福建省莆田市仙游一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共有12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合（∁U A）∪B=（）A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅2．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1 C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣13．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（）A．B．C．2D．165．（5分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）6．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．7．（5分）函数的定义域是（）A．B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，1]8．（5分）函数f（x）=（x2﹣4x+3）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）9．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）10．（5分）f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）11．（5分）若对于任意x∈（﹣2，2）都有2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（﹣6，+∞）12．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．（0，]∪（1，+∞）D．（0，）二、填空题（本题共有4小题．每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分15分.）13．（4分）已知2m=3n=36，则=．14．（4分）若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a的零点个数为2，则a的范围是．15．（4分）通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．请问2013年10月31日台湾花莲县6.7级地震的最大振幅是2013年10月30日福建仙游县4.3级地震最大振幅的倍．16．（3分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[0，+∞）的函数f（x）=（x﹣1）2为[0，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是．三、解答题（本题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）求值：；（2）解不等式：．18．（12分）对于函数f（x）=a+（x∈R），（1）判断f（x）在R 上的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．19．（12分）已知函数f（x）=x2+（k﹣2）x+2k﹣1．（1 ）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时g（x）=f（x），（i）求实数k 与g（0）的值；（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k 的取值范围．20．（14分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层（即x=0时），每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值；（2）求f（x）的表达式；（3）利用“函数（其中a为大于0的常数），在上是减函数，在上是增函数”这一性质，求隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求出这个最小值．21．（12分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．22．（13分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（Ⅱ）已知函数h（x）=具有性质M，求a的取值范围；（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合（∁U A）∪B=（）A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{1，2，5，8} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解答：解：∵全集∪={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，∴∁U A={0，2，3，6}，则（∁U A）∪B={0，2，3，6}．故选A点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1 C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣1考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由函数f（x）的解析式，由于x=（x+1）﹣1，用x+1代换x，即可得f（x）的解析式．解答：解：∵函数f（x﹣1）=x2∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1故选A．点评：本题主要考查了函数解析式的求法及其常用方法，同时考查了整体代换思想，属于基础题．3．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．解答：解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C点评：本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．4．（5分）已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（）A．B．C．2D．16考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：由题意可得2α=，求出α=﹣，由此求出f（4）=运算求得结果．解答：解：函数f（x）=xα的图象经过点，故有2α=，∴α=﹣．∴f（4）===，故选B．点评：本题主要考查幂函数的定义，求出α=﹣，是解题的关键，属于基础题．5．（5分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．解答：解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．点评：考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．6．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：考查函数相应性质，从四个选项中选择与之相符的一个．解答：解：当x=1时，y=0；又f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数．只有D项与之相符．故选：D．点评：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先区分四个选项，再研究函数对应的性质，选择与之相符的选项．7．（5分）函数的定义域是（）A．B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，1]考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．解答：解：欲使函数的有意义，须，∴解之得：故选C．点评：对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．8．（5分）函数f（x）=（x2﹣4x+3）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）考点：复合函数的单调性；对数函数的单调区间．专题：计算题．分析：函数f（x）=（x2﹣4x+3）是由这两个函数f（x）=t 和t=x2﹣4x+3＞0复合而成，根据复合函数的单调性“同增异减”可以求解．解答：解：函数f（x）=（x2﹣4x+3）是由这两个函数f（x）=t 和t=x2﹣4x+3＞0复合而成，由t=x2﹣4x+3＞0解得x＞3，或x＜1，即函数的定义域是（﹣∞，1）∪（3，+∞）f（x）=t 在定义域上是减函数，t=x2﹣4x+3在（﹣∞，1）是减函数，在（3，+∞）上是增函数根据复合函数的单调性“同增异减”可知，函数f（x）=（x2﹣4x+3）的递增区间为t=x2﹣4x+3的递减区间，即（﹣∞，1），故选A．