2020-2021学年北京市首师大附中高三(上)开学数学试卷

2020-2021学年北京市人大附中高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.若z(1−i)=2i，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.在(√x2−1√x)6的二项展开式中，x2的系数为()A. 1516B. −1516C. 316D. −3164.已知平面向量a⃗=(√3,−1)，|b⃗ |=4，且(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A−BC−P的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω>0)，则下列说法错误的是()A. 若f(x)在(0,π)内单调，则0<ω≤23B. 若f(x)在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C. 若y=|f(x)|的最小正周期为π，则ω=2D. 若ω=2时，直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴7.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=174，若以线段PF 为直径的圆过点(1,0)，则C的方程为()A. x2=y或x2=8yB. x2=2y或x2=8yC. x2=y或x2=16yD. x2=2y或x2=16y9.在△ABC中，a=2√3，√7bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是()A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√710.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于√2；④f(x)在(0,π)单调递减．其中所有正确结论编号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为______ ．12.在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为______ ．13.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0,6√2)．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ．14.已知函数f(x)={3x−1+kx−1,x≤0|lnx|+kx−2,x>0，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为______ ．15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为______ ．“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注：1.同意画“〇”，不同意画“×”．2.每张选票“〇”的个数不超过2时才为有效票．甲 乙 丙三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知△ABC 中，bcosA −c >0．(Ⅰ)△ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由． (Ⅱ)若△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①sinA =√22；②sinC =√32；③a =2；④c =√2．请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．17. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =√2，AB =BD =2． (Ⅰ)证明：EM//平面BCD ； (Ⅱ)证明：EF ⊥平面BCD ；(Ⅲ)若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°，求二面角A −CE −B 的余弦值．18.某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级如表：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y(元)4t9t4t2t−5 3 e t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．19. 已知函数f(x)=12x 2−alnx −12(a ∈R,a ≠0)．(Ⅰ)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x ∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a 的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB||OA|=32，求△OAB 的面积．21. 已知项数为m(m ∈N ∗,m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}，且a1=1，a m=2021，求m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}={x∈N|x<2}={0,1}，∴A∩B={x∈R|−1≤x≤3}∩{0,1}={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12=−2+2i2=−1+i，∴z−=−1−i，则z−的虚部为−1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：(√x2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅2r−6⋅x3−r，令3−r=2，求得r=1，故x2的系数为−C61⋅2−5=−316．故选：D．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由平面向量a ⃗ =(√3,−1)，可得|a ⃗ |=√3+1=2， 由(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，可得a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b⃗ )=0， 即a ⃗ 2=2a ⃗ ⋅b ⃗ =4，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√4−2×2+16=4，故选：C ．由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点， 且AB =2，PA =BC =√3，∴AC ⊥BC ，AC =√AB 2−BC 2=√4−3=1， 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P(0,0，√3)，B(√3,1，0)，C(0,1，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， 设平面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,√3,1)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −BC −P 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，∴θ=60°， ∴二面角A −BC −P 的大小为60°， 故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −BC −P 的大小．本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12=√32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，由此依次分析选项：对于A，若f(x)在(0,π)内单调，则有ωπ−π6≤π2，解可得ω≤23，A正确，对于B，当x∈(0,π)时，则ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6)若f(x)在(0,π)上无零点，则ωπ−π6≤0，解可得0<ω≤16，B正确，对于C，若y=|f(x)|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f(x)=sin(2x−π6)，当x=−2π3时，2x−π6=−3π2，则直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴，D正确，故选：C．根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=sin(ωx−π6)，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可知F(0,p2)，准线方程为y =−p2， 设点P(m.n)，|PF|=n +p2=174，又线段PF 为直径的圆过点(1,0)，∴圆的半径为178，圆心坐标为(m 2,178)，√(m 2−1)2+(178−0)2=178，∴m =2，即P(2,174−p 2)代入抛物线方程得，4=2p ×(174−p2)， 解得p =8或12， 故选：C ．设出点P 坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P 坐标代入即可解出． 本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由正弦定理及√7bcosA =3asinB ，得√7sinBcosA =3sinAsinB ， 因为sinB >0，所以√7cosA =3sinA ，A 为锐角， 结合sin 2A +cos 2A =1， 所以sinA =√74，cosA =34，由余弦定理得，cosA =34=b 2+c 2−122bc，整理得，24=2b 2+2c 2−3bc ≥4bc −3bc =bc ，当且仅当b =c 时取等号，即bc ≤24， 则△ABC 面积S =12bcsinA ≤12×24×√74=3√7，故选：A ．由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sin A ，cos A ，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，进而可求．的应用，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：①：因为f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+ sin[cosx]=f(x)，所以函数的一个周期为2π，故①正确；②：因为f(π4)=sin[cosπ4]+cos[sinπ4]=sin0+cos0=1，f(−π4)=sin[cos(−π4)]+cos[sin(−π4)]=sin0+cos(−1)=cos1，所以f(π4)≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故②错误；③因为f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1>√22+1>√2，故③正确；④：当x∈(0,π2)时，0<sinx<1，0<cosx<1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x∈(0,π2)时，f(x)=1为定值，故④错误；故选：B．①，利用周期定义判断；②，利用f(π4)和f(−π4)的值判断；③利用f(0)的值判断；④判断函数f(x)在(0,π2)的函数值判断即可．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】36【解析】解：设老年职工有x人，则中年职工有2x人，所以x+2x+160=430，x=90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y人，则y90=64160，解得y=36，所以该样本中的老年职工人数为36人．设老年职工有x人，列方程求出x的值，再设该样本中的老年职工人数为y人，列方程求出y的值即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12.【答案】189【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2⋅a4=16=a32，a n>0，∴a3=4，=q3=8，解得：q=2，又∵a6=32，∴a6a3∴a n=a6q n−6=2n−1，∴b n=2n−1+2n=3×2n−1，=189，∴S6=3(1−26)1−2故答案为：189．先由题设求得a3，进而求得公比q与a n，再求得b n，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果．本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．13.