12.3立方根和开立方(学案)

立方根方互为逆运算。

学习重点：立方根的意义及其表示方法。

学习难点：立方根与平方根的区别。

预习导学一、创设问题情境，引入立方根概念1.问题2 要做一只容积为125cm 3的正方体木箱，它的棱长是多少? 与“平方根”类似，讨论和研究以下问题：（A ） 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?如何解？（B ） 你能找一个数，使这个数的立方等于125吗? 2.试一试我们先来算一算一些数的立方. 23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______; (23)3=_____;-(23)3•=_____ ; 18=______. 3.立方根的表示方法： 类似平方根定义可知,若3x=a 则x为a 的立方根,读作“三次根号a ”因为12553=，所以5是125的立方根，即 51253= 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

其中a 叫做被开放数。

4. 同学们讨论以下问题：1、 27的立方根是什么?2、－27的立方根是什么?3、0的立方根是什么?5.根据以上题目的答案，回答以下问题： 1、正数有几个立方根?2、0有几个立方根?3、负数有几个立方根?4、从以上问题中你发现了什么? 【总结归纳】二 自主训练1.参照教材P45例1，求下列各数的立方根： (1)64 (2)－125 (3)－0.0182.参照教材P46例2求下列各式的值： (1)31000 (2)；37291000； (3) 364125-；(4)31；三达标作业一、选择题1.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根B.1的立方根是±1C.361的立方根是61D.－5的立方根是35-2.在下列各式中：327102=34 3001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43.若m <0，则m 的立方根是（ ）A.3mB.－ 3mC.±3mD. 3m -4.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 二、填空题6.364的平方根是______.7.（3x －2）3=0.343,则x =______. 8.若81-x +x -81有意义，则3x =______.9.若x <0，则2x =______,33x =______.10.若x =(35-)3，则1--x =______. 三、解答题11.求下列各数的立方根 （1）729 （2）－42717 （3）－216125 （4）（－5）312.求下列各式中的x .(1)125x 3=8(2)(－2+x )3=－216 (3)32 x =－2(4)27(x +1)3+64=0四总结评价：今天的学习，我学会了： 我在 方面的表现很好，在 方面表现不够，以后要注意的是： 总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

立方根的教案导言：立方根是数学中一个重要的概念。

掌握立方根的求法可以帮助学生更好地理解数学中的立方、立方根以及解决与立方根相关的问题。

本教案旨在通过一系列的教学活动和练习帮助学生掌握立方根的求法，并运用所学知识解决实际问题。

一、课前准备：1. 确认学生已掌握平方根的概念和求法。

2. 在黑板上列出几个完全立方数，如8, 27, 64等，并让学生思考这些数的特点。

二、教学活动：1. 引入立方根的概念：- 通过让学生观察完全立方数的特点，引导学生了解立方根的概念。

- 结合实际例子（如一个立方形的边长），帮助学生理解立方根表示的是什么意思。

2. 求立方根的方法：- 介绍牛顿迭代法求立方根的方法。

- 分步解释迭代计算的过程，并通过示例进行演示。

- 鼓励学生使用计算器或电子设备进行迭代计算，并与手工计算结果进行对比。

3. 解决简单立方根问题：- 提供一些较为简单的完全立方数，让学生尝试使用所学方法计算立方根。

- 引导学生思考和讨论解决问题的方法和策略。

4. 拓展应用：- 引导学生思考立方根的实际应用场景，如体积计算、测量等。

- 提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决。

三、巩固练习：1. 教师提供一系列立方根的练习题，包括简单和较难的题目。

2. 学生独立完成练习，并检查答案。

四、总结与评价：1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结立方根的概念、求法以及应用。

2. 提供一些问题，让学生思考和讨论立方根的其他特性和性质。

3. 对学生的学习表现进行评价，并提供反馈。

五、拓展阅读：1. 鼓励学生进一步了解数学中的立方根相关知识，可以推荐一些相关的数学书籍或网站资源。

2. 引导学生进行拓展阅读，了解立方根在其他学科领域的应用，如物理学、经济学等。

六、家庭作业：布置一些立方根的练习题，要求学生在家完成，并检查答案。

结束语：通过本节课的学习，学生们对立方根的概念、求法和应用有了更深入的认识。

希望学生们能够运用所学知识解决实际问题，并继续拓展自己对数学的兴趣和学习。

立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。

12.3立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】【高清课堂：立方根、实数，知识要点】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数.要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为00n =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念【高清课堂：立方根 实数，例1】1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； 33a a -=-.举一反三：【变式】我们知道a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0， 而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x ﹣5=0， ∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1． 类型二、立方根的计算【高清课堂：立方根 实数，例2】2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （423327(3)1---（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-（23321145⨯+（3）331864-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、求下列各式中x 的值：（1）3（x ﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【思路点拨】先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可． 【答案与解析】 解：（1）3（x ﹣1）3=24，（x ﹣1）3=8，x ﹣1=2， x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。

