高三数学第一轮复习训练——填空题(二)

高三数学试卷（理）一、选择题：1．已知等差数列{n a }满足a 2＝2，a 6＝0，则数列{n a }的公差为A ．12B ．2C ．－12D ．－2 2．已知R 是实数集，M ＝{x ｜2x ＜1}，N ＝{y ｜y ＝2x －1}，则（C R M ）∩N ＝ A ．（－1，2） B ．[－1，2] C ．（0，2） D ．[0，2]3．已知向量a r ＝（1，2），b r ＝（1，0），c r ＝（3，4），若λ为实数，（a r ＋λb r ）∥c r ，则λ＝ A ．2 B ．1 C ．12 D ．－2 4．已知α∈（－4π，0），且sin2α＝－2425，则sin α＋cos α＝ A ．－15 B ．15 C ．－75 D ．755．若实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln （x ＋2）－x 在x ＝b 处取到极值c ，则ad ＝A ．－1B ．－2C ．1D ．26．在等比数列{n a }中，a 2＋a 3＋…＋a 8＝8，21a ＋31a ＋…＋81a ＝2，则a 5＝ A ．2或－2 B ．2 C ．3或－3 D ．37．已知函数f （x ）＝min{3－21log 2x ，2log x }，其中min{p ，q}表示p ，q 两者中较小的一个，则满足f （x ）＜1的x 的集合为 A ．（0B ．（04，＋∞）C ．（0，2）D ．（0，2）∪（16，＋∞）8．直线y ＝12与曲线y ＝2sin （x ＋2π）cos （x －2π）在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则｜113M M uuuuuu r ｜等于A ．6πB ．7πC ．12πD ．13π9．已知数列{n a }的前n 项和n S ＝2n（n ∈N ﹡），则n ≥2时，21a ＋22a ＋…＋2n a ＝A ．1(41)3n － B ．1(48)3n ＋ C ．21(21)3n － D ．21(24)3n ＋ 10．已知函数f （x ）＝23log (1)1,1032,x x x x x a ⎧⎨⎩－＋－≤＜－＋0≤≤的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是A ．（0，1]B ．[1，．[1，2] D ．2]11．已知f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调递减函数，()f x '是其导函数，若()()f x f x '＞x ，则下列不等关系成立的是A ．f （2）＜2f （1）B ．3f （2）＞2f （3）C ．ef （e ）＜f （2e ）D ．ef （2e ）＞f （3e ）12．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x ＋2）＝4f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x）＝2,[0,1)1),[1,2)x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－∈＋∈．若x ∈[－2，0)时，对任意的t ∈[1，2）都有f （x ）≥16t －28a t 成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－∞，2] B ．[2，＋∞） C ．（－∞，6] D ．[6，＋∞）二、填空题：13．曲线yy ＝2x 所围成的图形的面积为____________．14．已知向量a r ，b r 满足｜a r ｜＝2｜b r ｜≠0，且函数在f （x ）＝31132x ＋｜a r ｜2x ＋（a r ·b r ）x 在R 上有极值，则向量a r ，b r 的夹角的取值范围是_____________.15．下列四个命题：①函数f （x ）＝cosxsinx 的最大值为1；②命题“0x ∃∈R ，0x －2＞0lg x ”的否定是“x ∀∉R ，x －2≤lg x ”；③若△ABC 为锐角三角形，则有sinA ＋sinB ＋sinC ＞cosA ＋cosB ＋cosC;④“a ≤0”是“函数f （x ）＝｜2x －ax ｜在区间（0，＋∞）内单调递增”的充分必要 条件．其中所有正确命题的序号为_______________．16．已知e 为自然对数的底数，函数f （x ）＝x e －x e －＋)1x ＋，()f x '为其导函数，则()f e ＋()f e '＋()f e －－()f e '－＝____________．三、解答题：17． 已知数列{n a }满足：a 1＝23，a 2＝2，且3（1n a ＋－2n a ＋1n a －）＝2． （1）证明{1n a ＋－n a }是等差数列，并求{n a }的通项公式；（2）求使11a ＋21a ＋31a ＋…＋1n a ＞52成立的最小的正整数n ．18． 在用“五点法”画函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜2π）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，再将所得图象向左平移π个单位，得到y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在x ∈[－2π，2π]时的单调递增区间．19． 已知曲线f （x ）＝alnx －2bx 在点P （2，f （2））处的切线为y ＝－3x ＋2ln2＋2．（1）求实数a ，b 的值；（2）若方程f （x ）＋m ＝0在[1e，e]上有两个不等实根（e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围．20． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成公差为1的等差数列，C ＝2A ．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求AC uuu r 在CB uu r 方向上的投影．21． 设函数f （x ）＝x e －ax －1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：n ∈N ﹡，都有11n ＋＋12n ＋＋13n ＋＋…＋1n n ＋＜12(1)3n n ＋＋成立．23 在平面直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ．（1）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ，N ，求｜PM ｜＋｜PN ｜的取值范围．24． 设函数f （x ）＝｜x －4m｜＋｜x ＋m ｜ （m ＞0）． （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围．。

