了充分关注，教科书在章引言中指出，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来描述它们的变化规律；在指数函数概念的建立过程中，教科书以现实中的真实事例为背景，通过与“线性增长”的比较得出“指数增长”的规律进而引入指数函数的定义与表示；在研究指数函数、对数函数的图象与性质之后，教科书加强了运用函数图象与性质解决实际问题的内容；最后，教科书通过具体实例对不同函数的增长差异（直线上升、指数爆炸、对数增长）进行比较，并专门安排了“函数的应用（二）”一节．在介绍了运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）的基础上，安排了典型而丰富的实例，引导学生更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．本章共安排了近40个实际问题，涉及游客人次旅游收入的指数增长、碳14考古、人口增长模型、产品产量增长率、储蓄利率（复利）、地震释放的能量与震级的关系、GDP 增长率、血液中酒精含量或药物含量的指数衰减，物价的增长率、溶液酸碱度、火箭飞行的运动规律、鮭鱼游速与耗氧量的关系、声强级别、动物或植物自然繁殖的规律、投资方案的选择、数据量的爆炸式增长、特定人群身高体重的关系、汽车耗油量、废气破排、物体冷却模型等各种各样的现实问题．这里我们重点说明一下不同函数增长差异的比较问题．面对实际问题时，为了准确地描述它的变化规律，需要选择恰当的函数类型来构建数学模型，为此就要先分析清楚不同类型函数的增长差异．从函数性质的角度看，增长差异是对函数单调性的进一步深化，不同函数增长差异刻画了它们的增长方式以及变化速度的差异，由于学生对线性函数已经有了认知基础，其变化规律非常直观：在整个定义域上的瞬时变化率恒定，即yx为定值．因此，教科书用线性函数作为一把尺子，来“度量”指数函数和对数函数的增长差异，从而帮助学生理解直线上升、指数爆炸和对数增长的含义．一般而言，对于一个具体的现实问题，可以用于刻画其数量关系、变化规律的函数类型是不唯一的，应根据实际问题的需要进行权衡，并需要借助一定的数学工具对函数的拟合优度进行判断．。

《指数函数和对数函数单元》教学设计一、教学分析教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图像的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。

在复习必修一第二章《函数》后，学生对函数的概念及性质有了比较深入的认识，而本章的复习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数内涵，再次体会研究函数的一般思想方法。

理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用，进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，增强学生数学应用意识。

二、教学目标1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．三、重点难点[教学重点]: 指数函数、对数函数的图像与性质[教学难点]：指数函数与对数函数的性质．四、教学设想：（一）课题导入：名言名句，反馈试卷批阅情况，展示优秀试卷（二）合作探究：一对一讨论，组内交流，对错题进行分析研究，组内不会的题型和有疑问的题重点讨论。

（三）组内展示：根据答对率情况进行重点展示。

（四）学生点评：1、针对学生展示的答案各组进行讨论分析，准备讲评；2、总结规律方法以及解题技巧；3、下面同学及时整理、积累；4、教师针对学生所犯的错有目的，有针对性的讲评，进行精讲点拨。

（五）课堂小结学生进行总结（六）达标训练一、选择题1．若log m2<log n2<0，则实数m、n的大小关系是()A．1<n<m B．0<n<m<1C．1<m<n D．0<m<n<1答案B解析画图象可知．2．函数y＝(|x|)12的图象可能是下列四个图中的()答案 D解析 由y ＝(|x |)12知函数为偶函数，且0<x <1时，y >x . 3．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 x ≥1时，log 2 x ≥0，∴y ≥2.二、填空题 4．设f (x )＝(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈-,1log 1,381xx x x ，则满足f (x )＝41的x 值为________． 答案 3,解析 ∵f (x )＝41，当3－x ＝41时，x ＝log 3 4∉(－∞，1]，,∴log 81 x ＝41，即x ＝4181＝()4143＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f (x )＝41的x 的值是3. 5.已知a >1,0<x <1且a log b (1－x )>1，那么b 的取值范围是______________．答案 (0,1),解析 ∵a log b (1－x )>a 0，且a >1.,∴log b (1－x )>0.,又∵0<x <1，∴0<1－x <1.∴0<b <1.,三、解答题,6、若f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝log x 3x －log x 4＝log x43．,当0<x <1时，log x 43x >0，f (x )>g (x )； 当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当1<x <34时，log x 43x <0，f (x )<g (x )． 当x >34时，log x 43x >0，f (x )>g (x )． 综上所述，当x ∈(0,1)∪（34，＋∞))时，f (x )>g (x )；,当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当x ∈（1，34)时，f (x )<g (x )．（六）作业整理满分卷《指数函数与对数函数章末复习》学情分析指数函数与对数函数的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习函数时要注意：1.深刻理解指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.3.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.4.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.《指数函数与对数函数章末复习》效果分析本节课由一句名人名言引入，从学生的试卷开始，使学生迅速进入角色，很快投入到指数函数与对数函数章末复习的探究中，提高了本节课的教学效率。

