2020届上海市普陀区高三三模质量检测数学试题一、单选题1．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则( ) A ．x μ= B ．x μ≈C ．μ是x 的估计值D ．x 是μ的估计值 【答案】D【解析】样本平均数为x ，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数x 是总体平均数μ的估计值，故选D .2．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当0n a >时，则()102,n n n S S a n n N *--=>≥∈，1n n S S -∴>，则“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分条件； 如数列{}n a 为1-、1、2、3、4、，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数n ，均有0n a >”不是“{}n S 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件， 故选A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.3．设P 为双曲线2221x y a-=（0a >）的上一点，1223F PF π∠=，（12F F 、为左、右焦点），则12F PF ∆的面积等于（ ）A ．2B ．23a C ．3D ．3【答案】C【解析】先利用双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=，利用余弦定理求出12||||F P P F ⋅的值，结合三角形的面积公式即可求出12F PF △的面积． 【详解】双曲线2221(0)x y a a-=>，则1b =不妨设P 是双曲线的右支上一点， 则由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -= 则1223F PF π∠=, 所以222121224||||2||||cos3c PF PF PF PF π=+-⋅ 221212||||+||||PF PF PF PF =+⋅ 21212(||||)3||||PF PF PF PF =-+⋅所以2212443||||c a PF PF =+⋅，即222123||||4444PF PF c a b ⋅=-==所以124||||3PF PF ⋅=所以12121214||||sin 232323F PF S PF PF π=⋅=⨯⨯=△ 故选：C 【点睛】本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，属于中档题． 4．下列四个图象，只有一个符合()112233123123,,0y k x b k x b k x b k k k R b b b +=+++-+∈≠的图象，则根据你所判断的图象，1k 、2k 、3k 之间一定满足的关系是（ ）A ．123k k k +=B ．123k k k ==C ．123k k k +>D ．123k k k +<【答案】A 【解析】【详解】因为()112233123123,,0y k x b k x b k x b k k k R b b b +=+++-+∈≠， 所以x 足够小时，，x 足够大时，可见，折线的两端斜率必定为相反数，此时123k k k +=，只有第二个图象符合，故选A.二、填空题5．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤，则A B =________【答案】{2,0,2}-【解析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤， 则AB ={2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}- 【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 6．在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________2【解析】由点的坐标写出复数，再计算。
2020届上海市普陀区高三上学期11月调研测试数学试题一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】B【解析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ,运用求和公式，化简可得,2554a b ≥，设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆,利用等差数列的性质可得190∆+∆≥,从而判断方程实数解的情况；同理可得剩余方程实数解的情况. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ，因为关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a a b b b ∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解. 设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥,所以10∆<和90∆<至多一个成立,同理可知,20∆<和80∆<至多一个成立,30∆<和70∆<至多一个成立,40∆<和60∆<至多一个成立,所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个. 故选:B 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式及等差数列性质与一元二次方程解的情况相结合的问题；利用等差数列的性质和基本不等式得到190∆+∆≥是求解本题的关键;属于综合型强，难度大型试题. 4．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的15,62x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则m 的最小值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．