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小五数学第11讲：神奇的数字9.doc

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第十一讲神奇的数字91、最大的一位数字是9，9 是完全平方数2、 9 是帝王之数，帝王的尊严为九五之尊，代表公权的礼器为九鼎，“普天之下，莫非王土”的土地称为九州。

3、 9 是阳之极， 9 是三的倍数，三为阳数，因而9 就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是九九重阳的由来。

4、将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是9 的倍数5、将一个数字中的各个位数相加，所得的和若能被9 整除，则该数也能被9 整除。

6、将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个一位数），所得数即为该数除以9 后的剩余数。

7、将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为9 的倍数（即被9 整除）。

8、将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9 的倍数。

9、将两数的 9 余数相加，若与答案的9 余数相等，则计算正确。

10、将两数的9余数相减，若与答案的9 余数相等，则计算正确。

（够减直减，不够加9减）11、将两数的 9 余数相乘，若与答案的9 余数相等，则计算正确。

12、一个数 a 与它的各个数位数字和 b 除以 9 的余数相同13、加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9一、数字 9 的整除性二、数字 9 的余数求法三、数字 9 的灵活使用例 1：下列数字能被9 整除的是（）A．19 B.118 c.117 d.2369 整除，一个数就能被9 整除解析：各位数的和能被答案： c例 2：下列自然数除以9 的余数最大的是（）A．186 B.423 C.118 D.2349 后的剩余数解析：将一个数字中的各个位数相加所得数即数除以答案： A例3 把 0.4747⋯化成分数解析： 0.4747 ⋯× 100=47.4747⋯⋯0.4747⋯× 100－ 0.4747⋯ = 47.4747⋯－ 0.4747⋯(100－ 1)× 0.4747⋯= 47即99×0.4747⋯= 47那么0.4747⋯= 47/99答案： 47/99例 4 某三位数是9 的倍数 ,且在 300 到 400 之 ,它的百位数字与个位数字之和是解析：某三位数是9 的倍数 ,且在 300 到 400 之 ,它百位数字与个位数字之和等于十那么个三位数是387答案 387例 5 等式 386A5961= （3* （ 2066+A））（ 3* （2066+A）），其中字母“A”代表 1 到 9 中的一个数字，求 A 代表的是哪个数字？解析：等号的右边是一个能够被9 整除的数，也就是说左边的这个数字是能被9 整除的，这个时候我们只需要来找左边这个数字的数字根就可以了，把 9 或者相加能得到9 的数字全部去掉，可以去掉 3 和 6，8 和 1,9，最后剩下的是 5、6 和 A，5+6=11,11 只能加 7 最终的结果才能是 9 的倍数，所以字母 A 只能代表数字 7答案： 7例6：观察 9=（ 101-1 ） 99=（ 102-1） 999=（ 103-1 ）请写出 0.9999=0.2222=0.1111=解析： 0.9999=9999 ÷10000=（ 104-1）÷ 100000.2222=2222 ÷10000=（ 104-1）÷ 10000÷ 9× 20.1111=1111 ÷10000= （ 104-1）÷ 10000÷ 9答案：（ 104-1 ）÷ 10000（104-1）÷ 10000÷ 9×2（104-1）÷ 10000÷ 9A1、求 7123021 除以 9 的余数（）A、1B、 3C、5D、 7解析： 7+1+2+3+2+1=16， 16÷9=1⋯7；答案： D2、求 1234567 除以 9 的余数（）A、 1B、 3C、 5D、 7解析： 1+2+3+4+5+6+7=2828÷ 9=3⋯1答案： A3、下列各式余数 3 的是（）A、1234÷ 9B、 2345 ÷ 9C、 4567÷ 9D、 6789÷ 9解析：一个数初一9 的余数与个数各位数和除以9 的余数相等答案： D4、算 9× 11解析：数字的便运算尽量化成10 的倍数 9× 11=（ 10-1 ）×（ 10+1） ==100-1=99 答案： 995、直接写出下列各式的余数（1） 91919111 ÷ 9 （ 2） 1238765÷ 9（3） 8763451÷ 9 （ 4） 87623419 ÷9 （5） 7826012 ÷9 （ 6） 79124231 ÷9解析：一个数 a与它的各个数位数字和 b 除以9 的余数相同答案： 5 5 7 4 8 2B1、把 0.33⋯化成分数解析： 0.33⋯× 10＝3.33⋯0.33⋯×10－ 0.33⋯ = 3.33⋯－ 0.33⋯(10-1)× 0.33⋯ =3即9× 0.33⋯ = 3那么0.33⋯ = 3/9=1/3答案： 1/32、下列各式的余数分（ 1） 23478÷ 9 （ 2） 82378÷ 9（ 3） 829876÷ 9 （ 4）938167 ÷ 99 的余数等于个数各位数和除以9 的余数解析：一个数除以答案： 6 1 4 73、验证下列各式的差除以9 的余数与0 的关系（ 1） 54321-12345 （2 ）62351-15326（ 3） 92751-15729 （ 4） 74924-42947（ 5） 32-23 （ 6）83279-97238解析：将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9 的倍数。