12.3立方根和开立方1．理解立方根概念．2．掌握立方根的特征，会用立方根的特征和性质反推字母符号或值．一、立方根如果一个数x 的立方等于a ，即 x 3=a，那么这个数x 叫做a “3”叫做根指数，不能省略，读作“三次根号a”例子：(−2)3=−8,−2是-8−2；（13）3=127，13是127的立方根，即13求一个数的立方根的运算，叫做开立方．易见，开立方与立方也互为逆运算，即3=a =注意：① 任何一个数都有立方根、且只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0；② 平方根等于本身的只有0，算术平方根等于本身的有0和1，立方根等于本身的有0和 ±1。

．请填写上表并思考，如果两个数互为相反数、那么它们的立方根也互为相反数 ，即=题型一立方根的定义及应用【例题1-1】下列说法错误的是( )A中的a可以是正数、负数、零B．数a的立方根只有一个C2±D5的立方根【答案】C【分析】根据立方根的定义来进行判定求解．【详解】解：A中的a可以是正数、负数、零，故原选项正确，不符合题意；B．数a的立方根只有一个，故原选项正确，不符合题意；C8=2，故原选项错误，符合题意；D5的立方根，故原选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了立方根的定义，理解立方根的定义是解答关键．【例题1-2】在实数范围内，下列等式中一定成立的是（ ）．A a =B ．01a =C a =D a =(n 是大于1的整数)．【答案】C【分析】根据平方根和立方根的定义即可判断得到正确答案．a =±；故A 不符合题意．当a=0时，没有意义；故B 不符合题意．a =；故C 符合题意．当n=2a =±；故D 不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查对平方根和立方根的定义的理解，掌握平方根和立方根的定义并灵活应用是解题的关键．【例题1-3】如果一个数的立方根是其本身，则这个数是_______．（写一个即可）【答案】1-、1、0（写出一个即可给分）【分析】根据1-、1、0的立方和立方根都是其本身即可解答；【详解】解：如果一个数的立方根是其本身，则这个数可以是1-、1、0，故答案为：1-、1、0（写出一个即可给分）【点睛】本题考查了立方根，熟记1-、1、0的立方和立方根都是其本身是解题关键．【例题1-4】方程()3164x -=的解是 _____．【答案】5【分析】根据立方根的意义可得x ﹣14．解之即可．【详解】解：∵()3164x -=，∴x ﹣1＝4．解得x ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了立方根的意义，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，【变式1-1 3.9522==________39.522=，则x = ________；如果2.872 1.3333==________1333.3=-，则x =________．【答案】 395.22 1562 0.2872 2370000000-【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．3.9522=395.22=，39.522=，则1562x =；2.872 1.3333=0.2872=；1333.3=-，则2370000000x =-；故答案为：①395.22，②1562；③0.2872，④2370000000-．【点睛】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．【变式1-2】方程31250x +=的根是______．【答案】5-【分析】先将常数项移到等号右边，根据立方根定义解方程即可．【详解】解：移项得3125x =-，开立方得，5x =-，故答案为：5-．【点睛】此题考查了立方根的定义，正确理解立方根定义是解题的关键．【变式1-3】若x 的立方根等于x ，则x =______.【答案】0或±1【分析】根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0分析解答节课【详解】∵0的立方根是0,1的立方根是1，-1的立方根是-1∴立方根等于它本身的数是0或者±1【点睛】本题的关键是掌握立方根的性质【同步测试1-1】一个正数的算术平方根为2m +，它的平方根为()32m ±+，求这个正数的立方根．1．【分析】分情况讨论：①当232m m +=+时，②当()232m m +=-+时，求出m 的值，即可求出这个正数及其立方根．【详解】解：根据题意，得2m +是32m +与()32m -+两数中的一个．①当232m m +=+时，解得0m =，则22m +=，所以这个正数为4；②当()232m m +=-+，解得1m =-，则21+=m ，所以这个正数为1，它的立方根为1．1．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根，立方根．【同步测试1-2】当x 取何值时，下列各式有意义：（1； （2 （3；（4 （5） （6【答案】（1）0x ¹（2）x 为任意实数（3）2x ³（4）0x £（5）4x £（6）见解析【分析】根据开偶次方时，被开方数大于或等于0，开奇次方时，被开方数为任意实数即可逐项求解．【详解】解:（1有意义,∴0x ¹；（2∴x 为任意实数；（3,∴240x -≥，解得2x ³；（4∴()30x -³ ，∴0x -³，解得0x £；（5）∵∴40x -³，解得4x £；（6n 为奇数时，a 取一切实数；n 为偶数时，0a ³．【同步测试1-3】已知21a -的平方根是3±，324a b ++的立方根是3，求a b +的平方根．【答案】a b +的平方根是3±【分析】根据21a -的平方根是3±，能求出a 的值；根据324a b ++的立方根是3，能求出b 的值，将a ，b 的值代入到a b +来，进而求出a b +的平方根．【详解】∵21a -的平方根是3±，∴()22139a -=±=，∴5a =，∵324a b ++的立方根是3，∴3324327a b ++==，∴352427b ´++=，∴4b =，∴3==±．故a b +的平方根是3±．【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．【同步测试1-4】解方程：31110645125x æö-+=ç÷èø．【答案】35x =-【分析】先把15x -看成一个整体，求出它的值，然后再求原方程的值【详解】原方程变形为3164()5125x -=-解得413555x \=+=-\原方程的解为：35x =-【点睛】本题考查了立方根，将15x -看成一个整体是解题的关键．【同步测试1-5】填写下表，并回答问题：（1）数a（20.1738 1.738=，求a 的值．【答案】填表见解析；（1）见解析；（2）5.25【分析】（1）根据被开方数a 右或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．