【课题】4.1实数指数慕(1)【教学目标】知识目标:(1)复习整数指数蓦的知识；(2)了解〃次根式的概念；(3)理解分数指数慕的定义.能力目标：(1)掌握根式与分数指数幕之间的转化；(2)会利用计算器求根式和分数指数幕的值；(3)培养计算工具使用技能.【教学重点】分数指数蓦的定义.【教学难点】根式和分数指数蓦的互化.【教学设计】(1)通过复习二次根式而拓展到〃次根式，为分数指数幕的介绍做好知识铺垫;(2)复习整数指数慕知识以做好衔接；(3)利用课件介绍分数指数幕的概念，字母动感闪耀强化位置关系；⑷加大学生动手计算的练习，巩固知识；⑸小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题4.1实数指数幕*创设情景兴趣导入介绍了解教学过程教师行为学生行为教学意图时间问题相关如果x2=9,则x=_______；x叫做9的________；如果_?=3,则x=_______；x叫做3的________；质疑思考简单的问如果X3=8,则尤二；x叫做8的；引导分析汇总题入如果X3=-8，则户；X叫做-8的解决手使解决如果x2=a,那么x=土山叫做a的平方根(二次方根)，其中yfa叫做a的算术平方根；如果*3=a,那么x=^i叫做a 明确学生自然进入知识的立方根(三次方根).点10 *动脑思考探索新知概念一般地，如果x"=a(〃cN+且">1),那么x叫做a的"次方根.说明总结归纳理解说明方根两种情况的要求特(1)当"为偶数时，正数。