2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{}0，1，3，5，6，8 ，A ＝{}3，5，8 ，B ＝{}2 ，则()∁U A ∪B ＝( ) A ．{}0，1，2，6 B ．{}0，3，6 C ．{}1，2，5，8 D ．∅2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－23．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法( )A ．6B ．12C ．18D ．24 4.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中，就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为8 cm ，圆柱部分高度为6 cm ，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm 3的木质材料做成，其总质量为70 g ，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为( )A ．2.2 cmB ．2.4 cmC ．2.6 cmD ．2.8 cm5．从边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个点，其中这4个点中任意两点间的距离都相等的概率为( )A ．15B ．17C ．335D ．1356．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：h ＝m ·a t .若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果四舍五入取整数)( )A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天7．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的一点，则AP → ·AB →的取值范围是( ) A ．[2，6] B ．[2，4] C ．(2，4) D ．(0，4)8．已知定义在R 上的奇函数f ()x 满足f ()π＋x ＝f ()－x ，当x ∈()0，π 时，f ()x ＝sin xx 2－πx ＋π，则下列结论正确的是( )A ．π是函数f ()x 的周期B ．函数f ()x 在R 上的最大值为2C ．函数f ()x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上单调递减 D ．方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为3π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线的方程为x 216 －y 29＝1，则下列说法正确的是( )A ．焦点为(±7 ，0)B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0C ．离心率e ＝54D ．焦点到渐近线的距离为410．函数f ()x ＝A sin ()ωx ＋φ ()ω>0，A >0 的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2 B ．A ＝6C ．φ＝－π4D ．f ()0 ＝－311．已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则( ) A ．e a －e b >1 B ．a e －b e <1C ．9a －1b≤4 D ．2log 2a －log 2b ≥212．下列命题中，说法正确的是( )A ．已知随机变量服从二项分布B (n ，p )，若D (X )＝20，E (X )＝30，则p ＝23B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ≤0)＝12－pD ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1).若(a ＋b )⊥(a －b )，则x ＝________．14．在各项都为正数的等比数列{}a n 中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则T n 取最小值时，n 的值是________．15．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数，则△MFN 的面积为________．16．过曲线y ＝x ＋1x(x >0)上一点P 作该曲线的切线l ，l 分别与直线y ＝x ，y ＝2x ，y 轴相交于点A ，B ，C .设△OAC ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1＝________，S 2的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C .(1)求角A 的大小．(2)若sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313，求tan B 的值．18．(12分)已知首项为32的等比数列{}a n 的前n 项和为S n (n ∈N *), 且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).19．(12分)华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查了100个2021年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30(1)龄有关？(2)若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．附：χ2＝n ()ad －bc 2()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d .20．(12分)如图，在三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，∠BAA 1＝60°，E 是棱BB 1的中点，CA ＝CB ，F 在线段AC 上，且AF ＝2FC .(1)证明：CB 1∥平面A 1EF ；(2)若CA ⊥CB ，平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，求二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值．21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－12，点D 在线段AB 上，且AD →＝13 AB → ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE ||OD | 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝x e x .(1)求f (x )在x ＝－2处的切线方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＝a 有两个实根x 1，x 2，当－1e <a <－2e2 时，求证：|x 1－x 2|＜(e 2＋1)a ＋4.2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)1．