点评：考查复合函数的单调性的判定，其法则为“同增异减”，同时要注意对数函数的真数必须大于零．9．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由f（x）的奇偶性及在（0，+∞）上的单调性可判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，再根据f（x）图象上的特殊点可作出f（x）在R上的草图，根据图象可解得不等式．解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递增且为奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也单调递增，由奇函数性质可得f（﹣0）=﹣f（0），则f（0）=0，由f（2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，作出函数f（x）在R上的草图，如图所示：由图象可得，x•f（x）＞0⇔或⇔x＜﹣2或x＞2，∴不等式x•f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查数形结合思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．10．（5分）f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；压轴题．分析：先根据当x≤1时，f（x）是一次函数且为增函数，可得一次项系数为正数，再根据当x＞1时，f（x）=a x为增函数，可得底数大于1，最后当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值．综合，可得实数a的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，f（x）=（4﹣）x+2为增函数∴4﹣＞0⇒a＜8又∵当x＞1时，f（x）=a x为增函数∴a＞1同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值∴（4﹣）×1+2≤a1=a⇒a≥4综上所述，4≤a＜8故选B点评：本题以分段函数为例，考查了函数的单调性、基本初等函数等概念，属于基础题．解题时，应该注意在间断点处函数值的大小比较．11．（5分）若对于任意x∈（﹣2，2）都有2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（﹣6，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式恒成立变形为a＞x﹣对于任意x∈（﹣2，2）恒成立，利用导数研究函数f（x）=x﹣的单调性，从而得到f（x）的取值范围，即可求得实数a的取值范围．解答：解：∵2x（x﹣a）＜1对于任意x∈（﹣2，2）恒成立，∵2x＞0，∴2x（x﹣a）＜1对于任意x∈（﹣2，2）恒成立等价于a＞x﹣对于任意x∈（﹣2，2）恒成立，令f（x）=x﹣，则f′（x）=1+＞0在（﹣2，2）上恒成立，故函数f（x）在（﹣2，2）上为单调递增函数，∴f（x）＜f（2）=，∴a≥＞f（x），∴a的取值范围是[，+∞）．故选：C．点评：本题考查了恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．考查了运用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．12．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．（0，]∪（1，+∞）D．（0，）考点：函数零点的判定定理．专题：新定义．分析：由新定义写出分段函数f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，然后作出分段函数的图象，关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，是指函数y=f （x）的图象与y=a的图象有3个不同的交点，数形结合可求实数a的取值范围．解答：解：由2x﹣1＜x﹣1得，x＜0．由定义运算a*b=，则f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）==函数f（x）=﹣x2+x （x＞0）的最大值是=．函数f（x）的图象如图，由图象看出，关于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根的实数a的取值范围是（0，）．故选D．点评：本题考查了函数零点的判断，考查了分段函数的图象，考查了数学转化思想和数形结合思想，判断一个方程根的个数，可以转化为判断两个函数图象交点的个数，是中档题．二、填空题（本题共有4小题．每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分15分.）13．（4分）已知2m=3n=36，则=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m=log236，n=log336，故=log362+log363，再利用对数的运算性质进行化简．解答：解：∵2m=3n=36，∴m=log236，n=log336，∴=log362+log363=log366==，故答案为．点评：本题考查对数式与指数式的互化，对数的运算性质、换底公式的应用．14．（4分）若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a的零点个数为2，则a的范围是{a|a=0或a＞4}．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=|4x﹣x2|=，画出函数g（x）的图象；当x=2时，g（2）=4．当x=0或4时，g（0）=g（4）=0．即可得出a的取值范围．解答：解：令g（x）=|4x﹣x2|=，画出函数g（x）的图象，当x=2时，g（2）=4．当x=0或4时，g（0）=g（4）=0．∴当a=0或a＞4时，函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a的零点个数为2．故答案为：{a|a=0或a＞4}．点评：本题考查了二次函数的图象与性质、含绝对值符号的函数的图象、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．15．（4分）通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．请问2013年10月31日台湾花莲县6.7级地震的最大振幅是2013年10月30日福建仙游县4.3级地震最大振幅的102.4倍．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算法则进行计算即可．解答：解：6.7级地震的最大振幅A1满足6.7=lgA1﹣lgA0，4.3级地震的最大振幅A2满足4.3=lgA2﹣lgA0，两式相减得6.7﹣4.3=lgA1﹣lgA2=，即倍．故答案为：102.4．点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数的运算法则是解决本题的关键．16．（3分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[0，+∞）的函数f（x）=（x﹣1）2为[0，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；新定义．分析：根据题意可知定义域是[0，+∞）的函数f（x）=（x﹣1）2为[0，+∞）上的m高调函数，令x=0得到m的取值范围即可．解答：解：因为定义域是[0，+∞）的函数f（x）=（x﹣1）2为[0，+∞）上的m高调函数，由x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），得x=0得到f（m）≥f（0）即（m﹣1）2≥1，解得m≥2或m≤0（又因为函数的定义域为[0，+∞）所以舍去），所以m∈[2，+∞）故答案为[2，+∞）点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及用特值法解题的能力，解一元二次不等式的能力．三、解答题（本题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）求值：；（2）解不等式：．考点：指、对数不等式的解法；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用指数的运算性质化简即可求得答案；（2）利用对数函数的单调性得到关于x的一元二次不等式组，解之即可．解答：解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+═﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）解：依题得，即解得：x＞4．