56π 【答案】C【解析】由正弦函数图象及其单调性可得,()12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,由三角函数的最值可得, 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=,则在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦，由函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，sin 232f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出m 的最小值. 【详解】因为()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,15,62x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,所以12,63x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，可得()1f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=,所以在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦，由函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,又sin 23f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭即2m π≥, 所以m 的最小值为2π. 故选: C 【点睛】本题考查正弦函数的图象和单调性及最值;根据正弦函数的单调性及最值得出在区间[]0,m 上总存在唯一确定的2x ,使得()20,2f x ⎡∈⎢⎣⎦是求解本题的关键;属于中档题.二、填空题 5．复数21iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】由共轭复数的定义求出z ,再代入复数的模公式z =.【详解】 由题意可得,()()()2121111i z i i i i -===-++-,由共轭复数定义知,1z i =+, 所以由复数模的定义知,z ==故答案为 【点睛】本题考查复数的乘除运算及共轭复数的概念和复数模的概念;考查运算能力;属于基础题.6．函数tan()3y x ππ=+的最小正周期为________.【答案】1【解析】利用函数()tan y x ωφ=+的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】因为tan y x =的最小正周期为π,所以函数()tan y x ωφ=+的最小正周期为T πω=， 所以函数tan()3y x ππ=+的最小正周期为1T ππ==, 故答案为:1 【点睛】本题考查正切函数的最小正周期的计算公式;属于基础题. 7．已知函数2()2f x x =-（0x ≤），则1()f x -=________.【答案】(2)x ≥-【解析】由反函数的定义反解x ,再由0x ≤即可得到()1f x -的表达式.【详解】因为函数2()2f x x =-（0x ≤）， 所以222x -≥-,即()2f x ≥-, 所以()22x f x =+,令()f x y =,则x =因为0x ≤,所以x =,即1()fx -=(2)x ≥-，故答案为：(2)x ≥- 【点睛】本题考查反函数的的定义;合理利用原函数的值域和定义域是求解本题的关键;属于基础题. 8．831(2)x x-展开式中的各项系数和为________. 【答案】1【解析】根据二项展开式的定义知,在831(2)x x -中,令1x =，即可得展开式中各项系数之和. 【详解】 在831(2)x x -中,令1x =可得, 其展开式中的各项系数和为：8312111⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为: 1 【点睛】本题考查二项式定理的应用;求二项式展开式的各项系数的和时,一般用特殊值代入法：令1x =时求二项式的值即可;属于基础题.9，高为1，则圆锥的侧面积为________.【解析】由题意求出圆锥的底面半径r ，代入圆锥的侧面积公式S rl π=求解即可. 【详解】由题意知,1l h ==,所以圆锥的底面半径1r ==, 由圆锥的侧面积公式可得,=1S rl ππ==侧,【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式S rl π=;其中根据圆锥的轴截面三角形求出底面半径r 是求解本题的关键;属于基础题.10．若“2x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a >【解析】根据p 是q 的充分不必要条件,结合集合的包含关系,得到关于a 的不等式，解不等式即可. 【详解】因为“2x <”是“x a <”的充分非必要条件， 所以集合}{2x x <是集合}{x x a <的真子集, 所以实数a 的取值范围为2a >.故答案为:2a > 【点睛】本题考查利用充分条件与必要条件和集合间的包含关系求参数的范围;由充分必要条件正确转换为集合间的包含关系是求解本题的关键;属于中档题.11．等比数列{}n a 中，11a >，前n 项和为n S ，若11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是______.【答案】(【解析】由题知,()111n n a q S q-=-，得出1lim 1n n a S q→∞=-,由此得出1a 与q 的关系式,即可求出1a 范围. 【详解】 由题知,()111n n a q S q-=-,由极限的定义知, 1lim 1n n a S q→∞=-， 因为11lim n n S a →∞=，所以1111a q a =-,即211a q =-, 因为11a >,所以10q -<<,所以2112a <<,解得11a <.故答案为：( 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式及数列的极限,解题时需注意掌握极限的逆运算;属于中档题.12．第二届中国国际进口博览会11月初在上海举行了，在这届进口博览会上，某高校派出的4人承担了连续5天的志愿者服务，若每天只安排一人且每人至少参加一天志愿服务，则甲参加2天志愿服务的概率为________（结果用数值表示）. 