高等数学复习题和答案

一、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线:且平行于直线：的平面方程 2、 已知，求， 3、 设，利用极坐标求4、 求函数的极值5、计算曲线积分， 其中为摆线从点到的一段弧6、求微分方程 满足 的特解二.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算，其中由圆锥面与上半球面所围成的立体表面的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）三．计算题（每题8分，共48分）1、 求过且与两平面和平行的直线方程 .2、 已知，求， .3、 设，利用极坐标计算.4、 求函数的极值. 5、 利用格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段. 6、求微分方程 的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收1L 123101x y z ---==-2L 21211x y z+-==22(,)z f xy x y =zx ∂∂z y ∂∂22{(,)4}D x y x y =+≤2Dx dxdy⎰⎰22(,)(2)xf x y e x y y =++2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰L sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩(0,0)O (,2)A πx xy y xe '+=11x y ==22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰∑z =z =(10)'111(1)3n n n n∞--=-∑6'(1,1)x ∈-1nn nx∞=∑6'(0,2,4)A 1:21x z π+=2:32y z π-=(sin cos ,)x yz f x y e +=zx ∂∂z y ∂∂22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤arctanDydxdy x⎰⎰22(,)56106f x y x y x y =+-++(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰L 222(),0x a y a y -+=≥(2,0)A a (0,0)O 32(1)1y y x x '-=++6'11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数 . 2、利用高斯公式计算，为抛物面的下侧五．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限2、求极限3、已知，求六．计算题（4小题，每题6分，共24分）1、已知，求2、计算积分3、计算积分4、计算积分七．觧答题（3小题，共28分）1、求函数的凹凸区间及拐点。

2、设求 3、（1）求由及所围图形的面积；（2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。

八．计算题（3小题，每题6分，共18分） 1、求极限2、求极限3、已知，求九． 计算题（每题6分，共24分）4'(1,1)-1n n x n ∞=∑(12)'2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰∑22z x y =+(01)z ≤≤123lim()21x x x x +→∞+-30sin limx x x x →-ln cos xy e =dy dx 221t x y t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩22d y dx 2cos x xdx⎰10arctan xdx⎰⎰(8)'42341y x x =-+(8)'1101()101x x xf x x e +⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩20(1)f x dx -⎰2y x =2y x =(6)'x (6)'10lim(1-)k xx kx +→12cos 2sin limsin xx t dtx x→⎰1lnsinxy e=dy dx1、设所确定的隐函数的导数。

2、计算积分3、计算积分4、计算积分十．觧答题（3小题，共28分）1、已知，求在处的切线方程和法线方程。

2、求证当时，3、（1）求由及所围图形的面积；（2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。

十一．计算下列各题（共分，每题分）1、已知，求。

2、求过点且平行直线的直线方程。

3、利用极坐标计算，其中D 为由、及所围的在第一象限的区域。

十二．求解下列各题（共分，第题分，第题分）、利用格林公式计算曲线积分，其中L 为圆域：的边界曲线，取逆时针方向。

、判别下列级数的敛散性：十三、求解下列各题（共分，第、题各分，第题分）、求函数的极值。

、求方程满足的特解。

、求方程的通解。

十四、计算下列各题（共分，每题分）10ye xy --=()yf x =0x dydx=arcsin xdx⎰0π⎰,0a >⎰(8)'2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩2t =(8)'0a b >>1ln ln 1a b aa b b -<<-3y x =0,2y x ==(6)'y (6)'2170ln =-+xy e z zy z x z ∂∂∂∂,)2,0,1(32211zy x =-+=-⎰⎰+D d y x δ)(22422=+y x 0=y x y =20182121dy y x xy dx e y x L )sin 52()(22++++⎰D 422≤+y x 2∑∞=--111)1()1(n n n 21(2)3nn n ∞=∑2312837113321),(23++--=y x y x y x f 2xe y dx dy-=+20==x y 282x y y y e '''+-=186、已知，求、求过点且平行于平面的平面方程。

、计算，其中D 为、及所围的闭区域。

十五、求解下列各题（共分，第题7分,第题分，第题分）、计算曲线积分，其中L 为圆周上点到的一段弧。

、利用高斯公式计算曲面积分：，其中是由所围区域的整个表面的外侧。

、判别下列级数的敛散性：十六、求解下列各题（共分,每题分）、求函数的极值。

、求方程满足的特解。

、求方程的通解。

一、计算题（每题8分，共48分）1、解：平面方程为2、解： 令3、解：，1335z xyz -=y z x z ∂∂∂∂,2(1,0,2)235x y z ++=322()Dx y dxdy +⎰⎰y x =0y =1x =2512831012()(sin )L x y dx x y dy --+⎰22x x y -=)0,0()1,1(2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰∑220,3,1z z x y ==+=3)1(21(1)ln n n n ∞=-∑n n n3sin 4)2(1π∑∞=2171123163),(232++-+=y y x x y x f 2xdyy e dx -=01x y ==3=+'-''y y y 65(1)xx e +12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →→=-=2'121013211ij kn s s i j k →→→→→→→→→=⨯=-=-+6'∴320x y z -++=8'22u xy v x y ==2'2122z z u z v f y f xyx u x v x∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂6'2122z z u z v f xy f x y u y v y ∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂8':0202D r θπ≤≤≤≤3'22232230cos cos DDx dxdy r drd d r drπθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰4π=8'4．解： 得驻点极小值为5．解：，有曲线积分与路径无关 积分路线选择：从，从6．解：通解为代入，得，特解为二、解答题1、解：方法一： 原式＝方法二： 原式＝2、解：（1）令收敛，绝对收敛。