答案：A解析：由题设知：∁U A ＝{0，1，6}，而B ＝{}2 ， ∴()∁U A ∪B ＝{0，1，2，6}．故选A. 2．答案：A解析：a －i1＋i ＝()a －i ·()1－i ()1＋i ·()1－i＝a －1－()a ＋1i 2 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0 ，a ＝1.故选A.3．答案：C解析：从六科中选考三科的选法有C 36 ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有C 33 ，因此考生的选考方法有C 36 －2C 33 ＝18种．故选C. 4．答案：A解析：由题可得该陀螺的总体积为700.7＝100 cm 3， 设底面半径为r ，则可得πr 2×6＋13 πr 2×()8－6 ＝100，解得r ＝ 15π≈2.2 cm.故选A.5．答案：D解析：从边长为1的正方体的8个顶点中选取4个点，共有C 48 ＝70种情况，满足4个点中任意两点间的距离都相等的有ACB 1D 1，BDA 1C 1这2种情况，所以4个点任意两点间的距离都相等的概率为135，故选D.6．答案：B解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧10%＝m ×a 1020%＝m ×a 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝2，m ＝5%，∴50%＝5%×a t ， ∴a t＝10，即2t 10＝10，∴t ＝10log 210，∴t ≈33， 故选B. 7.答案：B解析：如图所示，D 为AB 的中点，AP → ·AB → ＝|AP → ||AB →|cos ∠BAP ，当P 在B 时，AP → 在AB →方向上的投影AB 最大， ∴(AP → ·AB →)max ＝2×2＝4，当P 在C 时，AP → 在AB →方向上的投影AD 最小， (AP → ·AB →)min ＝2×1＝2， ∴AP → ·AB →的取值范围是[2，4].8．答案：D解析：∵f ()x 是R 上的奇函数，∴f ()－x ＝－f ()x ，∵f ()π＋x ＝f ()－x ＝－f ()x ≠f ()x ，故π不是函数f ()x 的周期，且f ()x ＋2π ＝－f ()x ＋π ＝f ()x ，故2π是函数f ()x 的周期，故A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝sin x >0且单调递增，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递减，则f ()x 单调递增，故C 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 时，y ＝sin x >0且单调递减，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递增，则f ()x 单调递减；且f ()0 ＝f ()π ＝0，又f ()x 是奇函数且周期为2π，∴f ()x max＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝44π－π2 ≠2，故B 错误；由f ()π＋x ＝f ()－x 可得f ()x 关于x ＝π2对称，方程f ()x －12 ＝0的根等价于y ＝f ()x 与y ＝12的交点的横坐标，根据f ()x 的单调性和周期可得，y ＝f ()x 与y ＝12 在()0，π 有两个关于x ＝π2 对称的交点，在()2π，3π 有两个关于x ＝5π2对称的交点，在()－2π，－π 有两个关于x ＝－3π2 对称的交点，所以方程f ()x －12＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为π2 ×2＋5π2×2＋⎝⎛⎭⎫－3π2 ×2＝3π，故D 正确．故选D.9．答案：BC解析：对A ，焦点为(±5，0)，故A 错误；对B ，渐近线方程为x 216 －y 29＝0⇒3x ±4y ＝0，故B 正确；对C ，e ＝c a ＝54，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为d ＝3×542＋32 ＝3，故D 错误；故选BC.10．答案：ABD解析：由已知，T 2 ＝8.5－6.5＝2，所以T ＝4＝2πω ，解得ω＝π2 ，所以f ()x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ . 又f ()8.5 ＝f ()0.5 ＝0，所以A sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ ＝0，则π4 ＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π4＋k π，k ∈Z ①. 又f ()5 ＝3 ，即A sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋φ ＝3 ，所以A cos φ＝3 ②.由①②可得A ＝6 ，所以f ()x ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π4 .故f ()0 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫－π4 ＝－3 .故选ABD. 11．答案：ACD解析：对A ，由a >0，b >0，且a －b ＝1可得a >b >0，则e a －e b ＝e b ()e a －b －1 ＝e b ()e －1 ，∵b >0，∴e b>1，又e －1>1，∴e b()e －1 >1，即e a－e b>1，故A 正确；对B ，令a ＝2，b ＝1，则a e －b e ＝2e －1>1，故B 错误；对C ，9a －1b ＝⎝⎛⎭⎫9a －1b ()a －b ＝10－⎝⎛⎭⎫9b a ＋a b ≤10－2 9b a ·a b ＝4，当且仅当9b a ＝a b时等号成立，故C 正确；对D ，2log 2a －log 2b ＝log 2a 2b ＝log 2()b ＋12b＝log 2⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋2 ≥log 2⎝⎛⎭⎫2 b ·1b ＋2 ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时等号成立，故D 正确．故选ACD.12．答案：BCD解析：A 选项：⎩⎪⎨⎪⎧np （1－p ）＝20np ＝30 ，两式相除得1－p ＝23 ，故p ＝13，故A 错误；B 选项：由D (aX ＋b )＝a 2D (X )知，当a ＝1时D (X ＋b )＝D (X )，故B 正确；C 选项：由ξ～N (0，1)可知P (ξ≤0)＝12，且P (ξ≤－1)＝P (ξ≥1)＝p ，所以P (－1<ξ≤0)＝P (ξ≤0)－P (ξ<－1)＝12 －p ，故C 正确；D 选项：P （X ＝k ）P （X ＝k ＋1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k ＋110×0.8k ＋1×0.29－k ＝k ＋14（10－k ），P （X ＝k ）P （X ＝k －1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－kC k －110 ×0.8k －1×0.211－k ＝4（11－k ）k令⎩⎪⎨⎪⎧k ＋14（10－k ）≥14（11－k ）k ≥1 ，解得395 ≤k ≤445，又k ∈Z ，故k ＝8，故k ＝8时概率最大，故D 正确．