2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末质量监测数学试题一、单选题1．复数2i iz -=（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．12i-B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】C【分析】利用复数的除法法则计算出12i z =--，从而求出共轭复数.【详解】()22i i 2i 2i 112i i i 1z --+====---，所以共轭复数是12i z =-+.故选：C .2．已知向量()()()1,,2,3,2,2a k b c ===- ，且()//c a b - ，则k =（）A ．4B ．-4C ．2D ．-2【答案】A 【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，列方程求解.【详解】向量()()()1,,2,3,2,2a k b c ===- ，则有()1,3a b k -=-- ，由()//c a b - ，得()()2321k --=⨯-，解得4k =.故选：A.3．某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核．民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为6,8,,8,7,9,10,8a ，若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（）A ．8B ．8.5C ．9D ．9.5【答案】B【分析】由平均数求出a 的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.【详解】由题意可得：6887910888a +++++++=，解得：8a =，将这组数据从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10，因为875%6⨯=为整数，所以这组数据的75百分位数为898.52+=，故选：B.4．已知复数z 满足48i z z z ⋅+=（i 是虚数单位），则复数z =（）A ．22i--B ．22i -+C ．22i -D ．22i+【答案】B 【分析】复数i z a b =+，利用共轭复数的概念，复数的乘法，复数的相等，解方程即可.【详解】复数i z a b =+，则i z a b =-，由22444i 8i z z a b z b a ⋅+=+++=，得224048a b a b ⎧++=⎨=⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩，所以22i z =-+.故选：B5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m n n α，则//m αB ．若,⊥⊥m n n α，则//m αC ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβD ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥【答案】C【分析】若,m n n α∥∥，有可能m α⊂，可判断选项A ；线面平行可判断选项B 由线面垂直可以得出面面平行可以判断C 选项，根据线面平行及面面垂直可判断选项 D.【详解】对于选项A ，有可能m α⊂，故选项A 为假命题；对于选项B ，有可能m α⊂，故选项B 为假命题；对于选项C ，,m m αβ⊥⊥，可得两平面法向量共线,,αβ是两个不重合的平面，进而可得αβ∥，故选项C 为真命题.对于选项D ，若m α∥，αβ⊥，有可能m β⊂，故选项D 为假命题；故选：C.6．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m【答案】D【分析】设m AB x =，在BCD △中，利用余弦定理列出关于x 的方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设m AB x =，则m 3m BC x BD x ==，，在BCD △中，由余弦定理，得222=2cos120+BD BC CD BC CD ⋅-︒．化简得220800=0x x --，解得=40m x ．即AB=40m ．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．在ABC 中，π,2,3BAC AD DB P ∠==uuu r uuu r 为CD 上一点，且满足13AP AC AB λ=+ ．若||2,||3AC AB == ，则AP 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C 【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得12λ=，再利用数量积的定义与运算律求解.【详解】由题意可得：1cos 3232AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为,,C P D 三点共线，则AP xAC y AD =+uuu r uuu r uuu r ，且1x y +=，又因为11313322AP AC AB AC AD AC AD λλλ==++=⨯+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则1,2x y λ==，可得112λ+=，解得12λ=，可得1123AP AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，所以2221111113934394394AP AC AB AC AB =+=⨯⋅++⨯+⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即3AP =uuu r .故选：C.8．几何中常用L 表示L 的测度，当L 为曲线､平面图形和空间几何体时，L 分别表示其长度､面积和体积．ABC 是边长为4的正三角形，P 为ABC 内部的动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（）A ．83B ．22π33+C ．6π83+D ．22π833+【答案】D【分析】首先确定到动点P 距离为1的点的轨迹所构成的空间体的形状，然后由空间几何体的体积公式求解即可．【详解】到动点P 距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面ABC 的视角下看，如图所示：其中BCMN ，ACJK ，ABYQ 区域内的几何体为半圆柱，CMJ ，BYN ，KAQ 区域内的几何体为被平面截的部分球，球心分别为A ，B ，C ，ABC 区域内的几何体为棱柱，其高为2．