∴原不等式的解集为：{x|x＞4}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查指数的运算性质与对数函数的单调性及一元二次不等式组的解法，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）对于函数f（x）=a+（x∈R），（1）判断f（x）在R 上的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用函数的单调性的定义，判断f（x）在R 上的单调性即可；（2）利用f（x）是奇函数的性质，f（0）=0，即可求a值；（3）利用函数的奇偶性以及函数的单调性，转化不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0求解即可．解答：（12分）解：证明（1）：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵2﹣2＞0，2+1＞0，2+1＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数（2）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=﹣1．（3）由（1）（2）可得f（x ）在R上是单调减函数且是奇函数，∴f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．转化为f（2t+1）≤﹣f（t﹣5）=f（﹣t+5），⇒2t+1≥﹣t+5⇒t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0的解集为：{t|t≥}．点评：本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．（12分）已知函数f（x）=x2+（k﹣2）x+2k﹣1．（1 ）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时g（x）=f（x），（i）求实数k 与g（0）的值；（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k 的取值范围．考点：函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）代入解析式，利用去哦函数的定义，分类讨论求解，（2）依题意得：，求解不等式即可．解答：解：（1）．由f（1）=16得k=6，∴f（x）=x2+4x+11，（i）．由g（x）是R上的奇函数，∴g（0）=0，（k=6），（ii）．依题意知：当x＞0时，g（x）=x2+4x+11；当x＜0时，则（﹣x）＞0，由g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[（﹣x）2+4（﹣x）+11]=﹣x2+4x﹣11．∴x＜0时，g（x）=﹣x2+4x﹣11，（2）依题意得：，，∴即＜k＜；所以k的取值范围为（，），点评：本题考察了函数的性质，零点的判断方法，属于中档题．20．（14分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层（即x=0时），每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值；（2）求f（x）的表达式；（3）利用“函数（其中a为大于0的常数），在上是减函数，在上是增函数”这一性质，求隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求出这个最小值．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据题意中的一组特值求解．（2）根据题意，隔热层的建造费用f（x）是20年的能源消耗费用之和与x厘米厚的隔热层的建造成本的和，依次求出函数的解析式与定义域．（3）将函数解析式化简，再利用“函数（其中a为大于0的常数），在上是减函数，在上是增函数”这一性质，求解．解答：解：（1）根据题意当x=0时，C（x）=8，代入得=8⇒K=40；（2）f（x）=6x+20×=6x+，0≤x≤10．（3）∵f（x）=2（3x+5）+﹣10=2[（3x+5）+]﹣10≥2×2﹣10=70．当且仅当3x+5==20时，即x=5时，取“=”．答：隔热层修建5厘米厚时，总费用最小，最小值为70（万元）．点评：本题主要考查利用构造函数类型解决实际问题．21．（12分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）根据解析式求解，（2）根据对数函数的单调性求解．（3）转化二次函数求解，g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，解答：解：（1）∵函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴f（3）=log3（9×3）•log3（3×3）=3×2=6，（2）令t=log3x，∵f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴≤t（x）≤log39，∴实数t的取值范围：﹣2≤t≤2，（3）g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，对称轴t=﹣，根据二次函数的性质可得：g（）=﹣，，x=，g（2）=12，log3x=2，x=9故函数y=f（x）的最大值12，x=9，最小值，x=，点评：本题考查了二次函数的性质，对数函数的性质，属于中档题．22．（13分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（Ⅱ）已知函数h（x）=具有性质M，求a的取值范围；（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．考点：对数函数的图像与性质；二次函数的性质；指数函数的图像与性质．专题：计算题；新定义．分析：（Ⅰ）把函数f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），解出x0，从而求解；（Ⅱ）根据h（x）具有性质M，即存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得到一个关于x0，的方程，其中含有参数a，并对a进行讨论，从而求出a的取值范围；（Ⅲ）已知函数y=f（x）恒具有性质M，转化为关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解，因为①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，把其代入进行一一验证是否具有性质M；解答：解：（Ⅰ）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2得：…（2分）即2x0=2，解得x0=1，∴函数f（x）=2x具有性质M．…（4分）（Ⅱ）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0，∵h（x）具有性质M，∴存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得lg=化为2（+1）=+a整理得：（a﹣2）+2ax0+2a﹣2=0有实根…（5分）①若a=2，得x0=﹣，满足题意②若a≠2，则要使（a﹣2）+2ax0+2a﹣2=0有实根，只需满足△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得a∈[3﹣，3+]∴a∈[3﹣，2）∪（2，3+]…（8分）综合①②，可得a∈[3﹣，3+]…（9分）（Ⅲ）解：函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，整理，得0×x+b=0，当b≠0时，关于x的方程（*）无解∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；②若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax﹣c=0，解得x=．∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．③若f（x）=（k≠0），则方程（*）可化为x2+x+1无解∴f（x）=（k≠0）不具备性质M；④若f（x）=a x，则方程（*）可化为a x+1=a x+a，化简得（a﹣1）a x=a即a x=当0＜a＜1时，方程（*）无解∴f（x）=（k≠0），不恒具备性质M；⑤若f（x）=log a x，则方程（*）可化为log a（x+1）=log a x，化简得x+1=x显然方程无解；∴f（x）=（k≠0），不具备性质M；综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）点评：此题是一道综合性比较强的题，考查了二次函数的图象和性质的应用，出现了新定义，这是高考的热点，围绕这个新定义出了三问，但是都不是很难，运用了分类讨论的思想，是一道中档题；。