【答案】14【解析】记“甲参加2天志愿服务”为事件A,假设4人分别为：甲、乙、丙、丁,则由题知4人中只有一人参加2天的志愿服务,有4种情况;其中5天中选2天有25C 种情况,其余人全排列,相乘得到总的基本事件数；再求出事件A 包含的基本事件数,利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】记“甲参加2天志愿服务”为事件A ，则由题知，4人中只有一人参加2天的志愿服务有4种情况; 其中5天中选2天有25C 种情况, 其余人全排列，所以总的基本事件数2353=4n C A ⨯⨯总; A 事件包含的基本事件数2353A n C A =⨯,由古典概型的概率公式得，()235323531=44A C A n P A n C A ⨯==⨯⨯总. 故答案为:14【点睛】本题考查排列组合问题和古典概型的概率公式的应用;解题的关键是对排列组合问题中的特殊元素要优先考虑和古典概型概率公式的正确应用;属于中档题.13．在等式4⨯□9+⨯□60=的两个“□”中，分别填入两正数，使它们的倒数和最小，则填上的两个正数的和为________. 【答案】10【解析】设两个正数为x 、y ，则4960x y +=，利用基本不等式求出11x y+的最小值，即可得到此时x 与y 满足的关系式,与4960x y +=联立,即可求出此时x 与y 的值. 【详解】设两个正数为x 、y ，则4960x y +=，所以11x y +()1114960x y x y ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭ 1941360y x x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭15136012⎛≥+= ⎝, 当且仅当94y x x y =时11x y +有最小值512.所以正数x 、y 满足方程：944960y x xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得64x y =⎧⎨=⎩，则10x y +=.故答案为:10 【点睛】本题考查学生灵活运用基本不等式求最值的问题及掌握取最值时的条件;4960x y +=这个条件的灵活运用与变形是求解本题的关键;属于中档题.利用基本不等式a b +≥求最值需要满足的条件：一正二定三相等. 14．已知()f x 是R 上的奇函数和单调递增函数，若集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集，则实数λ的值是________.【答案】78-【解析】根据()f x 是R 上的奇函数和单调递增函数，化简不等式()()2210f x f x λ++-≤,再由集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集，得到关于x 的一元二次方程有两个相等实数根，从而得到关于λ的方程，解方程即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以不等式()()2210f x f x λ++-≤可化为()()221f x f x λ+≤-,又因为()f x 是R 上单调递增函数,所以221x x λ+≤-,即2210x x λ-++≤，因为集合2{|(21)()0,x f x f x λ++-≤}x ∈R 有且仅有2个子集， 所以此集合有且只有一个元素,所以可得方程2210x x λ-++=有两个相等的实数根, 所以判别式()()214210λ∆=--⨯⨯+=,解得78λ=-. 故答案为:78-【点睛】本题考查利用抽象函数的单调性和奇偶性解不等式和集合的子集个数与元素个数问题;判断出此集合为单元素集合是求解本题的关键;属于中档题，常考题型. 15．在平面内，已知非零向量a 与单位向量e 的夹角为3π，若向量b 满足2680b e b -⋅+=r r r，则||a b -的最小值为________.1【解析】设()a a =r ，(1,0)e =，(,)b x y =r ，由2680b e b -⋅+=r r r得：22680x y x +-+=，即22(3)1x y -+=，||a b -的最小值即圆上的点到直线0y -=距离的最小值，数形结合可得结果.【详解】设()a a =r ，(1,0)e =，(,)b x y =r，由2680b e b -⋅+=r r r得：22680x y x +-+=，即22(3)1x y -+=，所以向量b 的末端落在以()3,0为圆心,以1为半径的圆上,即图中的虚线圆上.因为非零向量a 与单位向量e 的夹角为3π, 所以向量a 的末端落在如图所示的射线上. 由向量减法的三角形法则可知,向量a b -是从圆上的点到射线上的点形成的向量. 由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可. 由几何分析可知,如图:圆心到射线的距离减去圆的半径即为||a b -最小值.所以min311a b -=-=-. 故答案为1 【点睛】本题考查平面向量的数量积和向量减法的三角形法则与数形结合的思想的应用;把求||a b -的最小值转化为求圆上的点到射线上的点的距离的最小值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.16．已知函数()210log 0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列有关函数()()1y f f x =+的零点叙述正确序号是_______ .()1当0a >时,有3个零点；当0a <时,有2个零点；()2无论a 为何值，均有2个零点；()3无论a 为何值，均有4个零点；()4当0a >时,有4个零点；当0a <时,有1个零点. 【答案】()4【解析】因为函数()f x 为分段函数,函数()()1y f f x =+为复合函数,故需要分类讨论，确定函数()()1y f f x =+的解析式，从而可得函数()()1y f f x =+的零点个数.【详解】 分四种情况讨论：()1当1x >时,()2log 0f x x =>,所以函数()()1y ff x =+的解析式为()22log log 1y x =+,令0y =,则()22log log 1x =-，解得x=,有1个零点.()2当01x <≤时,()2log 0f x x =≤,所以函数()()1y ff x =+的解析式为2log2y a x =+,当0a >时,令0y =，则22a x -=，有1个零点;当0a <时,无零点.()3当0,10x ax ≤+≤时,函数()()1y f f x =+的解析式为：()2111y a ax a x a =++=++，则当0a >时,有1个零点；当0a <时,无零点.()4当0,10x ax ≤+>时，函数()()1y f f x =+的解析式为()2log 11y ax =++,则当0a >时, 有1个零点;当0a <时,无零点.综上可知,当0a >时,有4个零点；当0a <时,有1个零点. 