由BCMN ，ACJK ，ABYQ 为矩形，所以90MCB ∠= ，90ACJ ∠= ，ABC 是正三角形，60AC B ∠= ，则有360120MCJ MCB ACJ ACB ∠-∠-∠-∠ ==，同理120NBY ∠ =，120KAQ ∠ =，则=360KAQ NBY MCT ∠+∠+∠ ，所以CMJ ，BYN ，KAQ 这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，体积为34π4π133⨯=；BCMN ，ACJK ，ABYQ 这三个区域内的半圆柱体积为21π1436π2⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（其中21π12⨯表示半圆底面）；ABC 区域内的棱柱体积为144sin 602832⨯⨯⨯⨯= .所以几何体L 的体积等于22π833+．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何种空间几何体，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.二、多选题9．已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．若z z =，则z ∈RC ．若复数z 为纯虚数，则22||z z =D ．若()1i 1i z -=+，则1z =【答案】ABD【分析】A 选项，根据复数的乘方运算法则计算出答案；B 选项，设i z a b =+，则i z a b =-，从而根据z z =求出0b =，B 正确；C 选项，设i z b =，分别求出2222||,z b z b ==-；D 选项，化简得到1i i 1i z +==-，从而求出模长.【详解】A 选项，()()234i i i i i 1i 10+++=+-+-+=，A 正确；B 选项，设i z a b =+，,R a b ∈，则i z a b =-，若z z =，则i i a b a b =+-，即2i 0b =，解得0b =，则z a =，z ∈R ，B 正确；C 选项，复数z 为纯虚数，设i z b =，0b ≠，则()2222222|i ,i |b z b z b b ====-，故22||z z ≠，C 错误；D 选项，若()1i 1i z -=+，则()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====---，故1z =，D 正确.故选：ABD10．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，则下列结论正确的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．每年月接待游客的增长量最多是8月D ．每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小【答案】BD【分析】根据折线图提供的数据逐一判断各选项．【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A 中，很明显有些月份游客量在下降，故A 选项错误；在B 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故B 选项正确；在C 中，每年月接待游客的增长量最多是7月，故C 选项错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确．故选：BD ．11．如图，,,AB AC AD 两两互相垂直，三棱锥E BCD -是正四面体，则下列结论正确的是（）A ．二面角D BC A --的大小为π4B ．BC DE⊥C ．若BCD △的中心为O ，则,,A O E 三点共线D ．三棱锥E BCD -的外接球过点A【答案】BCD【分析】由已知可得AB AC AD ==，取BC 的中点F ，可得AF BC ⊥，DF BC ⊥，所以AFD ∠为二面角D BC A --的平面角，设2AB a =，求出AF 、DF ，在ADF △中由余弦定理可判断A ；连接EF ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可判断B ；根据三棱锥A BCD -是正三棱锥得AO ⊥平面BCD ，三棱锥E BCD -是正三棱锥得EO ⊥平面BCD 可判断C ；几何体A BCDE -与棱长为2a 正方体-ABNC DHEG 有相同的外接球可判断D.【详解】对于A ，由已知可得222AB AC BC +=，222AB AD BD +=，222AD AC CD +=，而222==BC BD CD ，所以AB AC AD ==，取BC 的中点F ，连接AF 、DF ，可得AF BC ⊥，DF BC ⊥，所以AFD ∠为二面角D BC A --的平面角，设2AB AD a ==，则22BC a =，2AF a =，3DF a =，在ADF △中，由余弦定理可得22222222346cos 212223+-+-∠===⨯⨯⨯AF DF AD a a a AFD AF DF a，故A 错误；对于B ，由A 选项连接EF ，因为EB EC =，所以EF BC ⊥，因为EF DF F =I ，、⊂EF DF 平面EFD ，所以BC ⊥平面EFD ，DE ⊂平面EFD ，所以BC DE ⊥，故B 正确；对于C ，由选项A 可知三棱锥A BCD -是正三棱锥，且AO ⊥平面BCD ，三棱锥E BCD -也是正三棱锥，EO ⊥平面BCD ，则,,A O E 三点共线，故C 正确；对于D ，由A 选项E BCD -是棱长为22a 正四面体，三棱锥A BCD -是侧棱长为2a ，底面边长为22a 的正三棱锥，所以几何体A BCDE -与棱长为2a 正方体-ABNC DHEG 有相同的外接球，故D 正确.故选：BCD.12．已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,,6,8a b c b c ==，且cos cos 10,b C c B P +=是AB 边上的动点，则()PA PB PC ⋅+ 的值可能为（）A ．64-B ．12-C ．8-D ．0【答案】CD 【分析】根据余弦定理的边角互化求出a ，设PA x = ，根据向量的数量积的定义将待求表达式用关于x 的二次函数来表达即可解决.【详解】由余弦定理，222222222222cos cos 10222a b c a c b a b c a c b b C c B b c a ab ac a+-+-+-++-+==⨯+⨯==，则222b c a +=，可得π2A =.