【答案】9 11【解析】解：由题意知，F(3,0)，①|AP|+|PF|≥|AF|=√(0−3)2+(6√2−0)2=9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；②设双曲线的左焦点为F′(−3,0)，由双曲线的定义知，|PF|−|PF′|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF′|+2≥|AF′|+2=√(0+3)2+(6√2−0)2+2=11，当且仅当A，P，F′按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．由题意知，F(3,0)，①当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；②设双曲线的左焦点为F′，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF′|+2，当A，P，F′按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】(−e−3,0)【解析】解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=−kx存在4个不同的交点．绘制函数g(x)的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k<0时，两函数在区间(−∞,0)和区间(0,1)上必然各存在一个交点，则函数g(x)与函数y=−kx在区间(1,+∞)上存在两个交点，临界条件为函数y=−kx与函数ℎ(x)=lnx−2相切，考查函数ℎ(x)=lnx−2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为(x0,lnx0−2)，则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是(−e−3,0)．故答案为：(−e−3,0)．首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．15.【答案】95%【解析】解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46 x+y+z=100x,y,z∈N，整理可得z−x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x,y,z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为bcosA−c>0，由正弦定理可得sinBcosA−sinC>0，在△ABC中，C=π−A−B，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以不等式整理为sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA，即sinAcosB<0，因为A∈(0,π)，sinA>0，所以cosB<0，所以B为钝角；(Ⅱ)(i)若满足①③④，则正弦定理可得asinA =csinC，即√22=√2sinC，所以sinC=12，又a>c，所以A>C，在三角形中，sinA=√22，所以A=π4或A=34π，而由(Ⅰ)可得A=π4，所以可得C=π6，B=π−A−C=π−π4−π6=712π；所以b=√a2+c2−2accosB=√√4)=√3+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，C为锐角，及sinA=√22，sinC=√32，可得A=π4，C=π3，所以B=512π不符合B为钝角，故①②不同时成立；(iii)若满足②③④，由B为钝角，sinC=√32，所以C=π3，而a>c，所以A>C，这时B<π3，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b=√3+1．【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sinAcosB<0，再由A，B的范围可得cosB<0，求出B为钝角；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B为钝角的条件，所以①②不能同时成立；当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．本题考查三角形的性质大边对大角及三角形正余弦定理的应用，属于中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：∵E，M分别是线段AD，AC的中点，∴EM//CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM//平面BCD．(Ⅱ)证明：∵E，F分别是线段AD，BD的中点，∴EF//AB，EF=12AB=1，∵∠ABD=90°，即AB⊥BD，∴EF⊥BD，∵∠BCD=90°，F为BD的中点，∴CF=12BD=1，∵EC =√2，∴EC 2=EF 2+CF 2，即EF ⊥CF ， 又BD ∩CF =F ，BD 、CF ⊂平面BCD ， ∴EF ⊥平面BCD ．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF ⊥平面BCD ，∵EF//AB ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵∠BCD =90°，即BC ⊥CD ，且AB ∩BC =B ，AB 、BC ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面ABC ，∵EM//CD ，∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ACE 为直线EC 与平面ABC 所成的角，即∠ACE =30°， ∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AC ，∵E 为AD 的中点，∴CE =12AD =AE ，即△ACE 是底角为30°的等腰三角形， ∵EC =√2，∴AC =√6，BC =√AC 2−AB 2=√6−4=√2， ∵BD =2，∠BCD =90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CF ⊥BD ，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为y ，z 轴，在平面BCD 内作Bx//CF ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,0，2)，E(0,1，1)，C(1,1，0)， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面ACE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0x +y −2z =0，令z =1，则x =1，y =1，∴m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 同理可得，平面BCE 的法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×√3=13， 由图可知，二面角A −CE −B 为锐角，故二面角A−CE−B的余弦值为13．【解析】(Ⅰ)由中位线的性质知EM//CD，再由线面平行的判定定理，得证；(Ⅱ)由中位线的性质知EF//AB，EF=1，从而有EF⊥BD，再结合直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可得EF⊥CF，然后由线面垂直的判定定理，得证；(Ⅲ)由(Ⅱ)中的EF⊥平面BCD，推出AB⊥CD，再利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，从而有EM⊥平面ABC，于是∠ACE=30°，然后可证明△BCD是等腰直角三角形，故以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE和平面BCE的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，得解．本题考查空间中线与面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，理解线面角的定义，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P=5(0.04+0.02)=0.3，则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973，(Ⅱ)由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4，m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2，m∈[95,100]的频率为0.02×5=0.1，∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，∴X的分布列为：E(X)=0×27+1×47+2×17=67．(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系与表所示(1<t<4)，∴每件产品的利润：y=−0.5e t+0.8t+0.6t+0.9t+0.2t=−0.5e t+2.5t，(1<t<4)，则y′=−0.5e t+2.5，令y′=−0.5e t+2.5=0，解得t=ln5，∴当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=−0.5e t+2.5单调递增，当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=−0.5e t+2.5t，单调递减，∴当t=ln5时，y取最大值，为−0.5e ln5+2.5×ln5=1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【解析】(Ⅰ)设事件A的合格率为P(A)，则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件A发生的概率；(Ⅱ)由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)；(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值k与利润y(元)的关系，从而求出每件产品的利润y=−0.5e t+2.5t，(1<t<4)，则y′=−0.5e t+2.5，利用导数性质能求出生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.5时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)a=2时，f(x)=12x2−2lnx−12,f(1)=0f′(x)=x−2x,f′(1)=−1曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y−1=0(Ⅱ)f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1,+∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−aln1−12=0所以a<0满足题意；②当0<a≤1时，0<√a≤1，f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−aln1−12=0所以0<a≤1满足题意；③当a>1时，√a>1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数，所以只需f(√a)≥0即可而f(√a)<f(1)=0从而a>1不满足题意；综合①②③实数a的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]．【解析】(Ⅰ)当a=2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x 的范围即为函数的减区间；(Ⅲ)由题意可知，对任意的x ∈[1,+∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1,+∞)，f(x)min ≥0.下面对a 进行分类讨论，从而求出a 的取值范围；考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性．恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴△=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(m k 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km 4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(mk 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14， 此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=2517<4k 2+1，满足△>0，由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517．