的〃次方根有两个，分别表示为-阪和榻，其中％■叫做a的"次算数根；零的〃次方根是仔细领会零；负数的〃次方根没有意义.分析点例如，81的4次方根有两个，它们分别是3和-3,其中3叫讲解记忆做81的4次算术根，即扼1=3.关键强调(2)当〃为奇数时，实数a的"次方根只有一个，记作词语根式例如，-32的5次方根仅有一个是-2,即^32=-2.概念形如V，(n e N+<n>1)的式子叫做a的〃次根式，其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.说明明确的正确写法20*运用知识强化练习1.读出下列各根式，并计算出结果：_(1)扼7；(2)V25；(3)娘；(4)佰.及时教学教师学生教学时过程行为行为意图间2.填空：提问思考了解(1)25的3次方根可以表示为，其中根指数学生为，被开方数为；知识(2)12的4次算术根可以表示为________,其中根指数巡视动手掌握为，被开方数为；求解情况(3)-7的5次方根可以表示为，其中根指数为_______,被开方数为_______;指导交流出现(4)8的平方根可以表示为_____________,其中根指数的问为，被开方数为题明确强调30 *自我探索使用工具计算准备计算器.质疑小组器的观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成讨论使用计算器计算根式的方法.巡视方法计算下列各题(精确到0.0001)：探究教给(1)妙2；(2)切0.3564；汇总学生(3)瘀；(4)^273.自我研究45 *知识回顾复习导入引导问题学生计算：解决23=_______；3-之二_______；(")=_______;质疑整数指数求解=；似=幕问题并解决总结顺利整数指数慕，当住N*时，a"=_______；引导理解过渡教学教师学生教学时过程行为行为意图间并且规定当时，；a~n=・分数探究分析思考指数551说明将整数指数幕的概念进行推广：42=.*动脑思考探索新知概念分数m总结理解指数规定：a"=何，其中m、”cN+且”>1.当n为奇归纳幕的数时，4Z g R；当〃为偶数时，a...O.定义m领会式重当时有意义，且qu O,n g N+_@.n>1时，规定：强调点要—竺1 a 〃=.——^a m 关键字母记忆明确字母这样就将整数指数幕推广到有理数指数幕.位置60 *巩固知识典型例题例1将下列各分数指数幕写成根式的形式：通过43_3 (1)/；(2)；(3)a°.说明观察例题进一分析要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系，按照规分析思考步明定，先正确找出公式中的秫与"，再进行形式的转化.确分4解(1)〃=7,m=4,故打=确^；引领主动数指数幕3(2)〃=5,m=3f故〃=；求解的定--](3)〃=2,m=3f故"2=———.妒义式讲解例2将下列各根式写成分数指数慕的形式：领会注意(1)疽；(2)斯;(3)-^=.观察质疑学生分析要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规是否定逆向进行形式的转化.引领思考掌握教 学教师学生教学时过程行为行为意图间2解(1) 〃 = 3, m = 2,故=波；知识点4(2) 〃 = 3, m=4 ,故；] --(3) n = 5 f m = 3 ,故 = a 5 .讲解理解可以交给说明：将根式写成分数指数藉的形式或将分数指数慕写成归纳明确学生根式的形式时，要注意规定中的m 、n 的对应位置关系，分数强调记忆自我指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数.思结70*运用知识强化练习教材练习4.1.1及时1.将下列各根式写成分数指数幕的形式：提问动手指导⑴眄； （2）日; ⑶刍；（4）M?.求解学生V4扃巡视练习2.将下列各分数指数幕写成根式的形式：3 3 2 3加深⑴4 5 ； (2) 32； (3) (-8) 5 ；⑷ 1.24.答疑交流理解指导75*自我探索 使用工具准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明继续书，小组完成利用计算器计算分数指数幕的方法.质疑小组引导利用计算器求下列各式的值（精确到0. 0001）：讨论学生3 _4 1自我(1) 34• (2) 5 5-(3) 一巡视探究探索练习教材4.1.1计算3.利用计算器求下列各式的值（精确到0. 0001）：汇总交流器的_2 2 1(1)2 3 ；(2)35； (3)^=.使用80*归纳小结强化思想培养本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆学生教学过程教师行为学生行为教学意图时间*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？提问反思交流总结反思学习过程能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节4.1；(2)书面作业：学习与训练4.1；(3)实践调查：了解计算器的其他计算使用方法.说明记录90【课题】4.1实数指数幕(2)【教学目标】知识目标:(1)掌握实数指数蓦的运算法则；(2)通过几个常见的慕函数，了解慕函数的图像特点.能力目标：(1)正确进行实数指数蓦的运算；(2)培养学生的计算技能；(3)通过对蓦函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.【教学重点】有理数指数蓦的运算.【教学难点】有理数指数蓦的运算.【教学设计】(1)在复习整数指数慕的运算中，学习实数指数幕的运算；(2)通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；(3)通过"描点法”作图认识慕函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律;⑷通过知识应用巩固有理数指数幕的概念.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题4.1实数指数幕.*回顾知识复习导入知识点整数指数幕，当时，a n=_______；介绍了解复习已有教学教师学生教学时过程行为行为意图间规定当时，a Q=；a~n=；质疑思考知识m m点做分数指数蓦：a n=；时，a n=.好新知识其中秫、〃eN*且〃>1.当〃为奇数时，qg R；当〃为回忆偶数时，a...O.建构问题基础1.将下列各根式写成分数指数蓦：提问求解八、33、2了解(1)J—;(2).——.V20斯巡视学生2.将下列各分数指数慕写成根式：指数_22(1)654；(2)(2.3)3.交流运算扩展解答掌握，卜主汩整数指数蓦的运算法则为：(1)a m-a n=；引导思考回顾⑵时)"=;整数(3)(沥)"=_____________.其中(m、〃£Z).领会指数幕为后续归纳说明做好运算法则同样适用于有理数指数幕的情况.了解准备10 *动脑思考探索新知概念思考当P、0为有理数时，有总结自然a p-a q=a p+q；^a pq；(ab)P=a p-b p.归纳理解过渡运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幕都有意到实义.记忆数指说明可以证明，当〃、g为实数时，上述指数幕运算法则也成说明领会数慕立.15教学教师学生教学过程行为行为意图时 间*巩固知识典型例题例4计算下列各式的值:(1)0.1253 ；（°）哺通过说明观察例题分析（1）题中的底为小数,需要首先将其化为分数，有利于进一运算法则的利用；（2）题中,首先要把根式化成分数指数藉,分析思考步使然后再进行化简与计算.解⑴1 ! 1 _ .0.1253 =(-)3 =(2-3)3 =21 -3x-\ 3 = 2一12强调主动求解(2)_ L 1 也 X 抠 32 X (3x2)32 1132 x33 x23说明（2）学生理解指数幕的如扳（32）"11211 11= 32+3-3 x2r 3 =36x2°=36 .题中，将9写成32,将6写成2x3,使得式子中只出现两种底，方便于化简及运算.这种尽可能将底的化同的做法，体现了数学中非常重要的“化同”思想.例5化简下列各式:⑴(2如3 )4⑵o' -b^\7\ 7(3)引领讲解质疑运算法则领会了解观察引导学生体会化同的的数学思想分析化简要依据运算的顺序进行，一般为“先括号内，再括号外；先乘方，再乘除，最后加减”，也可以利用乘法公式./ \4叙 2如3 24产处 I6a%2 16 16_ _2 16 io io"p 厂而k 屯广矿 *1x2 1x2a 2 -b 2 =a-b .(1 \\( 1 1、(1、2(1、2-b^=-=\ 7\ 7< 7分析强调注意思考主动求解观察学生是否理解知识点教学过程教师行为学生行为教学意图时间____£23翥％2+源+萨=(口-3^2.泊j_Lil_2Z Z2=(a~3y(b2y+q S4-^5-a5^54-^54-^532231=a~^^=o-必3.说明作为运算的结果，一般不能同时含有根号和分数指数慕.(3)题的结果也可以写成一二，但是不能写成；，本章a品近中一般不要求将结果中的分数指数慕化为根式.讲解强调领会了解可以适当交给学生自我探究30*运用知识强化练习教材练习4.1.21.计算下列各式：21_25(1)a^x^9x^27；(2)(2§45)3(2「亏4§)4.2.化简下列各式；12<21y<_1V (1)疽.q5.q2.q0；(2)•2a；k7k7 (3).\/a+.V a 提问巡视指导动手求解交流及时了解学生知识掌握情况45*知识回顾复习导入问题观察函数y=x、y=J、y=l,回忆三个函数的图像和X相关性质.探究由于y=x=X l,y=-=x~',故这三个函数都可以写成Xy=x a(acR)的形式.质疑引导分析思考体会引导学生用所学的知识进行判断50*动脑思考探索新知概念特别教学教师学生教学时过程行为行为意图间一般地，形如y=x。