故选BCD. 13．答案：±2解析：(a ＋b )＝(1＋x ，3)，(a －b )＝(1－x ，1)，(a ＋b )⊥(a －b )＝(1－x )(1＋x )＋3＝1－x 2＋3＝4－x 2＝0，所以x ＝±2. 14．答案：9解析：由T 12＝T 6得T 12T 6＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝()a 9a 10 3＝1故a 9a 10＝1，因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，所以等比数列{}a n 是递增数列，故0<a 9<1<a 10， 则T n 取最小值时，n ＝9. 15．答案：2解析：设∠MAF ＝θ，||AF ＝a ，||BF ＝b ，由抛物线定义可得||AM ＝a ，||BN ＝b ， 且180°－2∠AFM ＋180°－2∠BFN ＝180°，故∠AFM ＋∠BFN ＝90°， 故∠MFO ＋∠NFO ＝90°即MF ⊥NF .由余弦定理得||MF 2＝2a 2(1－cos θ)，||NF 2＝2b 2(1＋cos θ)，S △MAF ＝12 a 2sin θ，S △NBF ＝12b 2sin θ因为△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数， 所以有12 a 2sin θ·12b 2sin θ＝1，即a 2b 2sin 2θ＝4，所以(S △MFN )2＝(14 ||MF 2 ||NF 2)＝a 2b 2sin 2θ＝4，所以△MFN 的面积为2.16．答案：2 (0，2)解析：由y ＝x ＋1x ，得y ′＝1－1x 2 ，设P (x 0，x 0＋1x 0 )(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝1－1x 20，∴曲线在P 处的切线方程为y －x 0－1x 0 ＝(1－1x 20 )(x －x 0).分别与y ＝x 与y ＝2x 联立，可得A (2x 0，2x 0)，B (2x 0x 20 ＋1 ，4x 0x 20 ＋1 )，取x ＝0，可得C (0，2x 0 )，又O (0，0)，∴△OAC 的面积S 1＝12 ×2x 0 ×2x 0＝2；OA ＝4x 20 ＋4x 20 ＝22 x 0，点B 到直线x －y ＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 20 ＋1－4x 0x 20 ＋12 ＝2x 0x 20 ＋1 .∴△OAB 的面积S 2＝12 ×22 x 0×2x 0x 20 ＋1 ＝2x 20 x 20 ＋1 ＝21＋1x 20∈(0，2).17．解析：(1)因为b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C ， 所以由正弦定理，得b (b ＋c )＝a 2－c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0<A <π，故A ＝2π3 .(2)由(1)知，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，则C －π6 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6 . 因为sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313 ，所以cos ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝23913 ， 故tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝123因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－C ＝tan ⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝tan π6－tan ⎝⎛⎭⎫C －π61＋tan π6tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝13－1231＋13×123＝37 .18．解析：(1)设等比数列{}a n 的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3 ＋ 2S 2 ＝4S 4－S 3，即2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3 ＝－12 ，又a 1＝32，所以等比数列{}a n 的通项公式为a n ＝32 ×(－12 )n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12 )n ，所以S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12 n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n （2n ＋1），n 为奇数，2＋12n （2n －1），n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1 ＝136 ；当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2 ＝2512 ，故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.19．解析：(1)列联表χ2＝100×()12×36－24×28236×64×40×60＝2524 ≈1.042<2.706，所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关．(2)由9×1236 ＝3，9×2436 ＝6，即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人．所以X 所有可能的取值为0，1，2，3P ()X ＝0 ＝C 03 C 36 C 39 ＝521 ，P ()X ＝1 ＝C 13 C 26C 39 ＝1528 ，P ()X ＝2 ＝C 23 C 16 C 39 ＝314 ，P ()X ＝3 ＝C 33 C 06C 39＝184 ，所以X 的分布列为：所以E ()X ＝0×521 ＋1×1528 ＋2×314 ＋3×184 ＝1所以X 的数学期望值为1.20．解析：(1)连接AB 1交A 1E 于点G ，连接FG .因为△AGA 1∽△B 1GE ，所以AG GB 1 ＝AA 1EB 1＝2，又因为AF FC ＝2，所以AF FC ＝AGGB 1，所以FG ∥CB 1，又CB 1⊄平面A 1EF ，FG ⊂平面A 1EF ，所以CB 1∥平面A 1EF .