设PA x = ，则8PB x =- （08x ≤≤），()22()(8)cosπ28PA PB PC PA PB PA PA AC x x x x x =⋅+⋅++=-+=- ，设2()28(08)f x x x x =-≤≤，由2()2(2)8f x x =--，2[0,8]∈，()f x 是开口向上的二次函数，故min ()(2)8f x f ==-，又(0)0,(8)64f f ==，故[0,8]x ∈时，()()[8,64]P f A x PB PC ∈+-⋅= .故选：CD三、填空题13．某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法､对联､灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一､高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表．已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则x =．课程年级书法对联灯谜高一15x 30高二453010【答案】20【分析】根据分层抽样的特点列出方程，求出答案.【详解】一共有学生人数为1545303010130x x +++++=+，其中对联班学生人数为30x +，则根据分层抽样的特点，得到130303010x x ++=，解得20x =.故答案为：2014．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面,1,2ABCD AB AD ==，则二面角P BC D --的大小是．【答案】π3【分析】由定义作出二面角P BC D --的平面角，然后解三角形即可.【详解】过P 作PM AD ⊥，垂足为M ，过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接PN .平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又PM AD ⊥，PM ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理可得，PM ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，故PM BC ⊥，又BC MN ⊥，MN PM M = ，,MN PM ⊂平面PMN ，故BC ⊥平面PMN ，由PN ⊂平面PMN ，故BC PN ⊥，于是二面角P BC D --的平面角为PNM ∠，根据题目数据，在Rt PMN △中，3,1PM MN ==，π2PMN ∠=，则tan 3PM PMN MN ∠==，则π3PNM ∠=.故答案为：π315．在正三角形ABC 中，D 为BC 上的点，2,CD DB DE AB =⊥ ，垂足为,E DF AB ∥，且交AC 于点F ，若DA DE DF λμ=+ ，则λμ+的值是．【答案】94/2.25【分析】根据题意分析可得54AE DF =，结合平面向量的线性运算可得54DA DE DF =+uu u u uu r r uuu r ，进而可得结果.【详解】由题意可知：12,33BD BC CD BC ==，因为DE AB ⊥，且=60B ∠︒，可得111266BE BD BC AB ===，又因为DF AB ，则32AB DF =，所以5564AE AB DF ==.因为54DA DE EA DE DF =+=+uuu r uur uuu r uuu r uuu r ，则51,4λμ==，所以59144λμ+=+=.故答案为：94.四、双空题16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，14,,AA M N =分别是棱,BC AD 的中点，,E F 分别是棱1111,A B C D 上动点．当直线NE 与底面1111D C B A 所成角最小时线段NE 的长度是，四面体MNEF 的体积是．【答案】2183【分析】根据题意可得直线NE 与底面1111D C B A 所成角即为直线NE 与底面ABCD 所成角，结合线面夹角分析可得点E 为点1B 时，ENH ∠取到最小.空1：利用勾股定理求NE 的长；空2：利用转换顶点法求体积.【详解】因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线NE 与底面1111D C B A 所成角即为直线NE 与底面ABCD 所成角，过点E 作EH ∥1AA 交AB 于点H ，连接NH ，因为1AA ⊥平面ABCD ，则EH ⊥平面ABCD ，所以直线NE 与底面ABCD 所成角为ENH ∠，设[]0,2AH a =∈，可知：21,4NH a EH =+=，则24tan 1EH ENH NE a ∠==+，当2a =，即点E 为点1B 时，tan ENH ∠取到最小，即ENH ∠取到最小.空1：因为2a =，则21215B H =+=，可得()2215421NE B E ==+=；空2：因为,M N 分别是棱,BC AD 的中点，则MN ∥CD ，又因为CD ∥11C D ，则MN ∥11C D ，且MN ⊂平面1B MN ，11C D ⊄平面1B MN ，可得11C D ∥平面1B MN ，所以11C D 上任一点到平面1B MN 的距离相等，不妨令点F 为点1C ，则11111118224323F B MN C B MN N MB C V V V ---===⨯⨯⨯⨯=.故答案为：21；83.【点睛】关键点睛：转化思想的应用：（1）根据面面平行，将直线NE 与底面1111D C B A 所成角转化为直线NE 与底面ABCD 所成角；（2）根据线面平行，取点F 为点1C ，利用转换顶点法求三棱锥的体积.五、解答题17．已知向量1,32a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,02b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .(1)求向量a 与b 的夹角的余弦值；(2)若向量()1,3c =- ，求向量c 在向量a b - 上的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)1313-；(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】（1）132a = ，12b = ，14a b ⋅=- ，则13cos 13θ=-；（2）()1,3c =- ，()1,3a b -= ，与a b - 同向的单位向量13,22a b e a b ⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭ .∴c 在a b - 上的投影向量cos d c c =< ，()13,22c a b a b e e a b ⋅-⎛⎫->== ⎪ ⎪-⎝⎭ .18．已知向量()()2cos ,1,cos ,3sin2m x n x x == ，函数()f x m n =⋅ ．