【详解】（1）由题可知，被开方数a 或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【同步测试1-6】【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，39729=∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：Q 10=100=，11059210100000000<<，10100\，\能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592Q 的个位数是2，38512=，\能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，<45<，可得4050<<，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：Q 10=100=，1000219521000000<<，10100\<，\能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952Q 的个位数是2，38512=，\能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28=，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．题型二 算术平方根和立方根综合应用【例题2-1】底面积为2108cm ，高为19cm 的圆柱形容器内有若干水，水位高度为1h ，现将一个边长为6cm 的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm 的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为2h ，若2162cm 27h h -=，则=a ___________cm ．【答案】4【分析】根据21h h -是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．【详解】解：由题意得：33211662*********a h h -=+=，解得：4a =；故答案为：4．【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．【例题2-2AB ，则A ＋B ＝________．【答案】===A+B=【例题2-3】利用计算器解方程312054x +=，所得的近似根是________．（保留三个有效数字）【答案】0.210-【分析】先求出x =【详解】解：312054x +=，31254x =-，31081x =-，0.210x =»-．故答案为：0.210-．【点睛】此题考查了利用计算器求立方根，解题的关键是根据题意求出x =【变式2-1（保留三个有效数字）．【答案】1.78的值后，再根据有效数字的定义解答即可．【详解】解：原式 3.464 1.681 1.78»-»，故答案为：1.78．【点睛】本题主要考查的是计算器-数的开方、近似数字和有效数字，利用计算器求得算式的值是解题的关键．【变式2-2】求下列各式中的x(1)281x =；(2)3810x +=．【答案】(1)±9(2)12-【分析】（1）直接根据平方根的定义求解；（2）变形得到318x =-，然后根据立方根的定义求解．【详解】（1）解：x =9x =±；（2）解：318x =-，12x =-．【点睛】本题考查了立方根、平方根，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 【变式2-3】李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为3512cm 的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．【答案】4cm【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．【详解】解：1个魔方的体积为：3512cm 8．()4cm =．答：这个魔方的棱长为4cm ．【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．【变式2-4】已知21a -的平方根是3±，2a b -的立方根是2，求2a b +的平方根【答案】3±【分析】根据已知得出219a -=，28a b -=，求出5a =，2b =，求出2+a b 的值，最后求出2+a b的平方根即可．【详解】解：21a -Q 的平方根是3±，2a b -的立方根是2，219a \-=，28a b -=，5a \=，2b =，2549a b \+=+=，即2+a b 的平方根是3± ．【点睛】本题考查了平方根，立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．【同步测试2-1】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．【同步测试2-2】已知a=b=，求3a b+的平方根．【答案】3±【分析】根据平方根和立方根的性质求出a，b的值，进而再求3a b+的平方根即可.【详解】∵a=，b=∴a5=，6b=-．∴3==±.【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．【同步测试2-3】阅读下列解题过程，并按要求填空：1＝﹣1，求3x yx y+-的值．1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得2121x yx y-=ìí-=î，解得11xy=ìí=î…第三步把x、y的值分别代入分式3x yx y+-中，得3x yx y+-＝0 …第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了　；正确的结论是 （直接写出答案）．【答案】一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；3x yx y+-＝1．【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．【详解】解：在第一步中，由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，忽略了2x﹣y＝﹣1；在第四步中，当11xy=ìí=î时，分式3x yx y+-无意义，忽略了分式有意义的条件的检验，当2121x yx y-=-ìí-=-î时，解得1313xyì=-ïïíï=ïî，代入分式3x yx y+-，得3x yx y+-＝1，所以正确的结论是3x yx y+-＝1．故答案为：一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；3x yx y+-＝1．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．课后限时训练（15min）一、单选题1．27-的立方根为( )A．3±B．9±C．3-D．9-【答案】C【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根）解决此题．3=-．故选：C．【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．2＝0.7161.542＝6.058,( )A．716B．154.2C．605.8D．71.6【答案】B【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．=210==154.2故选：B ．【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．3．下列说法错误的是（ ）A 中的a 可以是正数、负数、零B a 不可能是负数C ．数a 的平方根一定有两个，它们互为相反数D ．数a 的立方根只有一个【答案】C【分析】按照平方根和立方根的性质判断即可．