(2)过C 作CO ⊥AB 于O ，因为CA ＝CB ，所以O 是线段AB 的中点．因为平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，平面CAB ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CO ⊥平面ABA 1.连接OA 1，因为△ABA 1是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以OA 1⊥AB .如图以O 为原点，OA → ，OA 1，OC →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，3 ，0)，C (0，0，1)，B (－1，0，0)，F (13 ，0，23)，由AA 1＝BB 1，得B (－2，3 ，0)，BB 1的中点E ⎝⎛⎭⎫－32，32，0 ，A 1E ＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，0 ，A 1F ＝⎝⎛⎭⎫13，－3，23 . 设平面A 1FE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1F ·n 1＝0A 1E ·n 1＝0 ，即⎩⎨⎧x 13－3y 1＋23z 1＝0－32x 1－32y 1＝0 ， 得方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3z 1＝5 ，即n 1＝(－1，3 ，5).平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2||n 1||n 2 ＝52929 ， 所以二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值为52929. 21．解析：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝222c ＝2a 2＝b 2＋c 2 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1c ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1； (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由AD → ＝13 AB → 得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2x 1＋x 23y 3＝2y 1＋y 23 ，设|OE ||OD | ＝λ，则结合题意可知，OE → ＝λOD → ，故E (λx 3，λy 3)，将点E (λx 3，λy 3)代入椭圆方程可得λ2⎝⎛⎭⎫x 23 2＋y 23 ＝1，即1λ2 ＝x 23 2 ＋y 23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2322 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1＋y 23 2， 整理可得，1λ2 ＝49 ⎝⎛⎭⎫x 21 2＋y 21 ＋49 ⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2 ＋19 ⎝⎛⎭⎫x 22 2＋y 22 ， 又∵点A ，B 均在椭圆上，且k OA ·k OB ＝－12 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21 2＋y 21 ＝1x 22 2＋y 22 ＝1k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－12 ， ∴λ＝355 ，即|OE ||OD | 为定值355. 22．解析：(1)∵f (x )＝x e x ，f (－2)＝－2e2 ，∴f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(－2)＝－1e 2 ， 故x ＝－2时的切线方程是y ＝－1e 2 (x ＋2)－2e 2 ， 即y ＝－1e 2 x －4e 2 ； (2)证明：由(1)知：f (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，∵f (－1)＝－1e ，f (－2)＝－2e 2 ， 当－1e ＜a ＜－2e 2 时，方程f (x )＝a 有2个实根x 1，x 2，则x 1，x 2∈(－2，0)， 令g (x )＝f (x )＋1e 2 x ＋4e 2 (－2＜x ＜0)， 则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋1e 2 ， 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故g ′(x )在(－2，0)递增，故g ′(x )＞g ′(－2)＝0，故g (x )在(－2，0)递增，故g (x )＞g (－2)＝0，故g (x 1)＞0，故a ＝f (x 1)＝g (x 1)－1e 2 x 1－4e 2 ＞－1e 2 x 1－4e 2 ， 故－(e 2a ＋4)＜x 1，故x ∈(－2，0)时，x e x ＞x ，故a ＝f (x 2)＞x 2，故|x 1－x 2|＜a ＋e 2a ＋4＝(e 2＋1)a ＋4.。

《函数的图像及其应用》（二）考查内容：主要涉及利用函数图像研究函数的性质、利用函数图像解不等式等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（ ） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-2．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ） A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞3．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-4．已知在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()2f x x x =-，则关于x 的不等式()()2f f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．[]3,3-D ．[]4,4-5．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是( )A ．[)(]1,00,1-B ．[](]4,20,1--C ．[][]4,22,4-- D ．[)[]1,02,4-6．函数()[](),y f x x ππ=∈-的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅≥的解集为( )A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．][,0,22πππ⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．