【解析】(Ⅰ)由椭圆离心率为√32，且经过点(1,√32)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，|OA|2=4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，解得k 2=14，进而可得△OAB 的面积S =12|OA||AB|=34|OA|2，即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)1，4，7，10是项数为4的递增等差数列数列，其中a 1=1，d =3，a n =1+(n −1)×3=3n −2，所以a 1+a 2+a 3+a 4=22， 则b n =a 1+a 2+a 3+a 4−a n 4−1=22−3n+23，故b n =8−n ，1≤n ≤4，n ∈N ∗，所以b 1=7，b 2=6，b 3=5，b 4=4，所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；(Ⅱ)因为{a n }为递增数列，所以a n+1−a n >0，则b n+1−b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a n+1m−1−(a 1+a 2+⋯+a m )−a n m−1=a n −a n+1m−1<0，所以b n+1<b n ，故数列{b n }具有单调递减性；(Ⅲ)由于b n ∈Z ，则b n −b n+1≥1，故a n+1−a n m−1≥1，所以a n+1−a n ≥m −1，又a m −1=(a m −a m−1)+(a m−1−a m−2)+⋯+(a 2−a 1)≥(m −1)+(m −1)+⋯+(m −1)=(m −1)2，所以(m −1)2≤2020，解得m ≤45，所以{a n }存在“关联数列”{b n }，所以b1−b m=(a1+a2+⋯+a m)−a1m−1−(a1+a2+⋯+a m)−a mm−1=a m−a1m−1=2020m−1∈N∗，因为m−1为2020的正约数，且m≤45，故m−1的最大值为20，所以m的最大值为21．【解析】(Ⅰ)利用等差数列的通项公式求出a1+a2+a3+a4=22，再利用“关联数列”的定义进行分析求解即可；(Ⅱ)利用“关联数列”的定义结合数列单调性的判断方法，即作差法进行判断即可；(Ⅲ)利用已知条件分析得到a n+1−a n≥m−1，然后表示出a m−1≥(m−1)2，从而得到m的取值范围，再利用“关联数列”{b n}，得到b1−b m=2020m−1∈N∗，利用m−1为2020的正约数分析求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．。

2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）1. 设i 为虚数单位，则复数i(3+i)=( ) A.1+3i B.−1+3i C.1−3i D.−1−3i2. 函数f(x)＝tan (x +π6)的最小正周期为（ ） A.π3B.π2C.πD.2π3. 已知向量a →=(1, −12)，b →=(−2, m)，若a →与b →共线，则|b →|＝（ ）A.√3B.√5C.√6D.2√24. 在二项式(1−2x)5的展开式中，x 3的系数为（ ） A.40 B.−40 C.80 D.−805. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的是（ ） A.y ＝x −2B.y ＝|ln x|C.y ＝2−xD.y ＝x sin x6. 将函数f(x)＝cos 2x 图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，如果g(x)在区间[0, a]上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A.π8 B.π4C.π2D.34π7. 设点A ，B ，C 不共线，则“(AB →+AC →)⊥BC →”是“|AB →|=|AC →|”（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8. 有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A.8B.7C.6D.49. 某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.010. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式L =101g(I 10−12)给出，其中I 为声强（单位：W/m 2）．L 1＝60dB ，L 2＝75dB ，那么I1I 2=( )A.1045B.10−45C.−32D.10−32二、填空题（共5题，每题5分，共25分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24−y 2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________； 准线方程为________．(x +1)7的展开式中x 3的系数是________．在△ABC 中，∠ABC ＝60∘，BC ＝2AB ＝2，E 为AC 的中点，则AB →⋅BE →=________．已知两点A(−1, 0)，B(1, 0)，若直线x −y +a ＝0上存在点P(x, y)满足AP →⋅BP →=0，则实数a满足的取值范围是________．集合A ={(x, y)||x|+|y|=a, a >0}，B ={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}，若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________． ①a 的值可以为2；②a 的值可以为√2； ③a 的值可以为2+√2；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）已知△ABC ，满足a =√7，b ＝2，______，判断△ABC 的面积S >2是否成立？说明理由． 从①A =π3，②cos B =√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：(Ⅱ)从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望．如图，已知四边形ABCD 为菱形，且∠A ＝60∘，取AD 中点为E ．现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得∠AEG ＝90∘．(Ⅰ)求证：AE ⊥平面EBHG ；(Ⅱ)求二面角A −GH −B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AF →=λAB →，当EF // 平面AGH 时，求λ的值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为√22．直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．已知函数，f(x)＝x 2(x >0)，g(x)＝a ln x(a >0)． (Ⅰ)若f(x)>g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，过f(x)上一点(1, 1)作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．有限个元素组成的集合A ＝{a 1, a 2, ..., a n }，n ∈N ∗，记集合A 中的元素个数为card(A)，即card(A)＝n ．定义A +A ＝{x +y|x ∈A, y ∈A}，集合A +A 中的元素个数记为card(A +A)，当card(A +A)=n(n+1)2时，称集合A 具有性质P ．(Ⅰ)A ＝{1, 4, 7}，B ＝{2, 4, 8}，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；(Ⅱ)设集合A ＝{a 1, a 2, a 3, 2020}．a 1<a 2<a 3<2020，且a i ∈N ∗(i ＝1, 2, 3)，若集合A 具有性质P ，求a 1+a 2+a 3的最大值；(Ⅲ)设集合A ＝{a 1, a 2, ..., a n }，其中数列{a n }为等比数列，a i >0(i ＝1, 2,…,n)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分） 1.【答案】 B【考点】 复数的运算复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：i(3+i)=3i +i 2=−1+3i ． 故选B . 2.【答案】 C【考点】三角函数的周期性 【解析】由题意利用函数f(x)＝A tan (ωx +φ)的最小正周期为πω，得出结论．【解答】函数f(x)＝tan (x +π6)的最小正周期为π1=π， 3.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m ＝(−12)×(−2)＝1，即可得b →=(−2, 1)；由向量模的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，向量a →=(1, −12)，b →=(−2, m)，若a →与b →共线，则有m ＝(−12)×(−2)＝1，则b →=(−2, 1)； 则|b →|=√4+1=√5； 4.【答案】 D【考点】二项式定理及相关概念 【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数． 【解答】(1−2x)5展开式的通项公式为 C 5r⋅(−2x)r ，故令r ＝3，可得其中的x 3系数为C 53⋅(−2)3＝−80， 5.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可． 【解答】A ．f(x)是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，满足条件B ．函数的定义域为(0, +∞)，函数为非奇非偶函数，不满足条件．C ．函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．f(−x)＝−x sin (−x)＝x sin x ＝f(x)，f(x)为偶函数，在(0, +∞)不具备单调性，不满足条件． 6.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据条件先求出g(x)的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【解答】将函数f(x)＝cos 2x 图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝cos 2(x +π4)＝cos (2x +π2)，设θ＝2x +π2，则当0<x ≤a 时，0<2x ≤2a ，π2<2x +π2≤2a +π2，即π2<θ≤2a +π2，要使g(x)在区间[0, a]上单调递减， 则2a +π2≤π得2a ≤π2，得a ≤π4， 即实数a 的最大值为π4，7.【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】由于点A ，B ，C 不共线，则(AB →+AC →)⊥BC →⇔(AB →+AC →)⋅BC →=0⇔(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)=AC →2−AB →2=0⇔AC →2=AB →2⇔“|AB →|=|AC →|”，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】由于点A ，B ，C 不共线，则(AB →+AC →)⊥BC →⇔(AB →+AC →)⋅BC →=0⇔(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)=AC →2−AB →2=0⇔AC →2=AB →2⇔“|AB →|=|AC →|”；故“(AB →+AC →)⊥BC →”是“|AB →|=|AC →|”的充分必要条件． 8.【答案】 A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：√42+42=4√2，从下往上第三层正方体的棱长为：√(2√2)2+(2√2)2=4，从下往上第四层正方体的棱长为：√22+22=2√2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法． 【解答】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：√42+42=4√2， 从下往上第三层正方体的棱长为：√(2√2)2+(2√2)2=4， 从下往上第四层正方体的棱长为：√22+22=2√2， 从下往上第五层正方体的棱长为：√(√2)2+(√2)2=2，从下往上第六层正方体的棱长为：√12+12=√2，从下往上第七层正方体的棱长为：(√22)(√22)=1，从下往上第八层正方体的棱长为：√(12)2+(12)2=√22， ∴ 改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（8）9. 【答案】 C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数． 