答案：都等于 04、判断下列各式计算是否正确（1） 123+789＝912（2）342+167=508解析：（ 1） 123 余 6， 789 余 6，912 余 3， 6＋ 6＝ 12＝ 3，即结果正确。

（2）342 余 0， 167 余 5， 508 余 4， 0+5≠ 4，即结果错误答案：正确错误5、快速计算（ 1） 9×8× 10 （ 2） 26×27× 28（ 3） 3×8+26 （4） 2+8+64解析：（ 1）原式 =9×（ 9-1）×（ 9+1） =9×（ 81-1） =720（2）原式 =（27-1）× 27×（ 27+1） =（272-1）× 27=92 × 92 -27=6534（3）原式 =3×（ 9-1） +（3× 9-1） =4× 9-3-1=32（4）原式 =2+（9-1） +（7× 9+1） =2+8× 9=74答案： 720 6534 32 74C1、求 7813 × 1768 除以 9 的余数解析： 7813 除以9 余 1； 1768 除以9 余 4； 7813× 1768 除以9 余 1× 4= 4答案 42、求 100100 除以 9 的余数解析： 100 除以9 余 1， 1100 除以 9 余 1答案： 13、将 1～ 2013 写成一排： 1234⋯⋯ 20122013 ，求个数除以9 的余数 .解析：个多位数与1+2+3+?+2013 9 同余；1+2+3+?+2013= 2013×1007?6×8= 48 余 3答案： 34、此式是否正确：135987984 ＋981252341 ＝ 1117241325解析：两个加数的9 余分是 0 和 8，和的9 余是8，而等式右多位数的9 余0，所以。

答案：5、将数字 1~ 9 填入下面式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字．若“H”= 4，那么四位数 GHIH等于? ．A B C＋D E F＝ G H I H解析： G = 1，所有数字总和 49，49 除以9 余 4，故知横线上方、下方除以9 都余2，故(1+4+ I +4)除以 9 余 2，得到 I 的理论值为 2. 之后只需填出一种即可：上下数字和相差27，故进 3 位，每个数位都有进位，易填出一种为735+689=1424答案： 14241、111118932 初以 9 的余数为（）A、1B、6C、 3D、 0解析：各位数的和为27，能够整除9答案： D2、判断下列各式计算是否正确（1） 183726+2936=186661（2）9178367+102683=9281050解析：（ 1） 183726 余 0， 2936 余 2， 186661 余 1 ，即结果错误（2）9178367 余 5， 102683 余 2，9281050 余 7， 5+2=7，即结果正确答案：错误正确3、请直接写出下列各式的余数（1） 8763451÷ 9解析：一个数 a 与它的各个数位数字和答案：7 4 b 除以9（ 2）的余数相同87623419 ÷94、下列除式余数最大的是（）A、２３÷３B、５４４３÷９C、３３６÷３D、２２４５÷２解析：余数分 2 7 0 1答案： C5、把 0.325656 ⋯化成分数解析： 0.325656⋯×100=32.5656 ⋯①?0.325656⋯× 10000=3256.56 ⋯②?用②－①即得 :?0.325656⋯× 9900 = 3256.5656 ⋯－ 32.5656 ⋯0.325656⋯× 9900 = 3256－32?所以 ,? 0.325656 ⋯ =3224/9900答案： 3224/99006、判断正（ 1） 789÷ 9 余 5解析：各位数和除以9答案：×（ 2） 19267+8916 解析：各加数分除以答案：√的和除以 9 余 49，相加后再求余（）（）（ 3） 888+222 能被 9 整除（）解析：各加数分除以9，相加后再求余答案：×（ 4） 431+28910 余 3（）解析：各加数分除以9，相加后再求余答案：×1、把 0.4777 ⋯化成分数A、42/91B、43/90C、 43/89D、 41/90解析： 0.4777⋯× 10=4.777⋯①0.4777⋯× 100=47.77⋯②用②－①即得 :0.4777⋯× 90=47－4所以 , 0.4777⋯ =43/90答案： B2、请直接写出下列各式的余数（1） 7826012 ÷9 （ 2） 79124231 ÷9解析：一个数 a 与它的各个数位数字和 b 除以 9 的余数相同答案：8 23、快速判断下列各式计算是否正确（1） 34987+10467=45454（2）8167234+23012=8200246解析：（ 1） 34987 余 4， 10467 余 0， 45454 余 4，即结果正确（2） 8167234 余 4， 23012 余 8， 8200246 余 4， 4+8=12 余 3≠ 4，即结果错误答案：正确错误4、快速判断下列各式计算是否正确（1） 89-123＝ 666解析： 789 余 6，123 余 6， 666 余 9 或 0.6-6＝ 0，即结果正确。