《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质，随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。

本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上，引入幂函数、指数函数、对数函数，学习其相关性质与应用。

通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数函数广泛的实际应用。

掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的影响。

一、大纲分析数学课程任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。

通过教学发展学生的数据处理、工具运用等技能，培养学生观察、分析与解决问题等数学能力。

大纲建议指数函数与对数函数部分为12课时，本教材新授部分11课时，复习小结1课时。

大纲规定学习应达到的能级要求包括4项了解（幂函数、积商幂的对数、对数函数的图像和性质、指数函数与对数函数应用），3项理解（有理数指数幂、指数函数的图像和性质、对数的概念）以及2项掌握（实数指数幂及其运算法则、利用计算器求对数值）。

二、知识体系三、教学建议本章内容的学习基于已掌握的函数相关概念、性质以及幂的概念、运算等知识。

教学过程中应创设让学生主动探究、合作学习的教学氛围，注重运用类比、归纳等教学方法，将构建“知识体系”作为学习的策略和目标，切实激发学习的兴趣，提升学习的能力，达成教学目标。

下面，笔者按节就设计思路、教学目标、内容要点、教学建议（分课时）四个方面进行教材解读，给出教学建议。

（一）§4.1实数指数幂（2课时）设计思路：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，引导学生理解识记n次方根以及根式的概念及性质，引出分数指数幂的概念，将幂指数由正整数推广到有理数范围。

通过用计算器求幂的值及阅读“读一读”的内容，让学生体验到无理指数幂也有意义，进而将有理指数幂推广到无理指数幂的范围。

4．3.2 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．知识点一 对数的运算性质[填一填]如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N(M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n .这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a MN ＝m －n ,即log a MN ＝log a M －log a N .知识点二 换底公式[填一填]前提原对数的底数a 的取值范围a >0,且a ≠1条件 原对数的真数b 的取值范围 b >0 换底后对数的底数c 的取值范围c >0,且c ≠1公式log a b ＝log c blog c a换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ,特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416,求m 的值． 提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416,∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2,化简得lg m ＝2lg3＝lg9, ∴m ＝9.类型一 对数运算性质的应用 [例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12. (2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根,运用对数的运算法则,将它们化为对数的和、差、积、商,然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商,运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二 换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5,试用a ,b 表示log 3645.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5,得log 185＝b ,∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a.利用换底公式可以统一“底”,以方便运算.在用换底公式时,应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22·⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三 与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ,求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3. [解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ), 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0. 所以⎝⎛⎭⎫x y 2－x y －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0,y >0,x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28, 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2,x 2＝－4. 因为x >0,x ＋2>0,所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式,由真数相等求解方程,转化过程中注意真数大于零这一条件,防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ),则log2xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0,易得x >1,原式可化为lg[x (x －1)]＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2,x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ), 所以lg xy ＝lg(x －2y )2,所以xy ＝(x －2y )2,即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0,解得x ＝y 或x ＝4y .因为x >0,y >0,x －2y >0,所以x ＝y 应舍去, 所以xy＝4.故log2xy＝log 24＝4.类型四 对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1表示,它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝,L 1≥0,其中I 0＝1×10－12W/m 2,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2,耳语的强度是1×10－10W/m 2,恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2,试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意,可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2,则I 1I 0＝1,故LI 1＝10·lg1＝0,则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2,则I 2I 0＝102,故LI 2＝10lg102＝20,即耳语声的强度水平为20分贝． 同理,恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001,两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝log c b ,所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ,log b a ＝lg a lg b ,所以log a b ＝1log b a ,试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1.5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ,②log a (MN )＝log a M ·log a N ,③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用,逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．。

《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.1对数的概念》教案【教材分析】对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化； 数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 【教学重难点】重点：对数式与指数式的互化以及对数性质； 难点：推导对数性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】 一、情景导入已知中国的人口数y 和年头x 满足关系中，若知年头数则能算出相应的人口总数。