(1)若()()2,0,πf αα=∈，求α的值；(2)已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为(),,,2,1,a b c f A b ABC == 的面积为32，求sin sin sin a b c A B C++++的值．【答案】(1)π3α=(2)2【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合三角函数恒等变换公式求出()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由()()2,0,πf αα=∈化简可求出α的值；（2）由()()2,0,πf A A =∈结合（1）可得π3A =，再由三角形的面积可求出2c =，然后利用余弦定理可得3a =，再利用正弦定理可求得结果.【详解】（1）因为()()2cos ,1,cos ,3sin2m x n x x == 所以()22cos 3sin2f x m n x x =⋅=+ cos213sin2x x=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为()()π2sin 212,0,π6f ααα⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭，所以π1ππ13πsin 2,2,62666αα⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π5π266α+=，即π3α=．（2）因为()()2,0,πf A A =∈，由（1）得π3A =．因为13sin 22ABC S bc A == ，所以1331222c ⨯⨯⨯=，即2c =．在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A=+-1142123, 3.2a =+-⨯⨯⨯==即由32sin sin sin 32b c a B C A ====，得2sin ,2sin ,2sin b B c C a A ===，所以2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin a b c A B C A B C A B C++++==++++．19．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//,2,ABCD BC AD BC AD AD CD =⊥，点,,E F M 分别为,,PB BC PD 的中点．(1)求证：BC ⊥平面AEF ；(2)过点,,A E M 的平面交PC 于点N ，求PN NC 的值．【答案】(1)证明见解析(2)13PN NC =【分析】（1）通过证明BC EF ⊥和BC AF ⊥，证明BC ⊥平面AEF（2）通过证明所以//AE MN ，得N 是PG 中点，可求PN NC的值.【详解】（1）证明：因为F 是BC 中点，1//,2AD BC AD BC =，则有//,AD FC AD FC =，所以四边形ADCF 是平行四边形，有//AF CD ．因为AD CD ⊥，所以BC AF ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PD ⊥．因为BC CD ⊥，,PD CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，所以BC PC ⊥．因为E 是PB 中点，所以//EF PC ，所以BC EF ⊥．因为,EF AF ⊂平面AEF ，EF AF F = ，所以BC ⊥平面AEF ．（2）取PC 中点G ，连接,DG EG ，如图所示，因为E 是PB 中点，所以//EG BC ，12EG BC =．因为1//,2AD BC AD BC =，所以,//AD EG AD EG =．所以四边形ADGE 是平行四边形，所以//AE DG ．因为DG ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以//AE 平面PCD ．因为平面AENM 平面PCD MN =，AE ⊂平面AENM ，所以//,//AE MN MN DG ．因为M 是PD 中点，所以N 是PG 中点，所以13PN NC =．20．某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为3:2，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计．(1)采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．身高（单位：cm ）频数[)145,155a [)155,165b [)165,175c [)175,18536[]185,19524根据图表信息，求,,,n a b c 的值，并把频率分布直方图补充完整．(2)按男生､女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．【答案】(1)300n =，24a =，120b =，96c =；直方图见解析；(2)总样本平均数为167.2，方差为52.16【分析】（1）由区间[]185,195上的频率和频数，计算出n ，再由直方图中的频率计算,a b 和c ，结合频数分布表算出所缺区间的频率补充完整频率分布直方图.（2）由分层抽样得男女生人数，利用已知数据和总体平均数和方差公式计算结果.【详解】（1）因为身高在区间[]185,195上的频率为0.008100.08⨯=，身高在区间[]185,195上的频数24，所以243000.08n ==所以0.0081030024a =⨯⨯=，0.0410300120b =⨯⨯=，30024120362496c =----=．所以身高在区间[)165,175上的频率为960.32300=，在区间[)175,185上的频率为360.12300=．由此可补充完整频率分布直方图：（2）由分层抽样可知，样本中男生120人，女生80人，把男生样本记为12120,,,x x x ⋯，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女生样本记为1280,,,y y y ⋯，其平均数记为y ，方差记为2y s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．则总样本平均数1208012017280160167.21208012080200z x y ⨯+⨯=+==++．()()12080222111200i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1208022111200i j i j x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑由()120120111200i i i i x x x x ==-=-=∑∑，得()()120120112()2()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理可得()8012()0j j y y y z =--=∑．