故答案为:()4 【点睛】本题考查分段函数与复合函数相结合的函数零点问题;利用数学中的分类讨论思想分别求出对应的解析式和函数零点是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos 22A C +=.（1）若3a =，b =ABC ∆的面积；（2）若()sin sin )f A A A A =-，求(A)f 的取值范围.【答案】（1（2）31(,]22-.【解析】()1已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出sin 2B,从而求出角B;利用余弦定理求c 边，代入三角形的面积公式1sin 2ABC S ac B ∆=即可. ()2()f A 的解析式利用二倍角的正弦、余弦公式化简整理后化为一个角的正弦函数，根据角B 的度数表示出A C +的度数,确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可求出()f A 的取值范围. 【详解】()1在ABC ∆中,A B C π++=,所以1coscos sin 2222A CB B π+-===,因为022B π<<,所以26B π=即3B π=,由余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-, 即2179232c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2320c c -+=， 解得1c =或2c =，所以当1c =时,11sin 312224ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=,当2c =时,11sin 3222ABC S ac B ∆==⨯⨯=,所以ABC ∆. ()2()2cos sin f A A A A =-1cos 222A A -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为3B π=，所以23A C π+=, 可得203A π<<, 所以32662A πππ<+<， 所以(]sin 21,16A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()31,22f A ⎛⎤∈-⎥⎝⎦. 所以(A)f 的取值范围为31(,]22-. 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和面积公式及利用二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式求三角函数的取值范围;其中二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式的熟练应用是求解本题的关键;属于常考题型、中档题.18．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，且AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =.（1）若1h =，求证：1BM AC ⊥； （2）若多面体111ABM A B C -的体积为203，求直线AM 与平面ABC 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】()1以A 为坐标原点,以射线1AB AC AA 、、分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系,求出1,BM AC ,证得10BM AC ⋅=即可. ()2利用三棱柱111A B C ABC -被分割为一个三棱锥M ABC -和一个多面体111ABM A B C -，可得111111A B C ABC M ABC ABM A B C V V V ---=+，从而求出MC 的长度,再由线面角的定义知在Rt MAC ∆中求出MAC ∠的大小即可. 【详解】()1证明：以A 为坐标原点,以射线1AB AC AA 、、分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：则()2,0,0B ,()0,2,1M ,()10,0,4A ,()0,2,0C ,所以()2,2,1BM =-,()10,2,4AC =-,所以()()12022140BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=, 所以1BM AC ⊥.()2因为三棱锥M ABC -的体积为1112223323M ABC ABC hV MC S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，三棱柱111A B C ABC -的体积为1111142282A B C ABC ABC V CC S -∆=⨯=⨯⨯⨯=,又因为111111A B C ABC M ABC ABM A B C V V V ---=+, 所以220833h =+,解得2h =，即M 为1CC 的中点. 因为MC ⊥平面ABC ,所以MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 在Rt MAC ∆中,2,90MC AC MCA ==∠=︒, 所以Rt MAC ∆为等腰直角三角形, 故MAC ∠4π=即为所求的角.【点睛】本题考查利用空间向量的方法证明两直线垂直和线面角的求解;建立合适的空间直角坐标系和利用分割法把三棱柱111A B C ABC -分割为一个三棱锥M ABC -和一个多面体111ABM A B C -是求解本题的关键;属于中档题,常考题型.19．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且24006,(040)()740040000(40)x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(Ⅰ) 2638440(040)40000167360(40)x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时，()()400001640168360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. （2）①当040x <≤时，()26326104W x =--+，所以()max 326104W W ==；②当40x >时，40000168360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760.20．