反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本122-123页，思考并完成以下问题 1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？ 2.什么是常用对数和自然对数？13 1.01xy =⨯3.如何进行对数式和指数式的互化？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .3．对数与指数的关系若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 四、典例分析、举一反三 题型一对数式与指数式的互化 例1将下列指数式与对数式互化:(1)lo g 1327=-3; (2)43=64;(3)e -1=1e ; (4)10-3=0.001.【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3.(3)ln 1e =-1. (4)lg0.001=-3. 解题技巧：（对数式与指数式的互化）1.(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需log ba Nb a N ==与将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.跟踪训练一1. 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg100=2.(3)log e 16=a ,即ln16=a. (4) 64-13=14.(5)x z=y(x>0,且x≠1,y>0).题型二利用对数式与指数式的关系求值 例2求下列各式中x 的值: (1)4x=5·3x; (2)log 7(x+2)=2; (3)lne 2=x; (4)log x 27=32;(5)lg0.01=x.【答案】（1）x=lo g 435（2）x=47（3）x=2（4）x=9（5）x=-2【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x3x =5,∴(43)x=5,∴x=lo g 435.(2)∵,∴x+2=49,∴x=47. (3)∵,∴,∴x=2.(4)∵,∴x 32=27,∴x=2723=32=9. (5)∵lg0.01=x,∴,∴x=-2. 解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）指数式ax=N 与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N 之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.跟踪训练二1.求下列各式中的x 值:7log (2)2x +=2ln e x =2x e e =3log 272x =2100.0110x -==(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3. 【答案】（1）x=√2（2）x=4（3）x=3 【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2. (2)∵log 216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4. (3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3. 题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3求下列各式中x 的值:（1）; (2);(3)3log 3√x =9. 【答案】（1）x=2（2）x=100（3）x=81【解析】(1)∵,∴,∴x=2. (2)∵,∴lgx=2,∴x=100. (3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值） 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)log a 1=0(a>0,a≠1);(3)log a a=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.跟踪训练三1. 求下列各式中x 的值:(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x. 【答案】（1）（2）x=5（3）x=45 【解析】(1)∵ln(lgx)=1,∴lgx=e,∴； (2)∵log 2(log 5x )=0,∴,∴x=5. (3)x=32×3log 35=9×5=45. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧2ln(log )0x =2log (lg )1x =2ln(log )0x =2log 1x =2log (lg )1x =log a N a 10e x =10e x =5log 1x =六、板书设计七、作业课本126页习题4.3中1题2题 【教学反思】本节主要学习了一类新的数：对数。