【详解】A. a 可以是正数、负数、零，正确，不符合题意；B. a 不可能是负数，正确，不符合题意；C. 0的平方根只有0，故原说法错误，符合题意；D. 数a 的立方根只有一个，正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．4．李老师想制作一个体积为3900cm 的正方体教具，它的棱长大约是（结果精确到1cm ）（ ）A ．30cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】D【分析】首先对棱长的值进行一个估计，然后选取一个最接近的答案．【详解】解：∵93<900<103，93=729，103=1000，∴|93-900|>|103-900|，∴910<<，9-10»（cm ），故选D ．【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及近似数的求解是解题关键．5的立方根是 （ ）A ．2B ．2C ．8D ．-8【答案】A=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2.故选A.二、填空题6．若实数a 的立方等于27，则=a ________．【答案】3【分析】根据立方根的定义即可得．【详解】解：由题意得：3a ==，故答案为：3．【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．7 1.038= 2.237= 4.820==______．【答案】10.38【分析】根据立方根的性质即可求解．1.038=，=10.38．故答案为：10.38．【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．8．已知x 没有平方根，且||27x =，则x 的立方根为________．【答案】3-【分析】根据题意，27去掉绝对值的值为±27，在根据题意x 没有平方根直接算出立方根即可．【详解】解：∵27去掉绝对值的值为±27，∴x=±27，又∵x 没有平方根∴x=27，∴x 的立方根为-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了绝对值的性质、平方根的性质和立方根的计算，解决此题的关键是不漏题9______．【答案】1214=，题目就转化为求14的算术平方根，根据算术平方根的定义可得答案．14=，21124=（）的算术平方根，即14的算术平方根是12，故答案为12【点睛】本题考查立方根和算术平方根的计算，审清题意是解题的关键．10﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____．【答案】0或﹣1或﹣12＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12．故答案为：0或﹣1或﹣12．【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.三、解答题11【答案】294【详解】解：原式(2)=--5424=++294=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握运算法则是解题关键．12．一个长方体的长、宽、高分别是5cm,3cm,2cm ，把它锻造成一个正方体，求这个正方体的棱长．．【分析】先求出长方体的体积，即可得到正方体的体积，再由正方体的边长是其面积的立方根求解即可．【详解】解：长方体的体积353230cm =´´=，∴锻造成的正方体的体积是330cm ，．【点睛】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．13．已知21a +和7a -是某数的两个平方根，673a b ++的立方根是3-．(1)求a ，b 的值；(2)求538a b -+的算术平方根．【答案】(1)a ＝2，b ＝－6(2)5a −3b+8的算术平方根为6【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a 的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．【详解】（1）解：根据题意可得：2170a a ++（）（－）＝，解得a ＝2．3=-，把a ＝2代入得12 + 7b + 3＝－27∴b ＝－6．（2）当a ＝2，b ＝－6时，∴5a －3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，6=．【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．14．对于结论：当0a b +=时．330a b +=也成立．若将a 看成3a 的立方根，b 看成3b 的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”(1)举一个具体的例子进行验证；(2)3x -的平方根是它本身，求x y +的立方根．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）举例338,8a b ==-，根据立方根的性质进行验证即可得；（2）先根据题中给的结论可得7y -与25y -互为相反数，由此建立方程可得y 的值，再根据平方根的性质可得30x -=，由此可得x 的值，然后根据立方根的性质即可得．【详解】（1）解：举例：338,8a b ==-，2(2)0=+-=，此吋()880+-=，即8与8-互为相反数，所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．（2∴7y -与25y -互为相反数，∴7250y y -+-=，解得=2y -，∵3x -的平方根是它本身，∴30x -=，解得3x =，∴321x y +=-=，∴x y +的立方根是1．【点睛】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．15．【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，39729=∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：Q 10=100=，11059210100000000<<，10100\，\能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592Q 的个位数是2，38512=，\能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，<<，<，可得4050<45由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：Q10<<，=100=，1000219521000000\<，10100\能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952=，Q的个位数是2，38512\能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，<<，可得2030，23由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．=，28故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．。