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神奇的9(优秀)

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在多位数计算中，例如 4444 9999 ，可以根据去一添补的方法直接写出答案为 44435556 ，在写的过程中，我们会发现乘积的数字之和为 4 9 36 ，多验证几个式子会 发现， M 99...9 （其中 M 为自然数，且 M 99...9 ）乘积的各位数字之和为 9k
k 个9 k 个9
为 2007 9=18063 ． 【例 3】 如果 A 3 33 333 ... 33...3 ，那么 A 的各位数字之和是多少。
2010个3
【解析】 10 A 30 330 3330 ... 33...30
2010个3
,
所
以 ，
9 A 33...30 3 3 ... 3= 33...327300
2 个 0 次 2010 1 个 0 3
2
A 33...327300 9 370370...370369700 ，数字和为 668 10 25=6705
2006个3 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8个370
【例 4】 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。 【解析】若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果 不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因为 0≠1，所以这个算式不正确
55...5 33...3 乘积的各位数字之和是多少？
2007 个5 2007 个3
55...5
【解析】 55...5 33...3=
2007 个5 2007 个3 2007 个5
3
则可知乘积的各位数字之和 99...9 =N 99...9 ,N 为整数，
小五数学第11讲：神奇的数字

小五数学第11讲：神奇的数字

第十一讲神奇的数字91、最大的一位数字是9，9是完全平方数2、9是帝王之数，帝王的尊严为九五之尊，代表公权的礼器为九鼎，“普天之下，莫非王土”的土地称为九州。

3、9是阳之极，9是三的倍数，三为阳数，因而9就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是九九重阳的由来。

4、将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是9的倍数5、将一个数字中的各个位数相加，所得的和若能被9整除，则该数也能被9整除。

6、将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个一位数），所得数即为该数除以9后的剩余数。

7、将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为9的倍数（即被9 整除）。

8、将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。

9、将两数的9余数相加，若与答案的9余数相等，则计算正确。

10、将两数的9余数相减，若与答案的9余数相等，则计算正确。

（够减直减，不够加9减）11、将两数的9余数相乘，若与答案的9余数相等，则计算正确。

12、一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同13、加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9一、数字9的整除性二、数字9的余数求法三、数字9的灵活使用例1：下列数字能被9整除的是（）A．19解析：各位数的和能被9整除，一个数就能被9整除答案：c例2：下列自然数除以9的余数最大的是（）A．186解析：将一个数字中的各个位数相加所得数即为该数除以9后的剩余数答案：A例3把…化成分数解析：…×100=………×100－… = …－…(100－1)×…= 47即 99×… = 47那么… = 47/99答案：47/99例4某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它的百位数字与个位数字之和是解析：某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它百位数字与个位数字之和等于十那么这个三位数是387答案387例5等式386A5961=（3*（2066+A））（3*（2066+A）），其中字母“A”代表1到9中的一个数字，求A代表的是哪个数字解析：等号的右边是一个能够被9整除的数，也就是说左边的这个数字是能被9整除的，这个时候我们只需要来找左边这个数字的数字根就可以了，把9或者相加能得到9的数字全部去掉，可以去掉3和6，8和1,9，最后剩下的是5、6和A，5+6=11,11只能加7最终的结果才能是9的倍数，所以字母A只能代表数字7答案：7例6：观察9=（101-1） 99=（102-1） 999=（103-1）请写出===解析：=9999÷10000=（104-1）÷10000=2222÷10000=（104-1）÷10000÷9×2=1111÷10000=（104-1）÷10000÷9答案：（104-1）÷10000（104-1）÷10000÷9×2（104-1）÷10000÷9A1、求7123021 除以9 的余数为（）A、1B、3C、5D、7解析：7+1+2+3+2+1=16，16÷9=1…7；答案：D2、求1234567除以9的余数为（）A、1B、3C、5D、7解析：1+2+3+4+5+6+7=28 28÷9=3 (1)答案：A3、下列各式余数为3的是（）A、1234÷9B、2345÷9C、4567÷9D、6789÷9解析：一个数初一9的余数与这个数各位数和除以9的余数相等答案：D4、计算9×11解析：数字的简便运算尽量化成10的倍数9×11=（10-1）×（10+1）==100-1=99答案：995、请直接写出下列各式的余数（1）（2）1238765÷9（3）8763451÷9 （4÷9（5）7826012÷9 （6÷9解析：一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同答案：5 5 7 4 8 2B1、把…化成分数为解析：…×10＝……×10－… = …－…(10-1) ×… =3即 9×… = 3那么… = 3/9 =1/3答案：1/32、下列各式的余数分别为（1）23478÷9 （2）82378÷9（3）829876÷9 （4）938167÷9解析：一个数除以9的余数等于这个数各位数和除以9的余数答案：6 1 4 73、验证下列各式的差除以9的余数与0的关系（1）54321-12345 （2）62351-15326（3）92751-15729 （4）74924-42947（5）32-23 （6）83279-97238解析：将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。