第四章指数函数与对数函数4.1.1有理指数(一)【教学目标】1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的a ma n＝am-n (m＞n，a ≠ 0)这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？第1格放的米粒数是1；第2格放的米粒数是2；第3格放的米粒数是2×2；第4格放的米粒数是2×2×2；第5格放的米粒数是2×2×2×2；……第64格放的米粒数是2×2×2× (2)学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案．师：通过上面的解题过程，你能发现什么规律？那么第64格放多少米粒，怎么表示？学生回答，教师针对学生的回答给予点评．并归纳出第64格应放的米粒数为263．师：请用计算器求263的值．学生解答．通过问题的引入激发学生学习的兴趣．在问题的分析过程中，培养学生归纳推理的能力．为引出a n设下伏笔．用计算器使问题得到解决．2个23个24个263个2新课新课一、正整指数幂1．定义一般地，a n (n∈N+) 叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并且规定：a1＝a．当n是正整数时，a n叫正整指数幂．练习1 填空(1) 23×24＝；a m⋅a n＝；(2) (23)4＝；(a m)n＝；(3)2423＝；a ma n＝(m＞n，a≠0)；(4) (xy)3＝；(ab)m＝．练习2 计算2323．二、零指数幂规定：a0＝1 (a≠0)练习3 填空(1) 80＝；(2) (－0.8)0＝；练习 4 式子(a－b)0＝1是否恒成立？为什么？练习5 计算(1)2324；(2)2325．教师板书课题．学生理解概念．教师强调n是正整数．学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习1、2．练习1，学生分小组抢答；练习2，学生通过约分解得2323＝1．师：如果取消a ma n＝am－n(m＞n，a ≠ 0) 中m＞n的限制，如何通过指数的运算来表示？2323＝23－3＝20教师板书：零指数幂a0＝1 (a≠0)．师：请同学们结合零指数幂的定义完成练习3．学生解答．教师强调练习4中，等式成立的条件，即a ≠b．练习5，学生可通过约分解学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容．明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫．通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律．由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义．突破思维困境，引入零指数幂．第2题的目的是要让学生记住a0＝1 (a≠0)a n幂指数(n∈N＋)底数新课三、负整指数幂我们规定：a－1＝1a(a≠0)a－n＝1a n(a≠0, n∈N+)练习6 填空(1) 8–2＝；(2) (0.2)－3＝．练习7 式子(a－b)－4＝1(a－b)4是否恒成立？为什么？四、实数系五、整数指数幂的运算法则a m⋅a n＝a m+n；(a m)n＝a mn ；(ab)m＝a m b m．练习8(1) (2x)–2＝；(2) 0.001–3＝；(3) (x3r2)–2＝；(4)x2b2c＝．答．师：实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜n．当m＜n时，运算法则a ma n＝am－n一定成立吗？学生尝试解决教师提出的问题．教师板书：负整指数幂a－n＝1a n(a≠0, n∈N+)，并强调a的取值．练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决．教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a ≠b．师：从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．师：正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立．板书运算法则．通过演示将a ma n的运算归结到a m⋅a n 中去，即a ma n＝am⋅a－n＝a m +(–n)＝a m–n．学生解答，练习8要求小组合作解决．教师在讲解上述题目时，应再现每题运算过程中用到的运算律．中的a≠0这一条件．类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了．练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围．重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．使学生对幂的运算法则给予重新认识．突出本节知识，突出运算法则．实数有理数无理数整数分数正整数零负整数小结1．指数幂的推广2．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：(1) a m a n＝a m+n；(2) (a m)n＝a mn；(3) (ab)m＝a m b m．回顾本节主要内容，加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆．作业必做题：P98，练习A 第1题，选做题：P103，习题第1题(9)．标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层．正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂4.1.1有理指数(二)【教学目标】1. 了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．【教学重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方法】这节课主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．整数指数幂的概念．a n＝a×a×a×…×a (n个a连乘)；a0＝1 (a≠0)；a－n＝1a n(a≠0，n∈N+)．2．运算性质：a m⋅a n＝a m+n；(a m)n＝a mn；(ab)m＝a m b m．师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题．师：首先来复习一下上节课所学的内容．学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．以旧引新提出问题，引入本节课题．复习上节所学内容．新课一、根式有关概念定义：一般地，若x n＝a (n＞1，n∈N)，则x 叫做a 的n 次方根．例如：(1) 由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)；由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；(2) 由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)；教师板书课题．学生理解方根概念．教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．使学生加深对方根概念的理解，为总新课(3) 由64＝1 296知，6是1 296 的4次方根．有关结论：(1) 当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：x＝n a．(2) 当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：x＝±n a．(3) 负数没有偶次方根．(4) 0的任何次方根都为0．当n a有意义时，n a叫做根式，n叫根指数．正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．例如：32叫做2的3次算术根；4－2不叫根式，因为它是没有意义的．二、根式的性质(1) (n a)n＝a．例如，(327)3＝27，(5－3)5＝－3．(2) 当n为奇数时，n a n＝a；当n为偶数时，n a n＝|a| ＝⎩⎨⎧a（a≥0）－a（a＜0）.例如：3(－5)3＝－5，332＝2；52＝5，4(－3)4＝|－3|＝3．观察下面的运算：(a13)3＝a13⨯3＝a①(a23)3＝a23⨯3＝a2②上面两式的运算，用到了法则(a m)n＝a mn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a13连乘3次得到a，所以a13可以看作是a的3次方根；②式的含义是a23连乘3次得到a2，所以a23可以看作是a2的3次方根．因此我们规定学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当n a有意义时，n a叫做根式．学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．教师用语言叙述根式性质：(1) 实数a的n次方根的n次幂是它本身；(2) n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．学生认真观察．在教师的引导下，学生寻找解惑途径．结出结论作铺垫．由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．引入根式、根指数的概念．将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．新课a13＝3a，a23＝3a2，以使运算合理．三、分数指数幂一般地，我们规定：a1n＝n a(a＞0)；amn＝n a m＝(n a)m (a＞0，m，n∈N+，且mn为既约分数)．a－mn＝1amn(a＞0，m，n∈N+，且mn为既约分数) ．四、实数指数幂的运算法则(1) aα⋅aβ＝aα+β；(2) (aα)β＝aαβ；(3) (a b)α＝aα bα．以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．练习1835×825＝83＋25＝81＝8；823＝(813)2＝22＝4；33×33×63＝3×312×313×316＝31＋12＋13＋16＝32＝9；(a23b14)3＝(a23)3·(b14)3＝a2b34．例1利用函数型计算器计算(精确到0.001)：(1) 0.21.52；(2) 3.14－2；(3) 3.123．例2利用函数型计算器计算函数值．已知 f (x)＝2.71x，求f (－3)，f (－2)，f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)．请同学们结合教材在小组内合作完成．学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．学生做练习．教师讲解例1第(1)题的操作方法．学生结合教材，完成例1第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂a b 的值．引入正分数指数幂的概念．类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．使学生掌握函数型计算器的使用．使学生进练习2教材P 98，练习A组第3题，练习B组第3题．一步巩固函数计算器的使用方法．小结1．2．3．利用函数型计算器求a b 的值．学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．作业必做题：教材P 98，练习B 组第1题；选做题：教材P 98，练习B 组第2题．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和选做题两层．根式分数指数幂正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂分数指数幂有理指数幂实数指数幂4.1.2 幂函数举例【教学目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 幂函数的定义． 【教学难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 【教学方法】这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．从函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．【教学过程】 环节 教学内容师生互动设计意图 导 入1．指数幂a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘) a 0＝1；a -n ＝1a n (a ≠0, n N +)；a 1n＝n a (a >0)； a mn＝n a m (a >0，m ，n ∈N +，且m n为既约分数)； a －m n＝1 a m n (a >0，m ，n ∈N +，且m n为既约分数)． 