《立方根》优质教案教案内容：一、教学内容本节课的教学内容选自人教版初中数学八年级上册第6章第3节《立方根》。

本节课主要内容包括：立方根的定义，立方根的性质，立方根的运算方法，以及立方根在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解立方根的概念，掌握立方根的性质和运算方法。

2. 能够运用立方根解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新精神。

三、教学难点与重点1. 立方根的概念和性质。

2. 立方根的运算方法。

3. 立方根在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师展示一个正方体模型，引导学生观察正方体的特征，并提出问题：“正方体的体积是多少？”学生通过观察和思考，可以得出正方体的体积是边长的三次方。

2. 立方根的定义：教师引导学生思考：“如果我们知道一个数的立方是另一个数，那么我们如何求出这个数呢？”学生通过讨论和思考，可以得出这个数就是原数的立方根。

教师给出立方根的定义，并解释立方根的性质。

3. 立方根的运算方法：4. 立方根在实际问题中的应用：教师提出一个实际问题：“一个正方体的体积是27立方米，求这个正方体的边长。

”学生运用立方根的知识，解决问题并得出答案。

六、板书设计1. 立方根的定义。

2. 立方根的性质。

3. 立方根的运算方法。

4. 立方根在实际问题中的应用。

七、作业设计1. 题目：已知一个数的立方是27，求这个数。

答案：3。

2. 题目：已知一个正方体的体积是64立方米，求这个正方体的边长。

答案：4米。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师反思本节课的教学效果，是否达成了教学目标，学生是否掌握了立方根的知识，哪些学生需要进一步辅导。

2. 拓展延伸：教师提出一个拓展问题：“立方根在实际生活中有哪些应用？”引导学生思考和讨论，进一步巩固立方根的知识。

重点和难点解析一、立方根的概念和性质1. 立方根的定义：教师在讲解立方根的定义时，应强调“立方根”就是一个数乘以自身两次后得到的结果。

数学《立方根》教案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第117页“立方根”。

学生将通过本节课的学习，掌握立方根的概念，学会用立方根解决实际问题。

二、教学目标1. 学生能够理解立方根的概念，掌握求一个数的立方根的方法。

2. 学生能够运用立方根解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

三、教学难点与重点重点：立方根的概念和求一个数的立方根的方法。

难点：运用立方根解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：练习本、尺子、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过多媒体课件展示一个正方体，引导学生观察正方体的特征，并提出问题：“正方体的体积是多少？”学生通过观察和思考，得出正方体的体积是边长的三次方。

2. 例题讲解：教师通过讲解正方体的体积，引导学生思考：“如何求一个数的立方根？”学生通过讨论和思考，得出求一个数的立方根的方法：将这个数分解成三个相同的因数，即为这个数的立方根。