已知2()log f x x =，当点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动时，点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动.（其中*n ∈N ）. （1）求()n y g x =的表达式；（2）设集合1{(,)|()}A x y y g x ==，2{(,)|(2)}B x y y g x a ==-+，若A B ⋂≠∅（∅为空集），求实数a 的取值范围；（3）设()1()()2n g x n H x =，若函数11()()()F x H x g x =-（0a x b <≤≤）的值域为22[log ，求实数a 、b 的值.【答案】（1）2()log (2)n g x n x =+；（2）94a ≤；（3） 2a =，3b =. 【解析】()1根据点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动,可得2log y x =，点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动,可得()2n g x ny -=,由此可得()22log n g x n x -=,利用换元令2x t -=,即可得到()n g x 的表达式.()2由()1可知()1g x 与()22g x a -+的表达式，因为A B ⋂≠∅，可得方程()()22log 22log x x a +=+存在大于负2的实数解,分离参数a ,使a 为关于x 的表达式，求出关于x 的函数的值域即可.()3由()1可知()H x 的表达式,从而可得()()21log 22F x x x =-++,利用函数12y x =+和函数()2log 2y x =-+在()2,-+∞的单调性可判断出()F x 在()2,-+∞上的单调性,从而可得()F x 在区间[],a b 上的单调性,求出在区间[],a b 上的最值,进而得到关于,a b 的方程,解方程即可. 【详解】()1因为点(2,)N x ny -在函数()n y g x =的图象上运动，且2log y x =,所以()22log n g x n x -=,令2x t -=则()()2log 2n g t n t =+, 所以()()2log 2n g x n x =+.()2因为()()2log 2n g x n x =+,所以()()12log 2g x x =+,()()222log 2g x x =+， 所以()()2222log g x a x a -+=+,因为A B ⋂≠∅,所以存在2x >-使()()122g x g x a =-+, 即存在2x >-使()()22log 22log x x a +=+， 即方程()()220x a x +-+=有大于负2的实数根, 因为0,20x a x +>+>,所以()2a x x =>-,t =()0t >则22a t t =-++,即21924a t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,因为0t >，所以94a ≤, 所以a 的取值范围为94a ≤. ()3因为()()2log 2n g x n x =+，所以()1()()2n g x n H x =()2log 212n x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()()22log 21log 2111222x x H x x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎛⎫===⎪+⎝⎭,所以()()()()1121log 22F x H x g x x x =-=-++, 因为函数12y x =+和函数()2log 2y x =-+在()2,-+∞上均为减函数, 所以函数()()21log 22F x x x =-++在()2,-+∞上为减函数, 因为0a x b <≤≤,所以可得()()21log 22F x x x =-++在区间[],a b 上为减函数, 所以()()()2max 1log 22F x F a a a ==-++,()()()2min 1log 22F x F b b b ==-++， 因为函数()()21log 22F x x x =-++在区间[],a b上的值域为22[log , 所以()()22211log 2log log 2224a a a a -+==-+++,()()22211log 2log log 2225b b b b -+==-+++, 解得2,3,a b ==故所求的,a b 的值为2, 3.a b == 【点睛】本题主要考查了求函数的解析式和利用函数的单调性求函数的值域及参数的范围;解题的关键是利用点M 和点N 满足的关系正确求出()n y g x =的表达式；主要考查学生的适应能力和应变能力；本题属于新定义型试题,综合型强、难度大.21．已知数列{}n a 满足：12a =，12nn n a a λ+=+⋅，且1a 、21a +、3a 成等差数列，其中*n ∈N .（1）求实数λ的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足等式：31212321n nb b b b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，问：是否存在这样的正数p ，可以确保恰有5个自然数n 使得不等式864256n p p n S +≤-+成立？若存在，求p 的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）1λ=，2nn a =；（2）n S =226n +-；（3）存在，568253p <≤. 【解析】()1由题意和等差中项的性质列出关于λ的方程求出λ,再利用累加法求出数列{}n a 的通项公式即可.()2类比已知前n 项和n S 求通项公式的方法，由等式31212321nnb bb b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，得到()()31121231211,2n n b b b b n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=--≥，两式相减得到()2,2n nb n a =≥,利用n a 求出n b 的通项公式,当1n =时,12b =，即可求出n S .()3结合条件对n 进行分类讨论,当3n ≥时,利用分离参数法化简得182125n p n -≤--,利用取特殊值和比商法判断出1225n n --的单调性,进而判断出182125n n ---的单调性,根据条件即可求出正数p 的取值范围. 