2．观察函数 y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 及 y ＝x －1．学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则．师：以上函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？ 学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题． 复习上节内容，为本节学习做准备．通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标．一、幂函数的概念一般地，形如学生在教师的引导下归纳幂函数的概由学生自己归纳幂新课新课y＝xα的函数我们称为幂函数．练习1 判断下列函数是不是幂函数(1) y＝2 x；(2) y＝2 x35；(3) y＝x78；(4) y＝x2＋3．例1写出下列函数的定义域：(1) y＝x3；(2) y＝x12；(3) y＝x－2；(4) y＝x－32．解：(1) 函数y＝x3的定义域为R；(2) 函数y＝x12，即y＝x，定义域为[0，＋∞)；(3) 函数y＝x－2，即y＝1x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4) 函数y＝x－32，即y＝1x3，其定义域为(0，＋∞)．练习2 求下列函数的定义域：(1) y＝x－3；(2) y＝x－43；(3) y＝x－12．二、幂函数的性质例2作出下列函数的图象：(1) y＝x；(2) y＝x12；(3) y＝x2；(4) y＝x－1．(1)列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x…－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x12…/ / / / 1 1.41 1.73 …y＝x2…9 4 1 0 1 4 9 …念．学生回答练习1，进一步理解幂函数的概念．针对学生的回答，教师结合定义点评．在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题．学生寻找规律，形成解题规律．师：由上例我们可以看出，当幂函数的指数α为负整数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；当幂函数的指数α为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域．教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价．师：函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？学生回答．学生分组完成列表．函数的概念，有利于他们把握和理解新概念．使学生加强对幂函数概念的理解．通过例题演示，使学生进一步掌握求幂函数定义域的方法．总结规律．使学生应用刚学过的新知识．回顾作图过程，进一新课(2)描点；(3)连线．幂函数的性质幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限等．练习3 画出函数y＝x34的图象，并指出其奇偶性、单调性．y＝x-1…－13－12－1 / 11213…师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图．教师结合函数图象说明幂函数的性质．学生在教师的引导下完成练习．步明确函数图象是研究函数性质的有利工具．在画图过程中，学会与人合作．使学生对幂函数的性质有简单的了解．复习作图过程，并强化学生读图能力培养．小结1．幂函数的定义2．求幂函数的定义域3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业1．教材P 100，练习A 第1题．2．计算机上的练习在同一坐标系中画出函数y＝x3与y＝3x的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材172页)．基于学生实际，对课后书面作业实施分层设置的同时设置了计算机上的练习，让学生自己在操作过程中寻找学习的乐趣．4.1.3指数函数【教学目标】1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．【教学重点】指数函数的图象与性质．【教学难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式．教师分析解题的过程，得到y＝0.84x．通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．新课一、指数函数的定义一般地，函数y＝a x (a＞0且a≠1，x∈R)叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．探究1y＝2×3x是指数函数吗？探究2为什么要规定a＞0，且a≠1呢？(1) 若a＝0，教师板书课题．通过探究问题，教师强调指数函数的解析式y＝a x中，a x的系数是1．学生分组合作探究教师提出的问题．教由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数．对于a＞0，且a≠1这一点，新课则当x＞0时，a x＝0；当x≤0时，a x无意义．(2) 若a＜0，则对于x的某些数值，可使a x无意义．如(－2)x，这时对于x＝14，x＝12，…等等，在实数范围内函数值不存在．(3) 若a＝1，则对于任何x∈R，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，＋∞)．练习1 指出下列函数哪些是指数函数：(1) y＝4⋅3x；(2) y＝πx；(3) y＝0.3x；(4) y＝x3．二、指数函数的图象和性质在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝(12)x的图象．(1)列表：略．(2)描点：略．(3)连线：略．练习2 作函数y＝3x与y＝(13)x的图象．师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导．师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象．重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝(12)x的图象．请同学分组完成练习2，教师巡查指导．学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕．学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以强化学生对指数函数的定义的理解记忆．让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识．有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作．xy1 2 3－1－2－3123456789Oy＝2xy＝(12)x新课探究3观察y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与y＝(13)x的图象，找出图象特征．(1) 图象向左右无限延伸；(2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；(3) 图象都经过点(0，1)；(4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝12或a＝13时，从左向右看图象逐渐下降．探究4(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；(2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)；(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，a x＝1”；(4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝12或a＝13时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”．表4-1 指数函数的图象与性质a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域(0，＋ )定点(0，1)单调增函数减函数师：指数函数：y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与y＝(13)x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质．学生分组，采用小组合作形式完成．师生共同完成该表．为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受．锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力．y＝1xy(0,1)Oy＝1xy(0,1)O新课性x≥0时，y≥1；x＜0时，0＜y＜1X≥0时，0＜y≤1；x＜0时，y＞1练习3(1) 指数函数y＝a x，当时，函数是增函数；当时，函数是减函数．(2)若函数f(x)＝(a＋1)x是减函数，则a的取值范围是．例1用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.72.5和1.73；(2) 0.8－0.1和0.8－0.2．解(1) 考察函数y＝1.7x，它在实数集上是增函数．因为 2.5＜3，所以 1.72.5＜1.73．请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？(2) 考察函数y＝0.8x，它在实数集上是减函数．因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2．请同学们用计算器验证一下答案是否正确？练习4 比较下列各题中两个值的大小：(1) 0.70.80.70.7；(2) 1.1－2.1 1.1－2；(3) 如果2n＜2m，则n m．例2求函数y＝3x－3 的定义域．解：要使函数有意义，则有3x－3≥0，所以3x≥3，所以x≥1．所以函数的定义域为[1，＋∞)．练习5 求函数y＝2x－4 的定义域．全体学生一起回答．教师强调：对于比较大小的问题，若是底数相同，通过构造一个指数函数，用指数函数单调性来解决．学生画图验证．学生用计算器验证．学生练习并解答．学生体会求定义域的方法．设置本练习其目的为了进一步强化学生对指数函数性质的掌握．通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验．增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础．加深训练．小结1．指数函数的定义；2．指数函数的图象与性质；3．应用：(1) 比较大小；(2) 求函数的定义域．师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象与性质．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业1．必做题：教材P102，练习A组第2题；选做题：教材P102，练习B 组第2题．2．计算机上的练习标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练在同一坐标系中画出函数y＝10x与y＝(110)x的图象，并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材167页)．习题和计算机上的练习两层．4.2.1对数【教学目标】1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．【教学重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．【教学难点】对数概念及性质的理解掌握．【教学方法】这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．学生通过课件的演示，在教师的带领下明确问题内涵．师：这两个问题都是已知底数和幂的值求指数的问题．通过生活实例引入，体现数学的应用性，引发学生的好奇心．展示分析问题的过程，化解问题的难度，使学生通过寻找规律，归纳问题的答案．新课一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，教师给出对数的定义，并举例说明：因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；因为43＝64，所以3是以4为底64的对数．准确理解对数定义。