数字9真奇妙

数字9真奇妙

数字９真奇妙李明亮在十进制记数法中，９是最大的数字，也是最大的一位数。

９有许多奇妙的性质和用途。

一、能被９整除的数的特征：如果一个多位数的各位数字之和能被９整除，那么，这个多位数就能能被９整除。

二、如果一个多位数的各位数字之和被９除余几，那么，这个多位数被９除也一定余几。

由此可以得出以下结论：把一个多位数的各位数字相加，若其和不是一位数，就再把这个和的各位数字相加，直到得出一位数为止。

若最后得到的一位数是９，则这个多位数就能被９整除；若最后得到的一位数不是９，则这个一位数就是这个多位数被９除的余数。

例如：（１）４＋４＋８＋７＋３＋１＝２７，２＋７＝９，所以４４８７３１能被９整除；（２）３＋６＋８＋８＋２＋１＝２８，２＋８＝１０，１＋０＝１，所以３６８８２１被９除余１。

常用的弃九验算法用的就是９的这个性质。

99、999、……也有类似的性质。

例如：64+48+86=198，1+98=99，所以644886能被99整除。

30+380+685=1095，1+95=96，所以30380685被999除余96。

三、任何一个多位数，把它的数字打乱，重新排列后得到的多位数与原多位数相减，其差必定是9的倍数。

如，85—58＝２７，８６２２—２２６８＝６３５４，27和6354都是９的倍数。

四、用三个不完全相同的数字排成一个最大的三位数，并把它倒转成最小的三位数，再把两个三位数相减，然后用其差的三个数字重复上述运算。

最多五次，就可得到４９５。

例如，３２１—１２３＝１９８，９８１—１８９＝７９２，９７２—２７９＝６９３， ９63—369＝５９４，９５４—４５９＝４９５。

７００—００７＝６９３，９６３—３６９＝５９４，９５４—４５９＝４９５。

用四个不完全相同的数字，按上述方法进行计算，最后将会得到6174。

用五个、六个不完全相同的数字，按上述方法进行运算，也会有类似的现象发生，但不是出现一个固定不变的数，而是几个数循环出现。

神奇的数字9

神奇的数字9

神奇的数字9问: 神奇的数字“1”和“9”．（不计算，写出各题的积）（1）1×9=______．（2）11×99=______．（3）111×999=______．（4）1111×9999=______．（5）11111×99999=______．（6）111111×999999=______．⼩朋友，先⽤笔算，再找到规律，以后你就可以⼝算了。

9在⼀位数中属于⽼⼤，关于9的故事很多很多，这⾥只选取⼏个较为典型的作为介绍。

⼀、9的整除性：将⼀个数字中的各个位数相加，所得的和若能被9整除，则该数也能被9整除。

相关整除性：①被9整除的数也能被3整除。

②被9整除的偶数也能被6整除。

⼆、9 余法：⼜叫去9法。

将⼀个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直⾄得到⼀个⼀位数），所得数即为该数除以9后的剩余数。

注：此余数可以⼤于、⼩于、等于9.例：求654321÷9的余数。

6+5+4+3+2+1＝21或2+1＝3即21或3均为9余数。

注：相加过程中见9去9，直接跳过，可以不⽤计算。

（6+3）+（4+5）+2+1＝3.三、去余法：⼜叫留9法。

①将⼀个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为9的倍数（即被9 整除）。

例：去掉654321的9余数。

654321的9余数为21，故去余数后得到654300.②将⼀个数字反向后与原数相减（⼀般为⼤减⼩），所得差为9的倍数。

例：654321654321-123456＝530865.四、9余法在四则运算中的应⽤。

在⼩学数学计算中，往往需要验算其正确性，加减互验、乘除互验，浪费了⼤量的宝贵时间，如果利⽤9余法进⾏验算，则会起到事半功倍的效果。

①加法：将两数的9余数相加，若与答案的9余数相等，则计算正确。

123+789＝912123余6，789余6，912余3，6＋6＝12＝3，即结果正确。