0,22ππ⎧⎫⎡⎤-⋃⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪C ．[1,-∪D ．[1,-∪1] 8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ．[4,1]-9．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞D ．4[,)3-+∞10．已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(2⎤-⎦B ．(2⎤-⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-11．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()210f x ->的解集为（ ）A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),53,-∞-+∞D ．()(),33,-∞-+∞12．设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列说法错误的是 A ．函数()f x 为偶函数B ．若[1,)x ∈+∞时，有(2)()f x f x -≤C ．若x ∈R 时，(())()f f x f x ≤D ．若[]4,4x ∈-时|()2|()f x f x -≥二．填空题13．如图所示，已知奇函数()y f x =在y 轴右边部分的图像，则()0f x >的解集为_________．14．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若|()|f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.16．设()(),()()0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为__ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题：（1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．18．已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≤；（2）当[2,2]x ∈-时，|()||1|f x a ≥+有解，求实数a 的取值范围.19．已知函数()()20f x x a x a =-+>． （1）解不等式()2f x a ≥；（2）若函数()f x 的图象与直线2y a =围成的图形的面积为6，求实数a 的值．20．已知函数()()()()22102201log 1x x f x x x x x ⎧+≤⎪=-+<≤⎨⎪>⎩（1）画出()y f x =的简图，并指出函数值域；（2）结合图象，求当()1f x >时，x 的取值范围．21．设函数()121f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图象；（2）当(],0x ∈-∞时，()f x ax b ≤+，求-a b 的最大值.22．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且[)0,x ∈+∞时，()[]()222,0,11,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.（1）求(),0x ∈-∞时()f x 的解析式；（2）在如图坐标系中作出函数()f x 的大致图象；（3）若不等式()f x k ≤恰有5个整数解，求k 的取值范围.《函数的图像及其应用》（二）解析1.【解析】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232xx ->解得31x -<<，故选B 项.2.【解析】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 3.【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >； 又()y xf x =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xf x <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C4.【解析】因为()y f x =是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+。

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ； （3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2． 故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==， 所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=． 故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--． 作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+， 所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=； 当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-； 当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点， 所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>； 令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-， 且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图： 由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解； 当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5； 当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦， 由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-； 综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时， 函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点， 当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增； 当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。