所以总样本方差()()12012080802222211111()()200i i i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑{}22221120()80()200x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦{}22112016(172167.2)8020(160167.2)200⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦()()2212016 4.880207.2200+++=()()121623.0482051.8420+++=52.16=所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16．21．已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为222,,,sin sin sin sin sin a b c A C B A C +=+．(1)求B ；(2)若2,4b AB AC =⋅= ，求ABC 的面积．【答案】(1)π3B =(2)233【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出cos B ，可得角B 的值；（2）向量数量积结合余弦定理，求出,a c ，面积公式求面积；或向量数量积结合正弦定理，利用两角差的正弦公式和辅助角公式，求出,A C ，面积公式求面积.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理可得222a c b ac +=+，即222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=122ac ac ==又()0,πB ∈，所以π3B =．（2）解法一：由平面向量数量积的定义可得cos 4AB AC cb A ⋅== ，所以222224422b c a c a bc bc +-+-⋅==，所以224c a -=①，因为222π,2,2cos 3B b b a c ac B ===+-，所以224a c ac +-=②，①-②得220a ac -=，则2c a =，代入①得233a =，所以433c =，所以1sin 2ABC S ac B = 12343323.23323=⨯⨯⨯=解法二：由平面向量数量积的定义可得cos 4AB AC cb A ⋅== ，因为2b =，所以cos 2c A =，由243πsin sin sin 3sin 3a c b A C B ====，得43sin 3c C =，43sin 3a A =，所以3sin cos 2C A =．因为πA B C ++=，又由（1）知2π3A C +=，即2π3C A =-，所以2π3sin cos 32A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以2313cos sin cos 222A A A +=，即3cos2113sin22242A A +⨯+=．所以313cos2sin2222A A +=，即π3sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为2π03A <<，则ππ5π2333A <+<，则π2π233A +=，即π6A =，则2πππ362C =-=，所以ABC 为直角三角形，则43π23sin 363a ==．所以11232322233ABC S ab ==⨯⨯= ．22．已知三棱锥,3,23,120P ABC PA PB PC BC BAC ∠-=====︒，点O 是ABC的外心．(1)若60OBA ∠=︒，求证：PA BC ⊥；(2)求点A 到平面PBC 距离的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)306【分析】（1）利用条件PA PB PC ==，得到BC PO ⊥，再利用几何关系得到BC OA ⊥，从而得到BC ⊥平面PAO ，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）根据条件，利用正弦和余弦定理得到4AB AC ⋅≤，从而得到ABC 面积的最大值，再利用等体积法，建立关系式ABC PBCS PO h S ⋅= ，即可求出结果.【详解】（1）如图，作PH ⊥平面ABC ，垂足为点H，因为PA PB PC ==，所以HA HB HC ==，所以H 是ABC 的外心，因为O 是ABC 的外心，所以O 与H 重合，所以PO ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PO ⊥，因为60,OBA OA OB ∠=︒=，所以OAB 是等边三角形，所以,60AB OA BAO =∠=︒，因为120BAC ∠=︒，所以60OAC ∠=︒，因为OA OC =，所以OAC 是等边三角形，所以OA AC =，所以AB AC OB OC ===，即四边形OBAC 为菱形，所以BC OA ⊥，因为PO OA O = ，,PO OA ⊂平面PAO ，所以BC ⊥平面PAO ，因为PA ⊂平面PAO ，所以PA BC ⊥．（2）3,23PB PC BC ===，所以BC 边的高为22223(3)62BC PB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．所以1236322PBC S =⨯⨯= ．在ABC 中，120,23BAC BC ∠=︒=，由正弦定理得2324sin sin120BC R BAC ===∠︒（R 为ABC 外接圆的半径），所以2OA R ==．因为3PA =，所以2222325PO PA OA =-=-=．因为2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅ ，所以22123AB AC AB AC AB AC =++⋅≥⋅，所以4AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时，等号成立．因为13sin12024ABC S AB AC AB AC =⋅⋅⋅=⋅ ，设点A 到平面PBC 距离为h ，因为P ABC A PBC V V --=，即1133ABC PBC S PO S h ⋅=⋅⋅ ，所以33545304463232ABC PBC AB AC S PO h S ⋅⋅⋅⨯⨯⋅==≤= ，当且仅当AB AC =时等号成立．所以点A 到平面PBC 距离最大值306．。