【解答】由三视图还原原几何体如图，其中△ABC ，△BCD ，△ADC 为直角三角形． ∴ 该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（3） 10. 【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】 由L =101g(I 10−12) 得lg I =L 10−12，分别算出I 1和I 2的值，从而得到I1I 2的值．【解答】 ∵ L =101g(I 10−12)，∴ L ＝10(lg I −lg 10−12)＝10(lg I +12)， ∴ lg I =L 10−12，当L 1＝60时，lg I 1=L 110−12=6010−12=−6，∴ I 1＝10−6，当L 2＝75时，lg I 2=L210−12=7510−12=−4.5，∴ I 2＝10−4.5，∴ I 1I 2=10−610−4.5=10−1.5=10−32，二、填空题（共5题，每题5分，共25分）【答案】 (2, 0),x ＝−2 【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的准线方程． 【解答】双曲线x 24−y2＝1的右顶点坐标为(2, 0)， 即抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(2, 0)；则抛物线的直线方程为x ＝−(2) 【答案】 35【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用二项式定理求得(x +1)7的展开式的通项公式，进而求得结果． 【解答】∵ (x +1)7的展开式的通项公式为T r+1＝C 7r x 7−r，r ＝0，1，…，7， ∴ (x +1)7的展开式中x 3的系数为C 74=(35) 【答案】 −1【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先在△ABC 中，利用余弦定理，算出AC =√3，确定△ABC 是以A 为直角的直角三角形，然后AB →⋅BE →=AB →⋅(AE →−AB →)，结合平面向量数量积的运算法则求解即可． 【解答】由于∠ABC ＝60∘，BC ＝2AB ＝2，根据余弦定理可知，AC 2＝AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =1+4−2×1×2×12=3， ∴ AC =√3，△ABC 为直角三角形，且A 为直角，∴ AB →⋅BE →=AB →⋅(AE →−AB →)=AB →⋅AE →−AB →2=0−12=−1． 【答案】[−√2, √2] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】问题转化为求直线l 与圆x 2+y 2＝1有公共点时，a 的取值范围，利用数形结合思想能求出结果． 【解答】∵ 直线l:x −y +a ＝0，点A(−1, 0)，B(1, 0)， 直线l 上存在点P 满足AP →⋅BP →=0，∴ P 的轨迹方程是x 2+y 2＝（1）∴ 如图，直线l 与圆x 2+y 2＝1有公共点， ∴ 圆心O(0, 0)到直线l:x −y +a ＝0的距离： d =√2≤1，解得−√2≤a ≤√2．∴ 实数a 的取值范围为[−√2, √2]． 故答案为：[−√2, √2]．【答案】 ②③ 【考点】两角和与差的正切公式集合关系中的参数取值问题【解析】根据曲线性质求出集合A ，B 对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可． 【解答】解：A ={(x, y)||x|+|y|=a, a >0}，x ≥0，y ≥0时，即x +y =a 表示在第一象限内的线段， 将x ，y 分别换成−x ，−y 方程不变，因此|x|+|y|=a 关于x 轴对称，也关于y 轴对称，那么，集合A ={(x, y)||x|+|y|=a, a >0}表示点集为正方形. ∵ |xy|+1=|x|+|y|， ∴ |xy|−|x|−|y|+1=0， 即(|x|−1)(|y|−1)=0， ∴ |x|=1或|y|=1， 即x =±1或y =±1，∴ B ={(x, y)|x =±1, 或y =±1}，表示2组平行线， A ∩B 为8个点，构成正八边形. ①如图1，∠AOB =45∘, 又A(1, a −1)，∴ tan ∠xOA =a −1，tan ∠AOB =tan 2∠xOA=2tan ∠xOA1−tan 2∠xOA =2(a−1)1−(a−1)2=1， 即2a −2=2a −a 2，∴ a 2=2,∵ a >0，∴ a =√2. ②如图2，∠AOB =45∘, 又A(a −1, 1), ∴ tan ∠xOA =1a−1，tan ∠AOB =tan 2∠xOA =2tan ∠xOA2=2a−11−(1a−1)2=2(a−1)(a−1)2−1=1，即2a −2=−2a +a 2， ∴ a 2−4a +2=0，解得a =2+√2或a =2−√2（舍去）， 综上a =√2或a =2+√2． 故答案为：②③.三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程） 【答案】选①，△ABC 的面积S >2成立，理由如下： 当A =π3时，cos A =12=4+c 2−72⋅2c，所以c 2−2c −3＝0，所以c ＝3，则△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×3×sin π3=32√3，因为32√3=√274>√4=2，所以S >2成立．选②，△ABC 的面积S >2不成立，理由如下： 当cos B =√217时，cos B =a 2+c 2−b 22ac=√217， 即227c=√217，整理得，c 2−2√3c +3=0，所以c =√3，因a 2＝7，b 2+c 2＝4+3＝7， 所以△ABC 是A 为直角的三角形，所以△ABC 的面积S =12bc =12×2×√3=√3<2， 所以不成立． 【考点】 余弦定理 【解析】选①，先利用余弦定理可解得c ＝3，从而求得三角形面积为3√32，由此作出判断； 选②，先利用余弦定理可得c =√3，结合已知条件可知△ABC 是A 为直角的三角形，进而求得面积为√3，此时S >2不成立． 【解答】选①，△ABC 的面积S >2成立，理由如下：当A =π3时，cos A =12=4+c 2−72⋅2c，所以c 2−2c −3＝0，所以c ＝3，则△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×3×sin π3=32√3，因为32√3=√274>√4=2，所以S >2成立．选②，△ABC 的面积S >2不成立，理由如下： 当cos B =√217时，cos B =a 2+c 2−b 22ac=√217， 即22√7c=√217，整理得，c 2−2√3c +3=0，所以c =√3，因a 2＝7，b 2+c 2＝4+3＝7， 所以△ABC 是A 为直角的三角形，所以△ABC 的面积S =12bc =12×2×√3=√3<2， 所以不成立． 【答案】（1）该单位员工共140+180+80＝400人， 抽取的老年员工140×20400=7人，中年员工180×20400=9人，青年员工80×20400=4人． （2）X 的可取值为0，1，2， P(X =0)=C 32C 82=328，P(X =1)=C 31⋅C 51C 82=1528，P(X =0)=C 52C 82=1028．所以X 的分布列为 数学期望E(X)=0×328+1×1528+2×1028=54． 【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．(Ⅱ)随机变量X 的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 【解答】（1）该单位员工共140+180+80＝400人， 抽取的老年员工140×20400=7人， 中年员工180×20400=9人，青年员工80×20400=4人．（2）X 的可取值为0，1，2， P(X =0)=C 32C 82=328，P(X =1)=C 31⋅C 51C 82=1528，P(X =0)=C 52C 82=1028．所以X 的分布列为数学期望E(X)=0×328+1×1528+2×1028=54．【答案】（1）证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ，所以BE ⊥AE ． 因为∠AEG ＝90∘， 所以GE ⊥AE ．因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E 所以AE ⊥平面EBHG ．（2） 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，G(0, 0, 1)，H(0,√3,2)．AG →=(−1,0,1)，AH →=(−1,√3,2) 设平面AGH 的法向量为n →=(x,y,z)，所以{n →⋅AG →=0n →⋅AH →=0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0． 令x ＝1，则n →=(1,−√33,1)．平面EBHG 的法向量为EA →=(1,0,0)．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)cos θ=|cos <n →,EA →>=√217． (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)， 所以EF →=(1−λ,√3λ,0)．因为EF // 平面AGH ，则n →⋅EF →=0． 即1−2λ＝（0）所以λ=12．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面平行 直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)只需证明GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E ，由线面垂直的判定定理可得证明；(Ⅱ)以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，求得平面AGH 的法向量和平面EBHG 的法向量．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)，即可得到所求值； (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)，由n →⋅EF →=0．计算可得所求值． 【解答】（1）证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ，所以BE ⊥AE ． 因为∠AEG ＝90∘， 所以GE ⊥AE ．因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE ＝E 所以AE ⊥平面EBHG ．（2） 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间坐标系可得A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，G(0, 0, 1)，H(0,√3,2)．AG →=(−1,0,1)，AH →=(−1,√3,2)设平面AGH 的法向量为n →=(x,y,z)， 所以{n →⋅AG →=0n →⋅AH →=0 ，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0． 令x ＝1，则n →=(1,−√33,1)． 平面EBHG 的法向量为EA →=(1,0,0)．设二面角A −GH −B 的大小为θ(θ<900)cos θ=|cos <n →,EA →>=√217． (Ⅲ) 由AF →=λAB →，则F(1−λ,√3λ,0)， 所以EF →=(1−λ,√3λ,0)．因为EF // 平面AGH ，则n →⋅EF →=0． 即1−2λ＝（0） 所以λ=12．【答案】（1）由题意可知，c ＝1，e =ca =√22， ∵ a 2＝b 2+c 2，∴ a =√2,b =1， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2＝0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵ M 为线段AB 的中点，∴ x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴ k OM =y M x M=−12k，∴ k OM ⋅k l =−12k×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →， ∴ x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1，∵ 点P 在椭圆上，∴ (4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴ 当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由题可知，c ＝1，e =c a=√22，再结合a 2＝b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =y M x M可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解． 