3. 随堂练习：教师出示一些练习题，让学生独立完成，检查学生对立方根的理解和掌握程度。

4. 应用拓展：教师通过出示一些实际问题，让学生运用立方根解决，如：“一个正方体的体积是64立方米，求这个正方体的边长。

”学生通过运用立方根解决问题，提高解决问题的能力。

六、板书设计立方根：正方体的体积 = 边长× 边长× 边长求一个数的立方根：将这个数分解成三个相同的因数七、作业设计1. 请用立方根的知识，解释一下为什么冰激凌在冷冻过程中会膨胀。

答案：冰激凌在冷冻过程中会膨胀，是因为冰激凌的体积是冰激凌温度三次方的函数，当温度降低时，体积增大。

2. 一个正方体的体积是27立方米，求这个正方体的边长。

答案：这个正方体的边长是3米。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过正方体的体积引入立方根的概念，通过讲解和练习，让学生掌握立方根的知识。

在教学过程中，要注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力。

6.2 立方根教学目标【知识与技能】1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算或计算器求某数的立方根.3.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算.【过程与方法】用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能总结出平方根与立方根的异同. 【情感态度】开展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并能作出正确的处理. 教学重难点【教学重点】立方根的概念及求法.【教学难点】立方根与平方根的区别.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识问题填写,并探求交流立方值与平方值的不同.鼓励学生踊跃发言表述各自总结的结论.【教学说明】求立方运算时,当底数互为相反数,其立方值也互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数时,平方值相等.故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根只有一个值.引出立方根定义:假设x3=a,那么x为a的立方根,记为3a.根据上述定义,请学生口述以下问题的结果,并推广到一般规律.【教学总结】由教师汇总得出以下结论：1.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.2.33a a -=-.二、思考探究，获取新知例1 求以下各数的立方根.分析：依据立方根的定义,先写出这四个数分别是由哪个数的立方得到的,从而求出立方根.【教学说明】被开方数是带分数时,先将其化成假分数. 例2 求以下各式的值.分析：先要分清符号的实际意义,如3512表示求-512的立方根,而-3512表示求512的立方根的相反数.解：(1)-8;(2)29;(3)-0.2;(4)6. 【教学说明】以上两例中可总结得到:(1)任何数的立方根只有一个,而且被开方数的符号与立方根的符号相同;(2)被开方数是算式,可先算出结果.例3 求以下各式中的x.分析：可根据立方根的定义求得x 的大小.(2)(3)(4)中分别把(x+2),(x-1),(2x+3)看作一个整体.【教学说明】此题实质是解关于x的三次方程,两边同时开立方是解题的根本思路.3,小华又将铁块从水中提起，量得水杯中的水位下降了0.62cm,请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?(用计算器求结果,结果精确到0.1cm).3的水的体积,是铁块的体积,也是高为0.62cm烧杯的体积.【答案】烧杯内部的底面半径约是4.6cm,铁块的棱长约是3.4cm.【教学说明】引导学生完成上述问题后，指导学生用计算器求立方根，并用实际训练形成应用能力.三、运用新知，深化理解2.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.3.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127cm3才满,求另一正方体容器的棱长.4.假设3x+16的立方根是4,求2x+4的平方根.【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步稳固对本节知识的理解和领悟. 四、师生互动，课堂小结按以下问题顺序让学生表达,并补充完善.1.立方和开立方的意义.2.正数、0、负数的立方根的特征.3.立方根与平方根的异同.课后作业1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学反思本课时教学要突出表达“创设情境——提出问题——建立模型——解决问题〞的思路，提倡学生自主学习，利用平方根的知识类比学习立方根的知识.1．4二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】二次函数图象与x轴交点情况的判断以下函数的图象与x轴只有一个交点的是()A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．应选D.变式训练：见《》本课时练习“课后稳固提升〞第1题【类型二】利用函数图象与x轴交点情况确定字母的取值范围(2021·武汉模拟)二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是()A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3 D．k≤3且k≠0解析：∵二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴方程kx2－6x＋3＝0(k≠0)有实数根，即Δ＝36－12k≥0，k≤3.由于是二次函数，故k≠0，那么k的取值范围是k≤3且k≠D.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．变式训练：见《》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解(2021·苏州中考)假设二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，那么关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－5D.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝5 解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b2＝2，解得bx 2－4x ＝5，解得x 1＝－1，x 2D.方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x 2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x 2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x 2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x y因此x ≈－1.4是方程的一个实数根． (2)另一个根可以类似地求出：x yx ≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面209米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－19(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x ＝1代入函数关系式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。