中考百分百--中考数学专题(开放性问题专题)

中考百分百——备战中考专题 （开放性问题专题）一．知识网络梳理教育部于1999、2000年接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”．此后，开放型试题成为各地中考的必考试题．所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型．开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性．开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养．开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力． 题型1 条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出． 题型2 结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力． 题型3 解题方法的开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程． 二、知识运用举例 （一）条件开放例1.已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数xky图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k 的值）解： 答案不唯一，只要符合k ＜0即可，如k ＝ —1，或k ＝ —2……．例2.如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是__．D例2图解：答案不惟一.如：AB ＝DC ；∠ACB ＝∠DBC ；∠A ＝∠D ＝Rt ∠…．例3已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：．答：(13)-，，(12)-，，(11)-，，(21)-，，(22)-，，(31)-，六个中任意写出一个即可例4如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点．（1）如果__________ ，则ΔDEC ≌ΔBF A （请你填上能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论．分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件．解：（1）AE ＝CF （OE ＝OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等） （2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DCE ＝∠BAF又∵AE ＝CF ，∴AC －AE ＝AC －CF ，∴AF ＝CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定．例5已知：∠MAN ＝30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ．（1）如图（1）当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；（2）如图（2）当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．【解答】（1）在图（1）中，当⊙O 与AM 相切时，设切点为F ．连结OF ，则OF ⊥AM ，•∵在Rt △AOF 中，∠MAN ＝30°，∴OF ＝12OA ．∴2＝12（x ＋2），∴x ＝2， ∴当x ＝2时，⊙O 与AM 相切．（2）•在图（2）中，过点O 作OH ⊥BC 于H ．当∠BOC ＝90°时，△BOC 是等腰直角三角形，∴BC=B C∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴OH＝12BC在Rt△AHO中，∠A＝30°，∴OH＝1OA12（x＋2），∴x＝2．∴当x＝2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°．【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．（二）、结论开放例1）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)解：∠1＝∠2或BD＝DC或△ABD≌△ACD等．例2如图，◎Ol与◎O2相交于点A、B，顺次连结0l、A、02、B四点，得四边形01A02B．（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪些性质?(用文字语言写出4条性质)性质1．________________________________；性质2．________________________________；性质3．________________________________；性质4．________________________________．（2）设◎O1的半径为尺，◎O2的半径为r(R＞r)，0l，02的距离为d．当d变化时，四边形01A02B的形状也会发生变化．要使四边形01A02B是凸四边形(把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d的取值范围是____________________________解：（1）是开放性问题，答案有许多，如：性质1：相交两圆连心线垂直公共弦；性质2：相交两圆连心线平分公共弦；性质3：线段01A＝线段01B；性质4：线段02B＝线段02A；性质5：∠01A02＝∠01B02；等等．（2）实质是相交两圆的d与R＋r的关系，应为R—r＜d＜R＋r．例3（已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（•如图①所示）时，易证得结论：P A2＋PC2＝PB2＋PD2，请你探究：当P•点分别在图②、•图③中的位置时，P A2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，•并利用图②证明你的结论．21DBA答：对图②的探究结论为__________．对图③的探究结论为_________．证明：如图2．结论均是：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．证明：如图②过点P 作MN ⊥AD 交AD 于点M ，交BC 于点N ． ∵AD ∥BC ，MN ⊥AD ，∴MN ⊥BC 在Rt △AMP 中，P A 2＝PM 2＋MA 2 在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2 在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2 在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2 ∴P A 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2 PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2 ∵MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ． ∴四边形MNCD 是矩形． ∴MD ＝NC ． 同理 AM ＝BN ．∴PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2． 即P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．（三）、综合开放例1如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G .试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．解：△BCF ≌△CBD . △BHF ≌△CHD . △BDA ≌△CF A . (注意答案不唯一) 证明△BCF ≌△CBD ．∵AB ＝AC . ∴∠ABC ＝∠ACB . － ∵BD 、CF 是角平分线. ∴∠BCF ＝21∠ACB ，∠CBD ＝21∠ABC ． ∴∠BCF ＝∠CBD . 又BC ＝CB . ∴△BCF ≌△CBD ．例2已知抛物线1)(2+--=m x y 与x 轴的交点为A 、B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．