【解答】（1）由题意可知，c ＝1，e =ca =√22， ∵ a 2＝b 2+c 2，∴ a =√2,b =1， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝k(x −1)(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2＝0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵ M 为线段AB 的中点，∴ x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴ k OM =y M x M=−12k ，∴ k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，∴ x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1， ∵ 点P 在椭圆上，∴ (4k 22k +1)2+2×(−2k2k +1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴ 当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22． 【答案】令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)， 所以ℎ′(x)＝2x −ax =2x 2−a 2x，令ℎ′(x)=2x 2−a 2x =0，解得x =√a2，当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以在(0, +∞)的最小值为ℎ(√a2)=a2−a ln √a2=a2−a2ln a2，令ℎ(√a2)>0，解得0<a <2e ， 所以当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立． （2）可作出2条切线．理由如下：当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，g′(x 0)=y 0−1x 0−1，即1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应， m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x −1＝0解得x ＝e ． 当x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况如下表：所以m(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增，且m(1e 2)=1e 2ln 1e 2−2e 2+1=−4e 2+1>0，m(e)＝e ln e −2e +1＝−e +1<0，m(e 2)＝e 2ln e 2−2e 2+1＝1>0，所以m(x)在(1e 2, e)和(e, e 2)上各有一个零点， 即x ln x −2x +1＝0有两个不同的解， 所以过点(1, 1)可以作出2条切线．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)，则ℎ′(x)=2x 2−a 2x，利用当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况可得当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立；(Ⅱ)当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，则1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应，m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x −1＝0解得x ＝e ．通过对x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况的分析，可得答案． 【解答】令ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 2−a ln x(x >0)， 所以ℎ′(x)＝2x −ax =2x 2−a 2x，令ℎ′(x)=2x 2−a 2x =0，解得x =√a 2，当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以在(0, +∞)的最小值为ℎ(√a2)=a2−a ln √a2=a2−a2ln a2，令ℎ(√a2)>0，解得0<a <2e ， 所以当0<a <2e 时，ℎ(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)恒成立． （2）可作出2条切线．理由如下：当a ＝1时，g(x)＝ln x ，设过点(1, 1)的直线l 与g(x)＝ln x 相切于点P(x 0, y 0)，g′(x 0)=y 0−1x 0−1，即1x 0=y 0−1x 0−1，整理得x 0ln x 0−2x 0+1＝0，令m(x)＝x ln x −2x +1，则m(x)在(0, +∞)上的零点个数与切点P 的个数一一对应， m′(x)＝ln x −1，令m′(x)＝ln x−1＝0解得x ＝e ． 当x 变化时，m′(x)，m(x)的变化情况如下表：所以m(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增，且m(1e2)=1e2ln1e2−2e2+1=−4e2+1>0，m(e)＝e ln e−2e+1＝−e+1<0，m(e2)＝e2ln e2−2e2+1＝1>0，所以m(x)在(1e2, e)和(e, e2)上各有一个零点，即x ln x−2x+1＝0有两个不同的解，所以过点(1, 1)可以作出2条切线．【答案】（1）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1, 4, 7}，∴A+A＝{2, 5, 8, 11, 14}，card(A+A)＝5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B＝{2, 4, 8}，∴B+B＝{4, 6, 8, 10, 12, 16}，card(B+B)＝6=3(3+1)2，故B具有性质P．（2）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i＝1, 2, 3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018, 2019, 2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴(a1+a2+a3)max＝6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−(1)∵q为有理数，设q=mn（m，n∈N∗且m与n互质），因此有(m n )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i＝m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，故集合A具有性质P．【考点】数列与函数的综合【解析】(Ⅰ)由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；(Ⅱ)首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，由a1<a2<a3<2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)设等比数列的公比为q，得a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数，假设当i<k≤l<j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−1，设q=mn （m，n∈N∗且m与n互质），因此有(mn)j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，说明集合A具有性质P．【解答】（1）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1, 4, 7}，∴A+A＝{2, 5, 8, 11, 14}，card(A+A)＝5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B＝{2, 4, 8}，∴B+B＝{4, 6, 8, 10, 12, 16}，card(B+B)＝6=3(3+1)2，故B具有性质P．（2）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a, b, c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i＝1, 2, 3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018, 2019, 2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴(a1+a2+a3)max＝6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j−i＝q k−i+q l−i−(1)∵q为有理数，设q=mn（m，n∈N∗且m与n互质），因此有(mn)j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i＝m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)2，故集合A具有性质P．。

绝密★启用前2020届北京市海淀区首都师范大学附属中学高三开学考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设a,b 为实数，若复数1+21ii a bi=++，则 A ．31,22a b == B ．3,1a b ==C ．13,22a b == D ．1,3a b ==2．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．已知集合A ={1,2,12}，集合B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =（ ） A ．{12} B ．{2} C ．{1} D ．ϕ4．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A ．179元B ．199元C ．219元D ．239元…………外…………○…………※※请※※不※…………内…………○…………5．已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ）A ．//a α，//b αB ．//a α，b β//，//αβC ．a α⊥，b β⊥，//αβD ．αβ⊥，a α⊥，b β//6．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．2C ．3D7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ===,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A ．2B C ．34D ．18．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．√32B ．3√32C ．94D ．1549．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．13B ．23C ．1D ．43…订………_____考号：______…订………10．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．14第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y ＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．12．函数2log (1),01,(){2,10x x f x x x +≤≤=-≤<的值域是______________．13．若函数()xy e f x = 2.71828...e =（是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为①=2x f x -（） ②=3xf x -（） ③3=f x x （） ④2=2f x x +（） 14．已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______.15．已知平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则a b +=______. 三、解答题16．已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若()f α=，求sin 2α的值. 17．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．……线…………○…………线…………○……(1)画出函数()f x在y轴右侧的图象，并写出函数()f x在R上的单调区间；(2)求函数()f x在R上的解析式．18．