【详解】()1因为12a =,12n n n a a λ+=+⋅,所以21222a a λλ=+⨯=+，32426a a λλ=+=+, 因为1a 、21a +、3a 成等差数列，所以()21321a a a +=+,即()232226λλ+=++,解得1λ=,12nn n a a +-=,所以21213212,2,,2n n n a a a a a a ---=-=⋅⋅⋅-=, 以上式子相加可得,23112222n n a a --=+++⋅⋅⋅+,因为()123121222222212n n n ---+++⋅⋅⋅+==--,所以222n n a -=-,即2nn a =.()2因为31212321nnb bb b n a a a a +++⋅⋅⋅+=-,()1所以()()31121231211,2n n b b b b n n a a a a --+++⋅⋅⋅+=--≥，()2()()12-可得，()2,2nnb n a =≥, 因为2nn a = ,所以即12n n b +=()2n ≥，当1n =时,112b a ==, 因为数列{}n b 的前n 项和为n S ,所以()1281222612n n nS -+-=+=--.()3假设存在这样的正数p .因为n S =226n +-,所以使不等式864256n p p n S +≤-+成立, 即使不等式2864252n p p n ++≤-成立即可.因为0p >,所以当1,2n =时,上式显然成立,当3n ≥时,不等式2864252n p p n ++≤-可化为182125n p n -≤--, 当3n =时,83p ≤;当4n =时,245p ≤; 当5n =时,4011p ≤；当6n =时,5625p ≤; 令1225n n c n -=-，则()112252252212322323n n n n n c n c n n n +---⎛⎫=⨯==- ⎪---⎝⎭， 当4n ≥时,26211235n ⎛⎫-≥> ⎪-⎝⎭,则11n nc c +>, 所以当4n ≥时,n c 随着n 的增大而增大,则182125n n ---随着n 的增大而减小,因为使不等式864256n p p n S +≤-+成立的自然数n 恰有5个， 所以正数p 的取值范围为568253p <≤. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式和等比数列的概念及前n 项和公式与分离参数法求参数的取值范围和利用比商法判断数列的单调性相结合;正确求出数列{}n b的通项及前n项和S是求解本题的关键;属于综合型、难度大型的压轴试题.n第 21 页共 21 页。
上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 .3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且 ，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x fy -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e r 、2e r 是平面内一组基向量，且122a e e =+r r r 、12b e e =-+r r r ，则向量12e e +r r可以表示为另一组基向量a r 、b r 的线性组合，即12e e +=r ra +rb r .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r ; D. ()2,1n =r. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b =+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（ ）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅I .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =r、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭r 都满足a b ⊥r r ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表C第19题图示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P，OP =u u u r（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =r的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅u u u u r u u u r为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．C DNC图（2）第20题图上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ） )A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα// ()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数 ()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数 ()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .1A 1B 1C1DF18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元） （1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .xyo（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c Λ21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,Y3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示： 则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB DE =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3, ，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