A DH F E G B C（1）写出1=m 时与抛物线有关的三个正确结论； （2）当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请你提出一个对任意的m 值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）．解：当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝－)1(2-x ＋1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在．m ＝2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y ＝－)(2m x -＋1与x 轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等．例3如图9，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图9－1 延长BP 交直线AC 于点E∵ AC ∥BD ， ∴ ∠PEA ＝ ∠PBD ． ∵ ∠APB ＝ ∠P AE ＋ ∠PEA ， ∴ ∠APB ＝ ∠P AC ＋ ∠PBD ．解法二：如图9－2A B C D ①② ③A B C D P ① ② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ 图9④过点P 作FP ∥AC ， ∴ ∠P AC ＝ ∠APF . ∵ AC ∥BD ， ∴FP ∥BD . ∴ ∠FPB ＝∠PBD .∴ ∠APB ＝∠APF ＋∠FPB ＝∠P AC ＋ ∠PBD ． 解法三：如图9－3，∵ AC ∥BD ， ∴ ∠CAB ＋∠ABD ＝ 180° 即 ∠P AC ＋∠P AB ＋∠PBA ＋∠PBD ＝ 180°． 又∠APB ＋∠PBA ＋∠P AB ＝ 180°， ∴ ∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD . （2）不成立.（3）(a )当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD ＝∠P AC ＋∠APB ．(b )当动点P 在射线BA 上，结论是∠PBD ＝∠P AC ＋∠APB ．或∠P AC ＝∠PBD ＋∠APB 或 ∠APB ＝ 0°，∠P AC ＝∠PBD （任写一个即可）．(c ) 当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠P AC ＝∠APB ＋∠PBD ．选择(a ) 证明：如图9－4，连接P A ，连接PB 交AC 于M ∵ AC ∥BD ，∴ ∠PMC ＝∠PBD ．又∵∠PMC ＝∠P AM ＋∠APM ， ∴ ∠PBD ＝∠P AC ＋∠APB ． 选择(b ) 证明：如图9－5∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB ＝ 0°．∵ AC ∥BD ， ∴∠PBD ＝∠P AC ． ∴ ∠PBD ＝∠P AC ＋∠APB 或∠P AC ＝∠PBD ＋∠APB或∠APB ＝ 0°，∠P AC ＝∠PBD . 选择(c ) 证明：如图9－6，连接P A ，连接PB 交AC 于F ∵ AC ∥BD ， ∴∠PF A ＝∠PBD ． ∵ ∠P AC ＝∠APF ＋∠PF A ， ∴ ∠P AC ＝∠APB ＋∠PBD ．三、知识巩固训练1代数式22(0)m n m n ->>的三个实际意义是：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2（荆门市）多项式x 2＋px ＋12可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可） 3（常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式___________________________．4（绍兴市）平移抛物线228y x x =+-，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________5（海安）请给出一元二次方程28x x -+________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．6（资阳）已知a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝11()2-，d ，从a 、b 、c 、d 这4个数中任意选取3个数求和；7（资阳）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a . 得分为正数或0；b . 若8次都未投进，该局得分为0；c . 投球次数越多，得分越低；d . 6局比赛的总得分高者获胜 ．（1） 设某局比赛第n (n ＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．8. （年山东省）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列三个条件： ①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD ． （1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．9（年绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结P A ，分别过点B 、D 作BE ⊥P A 、DF ⊥P A ，垂足分别为E 、F ，如图①． （1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC •的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD •的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．10（甘肃省白银等7市新课程）探究下表中的奥秘，并完成填空：将你发现的结论一般化，并写出来．11（甘肃省陇南市）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．12（07安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；【解】（2）若按关系式y＝a(x－h)2＋k(a＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】四、知识巩固训练答案：1．s s -大正小正、s 矩形（长：m ＋n 、宽m －n ）；摩托车每辆m 元，自行车每辆n 元，m 辆摩托车比n 辆自行车贵多少钱；2．±7，±8，±13（写出其中一个即可）； 3．y ＝(x －2)2＋3等； 4．y ＝x2＋2x 等；5．12(答案不唯一)；6．a ＋b ＋c ， a ＋b ＋d a ＋c ＋d ，7．（1(用公式或语言表述正确，同样给分.)（2） 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分， 所以甲在这次比赛中获胜． 8.答案不惟一，符合题意即可 9．（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ． （2）•证明略． 10．填空：-14，-3；4x 2＋13x ＋3＝4(x ＋14)(x ＋3)． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2＋bx ＋c ＝a （x - x 1）（x -x 2）．11．因为周长一定（2＋3＋4＋5＋6＝20cm ）的三角形中，以正三角形的面积最大． 取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大． 此时，三边为6、5＋2、4＋3，这是一个等腰三角形． 可求得其最大面积为12．（1）当P ＝12时，y ＝x ＋()11002x -，即y ＝1502x +． ∴y 随着x 的增大而增大，即P ＝12时，满足条件（Ⅱ）又当x ＝20时，y ＝1100502⨯+＝100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P ＝12时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x ＝20，100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h ＝20，y ＝()220a x k -+，∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大令x ＝20，y ＝60，得k ＝60 ① 令x ＝100，y ＝100，得a ×802＋k ＝100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+．。