已知函数()()221f x x ax a a R=+++∈，设()f x在[]1,1-上的最大值为()g a，(Ⅰ)求()g a的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n，使得()g a的定义域为[],m n，值域为[]5,5m n？如果存在，求出,m n的值；如果不存在，请说明理由．19．已知函数f(x)=lnx−x+a(a∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)的最大值为3，求实数a的值；(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>k(1−3x)+xf′(x)+a−2(k≤2)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)若x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x1<x2，求证：x1x2<1．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c sin A cos Ba=．（1）求角B；（2）若3b=，sin C A=，求a，c．21．已知数列{}n a的前n项和()*nS n N∈满足21n nS a=-，数列{}n b满足22logn nb a=+．(Ⅰ)求数列{}n a和数列{}n b的通项公式；(Ⅱ)令nnnbca=，若221nc x x≤--对于一切的正整数n恒成立，求实数x的取值范围；(Ⅲ)数列{}n a中是否存在,,(m n ka a a m n k<<，且*,,)m n k N∈使m a，n a，k a成参考答案1．A 【解析】 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解． 【详解】 由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =， 故选A ． 【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 2．C 【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题 3．C 【解析】 试题分析：因，故,选C.考点：交集运算. 4．C 【解析】 【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案. 【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5．C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面； 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确；在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 6．C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，即1=，所以223a b ，c e a ====. 故选：C.本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 7．C 【解析】 【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值. 【详解】如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，AM =,,M P Q三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 13sin 604MQ AM CAB =∠==. 故选：C. 【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大. 8．B 【解析】由已知可得点A ，F 1，F 2的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值． 【详解】 由椭圆C ：x 24+y 23=1可得：a 2=4，b 2=3，c =√a 2−b 2=1.∴F 1(−1,0)，F 2(1,0)．∵AF 2⊥F 1F 2，∴A(1,32)． 设P(x,y)，则x 24+y 23=1.又−√3≤y ≤√3，∴F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y)⋅(0,32)=32y ≤3√32． ∴F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3√32．故选：B ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解. 【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE -，其底面ABE 的面积为12222S =⨯⨯=，高为2h =， 所以该三棱锥的体积为11422333V Sh ==⨯⨯=，故选D.本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 10．A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.11．()()2,02,5-【解析】 【分析】利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0y ＜的x 的取值集合即可． 【详解】由原函数是奇函数，所以y ＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．12．[]2,1- 【解析】试题分析：当01x ≤≤时，112x ≤+≤，所以()20log 11x ≤+≤；当10x -≤<时，220x -≤<.所以函数的值域是[]2,1-.考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质 13．①④ 【解析】①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；③()3x x e f x e x =⋅，令()3x g x e x =⋅，则()()32232x x xg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质； ④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集． (4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．14．2【解析】【分析】先设幂函数()a f x x =，根据其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得函数，再求()2f . 【详解】设幂函数()ay f x x ==， 因为其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以142a =， 解得12a =-，所以()12222-==f .故答案为：2【点睛】 本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.15【解析】【分析】根据平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解.【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，所以()222222+=+=+⋅+=+=a b a b a a b b【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．（1）2，；（2）725. 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由已知，f （x ）=所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；（2）由（1）知，f （）=所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以.[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.17．（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩， 【解析】【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间。

绝密★启用前数学试卷________________学校：注意事项:注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

01.已知集合A = {-l,0,l},3 = {x∈N卜vl},则AnB =A.{-l, 0}B. {0, 1}C. {0}D. Φ02.已知命题PΞv∈(0,+oo),lnx+x<0 ,贝IJrP 为A. VX∈(0,+∞),hix+ X<0B. (0,+Qo),lιιx+x≥0C. VX∈(0,+oo),Iiix+ X≥0D. (0,+oo),lιιx+x≥003.已知点P(2cos-,1)是角α终边上一点，则Sma=1A.—21c.--204.已知向量α=(l,l),b(2,∙l),若(λa+2b) ∕7(a-b),则实数 2=A. 8B.-8C. 2D. -205.以下选项中，满足logα 2 > Iog h 2的是A. a=2,b=4B. a=3,b=41 . 1D. a = — ,b =—2 406.下列函数中，既是奇函数又在区间(-1, 1)内是增函数的是A.∕(x) = x3 -3x By(X)=SiIiTc∙ /W - In I1 + x D. f(x) = e x + e'x07.已知方程X2 + ax-l ==O在区间［0,1］上有解，则实数a的取值范围是A. [0,+∞)B. (-∞, 0]C. (-8, -2]D. [-2,0]0&已知α是非零向量，加为实数，贝IJ“制=加”是“亍="”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件09.已知α>0,若函数/(X) =J aX有最小值，则实数a的取值范围是CI x~— 1, X > 1A. ( 1, +oo)B. [1, +∞)C. ( — , +oo)2 D.[丄，+oo)210.定义在［1, +g)上的函数张)满足，当0≤Λ<^时，几Y)=SilLY；当x>π时，几¥)=幼冲r)若方程fix)-x+m=0在区间［0,5町上恰有3个不同的实根，则m的所有可能取值集合是A,[0,^-√3) B. (0,^-√3)C. ［0，¥-√J)U［3加4龙)D. ［0，¥-√5)U(3∕Γ,4∕)二、填空题共5小题每小题5分，共25分。

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤14.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.48.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$【正确答案】：B【解析】：若复数z=a+bi.则|z|= $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$ .直接代入求出即可．【解答】：解：|z|= $\sqrt{{1}^{2}{+(-1)}^{2}}$ = $\sqrt{2}$ .故选：B．【点评】：本题考查了求复数的模问题.是一道基础题．2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}【正确答案】：A【解析】：求出A中不等式的解集确定出A.根据全集U=R.求出A的补集即可．【解答】：解：由A中不等式变形得：x（x-1）＜0.解得：0＜x＜1.即A={x|0＜x＜1}.∵U=R.∴∁U A={x|x≤0.或x≥1}.故选：A．【点评】：此题考查了补集及其运算.熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤1【正确答案】：B【解析】：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】：解：因为全称命题的否定是特称命题.所以命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$．故选：B．【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系.基本知识的考查．4.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若“（ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0.则 $\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{b}$2=0.即 $\overrightarrow{a}$2= $\overrightarrow{b}$2.则|$\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |.反之亦然.充分性成立.故“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的充要条件. 