第四章指数函数与对数函数教材分析本章为指数函数与对数函数函数，分两个单元共4节，内容如下实数指数幂、指数函数、对数、对数函数。

本章共需课时，具体分配如下：4.1 有理数指数幂 4课时4.2指数函数 2课时4.3对数 2课时4.4对数函数 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求本章内容是在初中以及第三章函数的基础上研究指数函数、对数函数的概念、图象和性质，使学生在学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数应用意识，为今后学习打下良好的基础。

内容安排：第一单元是实数指数幂指数与指数函数，指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在第三章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本章在此基础上将指数概念扩充到实数指数幂，并给出了实数指数幂的运算性质之后，又简单的研究了幂函数的概念、图象和性质，并充分的利用课件进行演示指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质的直观图形指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律章的性质所呼应，充分的研究了函数的概念、图象和性质。

并在应用举例中，与生活紧密的结合起来。

第二单元是对数与对数函数对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到本单元讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN =b了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可本章在对数函数概念的引入上并没有采用指数函数反函数的形式，而是将指数形式性质改写成对数形式，降低了难度。

关于《指数函数和对数函数》的教学分析函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究最重要的两个基本初等函数：指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步理解到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受使用函数概念建立模型的过程与方法.一、课程标准要求（1）指数函数①通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

（2）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.③知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x互为反函数（a > 0, a≠1）.二、教学目标1．知识与技能⑴理解有理指数幂的含义，了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.⑵了解指数函数模型的实际背景.⑶理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.⑷在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.⑸理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.⑻能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.⑼了解反函数的定义,知道指数函数xy a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点，会区别它们变化的速度的不同.2. 过程与方法⑴在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想，并且能够让学生利用计算器或计算机实行实际操作，感受“逼近”过程.⑵通过具体的指数函数图象，由特殊到一般地研究指数函数的性质.⑶通过对数与指数之间的关系，理解对数概念，并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推出对数的运算性质.⑷通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数，并由对数函数的图象研究对数函数的性质，并通过类比指数函数，加深对对数函数的理解.⑸借助函数图象，研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系.3.情感、态度、价值观⑴在从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的推广过程中，以及指数函数和对数函数等内容的学习过程中，体会事物从特殊到一般，从低级到高级的发展规律，树立辨证唯物主义观点，养成实事求是的科学态度，培养科学的思维方式.⑵在利用本章知识在解决实际问题的过程中，理解到知识来源于生活并最终服务于生活，提升学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心.⑶本章内容蕴涵了很多数学思想方法，如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等，通过这些思想方法在具体问题中的使用，体会这些数学思想方法，培养学生更加开阔的数学视野，逐步理解数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义.⑷通过实例，提升解决实际问题的水平，发挥个人的水平，构建数学模型，养成独立思考问题的水平.三、 知识结构与教学安排1. 知识结构与教学顺序2. 课时安排本章教学时间约需要16课时，具体分配如下：§1 正整数指数函数 2课时§2 指数扩充及其运算性质 3课时2．1 指数概念的扩充2．2 指数运算的性质§3 指数函数 3课时3．1指数函数的概念3．2指数函数2x y =和1()2xy =的图像和性质3．3 指数函数的图像和性质§4 对数 3课时4．1 对数及其运算4．2 换底公式§5 对数函数 3课时5．1 对数函数的概念5．2 2log y x 的图像和性质5．3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1课时小结与复习 1课时四、 教学重点和难点1.教学重点（1）分数指数幂的概念、指数的运算性质.（2）对数的概念和运算性质.（3）指数函数和对数函数的图象和性质.2.教学难点（1）分数指数幂的概念.（2）底数a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.（3）指数函数、对数函数以及幂函数增长的比较.五、 教学建议1.注意与初中内容及选修内容的衔接●与初中内容的衔接本章内容是与初中数学最近的结合点。