（2）令222(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩1(,1)2-4'2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x x xx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+==6'2220,40A e AC B e =>-=>∴11(,1)22f e -=-8'223sin ,yP xy x Q x e =+=-2,P Q x y x ∂∂==∴∂∂2'1:0,L y x=0π→2:,L x yπ=02→4'122(23sin )()y LL L xy x dx xe dy Pdx Qdy Pdx Qdy++-=+++⎰⎰⎰222203sin ()27y xdx e dy e πππ=+-=-+⎰⎰8'11,x x y y e P Q e x x '+=⇒==2'∴11()()[()][]dx dx P x dxP x dx x xx y e Q x e dx C e e e dx C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰4'11[][(1)]x x e xdx C x e C x x =⋅+=-+⎰6'11x y ==1C =∴1[(1)1]x y x e x =-+8'22(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv∑ΩΩ+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4'3cos sin r drd d ϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰6'2340cos sin 2d d dr πππθϕϕϕ=⎰⎰⎰10'21120002(1)2rd rdr r r dr ππθπ=-=⎰⎰⎰⎰10'11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞+-→∞→∞=+=⋅=<∴∑4'111(1)3n n n n∞--=∴-∑6'1111()()nn n n s x nx x nx xs x ∞∞-=====∑∑2'11120111()()()11(1)x xn n n n x x s x dx nx dx x s x x x x ∞∞-=='===⇒==---∑∑⎰⎰5'三、计算题（每题8分，共48分）1、解：直线方程为 2、解： 令3、解：，4．解： 得驻点极小值为5．解：，有取从原式＝－＝6．解： 通解为四、解答题2()(1,1)(1)xs x x x ∴=∈--6'12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→==-2'1210223013ij ks n n i j k →→→→→→→→→=⨯==-++-6'∴24231x y z --==-8'sin cos x yu x y v e +==2'12cos cos x yz z u z v f x y f e x u x v x +∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂6'12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y +∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂8':0014D r πθ≤≤≤≤3'21400arctan 64D Dy dxdy r drd d rdr x ππθθθθ∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰8'(,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=⎧⎪⎨=+=⎪⎩(3,1)-4'(,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======6'220,200A ACB =>-=>∴(3,1)8f -=-8'sin 2,cos 2xx P e y y Q e y =-=-cos 2,cos ,x x PQe y e y yx ∂∂=-=∂∂2'(2,0),:0,A a OA y x =02a →4'L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++⎰⎰2()2D D Q P dxdy dxdy a x y π∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰6'∴2a πOA Pdx Qdy +⎰220a a ππ-=8'321,(1)1P Q x x =-=++2'∴113()()112[()][(1)]dx dx P x dxP x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰4'13222(1)[(1)](1)[(1)]3x x dx C x x C =+++=+++⎰8'1、解：（1）令收敛， 绝对收敛 （2）令，2、解：构造曲面上侧五．计算题：1.2.3.六．计算题：1.；2.原式3. 原式1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin23lim lim 132sin 3n n n n n n n nu u ππ+++→∞→∞==<4'12sin 3nn n π∞=∴∑11(1)2sin 3n n nn π∞-=∴-∑6'1()n n x s x n ∞==∑1111()1n n n n x s x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===⎪-⎝⎭∑∑2'0()()(0)ln(1)xs x s x dx s x '⇒=+=--⎰4'1:1,z ∑=122xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy∑∑+++++⎰⎰⎰⎰2'22110(211)44r dv dv d rdr dz πθΩΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1208(1)2r rdr ππ=-=⎰4'6'8'122I xdydz ydzdx zdxdyπ∑∴=-++⎰⎰10'2xyD dxdy ππ=-=⎰⎰12'()()1()420lim 11k kkkxx kx kx e ⋅-''--→=-⋅-=122222cos 320sin (sin cos )(sin )limlim 3xx x t dt x x xx '''→→---===∞⎰11lnsin lnsin 422211111cos cot1sin x x dy e e dx x x x xx ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭21300;0,0;0y x y x dy y e y y xy x y dxe x'''==''--=====-222sin sin (1)xarc x xarc x x ''=-=+-⎰2sin xarc x c'=333231222224(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππππ'''==-=⎰⎰⎰4.原式。