故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据向量数量积的公式是解决本题的关键．5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：判断a.b.c的值的范围.即可判断三个数的大小．【解答】：解：因为a=ln $\frac{1}{2}$ ＜0.b=sin $\frac{1}{2}$ $∈(0.\frac{1}{2})$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ＞ $\frac{1}{2}$ .所以a＜b＜c.故选：A．【点评】：本题考查大小比较.估计表达式的值的范围是解题的关键．6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形【正确答案】：D【解析】：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．【解答】：解：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．取AD的中点O.连接OC.AC．可得四边形ABCO是平行四边形.∴OC=OD=OA=1.∴CD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD.∴CD⊥PC.因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．【点评】：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据min{m.n}的定义.作出两个函数的图象.利用数形结合进行求解即可．【解答】：解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图.两个图象的下面部分图象.由g（x）=-x2+2x+3=0.得x=-1.或x=3.由f（x）=|lnx|-1=0.得x=e或x= $\frac{1}{e}$ .∵g（e）＞0.∴当x＞0时.函数h（x）的零点个数为3个.故选：C．【点评】：本题主要考查函数零点个数的判断.利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．8.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）【正确答案】：B【解析】：求出以OP为直径的圆的方程.y2=4x代入整理.利用在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：以OP为直径的圆的方程为（x- $\frac{m}{2}$ ）2+y2= $\frac{{m}^{2}}{4}$ . y2=4x代入整理可得x2+（4-m）x=0.∴x=0或x=m-4.∵在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.∴m-4＞0.∴m＞4.故选：B．【点评】：本题考查抛物线、圆的方程.考查学生的计算能力.比较基础．9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ; [2]y= $±\frac{1}{2}$ x【解析】：求出双曲线的a.b.c.运用渐近线方程和离心率公式即可得到．【解答】：解：双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的a=2.b=1.c= $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$ .则e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .渐近线方程为y= $±\frac{1}{2}$ x．故答案为： $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .y= $±\frac{1}{2}$ x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.考查渐近线方程和离心率的求法.考查运算能力.属于基础题．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】：解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20.故答案为：20．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1]4; [2]3 $\sqrt{3}$【解析】：根据已知和余弦定理可求c的值.从而有三角形的面积公式解得所求．【解答】：解：由余弦定理可得：cosB= $\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$ .代入已知可得： $\frac{1}{2}$ = $\frac{9{+c}^{2}-13}{6c}$ .解得c=4.c=-1（舍去）.∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB=3 $\sqrt{3}$ .故答案为：4.3 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题主要考查了余弦定理.三角形面积公式的应用.属于基本知识的考查．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．【正确答案】：[1] ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$【解析】：由已知得x=y或x=-y.圆心在y=2x+1上.又圆心位于第二象限.从而得到圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.再由半径就是圆心到切线距离.能求出圆的标准方程．【解答】：解：∵与坐标轴相切.∴圆心到两个坐标轴距离相等.∴x=y或x=-y.又圆心在y=2x+1上.若x=y.则x=y=-1；若x=-y.则x=- $\frac{1}{3}$ .y= $\frac{1}{3}$ .所以圆心是（-1.-1）或（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵圆心位于第二象限.∴圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵半径就是圆心到切线距离.即到坐标轴距离．∴r= $\frac{1}{3}$ .∴所求圆的标准方程为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．故答案为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．【点评】：本题考查圆的标准方程的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{2π}{3}$【解析】：利用辅助角公式化简.对称为x=- $\frac{π}{6}$ .f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.可得对称中心.即可求出最小值．【解答】：解：函数f（x）=asinx-2 $\sqrt{3}$ cosx= $\sqrt{{a}^{2}+12}sin(x+θ).\;\;\;其中tanθ=-\frac{2\sqrt{3}}{a}$ .函数f（x）的一条对称轴为x=- $\frac{π}{6}$ .可得 $f(-\frac{π}{6})=-\frac{1}{2}\;a-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=±\sqrt{{a}^{2}+12}$ .解得a=2．∴ $θ=-\frac{π}{3}$；对称中心横坐标由x- $\frac{π}{3}=kπ(k∈z).\;可得x=kπ+\frac{π}{3}(k∈z)$；又f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.∴ $|\;{x}_{1}+{x}_{2}|=2|k+\frac{π}{3}|$ .当k=0时.可得 $|{x}_{1}+{x}_{2}|=\frac{2π}{3}$．故答案为： $\frac{2π}{3}$．【点评】：本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用.属于中档题．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{10}}{5}$【解析】：利用基本不等式可得f（x）≥ $2\sqrt{ab}$ =4.然后用点到直线的距离公式求出点（a.b）到直线2x+y- $\sqrt{2}$ =0距离.计算其最小值即可．【解答】：解：∵a∈R+.b∈R+.∴f（x）=ae x+be-x≥ $2\sqrt{ae^x\bulletbe^{-x}}$ = $2\sqrt{ab}$ . 当且仅当ae x=be-x.即ae2x=b时取等号.∴ $f(x)_{min}=2\sqrt{ab}=4$ .∴ab=4.∴点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离.d= $\frac{|2a+b-\sqrt{2}|}{\sqrt{2^2+1^2}}$ ≥ $\frac{|2\sqrt{2ab}-\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ .∴ $d_{min}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．故答案为： $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．【点评】：本题考查了基本不等式的应用和点到直线的距离公式.考查了转化思想.属中档题．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简.结合条件求出ω的值即可．（Ⅱ）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$=sin2ωx- $\sqrt{3}$ cos2ωx=2sin（2ωx- $\frac{π}{3}$）.则函数的周期T= $\frac{2π}{2ω}$ = $\frac{π}{ω}$ .振幅A=2.∵图象上相邻最高点与最低点的距离为 $\sqrt{{π^2}+16}$．∴A2+（ $\frac{T}{4}$ ）2=（ $\frac{\sqrt{{π}^{2}+16}}{2}$）2.即4+（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}+16}{4}$ = $\frac{{π}^{2}}{4}$ +4.即（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}}{4}$ .即 $\frac{T}{4}$ = $\frac{π}{2}$ .得T=2π= $\frac{π}{ω}$ .得ω= $\frac{1}{2}$ ．故函数f（x）的周期为2π.ω= $\frac{1}{2}$ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（x- $\frac{π}{3}$）.由2kπ- $\frac{π}{2}$≤x- $\frac{π}{3}$≤2kπ+ $\frac{π}{2}$ .k∈Z.得2kπ- $\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+ $\frac{5π}{6}$ .k∈Z.即函数的单调递增区间为[2kπ- $\frac{π}{6}$ .2kπ+ $\frac{5π}{6}$ ].k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.结合辅助角公式进行化简求出ω的值是解决本题的关键．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用分层抽样的性质直接求解．（Ⅱ）X的可能取值为1.2.3.分别求出相应的概率.由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6× $\frac{24}{48}$ =3人.从选择理化历的组合中抽取：6× $\frac{16}{48}$ =2人.从选择史地政的组合中抽取：6× $\frac{48-24-16}{48}$ =1人．（Ⅱ）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.则X的可能取值为1.2.3.P（X=1）= $\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .P（X=2）= $\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{3}{5}$ .P（X=3）= $\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .∴随机变量X的分布列为：【点评】：本题考查分层抽样的求法.考查离散型随机变量的分布列的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）推导出AB || 平面PCD.从而MN || AB.MN || CD.再由M为PD中点.能证明N 为PC中点．（Ⅱ）在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.证明DH⊥平面ABCD.推出DH⊥AD.然后证明AD⊥平面PCD．（Ⅲ）推导出AD⊥CD.DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角T-AC-B的大小．【解答】：解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为梯形.AB || CD.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于N.∴平面ABNM∩平面PCD=MN.∵AB || CD.AB⊄平面PCD.CD⊂平面PCD.∴AB || 平面PCD.∵MN⊂平面PCD.且MN⊂平面ABNM.∴MN || AB.∴MN || CD.∵M为PD中点.∴N为PC中点．（Ⅱ）证明：在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.∵平面ABCD⊥平面PCD.DH⊂平面PCD.平面ABCD∩平面PCD=CD.∴DH⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD.∴DH⊥AD.又AD⊥PC.且PC∩DH=H.∴AD⊥平面PCD．（Ⅲ）解：∵AD⊥平面PCD.∴AD⊥CD.又DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.∴D（0.0.0）.A（2.0.0）.C（0.2 $\sqrt{3}$ .0）.B（2.1.0）.P（0.-1. $\sqrt{3}$ ）.∵T为PB中点.∴T（1.0. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.$\overrightarrow{AC}$ =（-2.2 $\sqrt{3}$ .0）. $\overrightarrow{AT}$ =（-1.0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.设平面ACT的法向量 $\overrightarrow{n}$ =（x.y.z）.则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AC}=-2x+2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AT}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$ .取x= $\sqrt{3}$ .得 $\overrightarrow{n}$ =（ $\sqrt{3}$ .1.2）.平面ABC的法向量 $\overrightarrow{m}$ =（0.0.1）.设二面角T-AC-B的大小为θ.则cosθ= $\frac{|\overrightarrow{m}\bullet\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\bullet |\overrightarrow{n}|}$ =$\frac{2}{\sqrt{8}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．∴θ=45°．∴二面角T-AC-B的大小为45°．【点评】：本题考查点是线段中点的证明.考查线面垂直的证明.考查二面角的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求a=6且x＞0时f（x）的导数.利用导数判断f（x）的单调性.从而求得f （x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时.讨论x＜0和x＞0时.利用导数研究函数f（x）的单调性.从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．【解答】：解：（Ⅰ）当a=6.且x＞0时. $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+6x-1$ .所以f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3）.令f'（x）=0.得x=2.或x=3；当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：（Ⅱ）当a＜0时.若x＜0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}-ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x-a=x（x-5）-a；因为x＜0.a＜0.所以f'（x）＞0；若x＞0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x+a；令f'（x）=0.△=25-4a＞0.所以有两个不相等的实根x1.x2.且x1x2＜0；不妨设x2＞0.所以当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：所以当a＜0时.f（x）即存在极大值又有极小值．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题.也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题.是中档题．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由斜率之积的a.b的关系.又过一点又得a.b的关系.解出a.b的值.求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A.B的坐标.设P的坐标.满足椭圆的方程.得直线AP.BP.求出M.N的坐标.再用圆中切割线定理得切线长的值．【解答】：解：（Ⅰ）设P（x.y）.由题意得A（-a.0）.B（a.0）.∴k AP•k BP=$\frac{y}{x+a}$ $\bullet \frac{y}{x-a}$ = $\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ .∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ =- $\frac{3}{4}$ 而$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ $+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1得：b2= $\frac{3}{4}$ a2① .又过（1. $\frac{3}{2}$ ）∴ $\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$ =1 ② .所以由① ② 得：a2=4.b2=3；所以椭圆C的方程： $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{3}$ =1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A（-2.0）.B（2.0）设P（m.n）.$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$ .则直线的方程PA：y= $\frac{n}{m+2}$ （x+2）.令x=0.则y= $\frac{2n}{m+2}$ .所以M的坐标（0. $\frac{2n}{2+m}$ ）.直线PB的方程：y= $\frac{n}{m-2}$ （x-2）.令x=0.y= $\frac{-n}{m-2}$ .所以坐标N（0. $\frac{-2n}{m-2}$ ）.∵△OTN∽△OMT∴ $\frac{OT}{OM}=\frac{ON}{OT}$ .∴OT2=|ON|•|OM|=|$\frac{4{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$ |=3|所以切线长|OT|2= $\sqrt{3}$ ．【点评】：考查直线与椭圆的综合.属于中难题．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.即可得出P是“减0集”.同理可得P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A.当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.对x.y分类讨论即可得出矛盾．当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.同样得出矛盾．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得所有的A．【解答】：解：（Ⅰ）∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.∴P是“减0集”同理.∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-1∉P.∴P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A. ① 当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.则x.y一个为2.一个为4.所以集合A中有元素6.但是3+3∈A.3×3-2∉A.与A是“减2集”.矛盾；② 当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.若x+y=xy-1.m=1时M为除1以外的最小元素.则x=M-1.y=1时.xy-2=M-3小于M.如果要符合题意必须M=4.此时取x=2.y=2.xy-2=2不属于A.故不符合题意．m＞2时.（x-1）（y-1）=m+1.同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．① 假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得：A={1.3.5.…….2n-1.……}.（n∈N*）.以及A的满足以下条件的非空子集：{1.3}.{1.3.5}.{1.3.5.7}.……．【点评】：本题考查了新定义、元素与集合之间的关系、逻辑推理.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。

2021年高三上学期开学检测数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a= 1 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．析：解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4 又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（xx•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P= 故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny= 故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（xx•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0 解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（xx•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2 x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（xx•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（xx•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE 是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7…（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[xx，2800]…（7分）①当0.8x∈[xx，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP 的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．答：（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为析：0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2 PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（xx•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．p39084 98AC 颬20777 5129 儩27475 6B53 歓30600 7788 瞈22479 57CF 埏39446 9A16 騖g21224 52E8 勨31493 7B05 笅20416 4FC0 俀19969 4E01 丁36852 8FF4 迴。